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第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律
1. 已知矢量场2()2x y z A y z xy xyz =++e e e -， 则A ??= ，A 矢量场为 场。
2. 若在一非零矢量场（场矢量为A ）中任取一点皆有0A ??=，则该矢量场中任一点A ??
。
3. 根据亥姆霍兹定理，当矢量场A 的源分布在有限大空间时，若在无限大空间唯一地确定一个该矢量
场，则必须同时给定该场矢量的 及 。
4. 在A 矢量场空间任取一闭合曲面S ，若总有
S
d 0A S ?=?，则表示该矢量场是 场，其矢量线一定是 曲线。 5. 在A 矢量场中任取一闭合曲线l ，若总有
d 0l
A l ?=?，则在该矢量场中任一点上A ?=? ，
表示该矢量场是 场。 6. 在
无
源
区
，
Maxwell
方程
D H t
???
=
?-表明时变电磁场中 。 7. Maxwell
方
程
B
E t
???=?-
表
明时变电磁场
中 。
8. 位于真空中的理想导体表面电场强度为0E ，则理想导体表面面电荷密度s ρ= 。 9. 如图为标量场u 在某平面上的等位线，a 、b 、c 是其与直线l 的三个交
点，则在a 、b 、c 三点上
u l
??最大的是 点，最小的是 点。
10. 图示为某平面区域内的磁力线，a 、b 、c 是直线l 与矢量线的三个交点，则在该三点上磁感应强度B
的模B 大小关系为：
（A ）(a)(b)(c)B B B =>。 （B ）(a)(c)(b)B B B >>。 （C ）(a)(b)(c)B B B <<。 （D ）(a)(b)(c)B B B >>。 11. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B
，则
（A ）E 、B 皆与A 垂直。 （B ）E 与A 垂直，B 与A 平行。
（C ）E 与A 平行，B 与A 垂直。 （D ）E 、B 皆与A 平行。
(第9题图)
a b
c l
(第8题图)
a b
c l
0无源 不一定 为零，即一个非零矢量场不可能既是无源场也是无旋场 A ??A ??无源
闭合有向 0无旋 变化的电场可以激发旋窝磁场 变化的磁场可以激发旋窝电场 00
E εa b
第 2 页
12. 两种不同的理想介质的交界面上，
（A ）1212 , E E H H ==
（B ）1212 , n n n n E E H H ==
（C ）1212 , t t t t E E H H ==
（D ）1212 , t t n n E E H H ==
13. 设自由真空区域电场强度0sin() (V/m)y E E ωt βz =-e ，其中0E 、ω、β为常数。则空间位移电
流密度d J
（A/m 2）为：
（A ）0cos() y E ωt βz -e （B ）0cos() y ωE ωt βz -e
（C ）00cos() y ωE ωt βz ε-e （D ）0cos() y βE ωt βz --e
14. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度0cos
(V/m)2x x
E d
πρ=e ，
其中0ρ、d 为常数。则d x =处电荷体密度ρ为：
（A ）d 04πρ-
（B ）d 004ρπε- （C ）d 02πρ- （D ）d
02ρπε-
15. 已知半径为R 0球面内外为真空，电场强度分布为
000
3
2
(cos sin ) ()(2cos sin ) ()
r r e r R R E B e e r R r θθθθθθ?-+
=??+>??e
求：（1）常数B ；（2）球面上的面电荷密度及总电量；（3）球面内外的体电荷密度。
Sol. （1）球面上
由边界条件 12t t E E =得：
300
2sin sin B R R θθ=2
02B R →=
（2）由边界条件12n n s D D ρ-=得球面上：
面电荷密度0
0120120
6()()cos s n n r r E E E E R ερεεθ=-=-=
总电量22
0000
6d d cos sin d 0=
==???
s s s
Q S R R π
π
ερ?θθθ （3）由??=D ρ得： 20000200 (R )(s i n )()11sin 0 (R ) ?
r r E r E E r r r r θθρεεεθθ
即空间电荷只分布在球面上。
16. 已知半径为R 0、磁导率为μ 的球体，其内外恒定磁场的磁场强度分布为
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102
03
(2cos sin ) ()(2cos sin ) () r r e e A r R H A e e r R r
θθθθθθ+
=?+>??
其中1A 、2A 为待定常数，球外为真空。求（1）常数1A 、2A ；（2）球面上的面电流密度s J 。
Sol. 球面上（r =R 0）：r H 为法向分量；H θ为法向分量
（1）在0 ()()22 12112cos sin 0sin ??+=??r A r r r θθθθ12→=A - 球面上由边界条件12n n B B =得： 102r r H H μμ= 即2 03 2cos 2cos = A R μθμθ3200→=A R μμ （2）球面上由边界条件0 12()e =?-=n s r R H H J ，e e =n r （即球内为2、球外为1）得 213 00(2cos sin )(2cos sin )(2)sin e e ??=?++=+???? s r r r A J e e e e A R θθ?μ θθθθθμ- 第 4 页 第3章 静电场及其边值问题的解法 1. 静电场中电位Φ与电场强度E 的关系为 ；在两种不同的电介质（介电常数分别为1 ε和2ε）的分界面上，电位满足的边界条件为 。 2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为ρ，则静电场：E ??= ， E ??= ，即表示静电场的E 矢量场是有源场，但是 场。 3. 若直角坐标系下静电场中M 点（1，1，1）的电场强度1020 (V/m)x y E =+e e ，则在该点上电位Φ （1）变化最快方向的单位矢量为 ； （2）最大空间变化率为 ；（3）沿该点位置矢量方向上的空间变化率为 。 4. 已知静电场的电位分布1 (,)sin sinh 22+∞ == ?∑n n n x n y x y E a a ππΦ，则空间电荷体密度 ρ= 。 5. 介电常数为ε 的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。 6. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 分量及电位移的 分量总是连续的。 7. 如图，1E 、2E 分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，213εε=， 130θ? =，则2θ= ，=||||21E E 。 8. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度s ρ与电位沿其法向的方 向导数n ??Φ的关系为 。 9. 如右图所示矩形区域（尺寸为a b ?）为自由真空，则 （1）内部电位 (,)x y Φ所满足的电位方程为 ；（2） 在运用分离变量法求解电位Φ时，该边值问题的通解 为 ，其 中分离常数x k = ，=y k 。 10. 如图，有一边长分别为a 、b 、c 的长方体形金属盒。使其中一面（图中阴影 1 θ2θ1E 2E 1 ε2 ε(第7题图) （第10题图） y x U b a o c z o x y 20 φ=40φ=0 ρ=a b （第9题图） 10 φ=3U φ=无旋 12 55e e x y --=-?E Φ12 121 2 n n ??==??ΦΦΦΦεε；00ρε10 5 (V/m) 10 3 (V/m)- 2 0?=εΦ-2 12 =m w E ε切向 法向 60 ? 3s n ρε?=?Φ -2 0=?Φsinh()sin()y y C k x k y =??Φ (1,2,)=n n b π (1,2,)=n j n b π Word 资料 面，与其他五个面绝缘）电位为一常数0U ，其他五个面电位为零。设盒内为自由真空区域，则该盒内电位边值问题的通解为： 。 11. 右图中点1~9为采用有限差分法求解无源区的二维狄利克雷边值问题时等间距 剖分所得到的部分节点，其电位分别设为1φ、2φ、、9φ，若17φφ=-， 28φφ=-，39φφ=-，46φφ=-，则可以断定5φ= 。 12. 如图，两块位于x = 0 和 x = d 处无限大导体平板的电位分别为0、U 0，其内部充满体密度 00 3 6U x d ερ=- 的电荷，其中0ε为内部介电常数。试计算（1） 0 < x < d 区域的电位Φ及电场强度E ；（2）x = 0处导体平板的表面电荷密度。 Sol. 为一维边值问题：()=x ΦΦ 22 236d d =-?=U x x d ρΦΦε? 边界条件：(0)0=Φ， 0()d U =Φ （1）直接积分得：3 0123 ()= ++U x x C x C d Φ，代入边界条件得 303()=U x x d Φ，2033d ()d e e =-=-=-x x U E x x x d Φ Φ? （2）由0=?