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数值计算方法 练习题

数值计算方法练习题

习题一

1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。

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(1);(2);(3);

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(4);(5);(6);

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(7);

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2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过,问各近似值分别应取几位有效数字?

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3. 设均为第1题所给数据,估计下列各近似数的误差限。

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(1);(2);(3)

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4. 计算,取,利用下列等价表达式计算,哪一个的结果最好?为什么?

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(1);(2);(3)

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(4)

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5. 序列满足递推关系式

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若(三位有效数字),计算时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

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6. 求方程的两个根,使其至少具有四位有效数字(要求利用

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7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。

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(1);(2)

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(3);(4)

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8. 设,求证:

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(1)

(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差增大;反向递推时误差函数减小。

9.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。

10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。

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11.下列公式如何才比较准确?

(1)

(2)

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12.近似数x*=0.0310,

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13.计算取

四个选项:

习题二

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1. 已知,求的二次值多项式。

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2. 令求的一次插值多项式,并估计插值误差。

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3. 给出函数的数表,分别用线性插值与二次插值求的近似值,并估计截断误差。

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4. 设,试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。

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5. 已知,求及的值。

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6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式,并用其计算和的近似值。

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7. 已知函数的如下函数值表,解答下列问题

(1)试列出相应的差分表;

(2)分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。

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8. 下表为概率积分的数据表,试问:

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(1)时,积分

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(2)为何值时,积分?

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9. 利用在各点的数据(取五位有效数字),求方

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程在0.3和0.4之间的根的近似值。

10. 依据表10中数据,求三次埃尔米特插值多项式。

表10

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11. 依据数表11

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12. 在上给出的等距节点函数表,用分段线性插值求的近似值,要

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使截断误差不超过,问函数表的步长h应怎样选取?

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13. 将区间分成n等分,求在上的分段三次埃尔米特插值多项式,并估计截断误差。

14、给定的数值表

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用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限

15、在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少?

16、若,求和

17、若互异,求

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的值,这里p≤n+1.

18、求证

19、已知的函数表

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求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.

20、给定f(x)=cosx的函数表

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用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差.

21.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足

22.令称为第二类Chebyshev多项式,试求的表达式,并证

明是[-1,1]上带权的正交多项式序列.

23、用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它拟合下列数据,并计算均方误差.

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24、填空题

(1) 满足条件的插值多项式p(x)=().

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(2) ,则f[1,2,3,4]=(),f[1,2,3,4,5]=().

(3) 设为互异节点,为对应的四次插值基函数,则=(),

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=().

(4) 设是区间[0,1]上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中,则=(),=()

习题三

1. 给出数据如下表所示,试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。

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2. 用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。

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(1)(2)

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3. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下表中的数据相拟合,并计算均方误差。

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4. 在某次实验中,需要观察水份的渗透速度,测得时间t与水的重量W的数据见下表。

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设已知t与W之间的关系为,试用最小二乘法确定参数a、s。

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5. 试构造点集上的离散正交多项式系

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。并利用所求的离散正交多项式系,对第二题中的数据求二次拟合多项式。

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6. 现测量长度和米、米,为了提高测量的可靠性,又测量到

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米。试合理地决定长度和的值。

习题四

1. 确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。

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(1);

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(2);

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(3);

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(4);

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2. 用辛甫生公式求积分的值,并估计误差。

3. 分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分:

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(1),8等分积分区间;(2),4等分积分区间;

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(3),8等分积分区间;(4),6等分积分区间。

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4. 用复化梯形公式求积分,问将积分区间[ a, b ]分成多少等分,才能保证误差不超过e(不计舍入误差)?

5. 导出下列三种矩形公式的项

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(1);(2);

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(3)

提示:利用泰勒公式。

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6. 用龙贝格公式计算下列积分,要求相邻两次龙贝格值的差不超过。

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(1);(2);

7. 根据等式

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以及当n=3,6,12时的三个值,利用外推算法求的近似值。

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8. 分别用下列方法计算积分,并比较结果精度(积分准确值

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(1)复化梯形法,n = 16;(2)复化辛甫生法,n = 8;

(3)龙贝格算法,求至R2;(4)三点高斯—勒让德公式;

(5)五点高斯—勒让德公式。

9. 试确定下面求积分式的待定参数,使其代数精度尽可能高。

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10. 已知f ( x )的值见表6-13。用三点公式求函数在x = 1.0,1.1,1.2处的一阶导数值,并估计误差。

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11. 用二阶三点公式求函数在x = 1.2处的二阶导数值(利用数表6-13)。

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12. 用中点公式的外推算法求在x = 2处的一阶导数值,取h = 0.8开始,加速二次。

13、分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.

