三角函数
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25- ；5
36
π-）
（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .
（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：
,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6
π
的
终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Z k k ∈+
,3
2π
π）
4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，
则
2
α
是第_____象限角 （答：一、三）
5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22
S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ . 如
已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22cm ）
6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点
（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么s i n ,c o s y x
r r
αα==，
()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r
x
α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角函数值只
与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如
（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。
（答：7
13
-）；
（2）设α是第三、四象限角，m
m --=
43
2sin α，则m 的取值范围是_______ （答：（－1，)2
3
）；
（3）若
0|
cos |cos sin |sin |=+αα
αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα?的符号 （答：负）
7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在
x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如 （1）若08
π
θ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为
_____
(答：tan sin cos θθθ<<)；
（2）若α为锐角，则,s i n ,t an ααα的大小关系为_______
（答：sin tan ααα<<）；
（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______
（答：2(2,2]()33
k k k Z ππ
ππ-+∈）
（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,
（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα
==
同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如
y
T
A x
α B
S
O M P
（1）函数sin tan cos cot y αα
αα
+=
+的值的符号为____
（答：大于0）；
（2）若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____ （答：[0,]4π ],4
3
[ππ）；
（3）已知53sin +-=m m θ，)2
(524cos πθπ
θ<<+-=m m ，则θtan ＝____
（答：12
5
-）；
（4）已知11tan tan -=-αα，则
α
αα
αcos sin cos 3sin +-＝___；2cos sin sin 2++ααα＝____ （答：35-；5
13
）；
（5）已知a = 200sin ，则 160tan 等于
A 、21a a
-- B 、21a
a
- C 、a a 21-- D 、a a 2
1-
（答：B ）；
（6）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin f 的值为______
（答：－1）。
10.三角函数诱导公式（2
k
πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或
偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函数。如
（1）97cos tan()sin 2146
ππ
π+-+的值为________
）； （2）已知5
4
)540sin(-=+α ，则=-)270cos ( α
______，若α为第二象限角，则=+-+-)
180tan()]
360cos()180[sin(2
ααα
________。 （答：54-；100
3
-）
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα=±=±???→=
()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2
1cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝
＝
αβ
αβαβαβααα
αααβα
αβααβα
αα
αα
=±=???→=-↓=-=-±±=
?-↓=
-
如（1）下列各式中，值为1
2
的是
A 、1515sin cos
B 、2
2
12
cos sin π
π
-
C 、22251225tan .tan .-
D （答：C ）；
（2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件
（答：C ）；
（3）已知
3
5
sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____
（答：7
25
）；
（4
）1
1080sin sin -
的值是______ （答：4）； (5)已知0tan110a =，求0tan50的值（用a ，乙求得
的结果是2
12a a
-，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
（答：甲、乙都对）
12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，
2()()αβαβα=+--，22
αβαβ++=?，()(
)
222αββ
ααβ+=---等）
，如 （1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4
π
α+的值是_____
（答：3
22
）；
（2）已知02
π
βαπ<<<<，且129cos()β
α-
=-，2
23
sin()αβ-=，求c o s ()αβ+的值
（答：
490
729
）； （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3
cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系
为______
（答：43
(1)55
y x x =<<）
(2)三角函数名互化(切割化弦)，如 （1）
求值sin 50(1)
（答：1）；
（2）已知sin cos 2
1,tan()1cos 23
αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值
（答：1
8
）
(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± 。如
（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____
（答：2
-
）； (2)设ABC ?