=-?s x n Φερ得：0000 d ()d ===-=s x x E x x Φ ρεε0= 13. 如图，在无限大真空中，平面x = -d 与平面x = d 间充满电荷体密度为 0()cos (02)x x x d d πρρ=≤≤的电荷，式中0ρ为常数（设其中介电常数为0ε） 。若令0x =处，电位0Φ=，试计算平层内外电位Φ和电场强度分布。 Sol. （1）平层内：由对称性分析可知电位()=x ΦΦ，并满足：2 0=ρ Φε?- 或 202 0d cos d =x d x ρΦπε- 积分得：20122 0cos =++d x C x C d ρπΦεπ 则电场强度010d ()sin d e e ?? =?== ???x x d x E x C x d ρΦπΦεπ--- 由 (0)0=Φ 2 0220 →=d C ρεπ - 由对称性可知(0)0=E 1 0→=C ∴ 平层内：2020()cos 1?? = ??? d x x d ρπΦεπ-，00()sin () e =≤x d x E x x d d ρπεπ 10 =Φ20 U =Φo x d （第12题图） y x 15 h h 2346 7 8 9（第11题图） sin()sinh()sin() ?x y z C k x k y k z 0 y x （第13题图） x d =o x d =- 第 6 页 （2）平层外：2122 d 0 (||)d =→=+≥D x D x d x Φ Φ 应用边界条件：()()===x d x d ΦΦ-+ ，00 ==??=??x d x d n n ΦΦεε-+ 或0 ==??=??x d x d x x Φ Φεε- + 得： 220112022020022000 01 00 cos 12 ( )2sin 0 ??? =?=+? ??=??? ??→→≥???=?? ???==? ????? ? d d D D d D d d x d d D d d D E d ρπρΦεπεπρρπεπεεεπ---- 14. 如图，图(a)为一无限大理想导体平面上有一半球形凸起；图(b)为两块相互垂直的半无限大理想导体 平面间有一球形凸起。设两种情况下球形凸起的球心都在坐标原点o 上，理想导体都接地。若在图示位置上放置一点电荷q 0，则利用镜像法（1）求出各镜像电荷的电量、符号及位置，并在图中标出；（2）写出理想导体以外空间各点的电位分布。 Sol. 图(a) 镜像电荷：0 024'q q =-，位置(, )44 a a 镜像电荷：10q q =-，位置(2, 2)a a - 镜像电荷：1 024'q q =，位置(, )44a a - 电位：0000111212444?? =+ ? ?''??q R R R R Φπε-- 其中00 11''R R R R 、、、分别为场点P 到点电荷0011''q q q q 、、、的距离。 图(b) 10=q q -，位置坐标(2,2,0)-a a ； 1 024'=q q ，位置坐标(,,0)44-a a 20=q q ，位置坐标(2,2,0)-a a -； 2024'=q q -，位置坐标(,,0)44-a a - 30=q q -，位置坐标(2,2,0)-a a ； 3024'=q q ，位置坐标(,,0)44-a a o a 2a q 2a x y 1 q 2 q 3 q 3 'q 2 'q 1'q 0'q x o a 第14题图 (a) y q 2a 2a 2a -1 q 1 q '0 q '第14题图 (b) Word 资料 024'=q q -，位置坐标(,,0)44 a a 电位：000011223 312121212(,,)44444?? =++ ? ?''''??q x y z R R R R R R R R Φπε--+-- 其中00 112233''''R R R R R R R R 、、、、、、、分别为场点P(x, y, z)到点电荷0011223'''q q q q q q q 、、、、、、、3 'q 的距离。 15. 已知接地导体球半径为a ，球外为真空。如图，以球心为坐标原点建立直角坐标系，在（2a ，0，0）、 （0，2a ，0）处分别放置点电荷+q 、-q 。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位。（3）若导体球不接地，其电位为U ，则结果又如何？ Sol. （1）引入两个镜像电荷： 1()22a q q q a =- =-，位置(0,,0)2a 222a q q q a =-=-，位置(,0,0)2 a （2）120121(,,)4q q q q x y z R R R R Φπε?? = +++= ?'?? -（略） 其中 222(2)= +-+R x y a z ， 2221(/2)=+-+R x y a z 222 2(/2)=++R x a y z -，222(2)'=++R x a y z - （3） 若导体的电位为U ，则除了像(1)中那样引入两个镜像电荷外，在 球心O 处还必须放置一点电荷0q ，使得0 04=q U a πε，从而求得004=q aU πε，则球外空间电位为： 0120121(,,)4q q q q q x y z R R R R r Φπε?? =++++= ?'? ?- 其中222 (2)= +-+R x y a z ，2221(/2)=+-+R x y a z ，2222(/2)=++R x a y z -，222(2)'=++R x a y z -，222r =++x y z 16. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q 0，求（1）各镜 像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。 Sol. （1）10q q =-，位置(, 0, 0)a - 20q q =+，位置(0, , 0)a - 30q q =-，位置(, 0, 0)a （2）031200 1231(,,)4?? =+++= ???q q q q x y z R R R R Φπε（略） 其中： 2220()R x y a z =+-+，2221()R x a y z =+++ 2222()R x y a z =+++，2223()R x a y z =-++ o q +q -x a a a （第15题图） y 1 q 2q （第16题图） 45 45 1 q 2q 3q (0,, 0) a -(, 0, 0) a -(, 0, 0) a 0q (0, , 0) a x y 第 8 页 第4章 恒定电场与恒定磁场 1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内D ?=? ，即净余电荷不能分布于 ，而只能分布在其 上。 2. 导电媒质中的电流为恒定电流的条件为： 。 3. 在电导率分别为1σ和2σ的导电媒质分界面上电流密度J 的法向分量分别为1n J 、2n J ， 电场强度E 的法向分量分别为1n E 、2n E ，则边界条件可写为： 或 。 若边界上两侧电位分别为1Φ、2Φ，则边界条件也可写为： 、 。 4. 在电导率为σ 的导电媒质中，功率损耗密度p c 与电场强度大小E 的关系为 。 5. 因为恒定磁场的B 矢量场为无源场，即B ?=? ，所以对B 矢量场来说可以按 关系引入矢量磁位A ，且A 所满足的泊松方程为 。 6. 已知平板电容器两极间距离为d 、电位差为U 。若中间充满的介质有漏电现象，设介质的电导率为 σ，则两极间的电流密度J 的大小为 。 7. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：2 2 x y z A x y y x Cxyz =++e e e ，C 为常数，且A 满足库仑规范。 设空间磁导率为μ。求（1）常数C ；（2）电流密度J ；（3）磁感应强度B 。 （直角坐标系中：()()()y y x x z z x y z a a a a a a a y z z x x y ????????=- +-+-??????e e e ） Sol. (1) 库仑规范：0A ??=2204y x z A A A xy xy Cxy C x y z ????++=++=?=-??? 0体内 表面 0?=J ?1122n n E E σσ=12=n n J J 12ΦΦ= 12 1 2 n n ΦΦσσ??=??2 c p E σ=0B A =??2 A μJ ?=-U d σ Word 资料 (2) 由2A μJ ?=-，224x y z A e x y e y x e xyz =+-得： ()222222211 22x y A A A A J e y e x x y z μμμ??????=-=-++=-+ ?????? (3) B A =??2 2 44()x y z e xz e yz e y x =-++- 8. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a 、2a ， 电导率为σ 。如图建立圆柱坐标，若电位02 U π?φ==（常量）及00?φ==。 求导电媒质的（1）电位分布；（2）恒定电场的电场强度E 及电流密度矢量J ；（3）直流电阻R 。 Sol. 由边界条件可知，导电媒质上电位Φ仅与坐标?有关，即()ΦΦ?= （1）2 0Φ?= 22 2 1d 0 (0)2d A B Φπ Φ??ρ??=?=+≤≤ 由02 U π?Φ==及00?