中考数学证明题精选
1.如图,两相交圆的公共弦AB为3
2,在⊙O1中为内接正三角形的一边,在⊙O2中为内接正六边形的一边,求这两圆的面积之比。
2.已知扇形的圆心角为1500,弧长为π
20,求扇形的面积。
3.如图,已知PA、PB切⊙O于A、B两点,PO=4cm,∠APB=600,求阴影部分的周长。
4.如图,已知直角扇形AOB,半径OA=2cm,以OB为直径在扇形内作半圆M,过M引MP
∥AO交
?
AB于P,求
?
AB与半圆弧及MP围成的阴影部分面积
阴
S。
5.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,若∠C=900,AD=4,BD=6,求图中阴影部分的面积。
第1题图
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,O点在AB上,半圆O切AC于D,切BC于E,
AO=15cm,BO=20cm,求
?
DE的长。
2
O
1
O?
?
例1图
B
A
例3图
例4图
O
B
A
?
第2题图
E
A B
O
C
D
7.如图,有一个直径是1米圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC ,求:
(1)被剪掉(阴影)部分的面积;
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面半径是多少?
8.如图,⊙O 与⊙O '外切于M ,AB 、CD 是它们的外公切线,A 、B 、C 、D 为切点,E O '⊥OA 于E ,且∠AOC =1200。
(1)求证:⊙O '的周长等于?
AMC 的弧长;
(2)若⊙O '的半径为1cm ,求图中阴影部分的面积。
9.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan ∠ADC=2. (1) 求证:DC=BC;
(2) E 是梯形内一点,F 是梯形外一点,且∠E DC=∠F BC ,DE=BF ,试判断△E CF 的形状,并证明你的结论; (3) 在(2)的条件下,当BE :CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin ∠
BFE 的值.
10.已知:如图,在□ABCD 中,E 、F 分别为边AB 、CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的延长线于G . (1)求证:△ADE ≌△CBF ;
(2)若四边形 BEDF 是菱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.
11.如图13-1,一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转.
(1)如图13-2,当EF 与AB 相交于点M ,GF 与BD 相交于点N 时,通过观察或测量BM ,FN 的长度,猜想
BM ,FN 满足的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ,线段BD
的延长线与GF 的延长线相交于点N ,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说
明理由. E B
F C
D A
A (
B ( E )
第3题图
第4题图
12.如图,已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ,连结AD 、BD 、OC 、OD ,且OD =5。 (1)若sin ∠BAD =
3
5
,求CD 的长; (2)若 ∠ADO :∠EDO =4:1,求扇形OAC (阴影部分)的面积(结果保留π)。
13.如图,已知:C 是以AB 为直径的半圆O 上一点,CH ⊥AB 于点H ,直线AC 与过B 点的切线相交于点D ,E 为CH 中点,连接AE 并延长交BD 于点F ,直线CF 交直线AB 于点G. (1)求证:点F 是BD 中点; (2)求证:CG 是⊙O 的切线; (3)若FB=FE=2,求⊙O 的半径.
14.如图,已知O 为原点,点A 的坐标为(4,3),
⊙A 的半径为2.过A 作直线l 平行于x 轴,点P 在直线l 上运动. (1)当点P 在⊙O 上时,请你直接写出它的坐标;
(2)设点P 的横坐标为12,试判断直线OP 与⊙A 的位置关系,并说明理由.
15.如图,延长⊙O 的半径OA 到B ,使OA=AB ,
DE 是圆的一条切线,E 是切点,过点B 作DE 的垂线,
垂足为点C . 求证:∠ACB=
3
1
∠OAC . 16.如图1,一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上,梯子与地面的倾斜角α为
60. ⑴求AO 与BO 的长;
⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑,同时底端B 沿OM 向右滑行.
