水质检测与等级评判
摘要本文主要探讨地表水的污染问题。在对地表水信息进行统计分析的基础上，对某村的四口水井的水质情况作出综合评价。模型中用到了线性加权综合法和逼近理想点（TOPSIS）的排序方法，根据所给的数据对四口水井的水质进行排序。由于水质评价中包含一些不明确的方面，因此模糊数学在水质综合评价中得到广泛应用，另外借助于稳态条件的一维水质模型和质量守恒定律得到了主要污染指标的分布区域` 。应用模糊数学综合评价法根据商丘市某村四口水井水质评价的特点，选取溶解氧、化学需氧量、总磷和氨氮作为评价因子，建立模糊关系矩阵，根据模糊数学最大隶属度原则评定水质的等级。
首先运用线性加权综合法，通过用均方差法计算权重系数，再运用线性加权综合模型计算调查项目的加权综合评价值，最后进行排序。
用均方差法所求得的权值在逼近理想点法中同样有效。因此，在A 模型权重确定后，我们运用逼近理想点法引入一个虚拟的正理想解和一个负理想解，他们分别是所有评价对象中该指标的最好的、最差的，这样，就可以求出各评价对象与正理想解和负理想解的距离。然后计算各个评价对象对理想解的相对接近度，进而评价各评价对象的优劣序。在操作过程中，我们采用A 型的权重系数，因此可以利用原始数据信息排序，信息损失小，比较精确。
由于在本题对水质的研究中存在一些不确定的因素，因此对于问题二运用模糊综合评判方法。在模糊评判法中构造变权函数算得权重矩阵，对水质等级进行判断。
关键词：水质、综合评价、模糊数学、评价因子、隶属函数
一、问题重述
某村内有各相距500米以上的四口水井，分别位于村东、村西、村南和村北，由于农业和生活排放废物使地下浅表水遇到污染，水质监测资料如附件1所示.
请完成以下问题：
（1）请用2种以上的数学方法对该村的四个井水的水质进行排序，并比较是否由于方法的不同导致存在着异，以及差异产生的原因。
（2）请对该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断。（水质分级标准参考附件2，或自己查有关资料）
二、问题分析
2.1问题背景分析自工业革命以来，各国工业的迅速发展给各国的经济带来了很大的收益，人民的生活水平日益提高。然而，经济水平提高的同时也给环境带来了重大的压力。工业废水、生活废水的肆意排放使地下浅表水遭到污染。因此需要建立适当的模型来进行相关的定量分析，进而检测水的相关指标，将被检测的浅表水分为相应的类别。
2.2对问题一的分析方法一：线性加权综合法
本题中，首先运用最小均方差法计算权重系数，然后应用线性加权综合模型算出东西南北四口井的加权总和评价值，最后得到四个数据进行比较排序。
方法二：逼近理想点（TOPSIS）的排序方法
题中所给数据指标较多，而逼近理想点的方法是选择一个理想点将数据进行比较排序，相比层次分析法需要比较的次数较少，简单易行。
2.3对问题二的分析
首先根据问题一将四个井的地表水进行排序，根据水质监测数据以及水质分级标准运用模糊综合评判法对水质进行分级。模糊综合评判是模糊决策中常用的一种有效方法。实际中常需要对一个事物做出评价，一般都设计到多个因素或多个指标，要求根据这些因素对事物做出综合评价。
模糊综合评判的一般步骤：
（1）确定因素集U {u1,u2,... u n} ；
（2）确定判定集V {v1,v2,... v n} ；
（3）确定模糊评判矩阵R （r ij ）n*m；
（4）综合评判
三、模型的假设与约定（1）问题中所给的数据能够反映实际情况。（2）本阶段内，此范围的地表水污染情况不会有大的变化。
（3）本阶段内，不会有大量降雨。
（4）由于含“﹤DL”和含“﹤10”的指标无具体数值表示, 故假设在排序时这些指标为无关因素，暂不考虑。这些指标为：铜、挥发酚、化学需氧量、氨氮、氰化物、汞、镉、六价铬、铅。（5）由于PH值都在6—9 范围之内，都属于正常，没有具体分类不影响排序，故不考虑。