Φ==得：0 2()U Φ??π = 0211z U E e e e e z ρ ??ΦΦΦ Φρρ?πρ????==???=----- （2）021 U J E e ?σσπρ ==- （2a a ρ≤≤） 2200 221 d (d )(d )ln 2a a S a a U aU I J S J a a σσρρπρ π =?= ??= ??= ? ?? 直流电阻：02ln 2 U R I a π σ= = 9. 一横截面为正方形的半圆形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a 、2a ， 电导率为σ 。如图建立圆柱坐标，若电位0a U ρφ==（常量）及20a ρφ==。 求导电媒质的（1）电位分布；（2）恒定电场的电场强度E 及电流密度矢 量J ；（3）直流电阻R 。 Sol. 由边界条件可知，导电媒质上电位Φ仅与坐标ρ有关，即()ΦΦρ= （1）20Φ?= 1d d 0 ln d d A B ΦρΦρρρρ ?? ?=?=+ ??? (2)a a ρ≤≤ 由0a U ρΦ==及20a ρΦ==得：00()ln ln(2)ln 2ln 2 U U a Φρρ=+- 01ln 2U E e e ρρΦ Φρρ??==?=-- (2)a a ρ≤≤ （2）01 ln 2U J E e ρσσρ == (2)a a ρ≤≤ d ()ln 2S aU I J S J a σππρ=?=??=? o x a a 2a ρ （第8题图） P y o x a a 2a ρ （第9题图） P y 第 10 页 直流电阻：0ln 2 U R I a σπ= = 第5章电磁波的辐射 1. 在特征参数为（0σ=，μ，ε）的媒质中存在角频率为ω的时谐电磁场。在无源区，若已知电场强 度E ，则磁场强度H = ； 若已知磁场强度H ，则电场强度E = 。 2. 坡印亭矢量S 的物理意义为 ，瞬时表示式是 ， 时谐场中平均坡印亭矢量av S = 。 3. 坡印廷定理（e m c V V S ()dV p dV S dS t ? '''+=+?????-w w ）中各项的物理意义是什么？ 答：e m V ()dV t ? '+??-w w ------单位时间内V 空间减少的电磁能量； c V p d V '?------单位时间内V 空间的热能损耗； S S d S '?? ------单位时间内从V 空间表面S 流出的电磁能量 4. 对媒质（, με）中的时谐电磁场，若已知复矢量磁位A 和复标量电位Φ，则场强可用位函数表示为： E = ；H = 。 5. 已知某一理想介质中时谐电磁场的位移电流复矢量为 （第6题图） z a b 1 E j ωμ?- ?垂直通过单位面积的电磁功率 1 H j ωε??E H ?() * 1 Re 2E H ?j A ωΦ?--1 A μ??j 0πcos e z x y e jJ a β-- Word 资料 j d 0πcos e z x y J e J a βω-=，其中ω为电磁波的角频率，a 、β、J 0皆为常数。则该理想介质中位移电流复矢量D = 。 6. 图示为两种不同的线天线的方向图，设相应的半功率张角分别为()E a HP 、()E b HP ，则()E a HP 和 ()E b HP 的大小关系为： ，功率辐射方向性较强的是 。 7. 已知某一理想介质()004,5,0εεμμσ===中时谐电磁场的角频率为ω，位移电流复矢量为 j d 0πcos e z x y J e J a β-= ，a 、β、J 0皆为常数。则电场强度复矢量E 为 （A ）j 00πcos e j5z x J y e a βωμ- （B ）j 00πcos e j4z x J y e a βωε- （C ）j 00πsin e j5z x J y e a βωμ- （D ）j 00πsin e j4z x J y e a βωε- 8. 电偶极子天线的功率分布与θ的关系为 。 (a) θ2sin (b) θsin (c) θ2cos (d) θcos 9. 自由空间的原点处的场源在t 时刻发生变化，此变化将在 时刻影响到r 处的位函数Φ和A 。 （a ）c r t - ; （b ）c r t +; (c) t ; (d) 任意 10. 在球坐标系中，电偶极子的辐射场（远区场）的空间分布与坐标的关系是 （a ）r θ2sin ∝ （b ）2sin r θ ∝ (c) r θsin ∝ (d) 22sin r θ∝ 11. 无界真空中，电偶极子在远区场所辐射的电磁波的电场强度和磁场强度方向相互 ，相位差为 ，是 球面波，且为TEM 波。 12. 如图所示为对称天线的E 面方向图，则下列方向应为场强辐射的最大方向： (A) 0θ? =。 (B) 30θ? =。 (C)60θ? = (D) 90θ? = 13. 试由下列时谐场的场量求相应的复振幅矢量或瞬时值矢量： (1)0sin()z x H H e t z αωβ=-e -， ω为角频率，H 0、α、β为正实数 ?H →= (2)60(,)sin(210) ?z t t z ρρππρ=?-→= ρ0为实常数 ?ρ→= 30? 0?60? 90? 120? 150? 180? 210? 240? 270? 300? 330? 0.5 1.0 （第12题图） ()()E E a b HP HP >b 垂直 0非均匀 第 12 页 (3)3 31010ππ=??-----j x j x y z E e j e e e ，角频率为ω ?→=E Sol. （1）00()2cos()Re 2z z x x j z j t H H e t z H e e e ααπβωπ ωβ+??=-= ??? e e ---- ∴ 0() 2z x j z H H e e απβ+=--e （2）60(,)cos(210)2 z t t z π ρρππ=?-- ( )06210 Re j z j t j e e ππρ?=?-- ∴ 0j z j e πρρ=-- （3）( ) 33()()2Re Re 1010y z j t x j t j t x E E e e e e e πωπωωπ+??=?=?? ??? ----- 3310cos()10cos()2 y z e t x e t x π ωπωπ=+----- 14. 已知无限大真空中电磁波的磁场强度瞬时值为(,,)10cos()sin() (V/m)y E x z t z t x πωπ=-e ，其中ω 为电磁波的角频率。试求：（1）E ；（2）H 及H ；（3）平均坡印廷矢量av S 。 Sol. （1）() (,,)Re[10cos()]j z j t y E x z t e x e e π πωπ-+=2 () 2 (,)10cos()j z y E x z e x e π ππ-+→= 该波沿+x 方向传播； (rad/m)k π=，22(m)k π λ= =，(,)E x z ⊥传播方向x e （2）该波为非均匀平面波。由时谐场的Maxwell 方程得： 00000011 1(,)()000 1010 cos()sin(10)x y z x y z y x y z y y x z x z e e e e e e H x z E j j x y z j x z E E E E E E e e j z j x e x e x j ωμωμωμωμωμππππωμωμ?????=- ??=- =-???????????=-- ? ? ? ????? ?? ??= ?? --+()2 j z e ππ-+? （可知该波的电场强度与波的传播方向垂直，而磁场强度不与波的传播方向垂直，故为TE 波） 平均坡印廷矢量为： Word 资料 ** ** * ***** 0011 1 Re()Re Re 00 2220 1 Re()21 1010 Re 10cos()sin(10)10cos()cos()2x y z x y z av x y z y x y z x z x y z z y x x z e e e e e e S E H E E E E H H H H H e E H e E H e x x e x x j ππππππωμωμ= ?== = -???????= ? ????????--20 50 cos (10)z e x π πωμ? ?= 15. 已知真空中时变场的矢量磁位为0(,)cos()x A z t A t kz ω=-e 求：(1) 复矢量磁位A ；(2) 电场强度E 和磁场强度H ；(3) 坡印廷矢量及其平均值。 Sol. （1）(,)Re jkz j t x A z t e A e e ω-??=?? 0 0 ()jkz x A z e A e -→= （2）由0B A H μ=?=?得： ()12020 001 1 1()()00(1)0 0 x y z j kz x y y x e e e A kA H z A e e e z z A πμμμμ-++? ???= ??= == ????? -- 磁场强度的瞬时值：() ()002 00(,)Re Re cos()2j kz j t j t y y kA kA H z t H e e e e e t kz πωωπωμμ-+??=?=?=-- ??? 电场强度复矢量为： 2()()022 00000 11 1()()0 0 0 0 x y z j kz j kz y x x x y e e e H k A E z H e e e e A e z j j j z H ππωωεωεωεωμε-+-+??=??