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零指数幂与负整数指数幂

零指数幂与负整数指数幂(1)

知识技能目标

1.使学生理解a 0的意义，并掌握a 0＝1(a ≠0)；

2.使学生理解a -n （n 是正整数）的意义，并掌握a -n ＝n

a 1（a ≠0，n 是正整数）；

3.使学生理解并掌握幂的运算律对于整数指数都成立，并会正确运用．

过程性目标

1.使学生理解引进a 0、a -n （n 是正整数）规定的必要性，体会到数学的严密性和逻辑性；

2.使学生在复习正整数指数幂的运算律时，体会到它对0指数幂、负整数整数指数幂的运算也适用，能把运算律一起记住，并会正确运用．

情感态度目标

简洁的内容，在形式上尽可能做到活泼，从而培养学生之间的感情，有利于形成和发展学生的数学观念和思维方式．

重点和难点

重点：幂与负整数指数幂；

难点：幂与负整数指数幂的有意义的条件．

教学过程

一、创设情境

问题1 在§21.1中介绍同底数幂的除法公式a m ÷a n ＝a m -n 时，有一个附加条件：m ＞n ，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m ＝n 或m ＞n 时，情况怎样呢？

二、探究归纳

先考察被除数的指数等于除数的指数的情况．例如考察下列算式：

52÷52，103÷103，a 5÷a 5(a ≠0)．

一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得

52÷52＝52-2＝50，

103÷103＝103-3＝100，

a 5÷a 5＝a 5-5＝a 0(a ≠0)．

另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1．概括由此启发，我们规定：

50＝1，100＝1，a 0＝1(a ≠0)．

这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1．

注零的零次幂没有意义．

我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：

52÷55，103÷107．

一方面，如果照同底数幂的除法公式来计算，得

52÷55＝52-5＝5-3，

103÷107＝103-7＝10-4．

另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为

3322525

2515555555=?==÷，

4433737

310110101010101010=?==÷．概括由此启发，我们规定

33515=

-，4410

110=-．一般地，我们规定 n n a

a 1=-（a ≠0，n 是正整数）．这就是说，任何不等于零的数的-n （n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数．

三、实践应用

1.判断正误：

(1) a 6÷a 2＝a 3； (2)(-a )3÷(-a )2＝a ； (3)a 6÷a 2＝a 4； (4)a 3÷a ＝a 4；

(5)(-c )4＋c 2＝-c 2； (6)(-c )4÷(-c )2＝c 2； (7)a 5÷a 4＝0； (8)54÷54＝0；

(9)x 3n ÷x n ＝x 2n ； (10)x 3n ÷x n ＝x 3．（答案：3，6，9正确，其余错误．）

2.在括号内填写各式成立的条件：

(1)x 0＝1； ( )(2)(x -3)0＝1； ( )(3)(a -b )0＝1；

( ) (4)a 3·a 0＝a 3； ( )(5)(a n )0＝a n ·0； ( )(6)(a 2-b 2)0＝1． ( ) （答案：x ≠0；x ≠3；a ≠b ；a ≠0；a ≠0；a 2≠b 2或|a |≠|b |．）

例1 计算：

(1)810÷810； (2) 10-2； (3)101031-???

? ??．例2 用小数表示下列各数：

(1) 10-4； (2)2.1×10-5．

现在，我们已经引进了零指数幂和负整数指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数．那么，在§14.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否成立呢？与同学们讨论交流一下，判断下列式子是否成立：

(1) a 2·a -3＝a 2+(-3)； (2)( a ·b )-3＝a -3·b -3； (3)( a -3)2＝a -3×2．

分析 (1)一方面，a a a a

a 13232==?-，另一方面，a 2+(-3)＝a -1，由刚才所学公式知a

a 11=-，所以可得a 2·a -3＝a 2+(-3)；

(2)一方面，33331)(1)(b

a b a b a ?=?=?-，另一方面，333311b a b a ?=?--，所以可得 ( a ·b )-3＝a -3·b -3；

(3)一方面，62

32311)(a a a =??? ??=-，另一方面，66231a a a ==-?-，所以可得 ( a -3)2＝a -3×

2．概括当a 、b 都不等于0时，下列运算律成立：

(1)同底数幂的乘、除法

a m ·a n ＝a

m +n （m ，n 都是整数）； a m ÷a n ＝a

m -n （m ，n 都是整数）；

(2)幂的乘方 (a m )n ＝a mn

（m ，n 都是整数）；

(3)积的乘方

(ab )n ＝a n b n （n 是整数）．

例3 计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：

(1) (x -5y 2z -1)2； (2)(a 2b -2)-1(a 3b －4)3．四、交流反思

1.进行有关0次幂和负整数幂的运算要注意底数一定不能为0，特别是当底数是代数式时，要使底数的整体不能为0；

2.在正整数幂的基础上，我们又学习了零次幂和负整数幂的概念，使指数概念推广到整数的范围；

3.对0指数幂、负整数指数幂的规定的合理性有充分理解，才能明了正整数指数幂的运算性质对整数指数幂都是适用的．

五、检测反馈

1．计算：

(1)(-0.1)0； (2)020031??? ??； (3)2-2； (4) 2

21-??? ??． 2.计算：

(1)510÷254； (2)(-117)0； (3)4-2； (4)241-??

? ??-． 3.计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：

(1)(x -3yz -2)2； (2)(a 3b -1)-2(a -2b 2)2； (3)(2m 2n -3)3(-mn -2)-2．

《零次幂和负整数指数幂》知识解读知识讲解

学习资料仅供学习与参考《零次幂和负整数指数幂》知识解读知识点一零次幂和负整数指数幂任何不等于0的数的零次幂都等于1，即10=a （0≠a ）. 任何不等于0的数的n -（n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.即n n a a 1=-（0≠a ，n 是正整数）. 注意事项：（1）10=a 的前提是0≠a ，如1)2(0=-x 成立的条件是2≠x ；（2）n n a a 1= -条件是0≠a ，n 为正整数，而20-等是无意义的.当0>a 时，n a -的值一定为正；当0