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14、用Simpson公式求积分,并估计误差

15、确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.

(1)

(2)

(3)

16、计算积分,若用复合Simpson公式要使误差不超过,问区间

要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间应分为多少等分?

17、用Romberg求积算法求积分,取.

18、用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.

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19、用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分.

习题五

1. 用列主元素法解下列方程组

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(1);(2);(3)

对(1) (2)两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点,右下方矩阵是否对称,列主元在何处,消元过程是否符合上题结论。

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2. 用追赶法解下列方程组

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(1)

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(2)

3. 求第1题及第2题中系数矩阵A的LU分解,并用此分解法解对应的线性方程组。

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4. 给定,求及。

5、用Gauss消去法求解下列方程组.

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6、用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.

7、用Doolittle分解法求习题5(1)方程组的解.

8、下述矩阵能否作Doolittle分解,若能分解,分解式是否唯一?

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9、用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中

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10、用平方根法解方程组

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11、设,证明

12、设计算A的行范数,列范数及F-范数和2范数.

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13、设为上任一种范数,是非奇异的,定义,证明

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14、求下面两个方程组的解,并利用矩阵的条件数估计.

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,即

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,即

15、是非题(若"是"在末尾()填+,"不是"填-):题目中

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(1)若A对称正定,,则是上的一种向量范数()(2)定义是一种范数矩阵()

(3)定义是一种范数矩阵()

(4)只要,则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵,U为非奇上三角阵()

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(5)只要,则总可用列主元消去法求得方程组的解()(6)若A对称正定,则A可分解为,其中L为对角元素为正的下三角阵()

(7)对任何都有()

(8)若A为正交矩阵,则()

习题六

1. 对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法是否收敛?若收敛,写出其迭代格式;若下收敛,能否将方程变形,使之用雅可比迭代法或高斯—塞德尔迭代法时收敛?

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(1);(2);

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(3);(4);

2. 试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代5次求线性方程组的解(取初值

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3. 用雅可比迭代法解下列方程组。

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(1)

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(2)

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取,并判别此迭代是否收敛?

4. 用塞德尔迭代法解方程组。

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取,并判别此迭代是否收敛?

5.证明对于任意的矩阵A,序列收敛于零矩阵.

6.方程组

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(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.

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(2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到

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为止.

7.设方程组

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证明:解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散.

8.下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解,是否收敛?

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9.设,detA≠0,用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.

10.用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)

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精确解,要求当时迭代终止,并对每一个ω值确定迭代次数.

11.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度,并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?

12.填空题

(1)要使应满足().

(2) 已知方程组,则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛().它的渐近收敛速度R(B)=().

(3) 设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是().GS法的迭代矩阵是().

(4) 用GS法解方程组,其中a为实数,方法收敛的充要条件是a满足().

(5) 给定方程组,a为实数.当a满足(),且0<ω<2时SOR迭代法收敛.

习题七

1. 判断下列方程有几个实根,并求出其隔根区间。

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(1);(2)

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(3);(4)

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2. 方程在区间(3,4)中有一实根,若用二分法求此根,

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使其误差不超过,问应将区间对分几次?并请用二分法求此根。

3. 下列方程各有一实根,判别能否直接将其写成迭代格式而后求解?如不能,将方程变形,给出一个收敛的迭代格式。

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(1);(2)

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4. 求方程的隔根区间,对方程的下列四种等价变形,判断各迭代格式的收敛性,选一种收敛最快的迭代格式,求出具有四位有效数字的近似根。

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(1)(2)(3)

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(4)

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5. 考察方程有几个根,选择合适的迭代格式求这些根,允许误差

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6. 用牛顿法求出的方程根的迭代结果见表2-6,试估计所求根的重数。

表2-6

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