第三章 离散傅里叶变换(DFT) 及其快速算法(FFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
时域 时域 频域 频域 Ω、 s:连续 Ω、 s:连续
tt :连续 :连续
FT、LT
时域 时域
n :离散 n :离散
FT、ZT
ω、 zz ： 连续 ω、 ： 连续
频域 频域
DFT
频域 频域
k ： 离散 k ： 离散
DFT的意义和价值:
z DFT实现了在频域的离散化，使得在频域也 能够用计算机进行处理。 z DFT有快速算法FFT，使实时处理成为可能。 因而，DFT具有重要的理论意义和应用价值， 是本课程学习的一大重点。
3.1.1 DFT定义 设序列x(n)长度为M，定义x(n)的N点DFT为
N ?1 n =0 2π ?j k n N
X (k ) = DFT[ x(n)]N =
∑ x(n)e
ω
,
k = 0, 1,
, N ?1
式中，N称为DFT变换区间长度，要求N≥M。 为书写简单，令 WN = e
?j 2π N
，因此：
X (k ) = DFT[ x(n)]N =
∑ x(n)W
n=0
N ?1
kn N
,
k = 0, 1,
, N ?1
n：表示时间
k：表示频率
3.1.1 DFT定义 定义X(k)的N点逆变换(IDFT)为：
1 x(n) = IDFT[ X (k )]N = N n = 0, 1,
N点DFT对：
N ?1
∑ X (k )W
k =0
N ?1
?k n N
,
, N ?1
X (k ) =
∑
kn x(n)WN ,
k = 0, 1,
, N ?1
1 x ( n) = N
n =0 N ?1
∑ X (k )W
k =0
?k n N
, n = 0, 1,
, N ?1
例3.1.1： x ( n) = R8 ( n) ，分别计算x(n)的8点、16点DFT。 解: x(n)的8点DFT为:
X (k ) =
∑ R (n)W
8 n=0
7
kn 8
=
∑e
n=0
7
?j
2π kn 8
k =0 ?8, =? ?0, k = 1, 2, , 7
?j 2π 8k 16
x(n)的16点DFT为:
k8 1 ? W 1? e kn 16 X (k ) = W16 = = k 2π ?j k 1 ? W 16 n=0 1 ? e 16 π 7π sin k ?j k 2 , k = 0,1, 2, ,15 = e 16 π sin k 16
∑
7
对比p27 例2.1.1
FT
X (k ) 是 X (e jω ) 在频率区间上的等间隔采样
3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系
1. DFT和FT、ZT之间的关系 假设序列x(n)的长度为M，N≥M，它的ZT 、FT、N点 DFT为：
X ( z ) = ZT[ x(n)] = X (e ) = FT[ x(n)] = X (k ) = DFT[ x(n)]N =
jω
∑ x ( n) z
n=0 M -1 n=0 2π kn N
M ?1
?n
∑ x(n)e
,
注意： 求和区间
- jω n
∑ x(n)e
n =0
M -1
-j
k = 0,1,
, N -1
X ( z ) = ZT[ x(n)] = X (e jω ) = FT[ x(n)] = X (k ) = DFT[ x(n)]N =
∑
n=0
M ?1
x ( n) z ? n x(n)e- jω n , k = 0,1,
jIm [ Z ]
∑
n=0
M -1
∑ x(n)e
n=0
M -1
-j
2π kn N
