第１７卷第６期２００１年１２月
忻州师范学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＸＩＮＺＨＯＵＴＥＡＣＨＥＲＳＵＮＩＶＥＲＳｎＹ
ＶｏＬｌ７Ｎｏ．６
Ｄｅｃ．２００１空间向量在立傩几何巾硇应用
陈贵春
（大同五中，山西大同０３７０００）
【摘要】本文说明把空间向量引入立体几何后，线面垂直、角和距离的度量问题可以通过向量运算来解决，有利于立体几何的教与学。
【关键词】空间向量；立体几何；异面直线
【中图分类号】０１２３．２【文献标识码】Ａ【文章编号１１６７１—１４９１（２００１）０６－００３２－０２
我们知道，在传统的几何教学中，主要使用“形到形”的性质的推理来学习立体几何，并培养学生的空间观念，空间想象能力和逻辑思维能力，功能是其它学科无法替代的。由于空间图形的复杂性，用“形到形”的综合推理方法，对多数学生是比较困难的。
向量的运算体系与代数的运算体系基本相似，把空间向量引入立体几何，学生就可以运用他们熟悉的代数方法进行推理，掌握空间图形的性质，这样就把几何综合推理和向量代数运算有机地结合起来，不仅使得立体几何中的部分内容，如线面平行通过向量共线定理；线面垂直通过向量数量积运算来解决；某些角和距离的度量问题可用公式来表达，而且丰富了学生的思维结构和运用数学的能力，从而使立体几何教学达到降低难度，观点提高的功效。
下面，我以几道题为例说明向量在立体几何中的这种
作用。
例１．如图，正方体
ＡＢＣＤ－ＡｌＢｌＣｌＤｌ，Ｍ、Ｎ分
别是Ａ。Ａ和Ｂ。Ｂ的中点，
求直线ＣＭ与Ｄ。Ｎ所成
角的正弦值。
解：设正方体的棱长一１
９ｓｉｎ＜Ｍ－－－Ｃ＂，耐＞＝、／瓦歹＝争订
例２．已知：正方体ＡＢＣＤ—Ａ。Ｂ。ＣＩＤｌ的棱长为１，Ｍ是ＡＡ。的中点，点Ｏ是对角线ＢＤ。的中点。证明：ＯＭ是异面直线从，和ＢＤ。的公垂线并计算这两条异面直线的距离。
证明：如图，建立空间直角坐
标系。则：Ａ（１，０，０），Ａ１（１，０，１），
Ｏ（丁１，ｆ１，丁１），Ｂ（１，１，０），Ｄ－（Ｏ，
ｏ，１），Ｍ（１，ｏ，导）
耐＝（ｏ，０，１）一（１，１，０）＝（一
１．一１．１）
页矸＝（１，０，１）一（１，ｏ，０）＝（ｏ，０，１）
０－－－讨＝（１，０＇｝）一（争，争，争）＝（争，一丁１，ｏ）?．?丽｝×耐＝（＿１．，一１，１）ｘ（孚，一下１，ｏ）＝０
耐×躅＝（导，下１，Ｏ）ｘ（０，０，１）＝ｏ
．’．ＢＤｌ上ＯＭ，ＡｌＡ上ＯＭ即ＯＭ是ＡｌＡ和ＢＤｌ的公垂线段．。．｜耐Ｊ－、／（Ｆ１，２ｔＬ一丁１，２＋０２＝亚２
例３：已知直三棱柱ＡＢＣ—Ａ，Ｂ。Ｃ。中．￡ＡＣＢ＝９００．ＣＢ＝Ｉ。ＣＡ＝
的中
又
三斌如茈瓜酸《感。瘟心砣ｊ急最赢
＝｝躅＇－Ｉ商…蔚ｌｃｏｓ＜商，Ａ－－Ｃ＂＞＝争×（ｘ／ｉｆ－）２一
［收稿日期】２００１－０９－０３
【作者简介】陈贵春（１９６９一），男，山西定襄人，山西省大同市第五中学一级教．师，从事立体几何的代数化研究。一３２—
２００１年陈贵春：空间向量在立体几何中的应用第６期２×订×孚＝。羹≥曼篙篡嚣翥＝兰昙言等筹乒髫薹芸
．’．ＢＡｌ上ＡＭ
从上面几个例题表明，应用向量方法解决立体几何十分方便，回避了经过作图——证明——计算等较复杂的过识面，拓展学生的视野；另一方面为解决立体几何中某些用传统的纯几何方法解决时技巧性较大，随机性较强的问题提供了通法，以降低解题难度，减轻学生的负担。
（上接第１１页）能见其真，才能各具本色之功”。论“变”是为反拟古，论“真”却是为达“性灵”，袁宗道赞美袁中道的诗说：“大都独抒性灵，不拘格套，非从自己胸臆流出，不肯下笔”。但求达性灵时，又强调新奇，以为“心灵无涯，搜之愈出”，这种唯心主张为他们带来了毁灭。在“竞陵派”与其抗衡时，不免显于粗陋，而终为其淹没。