==-==?? （方法二：因该波为均匀平面波，且沿+z 方向传播，则() 2 0j kz W z x E Z H e A e π ω-+=?==e ） 电场强度的瞬时值为：() 0(,)Re cos()2 j t x E z t E e e A t kz ωπ ωω=?=-- （3） 坡印廷矢量为：2 20 cos ()2 z k A S E H e t kz ωπ ωμ=?=-- 平均坡印廷矢量为：*av 1Re()2S E H =?*2()()0022 0001Re 22j kz j kz x y z kA k A e A e e e ππωωμμ-+-+??????=?= ??????? e 第 14 页 第6章、均匀平面波的传播 1. 两个同频率、同方向传播、极化方向相互垂直的线极化波的合成波为圆极化波， 则它们的振幅 ，相位相差为 。 2. 在无限大的无损耗的均匀媒质()με,中，时谐电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为02 2=+?H k H ， 其中k = 。 3. 在无界理想介质中传播的均匀平面波，其电场强度E 与磁场强度H 的方向 ，并且都与波的传播方向 ，且在时间上两者相位 。 4. 在无界导电媒质中均匀平面波沿+z 方向传播，则其电场强度E 与磁场强度H 的振幅将按 规律衰减，但两者方向仍然 ，并且都与波的传播方向 。 5. 均匀平面波垂直入射到理想导体表面上，反射波电场与入射波电场的振幅 ，在其表面上入射波与反射波的位相差为 。 6. 均匀平面波从空气垂直入射到无损耗媒质()0,1,25.2===σμεr r 表面上，则电场反射系数 为 。 7. 均匀平面波电场方向的单位矢量E e 、磁场方向的单位矢量H e 以及传播方向的单位矢量k e 三者满足的 关系是 。 8. 导电媒质（损耗媒质）的本征阻抗为复数，表明导电媒质中任意一点的电场强度与磁场强度在时间上相位 ，即随时间变化不同步。损耗媒质中不同频率的波其相速度亦不同，因此损耗媒质又被称为 媒质。设海水的衰减常数为α，则电磁波在海水中的穿透深度为 ， 在此深度上电场的振幅将变为进入海水前的 倍。 9. 在良导体中，均匀平面波的穿透深度为 。 （A ） ωμσ 2 （B ） 2 ωμσ (C) μσ ω 2 (D) ωμσ 4 10. 在无源的真空中，已知均匀平面波的z j e E E β-=0 和z j e H H β-=0 ，其中0E 和0H 为常矢量，则必有 (A) 00=?E e z ; (B) 00=?H e z ; (C) 000E H ?=; (D)000E H ?= 2π ± 相同 ωμε相互垂直 垂直 相同 z e α-相互垂直 垂直 相等 π0.2-E H k e e e ?= 不相等 色散或频散 1 α- 1 e - Word 资料 11. 以下关于良导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是 (A) 电场和磁场同相。(B) 电场和磁场反相。 (C) 振幅不变。(D) 振幅衰减。 12. 一均匀平面波垂直入射至导电媒质中并在其中传播，则 （A ）不再是均匀平面波。 （B ）空间各点电磁场振幅不变 （C ）电场和磁场不同相。 （D ）传播特性与波的频率无关。 13. 下列电场强度所对应的电磁波为线极化均匀平面电磁波的是 （A ）1010j z j z x y E e e e j e ππ=?+?-- （B ）1010j z j z x y E e j e e e ππ=?+?-- （C ）10cos cos()10cos cos()2 2 x y x x E e t z e t z ππππππ=?-?-- （D ）10cos()10cos()x y E e t z e t z πππππ=?-?--- 14. 已知空气中存在电磁波的电场强度为80sin()cos(6102) (V/m)y E x t z πππ=?+E e 。试问：此波是否为均匀平面波？是否为线极化波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H 。 Sol. 均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。 由电场强度表达式可知：该波为“线极化非均匀平面波”，并且沿-z 方向传播。 由电场强度瞬时式可反推其复矢量：20sin()j z y E x e ππE =e 由时间相位：8610t t ωπ=? 8 610 (r a d /s ) ωπ→=? 波的频率：8310 (Hz)2f ω π = =? 波数：2(rad/m)k π= 波长：2 1 (m)k π λ= = 相速：8p 310 (m/s)k ω = =?v 磁场强度：00001 1 ()00 x y z y y x z y e e e E E e e H E j j x z j z j x E ωμωμωμωμ???? ??? ? =- ??=-=-- ? ? ? ??????? ?? - 200002sin()cos(10)j z x z E E e x e x e j πππππωμωμ??= ??? - 电磁场与电磁波复习题 一、填空题 1、矢量的通量物理含义是矢量穿过曲面的矢量线总数，散度的物理意义矢量场中任 意一点处通量对体积的变化率。散度与通量的关系是矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 2、 散度在直角坐标系的表达式 z A y A x A z y x A A ??????++ = ??=ρ ρdiv ； 散度在圆柱坐标系下的表达 ； 3、矢量函数的环量定义矢量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分， 旋度的定义 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右 手螺旋法则。当S 点P 时,存在极限环量密度。二者的关系 n dS dC e A ρρ?=rot ； 旋度的物理意义点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值；点P 的旋度的方向是该 点最 大环量密度的方向。 4.矢量的旋度在直角坐标系下的表达式 。 5、梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数。梯度的大小为该点 标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数;梯度的方向为该点最大方向导数的 方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向等值面、方向导数与 梯度的关系是梯度的大小为该点标量函数 ?的最大变化率，即该点最 大方向导数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向.； 6、用方向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直角坐标系中单位矢量l e r 的表达 式 ； 7、直角坐标系下方向导数 u ?的数学表达式是 ，梯度的表达式 8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定，说明的问题是矢量场的散度应满足的关系及旋度应满足的关系决定了矢量场的基本性质。 9、麦克斯韦方程组的积分形式分别为 ()s l s s l s D dS Q B E dl dS t B dS D H dl J dS t ?=??=-??=?=+????????r r r r r r r r g r r r r r g ???? 其物理描述分别为 10、麦克斯韦方程组的微分形式分别为 2 0E /E /t B 0 B //t B c J E ρεε??=??=-????=??=+??r r r r r r r 其物理意义分别为 11、时谐场是激励源按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的 场， 一般采用时谐场来分析时变电磁场的一般规律，是因为任何时变周期函数都可以用正弦函数表示的傅里叶级数来表示；在线性条件下，可以使用叠加原理。 12、坡印廷矢量的数学表达式 2 0S c E B E H ε=?=?r r r r r ，其物理意义表示了单 位面积的瞬时功率流或功率密度。功率流的方向与电场和磁场的方向垂直。表达式 ()s E H dS ??r r r g ?的物理意义穿过包围体积v 的封闭面S 的功率。 13、电介质的极化是指在外电场作用下，电介质中出现有序排列电偶极子以及表面上出 《电磁场与电磁波》试题（10） 一、填空题（共20分，每小题4分） 1.对于矢量，若＝ ＋＋， 则：＝ ；＝ ； ＝ ；＝ 。 2.对于某一矢量，它的散度定义式为 ； 用哈密顿算子表示为 。 3.对于矢量，写出： 高斯定理 ； 斯托克斯定理 。 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 。 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为 ，通常称它为 。 二.判断题（共20分，每小题2分） 正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。 （ ） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（ ） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（ ） 4.恒定电流场是一个无散度场。（ ） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以 独立进行分析。（ ） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（ ） 7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静 电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。 （ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） A A x e x A y e y A z e z A y e ?x e z e ?z e z e ?x e x e ?x e A A 三.简答题（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算题（共30分，每小题10分） 1．半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 电磁场理论基础 磁现象和电现象本质上是紧密联系在一起的，自然界一切电磁现象都起源于物质具有电荷属性，电现象起源于电荷，磁现象起源于电荷的运动。变化的磁场能够激发电场，变化的电场也能够激发磁场。所以，要学习电磁流体力学必须熟悉电磁场理论。 1． 电场基本理论 （1） 电荷守恒定律 在任何物理过程中，各个物体的电荷可以改变，但参于这一物理过程的所有物体电荷的代数总和是守恒的，也就是说：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。例如中性物体互相摩擦而带电时，两物体带电量的代数和仍然是零。这就是电荷守恒定律。电 荷守恒定律表明：孤立系统中由于某个原因产生（或湮 没）某种符号的电荷，那么必有等量异号的电荷伴随产生（或湮没），孤立系统总电荷量增加（或减小），必有 等量电荷进入（或离开）该系统。 （2） 库仑定律 12212 02112?4r δπε+=r q q f (N) 库伦经过实验发现，真空中两个静止点电荷(q 1, q 2)之 间的作用力与他们所带电荷的电量成正比，与他们之间 的距离r 平方成反比，作用的方向沿他们之间的连线， 同性电荷为斥力，异性电荷为引力。ε0为真空介电常数，一般取其近似值ε0＝ 8.85?10-12C ?N -1?m -2。ε0的值随试验检测手段的进步不断精确，目前精确到小数点后9位（估计值为11位）。库仑反比定律也由越来越精确的实验得到验证。目前δ<10-16。库仑反比定律的适用范围(10-15m(原子核大小的数量级)~103m)。 （3） 电场强度 00)()(q r F r E =(V ·m -1) 真空中电荷与电荷之间相互以电场相互发生作用。 Charles Augustin de Coulomb 1736-1806 France Carl Friedrich Gauss 1777 -1885 Germany 一、填空 1.方程▽2φ=0称为静电场的（拉普拉斯（微分））方程 2.在静电平衡条件下，导体内部的电场强度E 为（0） 3.线性导电媒质是指电导率不随（空间位置）变化而变化 4.局外电场是由（局外力）做功产生的电场 5.电感线圈中的磁场能量与电流的平方（成正比） 6.均匀平面电磁波中，E 和I 均与波的传播方向（垂直） 7.良导体的衰减常数α≈（β≈2 ωμγ） 8.真空中，恒定磁场安培环路定理的微分形式（▽x B=0μJ ） 9.在库伦规范和无穷远参考点前提下，面电流分布的矢量的磁位公式 （A=?R Idl 40πμ）公式3-43 10.在导体中，电场力移动电荷所做的功转化为（热能） 11. 在静电平衡条件下，由导体中E=0，可以得出导体内部电位的梯度为（0 ）（p4页） 12.电源以外的恒定电场中，电位函数满足的偏微分方程为----- （p26 页） 13.在无源自由空间中，阿拉贝尔方程可简化为----------波动方程。 瞬时值矢量齐次 （p145页） 14.定义位移电流密度的微分表达式为------------ t ??D =0εt ??E +t P ?? （p123页） 15.设电场强度E=4，则0 P12页 16.在单位时间内，电磁场通过导体表面流入导体内部的能量等于导线电阻消耗的（热能） 17.某一矢量场，其旋度处处为零，则这个矢量场可以表示成某一标量函数的（梯度） 18.电流连续性方程的积分形式为（???s dS j =-dt dq ） 19.两个同性电荷之间的作用力是（相互排斥的） 20.单位面积上的电荷多少称为（面电荷密度） 21.静电场中，导体表面的电场强度的边界条件是：（D1n-D2n=ρs ） 22.矢量磁位A 和磁感应强度B 之间的关系式：（ =▽ x ） 23.E （Z ，t ）=e x E m sin （wt-kz-）+ e y E m cos （wt-kz+），判断上述均匀平面电磁波的极化方式为：（圆极化）（应该是 90％确定） 24.相速是指 均匀平面电磁波在理想介质中的传播速度。 《工程电磁场导论》练习题 一、填空题（每空*2*分，共30分） 1.根据物质的静电表现，可以把它们分成两大类：导电体和绝缘体。 2.在导电介质中（如导体、电解液等）中，电荷的运动形成的电流成为传导电流。 3.在自由空间（如真空中）电荷运动形成的电流成为运流电流。 4.电磁能量的储存者和传递者都是电磁场，导体仅起着定向导引电磁能流的作用，故通常称为导波系统。 5.天线的种类很多，在通讯、广播、雷达等领域，选用电磁辐射能力较强的 细天线。 6.电源是一种把其它形式的能量转换成电能的装置，它能把电源内导电原子或分子的正负电荷分开。 7.实际上直接危及生命的不是电压，而是通过人体的电流，当通过人体的工频电流超过8mA 时，有可能发生危险，超过30mA 时将危及生命。 8.静电场中导体的特点是：在导体表面形成一定面积的电荷分布，是导体内的电场为0，每个导体都成等位体，其表面为等位面。 9.恒定电场中传导电流连续性方程∮S J.dS=0 。 10.电导是流经导电媒质的电流与导电媒质两端电压之比。 11.在理想导体表面外侧的附近介质中，磁力线平行于其表面，电力线则与其表面相垂直。 12.如果是以大地为导线或为消除电气设备的导电部分对地电压的升高而接地，称为工作接地。 13. 电荷的周围，存在的一种特殊形式的物质，称电场。 14.工程上常将电气设备的一部分和大地联接，这就叫接地。如 果是为保护工作人员及电气设备的安全而接地，成为保护接地。 二、回答下列问题 1.库伦定律： 答：在无限大真空中，当两个静止的小带电体之间的距离远远大于它们本身的几何尺寸时，该两带电体之间的作用力可以表示为： 这一规律成为库仑定律。 2.有限差分法的基本思想是什么？ 答：把场域用网格进行分割，再把拉普拉斯方程用以各网格节点处的电位作为未知数的差分方程式来进行代换，将求拉普拉斯方程解的问题变为求联立差分方程组的解的问题。 3.静电场在导体中有什么特点？ 答：在导体表面形成一定的面积电荷分布，使导体内的电场为零，每个导体都成为等位体，其表面为等位面。 4.什么是击穿场强？ 答：当电场增大到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够脱离它们的分子而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘能力，称为被击穿。某种材料能够安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿场强。 5. 什么叫静电屏蔽？ 答：在工程上，常常把不可受外界电场影响的带电体或不希望去影响外界的带电体用一个接地的金属壳罩起来，以隔离有害的的静电影响。例如高压设备周围的屏蔽网等，就是起静电屏蔽作用的。 6.分离变量法的基本思想是什么？ 答：把电位函数φ用两个或三个仅含一个坐标变量的函数乘积表示，带入偏微分 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ，则磁感应强度B ?和磁场H ? 满足的方程 为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中， 02=?φ称为 方程。 3．时变电磁场中，数学表达式H E S ? ???=称为 。 4．在理想导体的表面， 的切向分量等于零。 5．矢量场 )(r A ? ?穿过闭合曲面S 的通量的表达式为： 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想 表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表 示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为 t B E ??- =????，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数 y x e xz e y B ??2+-=? 是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量z y x e e e A ?3??2-+=?，z y x e e e B ??3?5--=? ，求 （1）B A ??+ （2）B A ??? 