中，tan A tan B Atan B +=
，4
sin Acos A =，则此三角形是____三角形
（答：等边）
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2
α
α-=与升幂公
式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如
(1)若3
2
(,)αππ∈
，化简
为_____ （答：sin
2
α
）；
（2）
函数25f (x )sin x cos x x =
-x R )∈的单调递增区间为____ （答：51212
[k ,k ](k Z )ππ
ππ-+∈）
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如
（1）tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα
αα
+++
（答：sin α）；
（2）求证：
2
1tan 1sin 212sin 1tan 2
2
ααα
α
++=--；
（3）化简：
42212cos 2cos 22tan()sin ()
44
x x x x ππ-+
-+ （答：1
cos 22
x ）
(6)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=?
tan sin 42ππ=== 等）
，如已知tan 2α=，求22sin sin cos 3cos αααα+-（答：3
5）. (7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”，如 （1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __
（答：21
2
t -±)，特别提醒
：这里[t ∈；
（2）若1(0,),sin cos 2
απαα∈+=，求tan α的值。
（答：）；
（3）已知
2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42
ππ
α<<，试用k 表示sin cos αα-的值
。
13、辅助角公式中辅助角的确定
：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b
a
θ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。如
（1）
若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.
（答：[－2,2]）；
（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______
(答：3
2
-)；
（3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?=
(答：－2)；
（4）求值：
=?+?
-?20sin 6420cos 1
20sin 322
2________ (答：32)
14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图
方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222
ππ
ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连
接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。
（2）值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22
x k k Z π
π=+
∈时，y 取最大值
1；当
()322
x k k Z π
π=+
∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值
1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。如
（1）若函数sin(3)6
y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21
-，则=a __，=b ＿
（答：1
,12a b ==或1b =-）；
（2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2
,2[π
π-∈x ）的值域是____
（答：[－1, 2]）；
（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____
（答：7；－5）；
（4）函数2()2cos sin()3
f x x x x π
=+sin cos x x +的最小值是_____，此时x ＝
__________
（答：2；()12
k k Z π
π+
∈）
； （5）己知2
1
cos sin =
βα，求αβcos sin =t 的变化范围 （答：1
[0,]2
）；
（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +=y 的最大、最小值
（答：1max =y ，222m in -=y ）
。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？ （3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和
()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||
T π
ω=。如 (1)若3
sin )(x
x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++ ＝___
（答：0）；
(2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为____
（答：π）； (3) 设函数)5
2sin(2)(π
π+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则
||21x x -的最小值为____
（答：2）
（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2
x k k Z π
π=+
∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是
(),02k k Z ππ??+∈
??
?，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。如
（1）函数522y sin x π??
=- ???
的奇偶性是______、 （答：偶函数）；
（2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______
（答：－5）；
（3）函数)co s (s in co s 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______
（答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28
k x (k Z )ππ
=+∈）
； （4）
已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值。
（答：6
k (k Z )π
θπ=+
∈）
（5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ?
?=-+∈???
?在上单调递增，在
()32,222k k k Z ππππ??++∈????
单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！
16、形如sin()y A x ω?=+的函数：
（1）几个物理量：A ―振幅；1
f T
=―频率（周期的倒数）；x ω?+―相位；?―初
相；
（2）函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A
ω由周期确定；?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2
π
?<
()
f x ＝_____（答：15()2sin()23
f x x π=+）；
（3）函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，3,,,222
ππ
ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
（4）函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图
象；②函数()s i n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得到函数
()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A
倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由
()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移|
|?
ω
个单位，如 （1）函数2sin(2)14y x π
=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？
（答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4
y x π
=-的图象，再向左平移
8
π
个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1
2
即得sin y x =的图象）；
(2) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2
x
y =的图象向___平移____
个单位
（答：左；2
π
）；
（3）将函数72sin(2)13y x π
=-+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，
这样的向量是否唯一？若唯一，求出a
；若不唯一，求出模最小的向量
（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6
a π=--
）；
（4）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是
（答：）
（5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将
sin()y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ，
但在求sin()y A x ω?=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。如
（1）函数23
y sin(x )π
=-+
的递减区间是______
（答：51212
[k ,k ](k Z )π
πππ-
+∈）
； （2）12
34x y log cos()π
=+的递减区间是_______
（答：336644
[k ,k ](k Z )π
πππ-+∈）
； （3）设函数)2
2
,0,0)(sin()(π?πω?ω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3
2π=x 对称，它
的周期是π，则
A 、)21
,0()(的图象过点x f
B 、()f x 在区间52[,]123
ππ
上是减函数
C 、)0,12
5()(π是的图象的一个对称中心x f
D 、()f x 的最大值是A
（答：C ）；
（4）对于函数()2sin 23f x x π?
