§5 函数的微分
【目的要求】
1、掌握函数、隐函数、复合函数的微分法则；
2、熟练掌握一阶微分形式不变性求函数微分的方法． 【重点难点】
微分概念、微分形式的不变性及其应用． 【教学内容】
在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量在点x 处有微小增量x ?时，求函数()y f x =相应的微小增量
()()y f x x f x ?=+?-。
这个问题初看起来简单，然而，对于较复杂的函数()f x ，增量y ?的值不易求出。这时我们可以考虑求y ?的近似值，怎样求y ?的近似值呢？微分就是在这种背景下产生的一个概念。
一、微分的定义
先分析一个具体问题。一个正方形的铁片，受热后均匀膨胀，边长由0x 变为x x ?+0，问铁片的面积大体改变了多少？
如图2-5所示,设正方形铁片的边长为x ，面积为
A ，则
2A x =，
当边长x 由0x 变为x x ?+0时，面积的改变量为
2
2
2
00
0()2()A x x x x x x ?=+?-=?+?。
上式包含两个部分，第一部分是02x x ?，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，是x ?的线性函数，是A ?的主要部分；第二部分是2()x ?，即图中带有交叉斜线
图2-5
的小正方形的面积，当0x ?→时，2()x ?是比x ?高阶的无穷小，是A ?的次要部分。
由此可见，如果边长有微小改变(即||x ?很小)时，我们可以将第二部分2
()x ?忽略，而用第一部分02x x ?近似地表示A ?，即02A x x ?≈?。因为00()2A x x '=，所以0()A A x x '?≈?，即面积的增量近似等于面积函数的导数与边长增量之积。由此我们引入微分的定义。
定义5.1 设函数()y f x =在点0x 处可导，自变量x 由0x 变到0x x +?，则把
x x f ?')(0叫做函数()y f x =在点0x 处相应于自变量增量x ?的微分，记作0
d x x y =或
d ()
x x f x =，即
0d ()x x y f x x ='=?或0
0d ()
()x x f x f x x ='=?.
此时，也称函数()y f x =在点0x 处可微。
函数()y f x =在任意点x 的微分，叫做函数()y f x =的微分，记作dy 或
()df x ，即
d ()y f x x '=?或d ()()f x f x x '=?.
例1 求函数2x y =当01.0,2=?=x x 时的增量和微分。 解 函数的增量为0401.02)01.02(22=-+=?y ，
函数的微分为2d ()2y x x x x '=??=??，将01.0,2=?=x x 代入，得
d 220.010.04y =??=.
由上例结果可看出，d y y ?≈，误差是0.0001. 对于函数x y =，它的微分是d d y x x x x '==??=?，即
d x x =?.
即自变量的微分等于自变量的增量。
于是函数的微分可以写成
d ()y f x dx '=，
即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。从而有
d ()d y
f x x
'=，即函数微分与自变量微分的商等于函数的导数，因此导数通常也叫做微商。
从上看到，若函数可导，则函数必可微；反之，若函数可微，则函数必可导。
因此，导数与微分是一致的，通常把导数和微分统称为微分。
二、 微分的几何意义
如图2-6 ，设曲线()x f y =在点M 的坐标为))(,(00x f x ，过点M 作切线MT ，它的倾角为α，当自变量x 有微小的增量x ?时，相应的曲线上纵坐标有增量y ?，由图2-6可看出
0d ()tan y f x x x QP α'=??=??=
因此，函数()x f y =在点0x 处微分就是曲线()x f y = 在点()()00,x f x 的切线上纵坐标的增量。
由图2-5还可看出，当x ?很小时，(1)d y y ?≈；(2)在点M 的附近，可以用切线段来近似代替曲线段，即所谓的“以直代曲”。
三、 微分的基本公式与运算法则
从微分的定义()d y f x dx '=可知，求函数的微分就是所给函数的导数乘以dx ，所以从导数的基本公式和运算法则就可以得到微分的基本公式和运算法则。
1. 微分基本公式：
(1)d()0C =(C 为常数)； (2)1d()d x x x ααα-=； (3)d()ln d x x a a a x =； (4)d()d x x e e x =； (5)1d(log )d ln a x x x a =
； (6)1
d(ln )d x x x
=； (7)d(sin )cos d x x x =； (8)d(cos )sin d x x x =-； (9)2d(tan )sec d x x x =； (10)2d(cot )csc d x x x =-； (11)d(sec )sec tan d x x x x =； (12)d(csc )csc cot d x x x x =-；
(13)d(arcsin )x x =；
(14)d(arccos )x x =；
(15)21d(arctan )d 1x x x =
+； (16)2
1
d(arccot )d 1x x x =-+.
图2-6
2. 微分的四则运算法则 设v u 、都是x 的可微函数，则有 (1)()d d d u v u v ±=±；
(2)d()d d uv v u u v =+，特别地d()d C u C u =(C 是常数)；
(3)2
d d d u v u u v v v -??= ???
