2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
一、选择题：每小题5分,共60分
1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为
（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 2、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =
（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)
3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）
（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +
4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从
1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
（A ）
310 （B ）15 （C ）110 （D ）120
5、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12
，E 的右焦点与抛物线2
:8C y x =的焦点重
合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =
（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛
7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）
172 （B ）19
2
（C ）10 （D ）12 8、函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
（A ）13
(,),44
k k k Z ππ-
+∈
（B ）13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13
(,),44k k k Z -+∈
（D ）13
(2,2),44
k k k Z -+∈
9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） （A ） 5 （B ）6 （C ）7 （D ）8
10、已知函数1222,1
()log (1),1
x x f x x x -?-≤=?-+>? ，
且()3f a =-，则(6)f a -= （A ）74-
（B ）5
4
-
（C ）34-
（D ）1
4
-
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8
12、设函数()y f x =的图像与2
x a
y +=的图像关于直线y x =-对称，且
(2)(4)1f f -+-=，则a =( )
（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分
13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 14.已知函数()3
1f x ax x =++的图像在点()()
1,1f 的处的切线过点()2,7，则
a = .
15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤??
-+≤??-+≥?
,则z =3x +y 的最大值为 ．
16.已知F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点，P 是C
左支上一点，(A ，当APF ?周长最小时，该三角形的面积为 ． 三、解答题
17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ?内角,,A B C 的对边
，
2sin 2sin sin B A C =.
（I ）若a b =，求cos ;B
（II ）若90B =，且a =
求ABC ?的面积.
18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，
（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为积.
19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的
值.
（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣
传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：
（i ）当年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()2
2
231
x y -+-=交于M ，N 两点. （I ）求k 的取值范围；
（II ）若12OM ON ?=，其中O 为坐标原点，求MN . 21. （本小题满分12分）设函数()2ln x
f x e
a x =-.
（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()2
2ln
f x a a a
≥+. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB 是
O 直径，AC 是
O 切线，BC 交
O 与点E .
（I ）若D 为AC 中点，证明：DE 是
O 切线；
（II ）若OA = ，求ACB ∠的大小.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2
2
2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π
R 4
θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> . （I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；
（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
答案
一、 选择题
（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C
二、 填空题
（13）6 （14）1 （15）4 （16） 三、
解答题
17、解：
（I ）由题设及正弦定理可得2b =2ac.
又a=b ，可得cosB=2
222a c b ac +-=1
4
……6分
（II ）由（I ）知2b =2ac.
因为B=o 90，由勾股定理得222a c =b +.
故22a c =2ac +，的.
所以△ABC 的面积为1. ……12分 18、解：
（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD. 因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.
又AC ?平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o 120 ，可得
x ，GB=GD=2
x
.
因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的x .
由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得x .
由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=
13×1
2
AC ·GD ·3x =
. 故x =2 ……9分
从而可得.
所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD
故三棱锥E-ACD 的侧面积为 ……12分 19、解：
（I ）由散点图可以判断，y 关于年宣传费x 的回归方程式
类型. （II
）令w =
y 关于w 的线性回归方程式.由于
2
8
1
8
1
()()
108.8
d=
681.6
()
i
i
i i i w w y y w w ==--=
=-∑∑, 56368 6.8100.6c y d w =-=-?=，
所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.668w +
,因此y 关于x 的回归方程为
y 100.6=+
（Ⅲ）（i ）由（
II ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值
y 100.6=+，
年利润z 的预报值
z=576.60.24966.32?-= ……9分 （ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值
=-20.12
x x +. 13.6
=6.82
=
，即x =46.24时，z 取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分 20、解：
（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.
因为
l 与C
.
解得
k
所以k
的取值范围为. ……5分 （II ）设()1122,,(,)M x y N x y .
将1y kx =+代入方程2
2
(2)(3)1x y -+-=，整理得
22(1)4(1)70k x k x +-++=.
所以121222
4(1)7
,11k x x x x k k
++=
=++. 1212OM ON c x y y ?=+
()
()2121211k x x k x x =++++ ()
2
4181k k k +=
++.
由题设可得()
2
4181k k k
+=
++=12，解得k=1，所以l 的方程是y=x+1. 故圆心C 在l
上，所以2MN =. ……12分 21、解：
（I ）()f x 的定义域为()()20,,2(0)x a
f x e x x
'+∞=-?. 当a ≤0时，()()0f x f x ''?，没有零点； 当0a ?时，因为2x e 单调递增，a
x
-单调递减，所以()f x '在()0,+∞单调递增，又()0f a '?， 当b 满足0＜b ＜
4a 且b ＜1
4
时，()0f b '?，故当a ＜0时()f x '存在唯一零点. ……6分
（II ）由（I ），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0；
当()0x x ∈+∞，
时，()f x '＞0. 故()f x 在()0+∞，
单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x . 由于0
2020x a e
x -
=，所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a
=++≥+. 故当0a ?时，()2
21f x a a n a
≥+. ……12分 22、解：
（I ）连接AE ，由已知得，AE ⊥BC,AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
连结OE ，则∠OBE=∠OEB.
又∠OED+∠ABC=o 90，所以∠DEC+∠OEB=o 90，故∠OED=o 90，DE 是
O 的切线.
……5分
（II ）设CE=1，AE=x ，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，
2
AE CE BE =?，
所以2
x =，即42120x x +-=.可得x =ACB=60o .
……10分 23、解：
（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，
2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分
（II ）将4
π
θ=
代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得
12ρρ==.故12ρρ-=
由于2C 的半径为1，所以2C MN ?的面积为1
2
. ……10分 24、解：
（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +---＞. 当1x ≤-时，不等式化为40x -＞，无解；
当11x -＜＜时，不等式化为320x -＞，解得213
x ＜＜； 当1x ≥，不等式化为-x +2＞0，解得1≤x ＜2.
所以()1f x >的解集为223x x ??????
︱＜＜. ……5分
（II ）由题设可得，()12,1312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --??
=+--≤≤??-++?
＜＜
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个丁点分别为
()()21,0,21,0,,13a A B a C a a -??
++ ???
,△ABC 的面积为()2213a +.
由题设得
()2
213
a +＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为()2+∞，
. ……10分