①如图2,设A 点下滑到C 点,B 点向右滑行到D 点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米; ②如图3,当A 点下滑到A ’点,B 点向右滑行到B ’点时,梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点.若∠POP ’=
15,试求AA ’的长. C A
B
D
O
E
17.如图⊙O的直径DF与弦AB交于点E,C为⊙O外一点,CB⊥AB,G?是直线CD上一点,∠ADG=∠ABD,求证:AD·CE=DE·DF.
说明:(1)如果你经过反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来(要求至少写3步).(2)在你经过说明(1)的过程之后,?可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明.
①∠CDB=∠CEB;②AD∥EC;③∠DEC=∠ADF,且∠CDE=90°.
G
18.已知,如图,在半径为4的⊙O中,AB、CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且
EM>MC,
连结DE,
(1)求EM的长;(2)求sin∠EOB的值.
19.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,?D?是AB延长线上一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,且AC平分∠EAB.
(1)求证:DE是⊙O切线;
(2)若AB=6,AE=24
5
,求BD和BC的长.
20.如图:⊙O1与⊙O2外切于点P,O1O2的延长线交⊙O2于点A,AB切⊙O1于点B,交⊙O2于点C,BE是⊙O1的直径,过点B作B F⊥O1P,垂足为F,延长BF交PE于点G.
(1)求证:PB2=PG·PE;(2)若PF=3
2
,tan∠A=
3
4
,求:O1O2的长.
A
B
A
https://www.doczj.com/doc/8e10972493.html,
21.如图,P 是⊙O 外一点,割线PA 、PB 分别与⊙O 相交于A 、C 、B 、D 四点,PT?切⊙O 于点T ,点E 、F 分别在PB 、PA 上,且PE=PT ,∠PFE=∠ABP . (1)求证:PD ·PF=PC ·PE ; (2)若PD=4,PC=5,AF=
21
20
,求PT 的长.
22.如图,BC 是半圆O 的直径,EC 是切线,C 是切点,割线EDB 交半圆O 于D ,A 是半圆O 上一点,AD=DC ,EC=3,BD=2.5
(1)求tan ∠DCE 的值;(2)求AB 的长.
23.如图,已知矩形ABCD ,以A 为圆心,AD 为半径的圆交AC 、AB 于M 、E ,CE?的延长线交⊙A 于F ,CM=2,AB=4. (1)求⊙A 的半径;(2)求CE 的长和△AFC 的面积.
24.如图,正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形,延长BA 到E ,使AE=AB ,连结ED . (1)求证:直线ED 是⊙O 的切线;
(2)连结EO 交AD 于点F ,求证:EF=2FO .
25. 如图8.PA 和PB 分别与⊙O 相切于A ,B 两点,作直径AC ,并延长交PB 于点D .连结OP ,CB .
(1)求证:OP ∥CB ;
(2)若PA =12,DB :DC =2:1,求⊙O 的半径.
P
26. 如图9.在Rt △ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,O 为BC 的中点。(1)写出点O
到△ABC 的三个顶点 A 、B 、C (2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动,移动中保持AN =BM ,请判断△OMN 的形状,并证明你的结论。
27.如图9,已知△ABC 内接于⊙O ,直线DE 与⊙O 相切于点A .BD ∥CA .
求证:AB ·DA =BC ·BD .
28.刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm ;
图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4 cm .图③是刘卫同学所做的一个实验:他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起,并将△DEF 沿AC 方向移动.在移动过程中,D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合).
(1)在△DEF 沿AC 方向移动的过程中,刘卫同学发现:F 、C 两点间的距离逐渐 ▲ . (填“不变”、“变大”或“变小”)
(2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题:
问题①:当△DEF 移动至什么位置,即AD 的长为多少时,F 、C 的连线与AB 平行?
问题②:当△DEF 移动至什么位置,即AD 的长为多少时,以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直
角三角形?
问题③:在△DEF 的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在, 求出AD 的长度;如果不存在,请说明理由. 请你分别完成上述三个问题的解答过程.
