第六章 不等式
第1讲 不等式的概念与性质
1．(2013年上海)如果a
B ．ab
C ．－ab <－a 2
D ．－1a <－1b
2．(2013年北京)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1
b
C ．a 2
>b 2
D ．a 3>b 3
3．已知下列不等式：①x 2＋3>2x ；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R ＋)；③a 2＋b 2
≥2(a －b －1)．其中正确的个数有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N )，公比q ≠1，则( ) A ．a 1＋a 8>a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8 5．(2012年广东茂名二模)下列三个不等式中，恒成立的个数有( ) ①x ＋1 x ≥2(x ≠0)； ②c a ③a ＋m b ＋m >a b (a ，b ，m >0，a A ．lg ? ????x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1 sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2 ＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1 x 2＋1 >1(x ∈R ) 7．若不等式(－1)n a <2＋ －1 n ＋1 n 对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A.??????－2，32 B.? ????－2，32 C.??????－3，32 D.? ????－3，32 8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆． 9．已知a ＞0，b ＞0，求证：? ????a 2b 1 2 ＋? ?? ??b 2 a 12 ≥a 12 ＋b 1 2. 10．已知α∈(0，π)，比较2sin2α与sin α 1－cos α 的大小． 第2讲 一元二次不等式及其解法 1．(2014年山东)设集合A ＝{x |x 2 －2x <0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2] B ．(1,2) C ．[1,2) D ．(1,4) 2．如果kx 2 ＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B．－1≤k <0 C ．－1 3．已知函数f (x )＝? ???? x ＋2 x ≤0 ，－x ＋2 x ＞0 ，则不等式f (x )≥x 2 的解集是( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,1] D ．[－1,2] 4．若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b x －2 ＞0的解 集是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(1,2) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 5．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2 <0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.7 2 C.154 D.152 6．(2014年大纲)不等式组??? ?? x x ＋2 >0，|x |<1 的解集为( ) A ．{x |－2 B ．{x |－1 C ．{x |0 D ．{x |x >1} 7．(2014年广东佛山一模)已知函数f (x )＝????? x 2 ＋2x ，x ≥0， x 2 －2x ，x <0. 若f (－a )＋ f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,2] 8．不等式ax 2 ＋bx ＋c ＞0的解集区间为? ?? ??－13，2，对于系数a ，b ，c ，有如下结论：① a <0；② b ＞0；③ c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是____________． 9．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＜b ＜c ，函数f (x )＝ax 2 ＋2bx ＋c 满足f (1)＝0，且关于t 的方程f (t )＝－a 有实根(其中t ∈R ，且t ≠1)． (1)求证：a ＜0，c ＞0； (2)求证：0≤b a <1. 10．(2014年广东揭阳二模)已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ＜0)． (1)若当x ∈[1，e]时，函数f (x )的最大值为－3，求a 的值； (2)设g (x )＝f (x )＋f ′(x )，若函数g (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求a 的取值范围． 第3讲 算术平均数与几何平均数 1．已知x >1，则y ＝x ＋1 x －1 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．3 2．若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 3．(2013年山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2 －3xy ＋4y 2 －z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B.9 8 C ．2 D.9 4 4．(2014年重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 5．(2013年湖北黄冈一模)若向量a ＝(x －1,2)与向量b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为______． 6．(2013年上海虹口一模)如果log a 4b ＝－1，则a ＋b 的最小值为__________． 7．(2014年上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2 的最小值为______________． 8．(2014年上海)设f (x )＝???? ? －x ＋a ，x ≤0，x ＋1 x ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取 值范围是________． 9．(2013年上海徐汇一模)某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/时．当船速为10海里/时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元．假定航行过程中轮船是匀速航行． (1)求k 的值； (2)求该轮船航行100海里的总费用W 的最小值．(总费用＝燃料费＋航行运作费用) 10．(2013年广东中山一模)某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问： (1)当每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)求每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？ 第4讲 简单的线性规划 1．(广西百所示范性中学2015届高三第一次大联考)若变量x ，y 满足约束条件 ???? ? x ＋y ≤3，x ≥1，y ≥0， 则z ＝x －y 的最小值是________． 2．