, N -1
比较前面三式，得到:
3
2
1
ω
X (k ) = X ( z )
2π k z =e N j
4 5 6
2π N
k=0 7 (N-1)
Re [ Z ]
k=0, 1, 2, …, N-1
X ( z ) = ZT[ x(n)] = X (e jω ) = FT[ x(n)] = X (k ) = DFT[ x(n)]N =
∑
n=0
M ?1
x ( n) z ? n x(n)e- jω n , k = 0,1,
X(k)
∑
n=0
M -1
∑ x(n)e
n=0
M -1
-j
2π kn N
, N -1
比较前面三式，得到:
X (k ) = X (e jω )
k=0, 1, 2, …, N-1
X(ejω)
ω=
2π k N
0 0
π
o
2π
N ?1
ω
k
X (k ) = X ( z )
jω
z =e
j
2π k N
X (k ) = X (e )
结论：
ω=
2π k N
(1)序列的N点DFT，是序列的ZT在单位圆上的N点 等间隔采样，采样间隔为2π/N。 (2)序列的N点DFT，是序列FT在频率ω区间[0， 2π]上的N点等间隔采样，采样间隔为2π/N。 这就是DFT与ZT、FT的关系（物理意义）。
DFT的物理意义
定义X(k)的N点逆变换(IDFT)为：
1 x(n) = IDFT[ X (k )]N = N n = 0, 1,
∑
k =0
N ?1
?k n X (k )WN ,
, N ?1
物理意义: 任何一个信号，都可以表示为 若干 不同 频率/不同幅度的谐波信号的有限叠加。 DFT ，是相应谐波的幅度。 比较FT
2. DFT和DFS之间的关系： 设有限长序列x(n), 长度M，将x(n)以N（N≥M） 为周期,进行周期延拓，得到周期序列 xN (n) 。
xN (n) 和x(n)之间有以下关系：
xN (n) =
m = ?∞
∑
∞
x ( n + mN )
周期延拓
x(n) = xN (n) RN (n)
即， xN (n) 是x(n)以N为周期进行周期延拓；x(n) 是 xN (n) 的主值序列。
xN (n) =
m = ?∞
∑
∞
x ( n + mN )
x(n) = xN (n) RN (n)
xN (n) 是x(n)以N为周期进行周期延拓；x(n)是 xN (n) 的主值序列。
M=6
xN ( n)
N=8
周期序列 xN (n) 的DFS: p27
N ?1 n=0
在[0 M-1] xN (n) 与x(n)等, 且x(n)为M长.
M ?1 n=0
X (k ) = DFS[ xN (n)] = ∑ xN (n)WNkn = ∑ x(n)WNkn ?∞ < k < ∞
x(n)的N点DFT:
周期为N的序列
X (k ) = DFT[ x(n)]N = ∑ x(n)W kn = ∑ x(n)W kn 0 ≤ k ≤ N ? 1
n =0 n =0
N ?1
M ?1
二者有以下关系：
X (k ) =
K只取一个周期N
m =?∞
∑
∞
X (k + mN )
X (k ) = X (k ) RN (k )
这表示，X ( k ) 等于X(k)以N为周期进行周期延拓； X(k)等于 X ( k ) 的主值序列。
得到两对关系：
∞ ? ? xN (n) = ∑ x(n + mN ) ? m =?∞ ? x ( n) = x ( n) R ( n) N N ? ∞ ? ? X (k ) = ∑ X (k + mN ) m =?∞ ? ? X (k ) = X (k ) R (k ) N ?
xN (n)
?N
0
X (k )
N
n
2N
DFT
?