29.如图所示,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为(3,0),(0,1),点D 是线段BC 上的动点(与端点B 、
C 不重合),过点
D 作直线y =-
1
2
x +b 交折线OAB 于点E . (1)记△ODE 的面积为S ,求S 与b 的函数关系式;
(2)当点E 在线段OA 上时,若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1,试探究OA 1B 1C 1与矩
形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
30.已知:如图 13,在□ABCD 中,AE 是BC 边上的高,将△ABE 沿BC 方向平移,使点E 与点C 重合,得△GFC .
⑴求证:BE =DG ;
⑵若∠B =60?,当AB 与BC 满足什么数量关系时,四边形ABFG 是菱形?证明你的结论.
31. 如图 14,以BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边CF 于点A ,BM 平分∠ABC 交AC 于点M , AD ⊥BC 于点D ,AD 交BM 于点N ,ME ⊥BC 于点E ,AB 2
=AF ·AC ,cos ∠ABD =
5
3
,AD =12. ⑴求证:△ANM ≌△ENM ;
⑵试探究:直线FB 与⊙O 相切吗?请说明理由. ⑶证明四边形AMEN 是菱形,并求该菱形的面积S .
32.如图,已知正方形OABC 在直角坐标系xoy 中,点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上,点O 为坐标原点,等腰直
角三角板OEF 的直角顶点O 在坐标原点,E 、F 分别在OA 、OC 上,且OA =4,OE =2,将三角板OEF 绕O 点逆时针旋转至OE 1F 1,的位置,连接AE 1、CF 1. (1)求证:△AOE 1≌△OCF 1;
(2)将三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周,是否存在某一位置,使得OE ∥CF ,若存在,请求出此时E 点的坐标,若不存在,请说明理由.
A D
G C
B
F
E
图
13
图 14
2011年中考冲刺班数学证明题集锦答案
1. 解:设正三角形外接圆⊙O 1的半径为3R ,正六边形外接圆⊙O 2的半径为6R ,由题意得:AB R 3
3
3=
,AB R =6,∴3R ∶6R =3∶3;∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积=1∶3。
2. 解:设扇形的半径为R ,则180
R
n l π=,n =1500,π20=l ∴18015020R
ππ=
,24=R ∴ππ24024202
1
21=??=lR S =扇形。
3. 解:连结OA 、OB
∵PA 、PB 是⊙O 的切线,A 、B 为切点 ∴PA =PB ,∠PAO =∠PBO =Rt ∠
∠APO =
2
1
∠APB =300 在Rt △PAO 中,AP =322
3
430cos 0
=?=?PO OA =
2
1
PO =2,∴PB =32 ∵∠APO =300,∠PAO =∠PBO =Rt ∠ ∴∠AOB =300,∴ππ3
4
1802120=?=
?AB
l
∴阴影部分的周长=PA +PB +?
AB =π343232++=)3
4
34(π+cm 答:阴影部分的周长为)3
4
34(π+
cm 。 4. 解:连结OP
∵AO ⊥OB ,MP ∥OA ,∴MP ∥OB 又OM =BM =1,OP =OA =2 ∴∠1=600,∠2=300
∴PM =
32
3
=OP 而ππ3
1
360302==
R S POA 扇,2321=??=?PM OM S PMO
设PM 交半圆M 于Q ,则直角扇形BMQ 的面积为ππ4
1
412==r S BMQ 扇 ∴)(POA PMO BMQ AOB S S S S S 扇扇扇阴-++=?
=???
?
??++-πππ312341412R =23125-π 5.π-4;
6.π6;
7.(1)π81
平方米,(2)
8
2
米; 8.(1)证明:由已知得∠AO O '=600,AB O 'O 为直角梯形,设⊙O 与⊙O '的半径分别为R 、r ,则cos600
=r R r R +-,即r R 3=,∴⊙O '的周长为r π2,而?AMC =180
120R
π=r π2,∴⊙O '的周长等于?AMC 的弧长。(2)
)6
11
34(π-=阴影S cm 2。
9. [解析] (1)过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2.
又tan ∠ADC=2,所以2
12
DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形.
证明:因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以,△DEC ≌△BFC
所以,,CE CF ECD BCF =∠=∠.