(2015年广东深圳一模)已知实数x ，y 满足不等式组???? ? x ≥1，y ≥0， x ＋y ≤3， 则x ＋2y 的最 大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．(2014年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件??? ?? x ＋y ≥a ， x －y ≤－1， 且z ＝x ＋ay 的最小值为7， 则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3 D ．5或－3 4．(2013年山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组???? ? 2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0， 3x ＋y －8≤0 所表示 的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－13 D ．－1 2 5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩(1亩≈666.7平方米)，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 蔬菜 年产量(吨/亩) 年种植成本(万元/亩) 售价(万元/吨) 黄瓜 4 1.2 0.55 韭菜 6 0.9 0.3 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A ．50,0 B ．30,20 C ．20,30 D ．0,50 6．设二元一次不等式组???? ? 2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0， x ＋2y －14≤0 所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝ log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( ) A ．[1,3] B ．[2，10] C ．[2,9] D ．[10，9] 7．(2013年广东惠州一模)已知点P (x ，y )满足? ?? ?? 0≤x ≤1， 0≤x ＋y ≤2，则点Q (x ＋y ，y )构成 的图形的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．(2013年北京)设D 为不等式组???? ? x ≥0，2x －y ≤0， x ＋y －3≤0 表示的平面区域，区域D 上的点与 点(1,0)之间的距离的最小值为__________． 9．某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别 预定多少个单位的午餐和晚餐？ 10．(2014年陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ， y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC → (m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23 ，求|OP → |； (2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 第5讲 不等式的应用 1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总 利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N * )，要使每辆客车运营的年平均利润最大，则每辆客车营运的最佳年数为( ) A ．3年 B ．4年 C ．5年 D ．6年 2．(2013年陕西)在如图X6-5-1所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2 的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( ) 图X6-5-1 A ．[15,20] B ．[12,25] C ．[10,30] D ．[20,30] 3．(2014年福建)要制作一个容积为4 m 3 ，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的 底面造价是20元/m 2，侧面造价是10元/m 2 ，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元 4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( ) A ．10层 B ．15层 C ．20层 D ．30层 5．(2013年广东)已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x －y ＋3≥0，－1≤x ≤1， y ≥1， 则z ＝x ＋y 的最大 值是________． 6．一份印刷品，其排版面积为432 cm 2 (矩形)，要求左右留有4 cm 的空白，上下留有3 cm 的空白，则当矩形的长为________cm ，宽为________cm 时，用纸最省． 7．某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的维修费用为12万元，以后每年增加4万元，每年可收入50万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前5年的平均年利润最多；③前10年总利润最多；④第11年是亏损的；⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少(总利润＝总收入－投入资金－总维修费)．其中真命题是________． 8．(2014年湖北)某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)， 平均车长l (单位：米)的值有关，其关系式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时； (2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/时． 9．(2015年广东江门调研)某农户建造一间背面靠墙的房屋，已知墙面与地面垂直，房 屋所占地面是面积为12 m 2 的矩形，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5200元．如果墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 10．(2013年上海)甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)， 每小时可获得的利润是100? ?? ??5x ＋1－3x 元． (1)求证：生产a 千克该产品所获得的利润为100a ·? ?? ??5＋1x －3x 2； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？ 并求此最大利润． 第6讲 不等式选讲 1．不等式|x －2|>x －2的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，2)∪(2，＋∞) 2．(2013年大纲)不等式|x 2 －2|<2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－2,0)∪(0,2) 3．不等式1≤|x －3|≤6的解集是( ) A ．{x |－3≤x ≤2或4≤x ≤9} B ．{x |－3≤x ≤9} C ．{x |－1≤x ≤2} D ．{x |4≤x ≤9} 4．若不等式|ax ＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a 等于( ) A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－2 5．