2.1 抛物线及其标准方程
课后作业提升
1.抛物线y2=ax的准线方程为()
A.x=
B.x=-
C.y=
D.y=-
答案:B
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有()
A.|P1F|+|P2F|=|P3F|
B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2
C.2|P2F|=|P1F|+|P3F|
D.|P2F|2=|P1F|·|P3F|
解析:因为P1,P2,P3在抛物线上,且2x2=x1+x3,两边同时加上p,得2=x1++x3+,
即2|P2F|=|P1F|+|P3F|,故选C.
答案:C
3.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合,则p的值为()
A.-2
B.2
C.-4
D.4
解析:椭圆=1的右焦点为(2,0),所以抛物线y2=2px的焦点为(2,0),则p=4,故选D.
答案:D
4.某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶6 m时,水面宽10 m,则抛物线的方程可能是()
A.x2=-y
B.x2=-y
C.x2=-y
D.x2=-y
答案:A
5.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为.
解析:如图所示.由已知可求得点B在抛物线y2=2px上,
∴1=2p·,
∴p=.
∴B,准线为x=-.
∴点B到准线的距离为.
答案:
6.抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则点P的坐标为.
解析:y2=x的准线为x=-,焦点为.设点P(x1,y1),由抛物线的定义,知x1+=2,∴x1=2-.由,得y1=±.∴点P的坐标为.
答案:
7.设抛物线y2=mx(m≠0)的准线与直线x=1的距离为3,求抛物线的方程.
分析:由于m≠0,所以m>0或m<0.在m>0和m<0两种情况下,抛物线y2=mx的开口方向、准线方程等差异很大,因此,本题应就m>0和m<0分类讨论.
解:当m>0时,由2p=m,得,
这时抛物线的准线方程是x=-.
∵抛物线的准线与直线x=1的距离为3,
∴1-=3,解得m=8.
此时抛物线的方程是y2=8x.
同理,当m<0时,抛物线的方程是y2=-16x.
8.汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线,灯口直径为197 mm,反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知,当灯泡安装在抛物线的焦点处时,经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线,应怎样安装灯泡?(精确到1 mm)
分析:建立适当的坐标系,将题设中的距离转化为抛物线上的点.应用待定系数法求得抛物线方程.
解:
如图,在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy,设抛物线方程为y2=2px(p>0),灯应安装在其
焦点F处.在x轴上取一点C,使OC=69 mm,过点C作x轴的垂线,交抛物线于A,B两点,AB就是灯口的直径,即AB=197 mm,所以点A的坐标为.
将点A的坐标代入方程y2=2px,解得p≈70.3.
所以抛物线的焦点坐标约为F(35,0).
因此灯泡应该安装在距顶点约35 mm处.