所以,90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形.
(3)设BE k =,则2CE CF k ==,所以EF =. 因为135BEC ∠=?,又45CEF ∠=?,所以90BEF ∠=?.
所以3BF k =
=
所以1sin 33
k BFE k ∠=
=. 10. [解析] (1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠1=∠C ,AD =CB ,AB =CD . ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点, ∴AE =
21AB ,CF =2
1
CD . ∴AE =CF
∴△ADE ≌△CBF .
(2)当四边形BEDF 是菱形时, 四边形 AGBD 是矩形.
∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC . ∵AG ∥BD ,
∴四边形 AGBD 是平行四边形.
∵四边形 BEDF 是菱形, ∴DE =BE . ∵AE =BE ,
∴AE =BE =DE .
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴2∠2+2∠3=180°. ∴∠2+∠3=90°. 即∠ADB =90°. ∴四边形AGBD 是矩形 11. (1)BM =FN .
证明:∵△GEF 是等腰直角三角形,四边形ABCD 是正方形,
∴ ∠ABD =∠F =45°,OB = OF . 又∵∠BOM =∠FON , ∴ △OBM ≌△OFN . ∴ BM =FN .
(2) BM =FN 仍然成立.
(3) 证明:∵△GEF 是等腰直角三角形,四边形ABCD 是正方形,
∴∠DBA =∠GFE =45°,OB =OF . ∴∠MBO =∠NFO =135°.
又∵∠MOB =∠NOF , ∴ △OBM ≌△OFN . ∴ BM =FN .
12. (1)因为AB 是⊙O 的直径,OD =5 所以∠ADB =90°,AB =10 在Rt △ABD 中,sin ∠BAD BD
AB
=
又sin ∠BAD =35,所以BD 103
5
=,所以BD =6
AD AB BD =
-=-=22221068
因为∠ADB =90°,AB ⊥CD
所以DE AB AD BD CE DE ··,== 所以DE ?=?1086 所以DE =
245
所以CD DE ==
2485
(2)因为AB 是⊙O 的直径,AB ⊥CD
所以CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒
,==
所以∠BAD =∠CDB ,∠AOC =∠AOD 因为AO =DO ,所以∠BAD =∠ADO 所以∠CDB =∠ADO
设∠ADO =4x ,则∠CDB =4x
由∠ADO :∠EDO =4:1,则∠EDO =x 因为∠ADO +∠EDO +∠EDB =90° 所以4490x x x ++=? 所以x =10°
所以∠AOD =180°-(∠OAD +∠ADO )=100° 所以∠AOC =∠AOD =100°
100125
2
13. (1)证明:∵CH ⊥AB ,DB ⊥AB ,∴△AEH ∽AFB ,△ACE ∽△ADF ∴
FD
CE
AF AE BF EH ==,∵HE =EC ,∴BF =FD (2)方法一:连接CB 、OC ,
∵AB 是直径,∴∠ACB =90°∵F 是BD 中点, ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG 是⊙O 的切线---------6′
方法二:可证明△OCF ≌△OBF(参照方法一标准得分) (3)解:由FC=FB=FE 得:∠FCE=∠FEC 可证得:FA =FG ,且AB =BG
由切割线定理得:(2+FG )2=BG ×AG=2BG 2 ○1 在Rt △BGF 中,由勾股定理得:BG 2=FG 2-BF 2 ○
2 由○
1、○2得:FG 2-4FG-12=0 解之得:FG 1=6,FG 2=-2(舍去) ∴AB =BG =24 ∴⊙O 半径为22
14. 解: ⑴点P 的坐标是(2,3)或(6,3)
⑵作AC ⊥OP ,C 为垂足.
∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠1
∴△AC P ∽△OBP
∴
AC AP
OB OP
=
在OBP Rt ?中,OP 又AP=12-4=8, ∴
3AC =
∴AC=24 1.94
∵1.94<2
∴OP 与⊙A 相交.