?=+ ??
?给出下列结论：
①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线12
x π
=
成轴对称；
③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3
π
个单位得到 ；④图像向左平移
12
π
个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。 其中正确结论是_______
（答：②④）；
（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距离为3
π
，那么此函数的周期是_______
（答：π）
17、正切函数tan y x =的图象和性质：
（1）定义域：{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数
的定义域了吗？
（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x = cos x +的周期为
2π，而1|2s i n (3)|,|2s i n (3)2|62
6y x y x
ππ
=-+=
-+，|tan |y x =的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π??
???
()k Z ∈，特别提醒：正(余)
切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ??
-++∈ ???
内都是增函数。但要注意
在整个定义域上不具有单调性。如下图：
18. 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角
三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C
===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦
定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b
ii A B C R R
==
2c
R
=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：222
2222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc
+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三
角形的形状.
(4)面积公式：111sin ()222
a S ah a
b C r a b
c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.
如ABC ?中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角三角形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：
,sin()sin ,sin cos 22
A B C
A B C A B C π++=-+==；
（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如
（1）ABC ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b == ，那么满足条件的ABC ? A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定
（答：C ）；
（2）在ABC ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件
（答：充要）；
（3）在ABC ?中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____
（答：1
2
-）；
(4)在ABC ?中，a ,b ,分
别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____
（答：60 ）；
（5）在ABC ?中，若其面积222
S =，则C ∠=____
（答：30 ）；
（6）在ABC ?中，60 1A ,b == ABC ?外接圆的直径是_______
）；
（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，21,cos 32
B C
a A +==则= ，
22b c +的最大值为
（答：19
32
;）；
（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是
（答：06
C π
<≤
）；
（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠= ，且,,AOB BOC COA ???的面积
满足关系式AOB BOC COA S S ???+=，求A ∠（
答：45 ）．
19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsin a 表示一个角，
这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ??
-????
内(11)a -≤≤。(2)反正弦arcsin x 、反余弦
arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2
,2(],,0[],2
,2[πππππ--.
在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]22πππ，[)π,0， [0,),[0,),[0,]2
π
ππ．
20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如
（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根，则求αβ+的值______
（答：34
π
）；
（2）ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______
（答：3
π
）；
（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值
（答：23
π
）.
三角函数专题（知识归纳/记忆技巧/典型真题题剖析）
一、三角函数的概念
(1) 角的概念：终边相同角的集合：所有与α终边相同的角,连同α在内,可构成集合
{}0
|360
,k k Z ββα=?+∈或{}|2,k k Z ββπα=+∈
(2) 象限角：第一象限角的集合|22,2
x k x k k Z πππ??<<+∈???
?
第二象限角的集合|22,2
x k x k k Z ππππ??+<<+∈???
?
第三象限角的集合|22,2
x k x k k Z ππππ??-<<-∈?
??
?
第四象限角的集合|22,2
x k x k k Z πππ?
?-<<∈??
?
?
(3) 轴线角：终边在x 轴上角的集合{}|,k k Z ααπ=∈,终边在y 轴上角的集合|,2
k k Z πααπ?
?=+∈??
?
?
,终边在坐标轴上角的集合|,2
k k Z παα??=∈???
?
(4) 角度、弧度的换算关系：（1）3602rad π=
,1180rad π
=
,1801rad π??= ?
??
（2）扇形的弧长、面积公式：设扇形的弧长为l ,圆心角为()rad α,半径为r ,则l r α=?,扇形的面积
211
22
S lr r α==?