N 2
0
x(n)
0
N 2
N
k
n
N
X (k )
0
N ?1
k
同时，还可看出： 将周期序列 xN (n) 及其DFS都取主值区后，刚好 就是一对DFT对:
X (k ) = X (k ) ? RN (k ) x(n) = xN (n) ? RN (n)
以上关系成立的条件是 N≥M，否则会产生混叠：
M=6
x8 (n)
N=8
x4 (n)
N=4
当N ≥M时， 周期序列 xN (n) 可以表示为:
x N ( n ) = x ( ( n ) )N X (k ) = X ( ( k ) )N
即， xN (n) 是x(n)以N为周期进行周期延拓得到。
数字信号处理第三章实验程序 3.1计算离散时间傅里叶变换 % Program P3_1 % Evaluation of the DTFT clf; % Compute the frequency samples of the DTFT w = -4*pi:8*pi/511:4*pi; num = [2 1];den = [1 -0.6]; h = freqz(num, den, w); % Plot the DTFT subplot(2,1,1) plot(w/pi,real(h));grid title('Real part of H(e^{j\omega})') xlabel('\omega /\pi'); ylabel('Amplitude'); subplot(2,1,2) plot(w/pi,imag(h));grid title('Imaginary part of H(e^{j\omega})') xlabel('\omega /\pi'); ylabel('Amplitude'); pause subplot(2,1,1) plot(w/pi,abs(h));grid title('Magnitude Spectrum |H(e^{j\omega})|') xlabel('\omega /\pi'); ylabel('Amplitude'); subplot(2,1,2) plot(w/pi,angle(h));grid title('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]') xlabel('\omega /\pi'); ylabel('Phase in radians'); Q3.1离散时间傅里叶变换的原始序列是H(e^jw)=(2+z^-1)/(1-0.6z^-1)。Pause的作用是暂停等待用户输入任意键后接着执行以下命令。 Q3.2
第三章习题答案 3.1 （1）非周期 （2）N=1 （3）N=10 （4）N=4 （5）N=20 3.2 02s f f ωπ =，1s s f T = （1）0153,2f ωπ== ；0.3s T =，05 f π = （2）010,25f ωπ==；0.3s T =，050 3 f = （3）0,0.55f πω==；0.3s T =，01 3 f = （4）03.5,8.75f ωπ==；0.3s T =，035 6 f = （5） ()() ()(){ } 0.20.2 1 0.20.2 0.20.2(0.2)(0.2) 1 c o s (0.2)() 2130.6c o s (0.2)() 1.8()0.6() 211.8 0.6()0. 6() 2110.910.610.6j n j n n n j n j n n n j n j n j j n e e F n u n F e e u n F e u n F e u n e e ππππππωπωπππ-+-----+=+?? ??-=-?+-??? ?? ? ????=-?-+-? ??? ?? =-+ ?++?? 3.3 function [X]=myDTFT(x, n, w) % 计算DTFT % [X]=myDTFT(x, n, w) %X=输出的DTFT 数组 %x=输入的有限长序列 %n=样本位置行向量 %w=频率点位置行向量 X=x*exp(-j*n ’*w) 3.4 (1) 7 ()10.3j j X e e ω ω -= - （2）20.51 ()(10.5)10.5j j j j e X e e e ωω ωω ---=--- （3）2()0.80.1610.4j j j e X e e ω ω ω --=??-
∞ ∑ 3.3 x %1(n) = x (n + 8r) 说明x%1(n)的周期是8 r=?∞ 2π ? j π kn N ?1 7 7 ? j kn = e ∴X% 1(k) = x %1(n)W Nkn = e ∑ ∑ ∑ 8 4 n=0 n=0 n=0 ? j π 0×n 7 X 1(0) = e ∑ 4 = 3 n=0 ? j π n 7 X 1(1) = e ∑ 4 = (1+ 2 / 2) (1? j ) n=0 ? j π 2n ? j π 3n 7 X 1(2) = e 7 = ? j ;X 1(3) = e ∑ ∑ 4 4 = (1? 2 / 2) (1+ j ) n=0 n=0 ? j π 4n ? j π 5n 7 X 1(4) = e 7 =1;X 1(5) = e ∑ ∑ 4 4 =(1? 2 / 2) (1? j ) = (1+ 2 / 2) (1+ j ) n=0 n=0 ? j π 6n ? j π 7n 7 X 1(6) = e 7 = j ;X 1(7) = e ∑ ∑ 4 4 n=0 n=0
3.6 解：(1)x(n) =δ(n ) N ?1 根据定义有：X(k) = x (n)W = δ(n )W Nkn =1 N ?1 ∑ ∑ kn N n=0 n=0 (2)x (n) =δ(n ?n 0),0 < n 0 < N N ?1 X (k ) = x (n)W = δ (n ? n 0)W N kn =W N kn N ?1 ∑ ∑ kn 0< n 0 < N 0 N n=0 n=0 (3)x (n) = a n 0 < n < N ?1 1?(a W N k )N 1?a N 1?(a W N k ) 1?aW N k N ?1 X (k ) = x (n)W N kn = ∑ = n=0