15. 证明:连结OE 、AE ,并过点A 作AF ⊥DE 于点F , (3分)
∵DE 是圆的一条切线,E 是切点, ∴OE ⊥DC , 又∵BC ⊥DE ,
∴OE ∥AF ∥BC .
∴∠1=∠ACB ,∠2=∠3.
∵OA=OE , ∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2.
又∵点A 是OB 的中点, ∴点F 是EC 的中点. ∴AE=AC .
∴∠1=∠2. ∴∠4=∠2=∠1.
即∠ACB =3
1
∠OAC . 16. 1
22
OB AB =
=米.
sin 604OA AB =?==. -------------- (3分)
⑵设2,3,AC x BD x ==在COD Rt ?中,
2,23,4OC x OD x CD ==+=
根据勾股定理:2
2
2
OC OD CD +=
∴()
()2
2
22234x
x ++= ------------- (5分)
∴(2
13120x x +-= ∵0x ≠ ∴0381213=-+x
∴x = ------------- (7分)
即梯子顶端A 沿NO . ---- (8分)
⑶∵点P 和点P '分别是AOB Rt ?的斜边AB 与''OB A Rt ?的斜边'
'B A 的中点
∴PO PA =,O P A P '''
= ------------- (9分) ∴,PAO AOP P A O A OP ''''∠=∠∠=∠------- (10分) ∴P A O PAO A OP AOP ''''∠-∠=∠-∠ ∴15P A O PAO POP '''∠-∠=∠= ∵30PAO ∠=
∴45P A O ''∠= ----------------------- (11分)
∴cos 454A O A B '''=?==分)
∴AA OA A O ''=-=米. -------- (13分)
17.证明:连结AF ,则∠ABD=∠F .
∵DF 为⊙O 的直径,∴∠DAF=90°,
∴∠ADF+∠F=90°,∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°, ∴∠DAF=∠CDE=90°,∵CB ⊥AB , ∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°,
∴∠DAF=∠CDE=90°,∵CB ⊥AB ,
∴∠CBE=90°.取EC 中点M ,连结DM 、BM ,则DM=BM=CM=EM , 即D 、E 、B 、C 在以EC 为直径的圆上, ∴∠ABD=∠DCE ,∴∠DCE=∠F , ∴△DAF ∽△EDC ,∴
AD DF
DE CE
=
, ∴AD ·CE=DE ·DF ,以下略; 18.(1)DC 为⊙O 的直径,DE ⊥EC ,
.
设EM=x ,由于M 为OB 的中点, ∴BM=2,AM=6,∴AM ·MB=x ·(7-x ),即6×2=x (7-x ), 解得x 1=3,x 2=4,∵EM>MC ,∴EM=4.
(2)∵OE=EM=4,∴△OEM 为等腰三角形,过E 作EF ⊥OM ,垂足为F ,
则OF=1,∴
∴sin ∠EOB=
154
. 19.(1)连结CO ,则AO=BO=CO ,
∴∠CAO=∠ACO ,又∵∠EAC=∠CAO , ∠ACO=∠EAC ,∴AE ∥OC , ∴DE 是⊙O 的切线.
(2)∵AB=6,∴AO=BO=CO=3. 由(1)知,AE ∥OC , ∴△DCO ∽△DEA ,
CO DO EA DA =
=BD BO
BD AB
++. 又∵AE=245
,∴33
2465
BD BD +=
+, 解得BD=2.
∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°.
又∵∠EAC=∠CAB ,∴Rt △EAC ∽Rt △CAB ,
∴
AE AC AC AB =
,即A C 2=AB ·AE=6×245=114
5
. 在Rt △ABC 中,
由勾股定理,得B C 2=A B 2-AC 2=36-
1145=36
5
. ∵BC>0,
20.(1)∵BE 是⊙O 1的直径,∴∠BPE=90°. ∵BF ⊥O 1P ,∴∠BPF+∠FBP=90°.
∵O1E=O1P,
∴∠E=∠GPF=∠PBF,又∠BPG=∠EPB=90°,∴△GPB∽△BPE,∴PB2=PE·PG.