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7] B ．[－4,6] C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞) 6．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围________． 7．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝? ????? ????x ∈R ? ?? x ＝4t ＋1t －6，t ∈ 0，＋∞ ，则集合A ∩B ＝__________. 8．(2013年山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为______． 9．(2013年福建)设不等式|x －2| )的解集为A ，且32∈A ，12 ?A . (1)求a 的值； (2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 10．(2013年新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈? ?? ??－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 第六章 不等式 第1讲 不等式的概念与性质 1．D 解析：a >－1；(－2)×(－1)>(－1)2 ；－(－2)×(－ 1)>－(－2)2 .故A ，B ，C 错误．故选D. 2．D 解析：当c ≤0时，A 不成立；当a ＝1，b ＝－2时，B ，C 不成立．故选D. 3．D 解析：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x .∵a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a －b )(a 2 －b 2)＝(a ＋b )(a －b )2≥0，∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2 ＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2 ≥2(a －b －1)． 4．A 解析：(a 1＋a 8)－(a 4＋a 5)＝(a 1＋a 1q 7)－(a 1q 3＋a 1q 4)＝a 1(1－q 3)＋a 1q 4(q 3 －1)＝a 1(1－q 3)(1－q 4)＝a 1(1－q )2·(1＋q )(1＋q 2)(1＋q ＋q 2)＞0，∴a 1＋a 8＞a 4＋a 5. 5．B 解析：当x <0时，x ＋1 x ≥2(x ≠0)显然不成立．由a >b >0 ?????? 1a <1b ，c >0 ?c a b .故②成立. a ＋m b ＋m －a b ＝m b －a b ＋m b >0， 故③成立．故选B. 6．C 解析：此类题目多选用筛选法，对于A ：当x ＝1 2时，两边相等，故A 错误；对于 B ：具有基本不等式的形式，但sin x 不一定大于零，故B 错误；对于 C ：x 2＋1≥2|x |?x 2 ±2x ＋1≥0?(x ±1)2 ≥0，显然成立；对于D ，任意x 都不成立．故选C. 7．A 8．6 解析：设有x 辆汽车，则货物重为(4x ＋20)吨．由题意，得???? ? 8 x －1 ＜4x ＋20，8x ＞4x ＋20，x ∈N *， 解得5＜x ＜7，且x ∈N * .故只有x ＝6才满足要求． 9．证明：方法一：左边－右边＝ a 3 ＋ b 3 ab －(a ＋b ) ＝ a ＋b a －ab ＋b －ab a ＋b ab ＝ a ＋b a －2ab ＋b ab ＝ a ＋b a －b 2 ab ≥0. ∴原不等式成立． 方法二：左边>0，右边>0. 左边右边＝ a ＋b a －ab ＋b ab a ＋b ＝ a －ab ＋b ab ≥2 ab －ab ab ＝1. ∴原不等式成立． 10．解：2sin2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α 1－cos α －sin α1－cos α ＝sin α1－cos α(－4cos 2α＋4cos α－1)＝－sin α1－cos α (2cos α－1)2 . ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2 ≥0. ∴－sin α1－cos α(2cos α－1)2 ≤0，即2sin2α－sin α1－cos α ≤0. ∴2sin2α≤sin α1－cos α，当且仅当α＝π 3 时取等号． 第2讲 一元二次不等式及其解法 1．C 解析：由已知，得A ＝{x |0 2．C 解析：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴k ＝0符合题意．当 k ≠0时，由题意，得? ???? k <0， 2k 2 －4k ·[－ k ＋2 ]＜0. 解得－1 3．A 解析：依题意，得????? x ≤0，x ＋2≥x 2或? ???? x ＞0， －x ＋2≥x 2 ?－1≤x ≤0或0＜x ≤1?－1≤x ≤1. 4．A 5．A 解析：不等式x 2－2ax －8a 2 <0(a >0)的解集为(x 1，x 2)， 则x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，且x 2－x 1＝ x 1＋x 2 2 －4x 1x 2＝ 2a 2＋32a 2 ＝6a ＝15，则a ＝52 .故选A. 6．C 解析：原不等式可化为? ?? ?? x <－2，或x >0， －1 7．C 解析：f (1)＝3，当a ＝0时，f (0)＋f (0)＝0≤6成立； 当a >0时，f (－a )＋f (a )＝(－a )2＋2a ＋a 2＋2a ≤6，a 2 ＋2a －3≤0，a ∈[－3,1]，得a ∈(0,1]； 当a <0时，f (－a )＋f (a )＝(－a )2＋2×(－a )＋a 2－2a ≤6，a 2－2a －3≤0，a ∈[－1,3]，得a ∈[－1,0)． 综上所述，a ∈[－1,1]．故选C. 8．①②③④ 解析：∵不等式ax 2 ＋bx ＋c ＞0的解集为? ?? ??－13，2，∴a <0；－13，2是方 程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的两根，－13＋2＝－b a >0，∴b >0；f (0)＝c >0，f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1) ＝a －b ＋c <0.故正确答案为①②③④. 9．证明：(1)∵f (x )＝ax 2 ＋2bx ＋c ，∴f (1)＝a ＋2b ＋c ＝0. ① 又a ＜b ＜c ，∴2a ＜2b ＜2c ，∴4a ＜a ＋2b ＋c ＜4c . 即4a ＜0＜4c ，∴a ＜0，c ＞0. (2)由f (1)＝a ＋2b ＋c ＝0，得c ＝－a －2b . 又a ＜b ＜c 及a ＜0，得－13 a <1. ② 将c ＝－a －2b 代入f (t )＝at 2＋2bt ＋c ＝－a ，得at 2 ＋2bt －2b ＝0. ∵关于t 的方程at 2 ＋2bt －2b ＝0有实根， ∴Δ＝4b 2 ＋8ab ≥0，即? ????b a 2＋2? ?? ??b a ≥0， 解得b a ≤－2或b a ≥0. ③ 由②③知，0≤b a <1. 10．解：(1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1 x ，x >0，a <0， 令f ′(x )>0，即a ? ?? ??x ＋1a x >0.解得0 . ∴函数f (x )在? ????0，－1a 上单调递增，在? ?? ??－1a ，＋∞上单调递减． ∴当x ＝－1 a 时，f (x )取极大值． ①当－1 a ≤1，即a ≤－1时，函数f (x )在[1，e]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)＝－3.解得a ＝－3. ②当1<－1a ≤e，即－1 e 时， f (x )max ＝f ? ?? ??－1a ＝－3， 解得a ＝－e 2