3.4系列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变 换、傅里叶变换的关系 序列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 拉普拉斯变换 拉普拉斯逆变换 傅里叶变换 傅里叶逆变换 序列x(n)的Z 变换 逆Z 变换 抽样信号的拉普拉斯变换 []?∞ ∞--==dt e t x t x LT s X st a )()()([]? ∞ +∞ --==j j st a dt e t x s X LT t x σσ)()()(1 Ω +=j s σ[]?∞ ∞ -Ω-==Ωdt e t x t x FT j X t j )()()([]?∞ ∞-Ω-Ω Ω=Ω=d e j X j X FT t x t j )()()( 1Ω =j s ()()n n X z x n z ∞ -=-∞ =∑ ,2,1,0,)(21)(1 ±±==?-n dz z z X j n x c n π()()()()()∑∑? ?∑?∞ -∞ =-∞ -∞=∞ ∞ --∞ ∞--∞ -∞=∞∞ --∧ ∧∧ = -=-==??????=n nsT a n st a st n a st a a a e nT x dt e nT t nT x dt e nT t nT x dt e t x t x LT s X δδ)()()(
抽样序列的z 变换为 3.4.1拉氏变换与Z 变换变换的关系就是复变量s 平面到复变量z 平面的映射： 令 s=σ+j Ω, z=re j ω 得到： re j ω =e (σ+j Ω)T =e σT e j ΩT , 因而 r=e σT ， ω=ΩT 3.4.2 ω= ΩT Ω=0 、π/T 、3π/T 、 Ω0与ω的对应关系 Ω变化时与ω的对应关系 s 平面到z 平面的映射是多值映射。 （傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即s ＝j Ω，因而映射 到z 平面上为单位圆，代入 抽样序列的z 变换 sT e z =()[]()∑∞ -∞ =-= =n n z n x n x ZT z X ) (()e ?() (e )(2.89) sT sT a z X z X X s ===
数字信号处理(方勇)第三章习题答案
3－1 画出) 5.01)(25.01() 264.524.14)(379.02()(2 1 1 211------+--+--=z z z z z z z H 级联型网络 结构。 解： 2 3－2 画出112112(23)(465) ()(17)(18) z z z H z z z z --------+= --+级联型网络结构。 解： () x n () y n 24 3－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为 12 11252333()111(1)(1) 322 z z H z z z z -----++= -++，试画出其并联型网 络结构。 解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子 系统之和，即：
()H z 1 1122111111322 z z z z ----+= +-++ 由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示： ) 题3-3图 3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为 121()(10.70.5)(12) H z z z z ---=-++，画出该FIR 滤波器 的线性相位结构。 解： 因为1 21123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z z z z z z z ------=-++=+-+， 所 以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：
() x n 1-1 -1 z - 题3-4图 3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为： 12345()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z z z z z z -----=+--++ 求用级联形式实现的结构流图并用 MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。 解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故 为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。而最高阶5 -z 的系数为+1，所 以1-=z 为其零点。)(z H 中包含1 1-+z 项。所以： 11()()(1)H z H z z -=+。 1() H z 为一四阶子系统，设
第三章习题 1. Consider a Wiener filtering problem characterized by the following values for the correlation matrix R of the tap-input vector x (n) and cross-correlation vector p between x (n) and the desired response d(n): ?? ????=??????=25.05.015.05.01P R (a) Suggest a suitable value for the step-size parameter μ that would ensure convergence of the method of steepest descent, based on the given value for matrix R . (b) Using the value proposed in part (a), determine the recursions for computing the elements )(1n w and )(2n w of the tap-weight vector w (n). For this computation, you may assume the initial values 0)0()0(21==w w . (c) Investigate the effect of varying the step-size parameter μ on the trajectory of the tap-weight vector w (n) as a varies from zero to infinity. 