(2)∵AB是⊙O1的切线,∴O1B⊥AB,
∴△O1BF∽△O1AB,∴∠O1BF=∠A.
∵tan∠A=3
4
,∴tan∠O1BF=
3
4
.
设O1F=3m,则BF=4m.
由勾股定理得:O1B=5m=O1P,∴PF=5m-3m=2m.
又∵PF=3
2
,∴m=
3
4
,∴O1B=O1P,∴BF=
3
4
×4=3.
由tan∠A=BF
AF
,∴AF=
3
3
4
=4,∴AP=4-
3
2
=
5
2
,
∴PO2=5
4
,∴O1O2=
5
4
+
3
2
+
9
4
=
20
4
=5.
21.(1)连CD,因A、B、D、C四点共圆,∴∠DCP=∠ABP,而∠PFE=∠ABP,
∴∠DCP=∠PFE,CD∥EF,∴PD PC
PE PF
=,即PD·PF=PC·PE.
(2)设PT长为x,∴PE=PT,由(1)结论得PF=5
4
x,
由PT2=PC·PA得x2=5(5
4
x+
21
20
),解之得x1=7,x2=-
3
4
,∴PT=7.
22.(1)由已知得EC2=ED(ED+5
2
),解之得ED=2或ED=-
9
2
(舍去).
∵BC为直径,∴CD⊥BE,由勾股定理得
tan∠
DCE=
DE
CD
=
(2)连AC交BD于F,由(1)得,
BC=
3
2
可证△ADF∽△BCF,∴DF AD
CF BC
==
2
3
.
设DF=2x,则CF=3x.由CF-DF=CD,得9x-4x=5,x=1,∴DF=2,CF=3,∴BF=1
2
.
由相交弦定理得AF=
1
3
DF BF
CF
=,∴
.
23.(1)由勾股定理,列方程可求AD=3.(2)过A作AG⊥EF于G,由勾股定理得
由切割线定理得CF=8
5
BCE∽△GAE,?得AG=
9
10
S△AFC=
36
5
.
24.证明:(1)连结OD易得∠EDA=45°,∠ODA=45°,∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°,?∴直线ED是⊙O的切线(2)作OM⊥AB于M,∴M为AB中点,
∴AE=AB=2AM,AF∥OM,∴EF AE
FO AM
==2,∴EF=2FO.
25.
26.
27.证明:∵ DE 与⊙O 相切,
∴ ∠C =∠1, ∵ BD ∥CA ,
∴ ∠2=∠3 ……6分
∴ △ABC ∽△BDA . ……9分
∴ DA BC BD AB . ……12分
∴ AB ·DA =BC ·BD .
28. 【答案】
C
A
D E
O · 1 2
3
B
29.(1)由题意得B(3,1).
若直线经过点A (3,0)时,则b =32 若直线经过点B (3,1)时,则b =5
2
若直线经过点C (0,1)时,则b =1
①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时,即1<b ≤
3
2
,如图25-a ,
此时E (2b ,0)
∴S =
12OE ·CO =12
×2b ×1=b ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时,即
32<b <5
2
,如图2
此时E (3,3
2
b -
),D (2b -2,1) ∴S =S 矩-(S △OCD +S △OAE +S △DBE )
= 3-[
12(2b -1)×1+12×(5-2b )·(52b -)+12×3(32
b -)]=252b b - ∴23
125352
22
b b S b b b ?<≤
??
=?
?-<?
(2)如图3,设O 1A 1与CB 相交于点M ,OA 与C 1B 1相交于点N ,则矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的
面积即为四边形DNEM 的面积。
由题意知,DM ∥NE ,DN ∥ME ,∴四边形DNEM 为平行四边形 根据轴对称知,∠MED =∠NED
又∠MDE =∠NED ,∴∠MED =∠MDE ,∴MD =ME ,∴平行四边形DNEM 为菱形. 过点D 作DH ⊥OA ,垂足为H , 由题易知,tan ∠DEN =
1
2
,DH =1,∴HE =2, 设菱形DNEM 的边长为a ,
则在Rt △DHM 中,由勾股定理知:2
2
2
(2)1a a =-+,∴54
a = ∴S 四边形DNEM =NE ·DH =
54
∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为
54
. 30.证明:⑴∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD .
∵AE 是BC 边上的高,且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成. ∴CG ⊥AD .∴∠AEB =∠CGD =90?. ∵AE =CG ,∴Rt △ABE ≌Rt △CDG . ∴BE =DG . ······························································································· 3分 ⑵当BC =2
3AB 时,四边形ABFC 是菱形.
∵AB ∥GF ,AG ∥BF ,∴四边形ABFG 是平行四边形. ∵Rt △ABE 中,∠B =60?,∴∠BAE =30?,∴BE =2
1AB . ∵BE =CF ,BC =2
3
AB ,∴EF =2
1AB . ∴AB =BF .∴四边形ABFG 是菱形
31.证明:⑴∵BC 是⊙O 的直径,∴∠BAC =90°
又∵ME ⊥BC ,BM 平分∠ABC ,∴AM =ME ,∠AMN =∠EMN
又∵MN =MN ,∴△△ANM ≌△ENM ························································· 3分
⑵∵AB 2
=AF ·AC ,∴
AC AB =
AB
AF
又∵∠BAC =∠F AB =90°,∴△ABF ∽△ACB ∴∠ABF =∠C ,∴∠FBC =∠ABC +∠ABF =∠ABC +∠C =90°
∴FB 是⊙O 的切线 ················································································ 6分 ⑶由⑴得AN =EN ,AM =EM ,∠AMN =EMN 又∵AN ∥ME ,∴∠ANM =∠EMN ∴∠AMN =∠ANM ,∴AN =AM ∴AM =ME =EN =AN
∴四边形AMEN 是菱形……………………………………………………………………7分
∵cos ∠ABD =
53,∠ADB =90°,∴AB
BD =53
设BD =3x ,则AB =5x ,由勾股定理,得 AD =2235)()(x x
-=4x ,而AD =12,∴x =3
∵MB 平分∠AME ,∴BE =AB =15,∴DE =BE -BD =6 ∵ND ∥ME ,∴∠BND =∠BME
又∵∠NBD =∠MBE ,∴△BND ∽△BME ,∴ME ND =
BE
BD
…………………………10分 设ME =x ,则ND =12-x ∴
x
x
-12=159,解得x 215
……………………………………………………………11分∴S
=ME ·DE =
2
15
×6=45………………………………………………………………12分 32.(1)证明:∵四边形OABC 为正方形,∴OC =OA ,∵三角板OEF 是等腰直角三角形,∴OE 1=OF 1,又三角板OEF 绕O 点逆时针旋转至OE 1F 1的位置时,∠AOE 1=∠COF 1,∴△OAE 1≌△OCF 1;
(2)存在,∵OE ⊥OF ,过点F 与OE 平行的直线有且只有一条,并且与OF 垂直,又当三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周时,则点F 与OF 垂直的直线必是⊙O 的切线,又点C 为⊙O 外一点,过点C 与⊙O 相切的直线只有2条,不妨设为CF 1和CF 2,此时,E 点分别在E 1和E 2点,满足CF 1∥OE 1,CF 2∥OE 2,点切点F 1在第二象限时,点E 1
在第一象限,在Rt △CF 2O 中,OC =4,OF 1=2,cos ∠COF 1=
1OF 1
=OC 2
,∴∠COF 1=60°,∴∠AOE 1=60°,∴
点E 1的横坐标为2cos60°=1,点E 1的纵坐标为2sin60E 1的坐标为(1),当切点F 2在第一象限
时,点E 2在第四象限,同理可求E 2(1,∴三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周,存在两个位置,使得OE
∥CF ,此时点E 的坐标分别为E 1(1, E 2(1)
.