四、符号说明及名词解释
五、模型的建立
5.1
方法一：线性加权综合法
线性加权综合模型
线性加权综合模型是使用的最普遍的一种综合评价模型，借助模糊矩阵、模糊变换的原理，引进普通加、乘法综合而成。其实质是在指标权重确定后，对每个评价求各个指标的加权和，即令
则y i 就是第i 个评价对象的加权综合评价值。
线性加权模型的主要特点：
（1）各指标可以相互补偿（等量补偿），即此升彼降，总的评价值不变；
（2）权重系数对评价结果的影响明显，权重大的指标对综合指标最用较大；
（3）计算简单，可操作性强；
（4）线性加权综合评价模型适应于各种评价之间相互独立的情况，若各评价指标不完全独立，其结果将导致各指标间信息的重复起作用，使评价结果不能客观的反映实际。
运用线性加权综合法的步骤：
步骤一：求出第j 项指标的平均值和均方差（结果如表1、表2 所示）
步骤二：求出最小均方差
注：如果最小均方差s j0 0，则可删除与s j 0对应指标x j 0 。考察完所有指标即可得到最终的评价指标体系。
表1 各指标的均方差
表2（接表1）各指标的均方差
注：经过最小均方差法筛选处理后，灰色区域可不考虑为了使表中结果能更加直观的显示，做出各个井的指标折线图，如图1 所示：图1 各指标均方差折线图
最小均差法只考虑了指标的差异程度，容易将重要的指标删除，但是其采用的数据是原始数据，仍保持有客观的特点。
根据表1 及表2 的数据显示，初步可剔除亚硝酸盐氮、锌、砷3 个指标，然后对余下指标统一化处理，即把溶解氧这个指标取倒数从而得到统一的极小型指标，接着用均方差法求权重系数，
且此权重系数对于现行加权综合法以及逼近理想点法都适用。
所用公式为:
（1）求方差：
设n个评价对象m个指标的观测值分别为：
第j 项指标的样本均值与样本均方差依次为：
（2）求权重系数：
第j项指标的权重系数为：通过计算求出各项指标的权重系数如表3、表4 所示：
表3 各项指标权重系数
表4 (接表3 )各项指标权重系数步骤三：运用线性加权综合模型计算评价对象的加权综合评价值并排序所用公式：
y i 就是第i 个评价对象的加权综合评价值。
经过计算所得各对象的加权综合评价值如表5 所示：
表5 ：四口井加权综合评价值
由图5可知：Y3 Y1 Y4 Y2 , 从而得到四口井的水质从优到劣的排序为：南井东井北井西井。
结果分析：在运用线性加权综合法时，借助最小均差法计算各指标均差及权重，用最小均差法算得的权重对于本题所选的两种方法均适用。线性加权综合模m
型利用应用线性模型y w j x j 来进行综合评价。通过结果分析以及图表显
j1 示可看出粪大肠菌群以及总硬度对水质的影响较大，而铁、锰、氟化物等物质对水质基本没有影响。
方法二：逼近理想点( TOPSIS)法
基本思想：设定系统指标的一个理想点( x1*, x2*,..., x m*), 对每一个被评价对象与理想点尽享比较。如果某一个被评价对象指标 ( x i1, x i 2,... x im ) 在某意义下与理想点( x1 ,x2 ,..., x m )最接近，则( x i1,x i
2 ,...x im) 就是最好的。定义二者之间的加权距离为：
*
其中w j 为权系数，f(x ij x j*) 为x ij 与x j*之间的某种意义下的距离。可取
* * 2
f (x ij , x j*) (x ij x j*)2
则综合评价函数为
按照y i(i 1,2, , n)值的大小对各被评价方案进行排序选优，其值越小方案就越好。特别地，当某个y i 0 时，则对应的方案就是最优的。