四、竟陵派对“性灵”的发展和归正
公安派在极端唯心艺术论指引下终归于肤浅和俚僻。竟陵派一方面主性灵而不陷俚僻，另一方面学古而不囿于肤浅。“学古”和“性灵”得到了统一。“性灵”不再是超脱尘世之“童心”，不是无涯际的心际中搜出的没有得到理性和其它文化沉淀所充实的自然性情，而是从学古中得到的与古人精神相一致的文化沉淀。这种性灵蕴含有社会性的一般情感，不再是无束缚的童心，此可谓使“性灵”归于一般性情的渲泄抒发了，但它枯竭了创作的源泉，走上了脱离现实的道路。
竟陵派的主张在当时的提出有一定的价值，然而创作实践却未能对这种理论以尽可能的印证，终被后人诟病为“识堕于魔而趣沉于鬼”。
明中叶后的文学思潮就在复古说和性灵说的斗争中相继流变。内部分化是每一思潮走向泯灭的主要原因。而“心学”一直影响着其时的文学思潮，是“心学”的影响，七子派发生分化，也正是“心学”，公安派才堕于极端的“童心说”。实质上，各种思潮观点复杂，难以为创作所实践，每种思潮内部的复古与性灵相交融，这或许与政治的复古和流行的左派王学有一定关系。
（上接第２４页）想政治课的内容与形式应是灵活的、多种多样的。如举办专题讲座，介绍经济发展过程中出现的新现象。如股票、公司、股份制、股份合作制、兼并、破产、强强联合和当前国际关系发展中历史遗留问题的源由，发展现状，交叉的边缘学科的发展动态等。帮助学生沟通学科之间的联系，审视学科之间的交叉点，寻找自然与社会之间的切入点，为学生发散思维的发展提供信息。在政治选修课中，教师要引导学生使之具备创新精神与崇高的社会责任感，要培养学生联系实际分析问题、解决问题的能力，要开启学生的创造性思维，鼓励学生大胆发表个人看法，寻求从多种角度思考和解决问题的途径。
四、开展研究性学习，培养学生的文科综合能力。
研究性学习以学生的自主性、实践性、综合性、探索性和创造性学习为基础，从学生生活和社会生活中选择和确定研究专题，主要以个人或小组合作的方式，组织学生上阅报课、调查课、时事热点课等开放型教学模式。利用身边的实际问题，如环境保护、人文发展、时事热点、建设重点等，组织学生做课题、搞调查、写论文，使学生通过跨学科的综合研究和实践活动，获取直接经验，养成科学精神和科学态度，掌握基本的科学方法，提高综合运用所学知识分析实际问题、解决实际问题的能力，培养学生的文科综合能力。
五、政治教师要提高自身的综合素质。
俗话说：“教人一杯水，自己要有一桶水”。面对“３＋文科综合”高考模式的实施，政治教师要不断汲取新养料充实自己。要掌握本学科的新知识、新成果；要学习新兴边缘学科的知识，了解其发展趋势；要从整体上把握政治学科与相关学科间的知识交叉点，并且能够融会贯通；要关注国际、国内的时事动态，了解社会热点及热点问题以充实教材相关内容，丰富教学；要掌握先进的教学方法和现代的教学手段；要研究文科综合能力的培养方法，寻求教学的最佳方案，实现教学目标。总之，培养学生的文科综合能力，是一个全新的课题，需要我们不断探索，不断努力。
级革命的方式也不同，建立起的国家在执政性质上也不同，通过这种训练，学生既掌握了一种新的学习方法和思维方式，也得出了新的见解，有助于创新思维能力的提高。
总之，创新思维要求有独立的知识结构，积极的求异性，敏锐的观察力，创新性的想像力和活跃的灵感。这种创新思维能保证学生正确分析新情况、解决新问题，并将它
（上接第２６页）
３．求异是创新思维的核心
在课堂教学上，由教学生“学会”到引导学生“会学”，其中求异思维不失为一种好的方法。如，在资产阶级革命中，尼德兰、英国、法国、美国等，由于国情的不同，进行资产阶
（上接第２９页）（２）当ａ在水平方向时，因Ｆ－ｍ、／研，ｒ故他霄、／≤导
（３）当ａ沿倾角为０的斜面方向时，很易求得：Ｆ＝ｍＸ／—ａ２＋ｇ＇２土２—ａｇｓｉｎＯ其中：＋、一分别对应于ａ沿斜面向上或向下。