2. The error performance of a real-valued filter, using a single tap weight w , is defined by ,))(0(20min w w r J J -+= where r(0) is the autocorrelation function of the tap input x (n) for zero lag, min J is the minimum mean-square error, and o w is the Wiener solution for the optimum value of the tap weight w . (a) Determine the bounds on the step-size parameter μof the steepest-descent algorithm used to recursively compute the optimum solution o w . (b) Plot the curve for cost function of the filter. 3. Continuing with Problem 2, do the following: (a) Formulate the learning curve of the filter in the terms of its only
1. 利用DFT 矩阵计算序列()(0,1,2,3)x n =的4点DFT 。 解：4111111111111j j W j j ???? --? ?=--????--?? 6111102211121111222113j j j j j j ???????????? -+--? ?????∴=---????????????----?????? 2. 利用上述序列4点DFT 结果和频域内插公式计算该序列在频点 28 π 处的DTFT 结果；直接利用DFT 计算上述序列在 28 π 处DTFT 结果。 解：121 ) 20 2sin ()1 2()()12sin ()2 N k N j j N k N k N X e X k e k N N πωω πωπω----=??- ? ??= ??- ? ??∑ 23223()8284 0338888 422sin ()1284()()1224sin ()28411111(0)(1)+(2)+(3) 334sin sin sin sin 88881)k j j k j j j j k X e X k e k X e X e X e X e j πππππππππππππππ--=--?? - ???∴=?? - ? ?? ?? ??=+???????????? ? ? ? ?????????????=∑ 另， 2217 8 8 80 ()(1)()n j j n X e X x n e ππ?-===∑
3 424 8 (1)123 33 cos sin2cos sin3cos sin 442244 33 cos3cos sin2sin3sin 44424 1) j j j X e e e j j j j j πππ ππππππ πππππ --- ∴=?+?+? ?????? =-+-+- ? ? ? ?????? ???? =+-++ ? ? ???? = 3.以2400Hz为采样频率对一模拟信号进行采样，得到序列()(1,1,1,1,1,1) x n=；已知序列 DTFT结果在频点 2 π 5400Hz处的幅度；另，对序列作8点DFT，求(2) X。 解： 5400 5400 2 54009 2 24002 ()() Hz Hz j j T X e X e π ? ? ?ππ =Ω ∴== ∴= 所以，采样信号在5400Hz 另， 6 422 752 882 8 002 12 (2)()()1 1 1 j n n j j j j n n e X X e x n e e j j e π πππ- ? -- - == - ======- + - ∑∑ 4.一FIR数字滤波器，其传递函数为123 ()10.50.40.4 H z z z z --- =+++；利用DFT求该系统在0.8π处的频率响应。 解： 其单位冲激响应为： ()(1,0.5,0.4,0.4) h n=； 而 5 (2) X为所需结果，计算如下：
数字信号处理第三章作业 1．(第三章习题3)在图P3-2中表示了两个周期都为6的周期性序列，确定这个两个序列的周期卷积的结果3()x n ，并画出草图。 2．(第三章习题5)如果()x n 是一个具有周期为N 的周期性序列，它也是具有周期为2N 的周期性序列。令~1()X k 表示当()x n 看做是具有周期为N 的周期性序列的DFS 系数。而~2()X k 表示当()x n 看作是具有周期为2N 的周期性序列的DFS 系数。当然~1()X k 是具有周期为N 的周期性序列，而~2()X k 是具有周期为2N 的周期性序列，试根据~1()X k 确定~2()X k 。 3．(第三章习题6) （a ）试证明下面列出的周期性序列离散傅里叶级数的对称特性。在证明中，可以利用离散傅里叶级数的定义及任何前面的性质，例如在证明性质③时可以利用性质①和②。 序列 离散傅里叶级数 ① *()x n ~*()X k - ②*()x n - ~*()X k ③Re ()x n ???? ~ e ()X k ④Im ()j x n ???? ~()o X k
（b ）根据已在（a ）部分证明的性质，证明对于实数周期序列()x n ，离散傅里叶级数的下列对称性质成立。 ①~~Re ()Re ()X k X k ????=-???????? ②~~Im ()Im ()X k X k ????=--???????? ③~~()()X k X k =- ④~~arg ()arg ()X k X k ????=--???????? 4．(第三章习题7)求下列序列的DFT (a) {}11 1-，，，-1 (b) {}1 j 1j -，，，- (c) ()cn 0n 1x n N =≤≤-， (d) 2n ()sin 0n 1x n N N π??=≤≤- ??? ， 5．(第三章习题8)计算下列各有限长序列的离散傅立叶变换（假设长度为N ） 1 0)()(0) ()()() ()()(00-≤≤=<<-==N n a n x c N n n n n x b n n x a n δδ 6．(第三章习题9)在图P3-4中表示了一有限长序列)(n x ，画出序列)(1n x 和)(2n x 的草图。（注意：)(1n x 是)(n x 圆周移位两个点） )())(()() ())2(()(442441n R n x n x n R n x n x -=-=