在运用逼近理想点的方法解决问题一时，同样需要运用均方差法算得权重，利用算取的结果来进行后面的运算并将四口井的水质排序。主要步骤如下：步骤一：利用最小均方差法对指标进行筛选，剔除次要指标，以简化评价指标体
系。
步骤二：对评价指标进行统一化处理，以倒数形式将极大型指标转化为极小型指标。
步骤三：用均方差法求出指标的权重系数。步骤四：用逼近理想解法对四口井的水质进行评价排序。
设综合评价问题含有n 个评价对象m个指标，相应的指标观测值分别为: 指向向量权重：
w ( w1, w2 ,..., w m) 。
则TOPSIS法的计算过程如下：步骤一：则评价指标进行预处理，即进行一致化，并构造评价矩阵：步骤二：构造加权规范评价矩阵：
Z (z ij )n m，其中z ij w j y ij (i 1,2,..., m) 。
其中，当j 项指标为极大型时，取
z j*max z ij, z j_min z ij(j 1,2,..., m)
j1 j n ij j1 j n ij
；
当j 项指标为极小型时，取
参照方法一中的权重系数列表数据 (表3、表4)，经过计算得到四口井各项指标加权规范评价结果如表6：
表6 四口井各项指标加权规范结果
步骤三：确定正理想解和负理想解：
S (z1,z2,..., z m ) S (z1, z2,..., z m) ，得到正理想解和负理想解如表7：
表7 表3 、表4 中各项指标正理想解和负理想解
步骤四：计算各评价对象到正理想解和负理想解的距离，结果如表8 所示
表8 各评价对象到正、负理想解的距离
步骤五：计算各评价对象到理想解的相对接近度，其计算公式如下：
计算各评价对象对理想解的相对接近度：
步骤六：按相对接近度大小排序，C i 越大，表明第i 个评价单元越接近最优水平根据相对接近度对四口井的水质从优到劣的排序如下：南井东井北井西井。
结果分析：用逼近理想点法对水质进行排序得到的结果与线性加权综法得到的结果相同，两种方法在计算过程中，都需要用到权重系数，而本次建模运用均方差法求得权重系数，并且此权重系数在两种方法中均有效。然而线性加权法运用较理想点逼近法简单。线性加权法主要靠权值判断水质，而逼近理想点法除了依赖权值还需要通过计算各指标与理想点的距离来排序判断水质。
5.2 模糊综合评判
模糊评判是模糊决策中常用的一种有效方法。实际中常需要对一个事物做出评价，一般都涉及到多个因素或多个指标，要求根据这些因素对事物做出综合评价. 综合评判是对受多因素音响的事物做出全面评价。
模糊评判的一般提法：
设U {u1, u2, , u n }为研究对象的n种因素，称之为因集．V {v1,v2, ,v m} 为诸因素的m种评判所构成
的评判集(或称语集、评价集、决策集等) ，它们的元素个数和名称均可根据实际问题的需要和决策人主观确定．
综合评判应该是V上的一个模糊子集：
其中b k 评判v k 对模糊子集B的隶属度：
即反映了第k 种评判v k在综合评价中所起的作用．
综合评判B依赖于各因素的权重，即它应该是U 上的模糊子集：
n
A (a1,a2, ,a n) F(U) ，且a i 1，
i1
其中a i 表示第i 种因素的权重．当权重A给定以后，则相应地就可以给定一个综合评判B ．
本题模糊综合评判步骤如下：
步骤一：建立因子集
因子集是由影响评估对象的各个因子所组成的集合，可表示U {u1,... u n }
其中，元素u i(i 1,2,... n) 为影响评价要考虑的因子，一般来说，各个因子在评估中有不同的重要性，因此必须对各个因子u i 按其重要程度给不同的权重a i(i 1,2,... n) 由各权重组成的因子权重集A是因子集。
n
A {a1, a 2 ,... a n } 且ai1，a i 0 ，i 1,2,... n
i1