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 ()jkz y x e E e E e E --=004?3?? （1） 试写出其时间表达式； （2） 说明电磁波的传播方向； 四、应用题 （每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。试求 电磁学基础知识 电场 一、场强E （矢量，与q 无关） 1．定义：E ＝ 单位：N/C 或V/m 方向：与＋q 所受电场力方向 电场线表示E 的大小和方向 2．点电荷电场：E ＝ 静电力恒量 k ＝ Nm 2/C 2 匀强电场：E ＝ d 为两点在电场线方向上的距离 3．E 的叠加——平行四边形定则 4．电场力（与q 有关） F ＝ 库仑定律：F ＝ （适用条件：真空、点电荷） 5．电荷守恒定律（注意：两个相同带电小球接触后，q 相等） 二、电势φ（标量，与q 无关） 1．定义：φA ＝ ＝ ＝ 单位：V 说明：φ＝单位正电荷由某点移到φ＝0处的W ⑴沿电场线，电势降低 ⑵等势面⊥电场线；等势面的疏密反映E 的强弱 2．电势叠加——代数和 3．电势差：U AB ＝ ＝ 4．电场力做功：W AB ＝ 与路径无关 5．电势能的变化：Δε＝W 电场力做正功，电势能 ；电场力做负功，电势能 需要解决的问题： ①如何判电势的高低以及正负（由电场线判断） ②如何判电场力做功的正负（由F 、v 方向判） ③如何判电势能的变化（由W 的正负判） 三、电场中的导体 1．静电平衡：远端同号，近端异号 2．静电平衡特点 ⑴E 内＝0；⑵E 表面 ⊥表面；⑶等势体（内部及表面电势相等）；⑷净电荷分布在外表面 四、电容器 1．定义：C ＝ （C 与Q 、U 无关） 单位：1 F ＝106 μF ＝1012 pF 2．平行板电容器： C ＝ 3．两类问题：①充电后与电源断开， 不变；②始终与电源相连， 不变 五、带电粒子在电场中的运动 1．加速：qU ＝ 2．偏转：v ⊥E 时，做类平抛运动 位移：L ＝ ； y ＝ ＝ ＝ 速度：v y ＝ ＝ ； v ＝ ； tan θ＝ 六、实验：描绘等势线 1．器材： 2．纸顺序：从上向下 《工程电磁场导论》练习题 1、填空题（每空*2*分，共30分） 1.根据物质的静电表现，可以把它们分成两大类：导电体和绝缘体 。 2.在导电介质中（如导体、电解液等）中，电荷的运动形成的电流成为传导电流。 3.在自由空间（如真空中）电荷运动形成的电流成为运流电流 。 4.电磁能量的储存者和传递者都是电磁场，导体仅起着定向导引电磁能流的作用，故通常称为导波系统。 5.天线的种类很多，在通讯、广播、雷达等领域，选用电磁辐射能力较强的 细天线 。 6.电源是一种把其它形式的能量转换成电能的装置，它能把电源内导电原子或分子的正负电荷分开。 7.实际上直接危及生命的不是电压，而是通过人体的电流，当通过人体的工频电流超过 8mA 时，有可能发生危险，超过 30mA 时将危及生命。 8.静电场中导体的特点是：在导体表面形成一定面积的电荷分布，是导体内的电场为0，每个导体都成等位体，其表面为等位面。 9.恒定电场中传导电流连续性方程∮S J.dS=0 。 10.电导是流经导电媒质的电流与导电媒质两端电压之比。 11.在理想导体表面外侧的附近介质中，磁力线平行于其表面，电力线则与其表面相垂直。 12.如果是以大地为导线或为消除电气设备的导电部分对地电压的升高而接地，称为工作接地。 13. 电荷的周围，存在的一种特殊形式的物质，称电场。 14.工程上常将电气设备的一部分和大地联接，这就叫接地。如 果是为保护工作人员及电气设备的安全而接地，成为保护接地 。 二、回答下列问题 1.库伦定律： 答：在无限大真空中，当两个静止的小带电体之间的距离远远大于它们本身的几何尺寸时，该两带电体之间的作用力可以表示为： 这一规律成为库仑定律。 2.有限差分法的基本思想是什么？ 答：把场域用网格进行分割，再把拉普拉斯方程用以各网格节点处的电位作为未知数的差分方程式来进行代换，将求拉普拉斯方程解的问题变为求联立差分方程组的解的问题。 3.静电场在导体中有什么特点？ 答：在导体表面形成一定的面积电荷分布，使导体内的电场为零，每个导体都成为等位体，其表面为等位面。 4.什么是击穿场强？ 答：当电场增大到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够脱离它们的分子而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘能力，称为被击穿。 某种材料能够安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿场强。 5. 什么叫静电屏蔽？ 答：在工程上，常常把不可受外界电场影响的带电体或不希望去影响外界的带电体用一个接地的金属壳罩起来，以隔离有害的的静电影响。例 3. 两根无限长平行直导线载有大小相等方向相反电流I, I以dI/dt的变化率增长,一矩形线圈位于导线平面内(如图,则 A.线圈中无感应电流; B B.线圈中感应电流为顺时针方向; C C.线圈中感应电流为逆时针方向; D D.线圈中感应电流方向不确定。 4. 在通有电流I 无限长直导线所在平面内,有一半经r、电阻R 导线环,环中心 距导线a,且a >> r。当导线电流切断后,导线环流过电量为 5.对位移电流,有下述四种说法,请指出哪一种说法是正确的 A A.位移电流是由变化电场产生的 B B.位移电流是由变化磁场产生的 C C.位移电流的热效应服从焦耳-楞次定律 D D.位移电流的磁效应不服从安培环路定理 6.在感应电场中电磁感应定律可写成 式中E K为感应电场的电场强度,此式表明 A. 闭合曲线C 上E K处处相等 B. 感应电场是保守力场 C.感应电场的电场线不是闭合曲线 D.感应电场不能像静电场那样引入电势概念 1. 长直导线通有电流I ,与长直导线共面、垂直于导线细金属棒AB ,以速度V 平行于导线作匀速运动,问 (1金属棒两端电势U A 和U B 哪个较高?(2若电流I 反向,U A 和U B 哪个较高?(3金属棒与导线平行,结果又如何?二、填空题 U A =U B U A U B ; 三、计算题 1.如图,匀强磁场B 与矩形导线回路法线 n 成60°角 B = B = B = kt kt (k 为大于零的常数。长为L的导体杆AB以匀速 u 向右平动,求回路中 t 时刻感应电动势大小和方向(设t = 0 时,x = 0。解:S B m ρρ?=φLvt kt ?=21dt d m i φε=2 21kLvt =kLvt =方向a →b ,顺时针。 ο 60cos SB =用法拉第电磁感应定律计算电动势,不必 再求动生电动势 习题4-16 解：B 只有x 分量，从平面图可见x =0时l Id v 与r r 垂直，x ≠0时l Id v 与r r 垂直 απμπμRd dl R IRdl R R R Idl dB x === ∴,443 '0'2'0 ()() 3 2 2 2 03 2 22020 3 '202424X R IR X R IR d R IR B += +==∴∫μππ μαπμπ 习题4-18 解：d b d Ia dr r I S d r I S d B b d d S S +==?=?=Φ∫∫∫+ln 2220000πμπμαπμv v v v 习题4-19 解：αcos 22221ab b ＝a R ?+ ααπcos 2)cos(2222222ab b a ab b ＝a R ++=??+ 任一点x I B πμ20= 1200ln 22222 1 R R a I adx r I R R AB π μπμ=?=Φ∴∫ 习题4-20 解：由安培环路定律 10R r <<时，取单位长，22102r R I r B ππμπ= ?，r R I B 2102πμ= 21R r R <<时，I r B 02μπ=?，r I B πμ20= 32R r R <<时，) () ([])()([2222322202 2232 220R R R r I I R R R r I I r B ???=???=?μππμ π ) ()(22 2232230R R r R r I B ??=πμ 3R r >时，02=?r B π，0=B 习题4-21 解：任意点：j x D I x I B v v ))(22(00?+ =πμπμ 习题4-22 解：电流反向，则磁力线反向 j x D I x I B v v )(22(00?? =πμπμ 习题4-23 解：I r B μωπ=?2，r I B πμω2= wb R R Ib dr r Ib R R 31 2 10973.0ln 222 1 ?×==?=Φ∴∫ πμωπμω 习题4-24 解：P176例中，)(220a d d I ??=Φμ 本题，wb a d d I 322109696.0))((?×=??=Φωμ 习题4-25 解：B 1、B 2只有t 分量，由边界条件H 1t =H 2t T H B t 2.10024 .05000 0111===μμμ 习题4-26 解：...1)2(0 20 112 2232232 2 232 23=????=???? ???? = ×?z z r e r R R r R r I r R R r R r I z r e r e e r H v v v v v ππαα 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ，则磁感应强度B 和磁场H 满足的方程 为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中， 02=?