3－1 画出) 5.01)(25.01() 264.524.14)(379.02()(2 1 1 211------+--+--=z z z z z z z H 级联型网络结构。 解： 24 3－2 画出112112(23)(465) ()(17)(18) z z z H z z z z --------+=--+级联型网络结构。 解： () x n () y n 24 3－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为12 11252333()111(1)(1) 322 z z H z z z z -----++=-++，试画出其并联型网络结构。 解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即： ()H z 1 1122111111322 z z z z ----+= +-++ 由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：
) 题3-3图 3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为1 21()(10.70.5)(12)H z z z z ---=-++，画出该FIR 滤波器的线性相位结构。 解： 因为1 21123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z z z z z z z ------=-++=+-+，所以由第二类 线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示： () x n 1-1 -1 z - 题3-4图 3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为： 12345()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z z z z z z -----=+--++ 求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。 解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5 阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。而最高阶5 -z 的系数为 +1，所以1-=z 为其零点。)(z H 中包含1 1-+z 项。所以：11()()(1)H z H z z -=+。 1()H z 为一四阶子系统，设1 2341()1H z bz cz bz z ----=++++，代入等式，两边相 等求得1 2341()10.2530.25H z z z z z ----=+-++，得出系统全部零点，如图3-5（b ）
3-2 (a) Sketch the naturally sampled PAM waveform that results from sampling a 1-kHz sine wave at a 4-kHz rate. (b) Repeat part (a) for the case of a flat-topped PAM waveform. Solution: 3-4 (a)Show that an analog output waveform (which is proportional to the original input analog waveform) may be recovered from a naturally sampled PAM waveform by using the demodulation technique showed in Fig.3-4. (b) Find the constant of proportionality C, that
is obtained with this demodulation technique , where w(t) is the oriqinal waveform and Cw(t) is the recovered waveform. Note that C is a function of n ,where the oscillator frequency is nfs. Solution: ()()()()()()1 111sin sin 2cos sin 2cos cos sin [cos 2cos cos sin 2cos s s jk t s k k k jk t s k k s s k s s s s s k n k t kT s t c e k d k d d e d d k t k d k d k d w t w t d d k t k d v t w t n t k d w t d n t n d d d k t n t n k d d ωωτππωπππωπωππωππωω∞ ∞ -=-∞ =-∞ ∞ ∞ -=-∞ =∞ =∞ =≠-?? =∏=?? ??==+?? =+?? ?? ==++∑∑ ∑ ∑ ∑∑ 2 ] s n t ω
第三章 离散傅里叶变换及其快速计算方法 1. 求周期序列 6()(){2,3,4,5,2,9}x n R n = 的6点DFS 。 解： 6()(){25,3.4641,2 6.9282,9,2 6.9282, 3.4641}X k R k j j j j =-+---- 2. 已知 ()x n 的周期为N ，其DFS 为 ()X k 。 现令： 21 120 ()() , 0(21)N nk N n X k x n W k N -== ≤≤-∑ 试利用 ()X k 表示 1()X k 。 解： 1 021 1 21 1 2220 21 2221 20 ()()()()()()[1(1)](0)(1)(2)(1)[1(1)]()N nk N n N N N nk nk nk N N N n n n N k k k N N N N N k nk N n X k x n W X k x n W x n W x n W x x W x W x N W x n W -=---===--==== + ??=+-++++-?? =+-∑∑ ∑∑ ∑ 当 k 为偶数时， 1 1 21 200 ()[1(1)]()2()2()2k N N n k nk N N n n k X k x n W x n W X --===+-==∑∑ 当 k 为奇数时， 1 ()0X k = 3. 下图表示了周期都为6两个周期序列 1()x n 和2()x n ，计算这两个序列的 N=6 周期卷积3()x n ，并图表示。
解：下图表示的是计算这两个序列的周期卷积 3()x n 过程。 4. 利用DFT 矩阵计算序列()(0,1,2,3)x n =的4点DFT 。 解：411111 111111 1 j j W j j ????--? ?=--????--?? 6111102211121111222 1 1 3j j j j j j ??????? ?????-+--??????∴ =---??????? ?????----??????