总之，等效法是物理学研究中的一种重要方法。物理学中许多知识都存在等效思想。如合力与分力等效，合运动与分运动等效，电路的等效，交流电与直流电的热等效，环形电流与条形磁铁的等效，氢原子核外电子绕核高速旋转时可等效为环形电流，直导线切割磁感线运动时可等效为——电源等等。在教学中要求学生要善于用等效法去解题，这对他们掌握知识，灵活运用知识及使知识技能得到迁移都有益处。
一３３—
空间向量在立体几何中的应用
作者：陈贵春
作者单位：大同五中,山西,大同,037000
刊名：
忻州师范学院学报
英文刊名：JOURNAL OF XINZHOU TEACHERS UNIVERSITY
年，卷(期)：2001，17(6)
被引用次数：1次
相似文献(10条)
1.期刊论文吴元芬空间向量与立体几何-成才之路2009,""(28)
本文抓住空间向量与立体几何的相关性,以丰富的实例详尽分析讲解了利用空间向量解决立体几何中的有关空间角、距离、垂直等三大方面的应用问题,对于拓宽教学思路和提高教学质量具有一定的借鉴作用.
2.期刊论文刘汉文.LIU Han-wen运用空间向量知识,解决立体几何问题-六盘水师范高等专科学校学报
2005,17(3)
用"空间向量"的方法处理立体几何问题,可以收到化繁为简,化难为易,减轻学生学习立体几何困难的效果.
3.期刊论文向鸿空间向量在立体几何中的运用-凯里学院学报2008,26(3)
讨论了空间向量在求解立体几何中两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、两个平面所成的角、空间距离的方法.
4.学位论文赵宇空间向量对立体几何教与学影响的研究2008
空间向量引入立体几何是数学课程改革的重点之一。其中改革的难点和焦点在于：空间向量应该放在一个什么样的位置?传统的立体几何又应该放在一个什么样的位置?如何在立体几何的教学和学习中，正确处理好空间向量的位置问题。
本研究主要采用问卷调查法、访谈法、文献分析法和比较分析法，对东北地区三所学校的六个班级学生以及若干教师进行调查，集中研究空间向量对立体几何教与学产生的影响，包括对教学内容、教学方法、学生数学思维能力三方面的影响。
自2007年3月开始，笔者查阅了有关空间向量与立体几何课程、教学方面的大量文献，在此基础上，对《全日制普通高级中学数学教学大纲》与《普通高中数学课程标准(实验)》关于空间向量内容的要求，进行了比较研究。同时，对《全日制普通高级中学教科书(必修)第二册下(B)》与《普通高中课程标准试验教科书》关于立体几何与空间向量的课程内容安排，进行了文本对比分析。2008年3月，对东北地区三所学校(辽宁省实验中学、黑龙江省实验中学、大庆实验中学)高中二年级学生进行了问卷调查，并对这三所学校的部分教师进行了教师问卷与访谈。同时，于2008年4月份对调查的数据与文本分析的结果进行了比较系统的分析研究。
调查结果的显示主要可以分为以下两点：
第一，在现行的高中数学教材中，空间向量成为了一个独立的知识体系，增加了立体几何的教学内容，增加了教师教学的难度。同时，对学生来说，增加了一种新的解决立体几何习题的方法。问卷结果显示：实验班级有73％的学生采用向量法，平行班级有60％的学生采用向量法，其中均有一半的学生能够较好的使用向量法，学生可以在综合法与向量法中自由选择。因此，引入向量可以适当降低了学生学习立体几何的难度。
第二，空间向量是立体几何的一个通法，学生只要通过向量坐标运算方式和代数式运算方式就能够解决立体几何习题，并且从多年的高考试题中可以看出，采用代数式运算方式解答的立体几何习题不多。因此，引入向量降低了学生使用综合法的几率，在一定程度上弱化了对学生空间想象能力训练的要求。
笔者认为，这些问题经过妥善处理，都可以在高中数学课程实施过程中得到改善：