φ称为 方程。 3．时变电磁场中，数学表达式H E S ?=称为 。 4．在理想导体的表面， 的切向分量等于零。 5．矢量场 )(r A 穿过闭合曲面S 的通量的表达式为： 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想 表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表 示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为 t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数 y x e xz e y B ??2+-= 是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量 z y x e e e A ?3??2-+= ， z y x e e e B ??3?5--= ，求 （1）B A + （2）B A ? 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 ()jkz y x e E e E e E --=004?3? （1） 试写出其时间表达式； （2） 说明电磁波的传播方向； 四、应用题 （每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。试求 （1） 球任一点的电场强度 （2） 球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）； （2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为0U ，其余两面电位为零， （1） 写出电位满足的方程； （2） 求槽的电位分布 电磁场理论基础习题集 （说明：加重的符号和上标有箭头的符号都表示矢量） 一、填空题 1. 矢量场的散度定理为(1)，斯托克斯定理为(2)。 【知识点】：1.2 【难易度】：C 【参考分】：3 【答案】：（1）()???=??S S d A d A ττ （2）() S d A l d A S C ???= ??? 2. 矢量场A 满足(1)时，可用一个标量场的梯度表示。 【知识点】：1.4 【难易度】：C 【参考分】：1.5 【答案】：(1) 0=??A 3. 真空中静电场的基本方程的积分形式为(1)，(2)，微分形式为(3),(4)。 【知识点】：3.2 【难易度】：B 【参考分】：6 【答案】：(1) 0=??c l d E (2) ∑?=?q S d D S 0 (3) 0=??E (4)()r D ρ=??0 4. 电位移矢量D 、极化强度P 和电场强度E 满足关系(1)。 【知识点】：3.6 【难易度】：B 【参考分】：1.5 【答案】：(1) P E P D D +=+=00ε 5. 有面电流s 的不同介质分界面上，恒定磁场的边界条件为(1),(2)。 【知识点】：3.8 【难易度】：B 【参考分】：3 【答案】：(1) ()021=-?B B n (2) ()s J H H n =-?21 6. 焦耳定律的微分形式为(1)。 【知识点】：3.8 【难易度】：B 【参考分】：1.5 【答案】：(1) 2E E J p γ=?= 7. 磁场能量密度=m w (1)，区域V 中的总磁场能量为=m W (2)。 【知识点】：5.9 【难易度】：B 【参考分】：3 第八章 口径天线的理论基础(8-1) 简述分析口径天线辐射场的基本方 法。 答：把求解口径天线在远区的电场问题分为两部分： ①. 天线的内部问题； ②. 天线的外部问题； 通过界面上的边界条件相互联系。 近似求解内部问题时，通常把条件理想化，然后把理想条件下得到的解直接地或加以修正后作为实际情况下的近似解。这样它就变成了一个与外部问题无关的独立的问题了。 外部问题的求解主要有： 辅助源法、矢量法，这两种是严格的求解方法； 等效法、惠更斯原理法、几何光学法、几何绕射法，这些都是近似方法。 (8-2) 试述几何光学的基本内容及其在口径天线设计中的应用。 答：在均匀的媒质中，几何光学假设能量沿着射线传播，而且传播的波前（等相位面）处处垂直于射线，同时假设没有射线的区域就没有能量。 在均匀媒质中，射线为直线，当在两种媒质的分界面上或不均匀媒质传播时，便发生反射和折射，而且完全服从光的反射、折射定律。 B A l nds =? 光程长度： 在任何两个给定的波前之间，沿所有射线路径的光程长度必须相等，这就是光程定律。''PdA P dA = 应用： ①. 可对一个完全聚焦的点源馈电的天线系统，求出它在给定馈源功率方向图 为P(φ,ξ)时，天线口径面上的相对功率分布。 ②. 对于完全聚焦的线源馈电抛物柱面天线系统，口径上的相对功率分布也可 用同样类似的方法求解。 (8-3) 试利用惠更斯原理推证口径天线的远区场表达式。 解：惠更斯元产生的场： (1cos )2SP j r S SP jE dE e r βθλ-?= ?+?? 222)()(z y y x x r S S SP +-+-= r , r sp >>D (最大的一边) 1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。 (2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a 和b （a b >），每单位长度上电荷：内柱为τ而外柱为τ-。 解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l 半径为r （b r a <<）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得 l S D s τ=?? d 考虑到此问题中的电通量均为r e 即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是 l rD l τπ=2 即 r e r D πτ2=， r e r E 02πετ= 由此可得 a b r e e r r E U b a r r b a ln 2d 2d 00 ? ? επτ=?επτ=?= 1—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为cm 2，内外导体间电介质的击穿场强为kV/cm 200。内导体的半径为a ，其值可以自由选定但有一最佳值。因为a 太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E 会超过介质的击穿场强。另一方面，由于 E 的最大值m E 总是在内导体的表面上，当a 很小时，其表面的E 必定很大。 试问a 为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。 （击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够 脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。 解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为τ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为 r E πετ2=， a E πετ 2max = 而内外导体之间的电压为 a b r r r E U b a b a ln 2d 2d πετπετ? ?=== 或 )ln(max a b aE U = 0]1)[ln(a d d max =-+=a b E U 即 01ln =-a b ， cm 736.0e ==b a V)(1047.1102736.0ln 5 5max max ?=??==a b aE U 1—3—3、两种介质分界面为平面，已知014εε=，022εε=，且分界面一侧的电场强度V/m 1001=E ，其方向与分界面的法线成045的角，求分界面另一侧的电场强度2E 的值。 电磁波考题整理 一、填空题 1. 某一矢量场，其旋度处处为零，则这个矢量场可以表示成某一标量函数的（梯度）形式。 2. 电流连续性方程的积分形式为（??? s dS j=- dt dq） 3. 两个同性电荷之间的作用力是（相互排斥的）。 4. 单位面积上的电荷多少称为（面电荷密度）。 5. 静电场中，导体表面的电场强度的边界条件是：（D1n-D2n=ρs） 6. 矢量磁位A和磁感应强度B之间的关系式：（B=▽x A） 7. .E（Z，t）=e x E m sin（wt-kz-）+ e y E m cos（wt-kz+），判断上述均匀平面电磁波的极化方式为：（圆极化）（应该是90％确定） 8. 相速是指均匀平面电磁波在理想介质中的传播速度。 9.根据电磁波在波导中的传播特点，波导具有（HP）滤波器的特点。（HP，LP，BP三选一） 10.根据电与磁的对偶关系，我们可以由电偶极子在远区场的辐射场得到（磁偶极子）在远区产生的辐射场 11. 电位移矢量D=ε0E+P在真空中P的值为（0） 12. 平板电容器的介质电容率ε越大，电容量越大。 13.恒定电容不会随时间（变化而变化） 14.恒定电场中沿电源电场强度方向的闭合曲线积分在数值上等于电源的（电动势） 15. 电源外媒质中电场强度的旋度为0。 16.在给定参考点的情况下，库伦规范保证了矢量磁位的（散度为零） 17.