第三章答案 3．1解： (1):由题设：h (n) = ) ()(10n h n h y (n)= ) 1() (-n y n y 则u (n) =h (n) y (n) 所以可得最陡下降法解： h (n=1) =h * +(I-2μR )2 h (0)- h * 5 1 得 h (Z)=2μZ 1 -e (Z) + Z 1 -h (Z) h (Z)=1 -11) (Z 2--Z Z e μ 所以：e (Z) = x (Z)-2μZ 1 -e (Z)- Z 1 -1 -11) (z 2--z z e μ
H (Z) = 1 1 )1(211---+-Z Z μ 所以零点在单位园上，极点在Z = 1-2μ园上。 （3）：要使H(Z)稳定，则极点在单位园内即： 01 21><-μμ且 3.3(1)性能曲面函数： [] []?? ???????===-==?? ? ???---==-+=100102 22) 2cos(2)()2sin( )()()()()1()()()()]()([)1([)]()1([)]1()([)([)]()([2)]([)(W W n N n d n N n x n W n W n W n x n d n x n d E n X n d E P n x E n x n x E n x n x E n x E n X n X E R W P RW W n d E n T T T T π πξ []?? ????--10)1()() ()(2W W n x n d n x n d []?? ????????? ???? ? ??+-+- +=1020 258558 5]8558525 10W W W W
补上次作业未做题目M2-6
M2-4
第三章作业 3.16 求下列每个序列的DTFT （a ）1[][1],||1n x n n αμα=-< 11()111j j j j e x e e e ω ω ωωααα----=-=-- （b ）2[][1],||1n x n n n αμα=-< 22()(1)j j j e x e e ω ω ωαα---=- （c ）3[][1],||1n x n n αμα=+<
()3()11j j j j j j e e e x e e e ωωωω ωωαααααα------=+=-- 3.18求如下有限长序列的DTFT ： （a ）11,[]0 N n N y n -≤≤?=??其他 ()2N+1N N N 1N 1sin N 12Y ()==1sin /2j j j j j e e e e e ωωωωωωω----????+ ?????-????= ?-?? ∑（） （b ）21,0[]0n N y n ≤≤?=? ?其他 []()()N+1N N N/220sin N 1/21Y ()=1=1sin /2j j j j j e e e e e ωω ωωωωω--+??-=? ?-??∑（） 3.46 n g[n]=n(0.4)[]n μ （a ）41X ()()j j j e e G e ωωω-= 时移性质1[]g[n-4]x n = （b ）(0.5)2X ()()j j e G e ωωπ+= 频移性质0.52[]g[n]j n x n e π-= （c ）3X ()3()4()j j j e G e G e ωωω-=+ 线性性质3[]3g[n]+4g[-n]x n = （d ）4()X ()j j dG e e d ωω ω= 频率微分性质41[]ng[n]x n j = （e ）5X ()()j j im e jG e ωω= 对称关系51[](g[n]-g[-n])2 x n = 3.48设X ()j e ω表示长为9的序列[]x n