3、三角函数定义： 若(),P x y 是角θ终边上任意异于O 的一点,O 为坐标原点,OP r =,则
sin ,cos ,tan ,cot y x y x r r x y
θθθθ=
=== 4、三角函数在各象限的符号规律：口诀“一全正, 二正弦,三正切,四余弦.
sin α cos α tan α（cot α）
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式
1、同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系：tan cot 1αα?=
（2）商的关系：sin cos tan ,cot .cos sin αααααα
== （3）平方关系：22
sin 1cos αα+=
注意：（1）诱导公式可概括为2
k α?±的各三角函数值的化简公式。 （2）记忆规律：奇变偶不变,符号看象限。其中的奇、偶是指
2
π
的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化,若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数,若是偶数倍,则函数名称不变；符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。在运用诱导公式过程中注意两点：一是函数名称
+ + ——+ + + + ———
—
是否改变,二是正负号的确定原则。 3、注意常见方法的运用：
（1）sin cos ,(0,),1,02
a a π
αααπα+=∈>∈若则（，）
；（特殊地,若1sin cos 2αα++=,则sin cos αα、分别取12
、7sin cos ,5αα+=34sin cos 55
αα则、分别取、；
再由其它条件确定
唯一结果。）1,2
a π
α==
若则；01,2
a π
απ<<∈若则（,）
.(特殊地,若2sin cos 3
πααα-则取)。a 取负值也可讨论。
（2）2
2
sin cos ,sin cos sin cos sin cos a a αααααααα+=+=?-可运用（）求得与的值。 （3）若()tan 0,a a α=≠可求 ①
()3sin 4cos 3tan 434
3103sin cos 3tan 131
a a a αααααα+++==-≠---
②2222
2222
sin 3sin 2tan 6tan 6sin 3sin 2sin cos tan 11a a a ααααααααα++++===+++ ③2222221sin cos tan 11
sin 2cos sin 2cos 2tan 121
a a αααααααα+++===
++++ 三、两角和与差的三角函数
1、两角和与差的三角函数公式：
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±,cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ,tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
。 1、 二倍角公式 2
2tan sin 22sin cos 1tan θ
θθθθ
==
+； 22
2
2
2
21tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan θθθθθθθ-=-=-=-=+；2
2tan tan 21tan θ
θθ
=- 注意：熟悉以下公式变形
（1）()()tan tan tan 1tan tan θβθβθβ+=+-（2）221cos 21cos 2sin ;cos 22
θθ
θθ-+=
=
（3）2
2
1cos 2cos ,1cos 2sin
22θθ
θθ+=-= （4）2
1sin sin cos 22θ
θθ??±=± ??
? （5）注意“凑角”运用：()2
2
44θβ
θβ
ππθθββθ+-?
?=+-=
+
=+- ??
?,求值时,特别注意角的范
围及符号。例如：已知()3312sin ,sin ,45413ππθβπθββ????∈+=--=
? ?????、，，则cos ?4πθ?
?+= ??
?
（6
）辅助角公式的运用：()sin cos a b θθθ?+=
+,其中tan b
a
?=
.如：
sin 2sin cos 2sin ,36ππθθθθθθ???
?+
=+-=- ? ????
?
sin cos 4πθθθ?
?++ ?
?
? 等。
（7）几种常用变换思想：①变不同角为同角 ②变不同函数为同名函数 ③见高次降幂
四、三角函数的图象及性质 表（1）
表（2）(0,0)A ω>>
注：（1）注意会解三角函数在区间上的值域（或范围）如：求sin ,0,42ππθθ?
?
??
+
∈ ? ??
???
上的取值范围。
（2）注意求单调区间时的整体意识。如：求sin 26y x π?
?
=-
??
?
的单调增区间,在[]0,2π上的单调增区间。而sin 26y x π??=-
???求单调增区间时,先化成sin 26y x π??=-- ???的形式,再求sin 26y x π?
?=- ??
?的
单调递减区间。
（3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时sin cos y x y x ==、在对称轴处取最值。 五、图象变换：函数()()sin 0,0y A x A ω?ω=+>>的图象可由sin y x =的图象做如下变换得到 1、先相位变换 周期变换 振幅变换
sin y x = ()sin y x ?=+：把s i n y x =图象上所有的点向左
（0?>） 或向右（0?<）平移?个单位。
()sin y x ω?=+：把()sin y x ?=+图象上各点的横坐标伸长（01ω<<）
或缩短（1ω>）到原来的
1
ω
倍,纵坐标不变。
()sin y A x ω?=+：把()sin y x ?=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短（01A <<）到原来的A 倍,横坐标不变。
2、先周期变换 相位变换 振幅变换
sin y x =
sin y x ω=：把sin y x =图象上各点的横坐标伸长（01ω<<）或缩短
（1ω>）到原来的
1
ω
倍,纵坐标不变。
()sin y x ω=+：把sin y x ω=图象上所有的点向左（0?>）或向右（0?<）
平移
?