在各向同性媚质中，磁场的辅助方程为(D=εE, B=μH, J=σE) 18. 平面电磁波在空间任一点的电场强度和磁场强度都是距离和时间的函数。 19. 时变电磁场的频率越高，集肤效应越明显。 20. 反映电磁场中能量守恒与转换规律的定理是坡印廷定理。 二、名词解释 1. 矢量：既存在大小又有方向特性的量 2. 反射系数：分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比 3. TEM波：电场强度矢量和磁场强度矢量均与传播方向垂直的均匀平面电磁波 4. 无散场：散度为零的电磁场,即·=0。 5. 电位参考点：一般选取一个固定点，规定其电位为零，称这一固定点为参考点。当取点为参考点时，P点处的电位为=；当电荷分布在有限的区域时，选取无穷远处为参考点较为方便，此时=。 6. 线电流：由分布在一条细线上的电荷定向移动而产生的电流。 7.磁偶极子：磁偶极子是类比电偶极子而建立的物理模型。具有等值异号的两个点磁荷构成的系统称为磁偶极子场。磁偶极子受到力矩的作用会发生转动，只有当力矩为零时，磁偶极子才会处于平衡状态。利用这个道理，可以进行磁场的测量。但由于没有发现单独存在的磁单极子，故我们将一个载有电流的圆形回路作为磁偶极子的模型。 8. 电磁波的波长：空间相位变化所经过的距离称为波长，以表示。按此定义有，所以。 9. 极化强度描述介质极化后形成的每单位体积内的电偶极矩。 10. 坡印廷定理电磁场的能量转化和守恒定律称为坡印廷定理：每秒体积中电磁能量的增加量等于从包围体积的闭合面进入体积功率。 11. 线性均匀且各向同性电介质若煤质参数与场强大小无关，称为线性煤质。若煤质参数与场强方向无关，称为各向同性煤质。若煤质参数与位置无关，责称均匀煤质。若煤质参数与场强频率无关，称为各向同性煤质。 12.安培环路定理在真空中磁感应强度沿任意回路的环量等于真空磁导率乘以与该回路相交链的电流的代数和。 大学物理电磁场练习题含答案 前面是答案和后面是题目,大家认真对对. 三、稳恒磁场答案 1-5 CADBC 6-8 CBC 三、稳恒磁场习题 1. 有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二 者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为 (A) 0.90． (B) 1.00． (C) 1.11． (D) 1.22． ［ ］ 2. 边长为l 的正方形线圈中通有电流I ，此线圈在A 点(见图)产生的磁感强度B 为 (A) l I π420μ． (B) l I π220μ． (C) l I π02μ． (D) 以上均不对． ［ ］ 3. 通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． ［ ］ 4. 无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布， 则空间各处的B 的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示．正确的图是 ［ ］ 5. 电流I 由长直导线1沿平行bc 边方向经a 点流入由电阻均匀的导线构成的正三角形线框，再由b 点沿垂直ac 边方向流出，经长直导线2返回电源(如图)．若载流直导 线1、2和三角形框中的电流在框中心O 点产生的磁感强度分别用1B 、2B 和3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0，但021=+B B ，B 3 = 0． (C) B ≠ 0，因为虽然B 2 = 0、B 3= 0，但B 1≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然021 ≠+B B ，但B 3 ≠ 0． ［ ］ 一 填空题 1. 麦克斯韦方程组的微分形式是： 、 、 和 。 2. 静电场的基本方程为： 、 。 3. 恒定电场的基本方程为： 、 。 4. 恒定磁场的基本方程为： 、 。 5. 理 想导体（媒质2）与空气（媒质1）分界面上，电磁场边界条件为： 、 、 和 。 6. 线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 、 、 。 7. 电流连续性方程的微分形式为： 。 8. 引入电位函数?是根据静电场的 特性。 9. 引入矢量磁位A 是根据磁场的 特性。 10. 在两种不同电介质的分界面上，用电位函数?表示的边界条件为： 、 。 11. 电场强度E 的单位是 ，电位移D 的单位是 ；磁感应强度B 的单位是 ，磁场强 度H 的单位是 。 12. 静场问题中，E 与?的微分关系为： ，E 与?的积分关系为： 。 13. 在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量q 成 比，与观察点到电荷所在点的距离平方成 比。 14. XOY 平面是两种电介质的分界面，分界面上方电位移矢量为z y x e e e D 0001255025εεε++= C/m 2 ，相对介电 常数为2，分界面下方相对介电常数为5，则分界面下方z 方向电场强度为__________，分界面下方z 方向的电位移矢量为_______________。 15. 静电场中电场强度z y x e e e E 432++=，则电位?沿122333 x y z l e e e =++的方向导数为_______________， 点A （1，2，3）和B （2，2，3）之间的电位差AB U =__________________。 16. 两个电容器1C 和2C 各充以电荷1Q 和2Q ，且两电容器电压不相等，移去电源后将两电容器并联，总的电容 器储存能量为 ，并联前后能量是否变化 。 17. 一无限长矩形接地导体槽，在导体槽中心位置有一电位为U 的无限长圆柱导体， 如图所示。由于对称性，矩形槽与圆柱导体所围区域内电场分布的计算可归结为图中边界1Γ、2Γ、3Γ、4Γ和5Γ所围区域Ω内的电场计算。则在边界_____________上满足第一类边界条件，在边界_____________上满足第二类边界条件。 18. 导体球壳内半径为a ，外半径为b ，球壳外距球心d 处有一点电荷q ，若导体球壳接地，则球壳内表面的感 应电荷总量为____________，球壳外表面的感应电荷总量为____________。 19. 静止电荷产生的电场，称之为__________场。它的特点是 有散无旋场，不随时间变化 。 20. 高斯定律说明静电场是一个 有散 场。 21. 安培环路定律说明磁场是一个 有旋 场。 22. 电流密度是一个矢量，它的方向与导体中某点的 正电荷 的运动方向相同。 23. 在两种不同导电媒质的分界面上， 磁感应强度 的法向分量越过分界面时连续， 电场强度的 切向分量连续。 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角 电磁场与电磁波复习材料 填空 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为，则电位移矢量D和电场E满足的方程为：D=εE。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为，媒质的介电常数为，电荷体密度为V，电位 所满足的方程为▽2?=ρV/ε。 V/ε。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为S=E╳H。 4．在理想导体的表面，电场强度的切向分量等于零。 5．矢量场A(r)穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于零。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合右手螺旋关 系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用磁失位函数的旋度来表示。 11．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度B和磁场H满足的方程为：B=μH。 2 12．设线性各向同性的均匀媒质中，0 称为拉普莱斯方程。 13．时变电磁场中，数学表达式SEH称为坡印延矢量。 14．在理想导体的表面，电场强度的切向分量等于零。 15．表达式 ArdS S称为矢量场A(r)穿过闭合曲面S的通量。 16．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生全反射。 17．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于零。 18．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互垂直。19．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为零。 20．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 磁矢位函数的旋度来表示。 21．静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这最新电磁场与电磁波复习题(含答案)
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