第一，在教学过程中，注重空间向量与其它学科的联系，注意空间向量与平面向量的对比讲授，从而有效降低学生接受空间向量的难度，降低教师的教学难度。
第二，在教学过程中，大量采用实物教学，让学生接触更多的实际物体，对于培养学生的空间想象能力十分有利。
第三，在教学过程中，通过一题多解，精心编制或选择立体几何例题、习题等方式平衡向量法和综合法在学生思想中的地位，让学生在学习向量法的同时，不忽视综合法。
5.期刊论文吴春平空间向量在立体几何中应用-池州师专学报2004,18(5)
本文初步探讨了空间向量作为一种新的思维工具在解答立体几何问题中的应用,显示出向量的思想方法在解决问题过程中的优越性、新颖性、简洁性.
6.期刊论文王兴空间向量的创新应用-科技资讯2008,""(22)
空间向量是研究立体几何问题的一种非常有效的代数工具,因此在立体几何中的距离问题的解决中非常实用.本文从点到直线的距离、异面直线间的距离、点到平面的距离这三个方面未尝试空间向量在求距离问题中的运用.
7.期刊论文张孝梅.张建凤例谈法向量在立体几何计算与证明中的运用-延边教育学院学报2006,20(3)
立体几何传统的解法需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力,许多学生为此而感到困惑.新教材中空间向量的出现,为立体几何问题的解决提供了强有力的工具,尤其是法向量的引入,在很大程度上避开了思维的高强度转换和各种辅助线的添加,代之以空间向量的计算与证明,使思路变得顺畅,充分显示出其独特的优势.
8.期刊论文陈光立选修2-1"空间向量与立体几何"教学问答-中学数学月刊2007,""(11)
问:"空间向量与立体几何"这一章的基本思想是什么?
答:本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想.根据立体几何问题的特点,以适当的方式(例如构建向量、建立空间直角坐标系)用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素,建立起空间图形与空间向量的联系;然后通过空间向量的运算,研究相应元素之间的关系(平行、垂直和夹角等);最后对运算结果的几何意义作出解释,从而解决立体几何问题.教科书通过例题,引导学生对解决立体几何问题的三种方法(向量方法、坐标法、综合法)进行比较,分析各自的优势,因题而宜作出适当的选择,从而提高综合运用数学知识解决问题的能力.
9.期刊论文肖玲例谈以向量为背景的立体几何--对2005年高考立体几何综合题的分析-黔东南民族师范高等专科学校学报2006,24(3)
向量融"数"、"形"于一体,是沟通代数与几何的天然桥梁.用向量方法解决立体几何问题,可使立体几何问题代数化,降低难度.立体几何中关于空间角、空间距离及空间平行和垂直问题是高考考查的重点和热点,本文通过对2005年高考立体几何综合题的分类分析,例谈向量方法在解立体几何综合题中的应用.
10.期刊论文翁贻声空间向量法解立体几何的补充和传授-考试周刊2010,""(6)
空间向量法和传统的几何法比较起来,在立体几何问题上,如证垂直,求异面直线形成的角、线面角、二面角等都可以避开传统几何法的一作、二证这两个步骤,直接求解,具有较为明显的优势.因此,在传授了传统几何法解决立体几何问题的基础上,教师有必要向学生补充传授立体几何问题的空间向量解法,让学生掌握空间向量法解立体几何,拓宽学生的知识面提高学生高考的得分能力.
引证文献(1条)
1.李玲玲向量方法在圆锥问题中的应用[期刊论文]-内江师范学院学报 2006(z1)
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下载时间：2010年8月6日