ω
个单位. ()sin y A x ω?=+：把()sin y x ?=+图象上各点的纵坐标伸长（1A >）或缩短
（01A <<）到原来的A 倍,横坐标不变。
3、 注意：（1）要会画()sin y A x ω?=+在一个周期的图象：（即五点作图法：设30,,,,2,
2
2
t x ππω?ππ=+=求相应的x 值和对应的y 值,描点作图）如2sin 26y x π?
?
=+
??
?
,在[]0,π上的图象的画法。 （2）注意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。 ②要先使函数名称相同再变换。
如：为得到函数cos 23y x π??=+ ??
?
的图象,只需将函数sin 2y x =的图象向 平移 个单位。
（3）2T πω
=,1
f T =
（频率）。注意()sin y A x ω?=+、()cos y A x ω?=+相邻两对称轴间的距离为2T πω
=。 （4）已知图象求解析式时注意：看振幅求A ,看周期求ω,看特殊点求?（通常是最大值或最小值时的位置） （5）已知变换求解析式时,注意只能对自变量x 进行变换。
方法技巧归纳：
1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系,用三角函数的定义反复证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”,变与不变是相对于奇偶关系的函数而言的
2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要,根据三角函数的,可简记为“一全正,二正弦,三两切,四余弦”,其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正
3. 在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角”来区分和选用公式,注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取
4.求三角函数值域的常用方法：
求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法： （1）将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域；（2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域；
（3）换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性 5. 三角函数的图象与性质
（一）列表综合三个三角函数sin y x =,cos y x =,tan y x =的图象与性质,并挖掘：
⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ω?=+的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
sin y x =的对称轴是2x k π
π=+()k Z ∈,对称中心是(,0)k π()k Z ∈；
cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈,对称中心是(,0)2k π
π+()k Z ∈ tan y x =的对称中心是
(
,0)()2k k Z π
∈注意加了绝对值后的情况变化.
⑷写单调区间注意0ω>.
（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数
sin()y A x ω?=+的简图,并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；
⑵求解析式sin()y A x ω?=+时初相?的确定方法：代（最高、低）点法、公式
1
x
?ω
=-
.
（三）正弦型函数sin()y A x ω?=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩
s i n y x =的图象
???
向左(>0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ?=+的图象
()
ωωω
?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1
到原来的纵坐标不变
得sin()y x ω?=+的图象
()
A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ω?=+的图象
(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ?=++的图象．先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><
(01)(1)
1
()
ωωω
<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)
???
ω
>
个单位
得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)k k k >
得sin()y A x k ω?=++的图象．
三角函数常用结论总结
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：
（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角
1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是
＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：25- ；5
36π-）
（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .
（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z
π
απ=+∈；
α
终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z
π
α=∈.如
α的终边与6π
的终边关于直线x y =对称，则α＝
____________。（答：
Z
k k ∈+
,3
2π
π）
4、α与α
的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α
是第_____
象限角（答：一、三）
5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2
11
||22S lR R
α==，1弧度(1rad)57.3≈ . 如已知扇形AOB 的
周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22
cm ）
6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离
是0r ，那么
s i n ,co s y x r r αα=
=，()tan ,0y x x α=≠，
cot x y α=(0)y ≠，
sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无
关。如（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。（答：7
13-
）；
（2）设α是第三、四象限角，
m m --=
432sin α，则m 的取值范围是_______（答：（－1，)
23
）；
（3）若0|cos |cos sin |sin |=+αα
αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα?的符号（答：负）
y
T
A x
α B S
O M P