. 3．复合函数的微分法则
设()y f u =，()u x φ=均可导，按定义,复合函数)]([x f y ?=的微分为
d d x y y x '=?()()d f u x x ?''=，
即复合函数的微分等于复合函数的导数乘以自变量的微分。
因为()d d x x u φ'=，所以上式又可写成
d d u y y u '=或()d d y f u u '=.
即复合函数的微分等于函数对中间变量的导数乘以中间变量的微分,这就是复合函数的微分法则。
由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分形式d ()d y f u u '=保持不变. 这一性质称为微分形式不变性.
求导数与求微分的运算统称为微分运算。 例2 求下列函数的微分:
(1)223y x x =+ (2)arcsin x y e =； (3)2
ln(1)x y e =+； (4)ln sin y x x =? 解 (1)利用微分的定义得
2d (23d (43y x x x x x '=++=++
.
(2)解法1 ，利用微分的定义得
d (arcsin )d ()d d x x
x
y e x e x x ''==
=
.
解法2，利用复合函数的微分法则得
d d()()d d x x
x
y e e x x '=
=
=
.
(3)用公式()dx x f dy '=，得
2
2
22ln(1)1x x x xe dy e dx dx e
'
??=+=??+
(4)利用乘积的微分法则得
d d(ln sin )sin d(ln )ln d(sin )y x x x x x x =?=+
sin sin d ln cos d (ln cos )d x x
x x x x x x x x x
=
+?=+?. 例4 在括号里填上适当的函数，使下列等式成立： (1)d()2d x x =； (2)2d()csc d x x =；
解 与d ()()d f x f x x '=比较可知，这是已知函数的导数，求原来的函数的问题。
(1)已知函数的导数为x ，因为2()2x x '=，所以2d()2d x x x =。 此外，2(1)2x x '+=，2(2)2x x '-=，……。 一般地， 有 2d()2d x C x x +=(C 为任意常数).
(2)已知函数的导数为2csc x ，因为2(cot )csc x x '-=，所以
2d(cot )csc d x x x -=。
此外，2d(cot 2)csc d x x x -+=，2d(cot 1)csc d x x x --=，……。 一般地，有 2d(cot )csc d x C x x -+=(C 为任意常数). 例5 在括号里填上适当的常数，使下列等式成立： (1)cos5d (
)d(sin 5)x x x =； (2)23d (
)d(5)x x a x =-；
解 (1)因为d(sin 5)(sin 5)d 5cos5d x x x x x '==， 所以1
cos5d (
)d(sin 5)5
x x x =。 (2)因为32d(5)15d a x x x -=-，所以231
d ()d(5)15
x x a x =-
-。 四、 微分在近似计算中的应用
由微分的概念可知，当函数()f x 在点0x 的导数'0()0f x ≠且当x ?很小时，有
()0d y y f x x '?≈=? (1) 即
000()()()y f x x f x f x x '?=+?-≈?，
变形得 000()()()f x x f x f x x '+?≈+? (2) 利用(1)式可以求函数增量y ?的近似值，利用(2)式可以求函数)(x f 在0x 附近的近似值。
例6 计算的cos6030o '近似值
解 设()cos f x x =，有()sin f x x '=-(x 为弧度)
令03
x π
=
，360
x π
?=
，有1()3
2f π
=
，()32
f π'=-. 所以得
cos6030cos()3360o ππ'=+3603sin 3cos πππ?-≈360
2321π
?
-=.4924.0≈ 例7 一个半径为1厘米的球，为了提高表面的光洁度，需要镀上一层铜。镀层厚度为0.01厘米。估计每只球需要用铜多少克？(铜的密度为3/9.8cm g )
解 需用铜的质量等于镀层的体积乘以铜的密度。
镀层的体积等于两个球体体积之差，由球的体积33
4
r V π=得镀层的体积为
33
4()3
V r r r π???=+?-??， 利用近似计算公式(1)，得
r r r V V ?=?'≈?24π，
依题意，1=r ，01.0=?r ，得
32)(13.04cm r r V ≈?≈?π，
因此每只球需要用铜约为16.19.813.0=?(克)。
在公式000()()()f x x f x f x x '+?≈+?中，令00,x x x =?=，得
()(0)(0)f x f f x '≈+ (3)
当x 很小时，利用(3)式可以求函数)(x f 在点0=x 附近的近似值。
根据(3)式，可以得到几个工程上常用的近似计算公式(x 很小)：
(1)(1)1x x αα+≈+ ； (2)x e x +≈1 ； (3)x x ≈+)1ln(；
(4)x x ≈sin (x 用弧度作单位来表达)； (5)x x ≈tan (x 用弧度作单位来表达). 证明从略。