微积分定积分练习题(有答案)
1利用定积分的几何意义计算」''1 - x2dx. 2. 计算定积分"2(x+ 1)dx. J i 3. 定积分"bf(x)dx的大小() ?a A .与f(x)和积分区间[a, b]有关,与E的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及&的取法无关 C .与f(x)以及8的取法有关,与区间[a, b]无关 D .与f(x)、区间[a,b]和8的取法都有关 4. 在求由x= a,x= b(a
8. 10 利用定积分的几何意义求 —9 — x — 3 2dx. (1)| 2(x 2+ 2x + 1)dx ; 广n (2) 1 (sinx — cosx)dx ; (3)| J* 2 / 、 1 x — X 2 +_ 1 丿。 1 < X 丿 (4) 0-?cosx + e x )dx. ⑹p (2x + 1)dx ; ⑺ 丿0 1 2x + 一 dx x 广1 ⑺f; x (8) 1x 3dx ; ■ 0 (9) 1e x dx. 11 求 y = — x 2与 y = x — 2围成图形的面积S. 15 A.— 4 17 B.— 4 1 C.—|n 2 2 D . 2ln2 已知"2 f(x)dx = 3,贝U 2 [f(x) + 6]d 1 1 12 .由直线x =2,x =2,曲线y =严x 轴所围图形的面积为 13.已知 f 1— 1(x 3 + ax + 3a — b)dx= 2a + 6 且 f(t) = f (x 3 + ax + 3a — b)dx 为偶函数, 求下列定积分: dx ; 2 1 x 2dx
高中数学-定积分的概念练习
高中数学-定积分的概念练习 一、基础达标 1.下列命题不正确的是 ( ) A .若f (x )是连续的奇函数,则 B .若f (x )是连续的偶函数,则 C .若f (x )在[a ,b ]上连续且恒正,则??a b f (x )d x >0 D .若f (x )在[a ,b ]上连续且??a b f (x )d x >0,则f (x )在[a ,b ]上恒正 答案 D 2.直线x =1,x =-1,y =0及曲线y =x 3 +sin x 围成的平面图形的面积可表示为 ( ) A. B .2??0 1(x 3 +sin x )d x C . D.??0 1(x 3 +sin x )d x 答案 B 3.已知??a b [f (x )+g (x )]d x =18,??a b g (x )d x =10,则??a b f (x )d x 等于 ( ) A .8 B .10 C .18 D .不确定 答案 A 4.已知定积分??06f (x )d x =8,则f (x )为奇函数,则??-6 6f (x )d x = ( ) A .0 B .16 C .12 D .8 答案 A 5.根据定积分的几何意义,用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积, S =________.
答案 ??a b [f 1(x )-f 2(x )]d x (两图积分式相同) 6.由定积分的几何意义,定积分sin x d x 表示________. 答案 由直线x =0,x =π 2,y =0和曲线y =sin x 围成的曲边梯形的面积 7.根据定积分的几何意义推出下列积分的值. (1) x d x ;(2) cos x d x . 解 若x ∈[a ,b ]时,f (x )≥0,则??a b f (x )d x 的几何意义是表示由直线x =a ,x=b y =0和曲线y =f (x )围成的平面图形的面积;若x ∈[a ,b ]时,f (x )≤0,则??a b f (x )d x 表示所围成的图形面积的负值. (1)如图①,x d x =-A 1+A 1=0. (2)如图②,cos x d x =A 1-A 2+A 3=0. 二、能力提升 8.和式 1n +1+1n +2+ (12) ,当n →∞时的极限值用定积分式子可表示为 ( ) A.??011x d x B.? ?0 1 1 x +1d x
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定 理 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
课题:定积分与微积分定理使用时间:2011-10-11 【使用说明及学法指导】 1.先仔细阅读教材选修2-2:,再思考知识梳理所提问题,有针对性的二次阅读教材,构建知识体系,画出知识树; 2.限时30分钟独立、规范完成探究部分,并总结规律方法. 【学习目标】 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念、几何意义。 2.直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。 3.应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题,在解决问题的过程中体验定积分的价值.? 学习重点:正确计算定积分,利用定积分求面积。 学习难点:定积分的概念,将实际问题化归为定积分问题。 学习策略: ①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法,理解定积分的概念。 ②求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数. ③求导运算与求原函数运算互为逆运算. 【课前预习】 一、基础知识梳理: 知识点一:定积分的概念
如果函数在区间上连续,用分点 将区间分为n个小区间,在每个小区间上任取一点 (i=1,2,3…,n),作和式,当时,上述和式无限趋近于某个常数,这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即=,这里,与分别叫做积分与积分,区间 叫做,函数叫做,叫做,叫做 . 说明:(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 知识点二:定积分的几何意义: 设函数在区间上连续. 在上,当时,定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的; 在上,当时,由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方,定积分在几何上表示曲边梯形面积 的;
高中数学定积分的概念教案新人教版选修2-2
§1.5.3定积分的概念 教学目标: 1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程,了解定积分的背景; 2.借助于几何直观定积分的基本思想,了解定积分的概念,能用定积分定义求简单的定积分; 3.理解掌握定积分的几何意义. 教学重点:定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义. 教学难点:定积分的概念、定积分的几何意义. 教学过程: 一.创设情景 复习: 1. 2二.新课讲授 1.定积分的概念 一般地,设函数()f x 在区间[ ,]a b 上连续,用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x D (b a x n -D =),在每个小区间 []1,i i x x -上任取一点()1,2, ,i i n x =L ,作和式: 11 ()()n n n i i i i b a S f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0(亦即n ? )时,上述和式n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为:()b a S f x dx =ò, 其中 - ò积分号,b -积分上限,a -积分下限,()f x -被积函数,x -积分变量, [,]a b -积分区间,( )f x dx -被积式。 说明:(1)定积分() b a f x dx ò是一个常数,即n S 无限趋近的常数S (n ? 时)记 为 ()b a f x dx ò,而不是n S . (2)用定义求定积分的一般方法是:①分割:n 等分区间[],a b ;②近似代替:取 点[]1,i i i x x x -?;③求和:1 ()n i i b a f n x =-?;④取极限:() 1 ()l i m n b i n a i b a f x dx f n x =-=?ò (3)曲边图形面积:()b a S f x dx = ò;变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =ò ;变力做功 ()b a W F r dr = ò 2.定积分的几何意义
人教版高中数学定积分概念及其运算
第 1 页 定 积 分 一、定积分的概念 1、曲边梯形的面积 分割→近似取代→求和→求极限 说明:(1)常用的求和公式 )12)(1(61...3212222++=++++n n n n 223333)1(4 1...321+=++++n n n (2)在定积分理论中,这种分割是任意的,只要保证每个区间的长度都向于0.在这里“等分”与“任意分割”等价的。 2、定积分的概念 一般地,设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x ?(b a x n -?= ),在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ,作和式:11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为:()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数,x 叫做积分变量,[,]a b 为积分区间,b 积分上限,a 积分下限。 3、定积分的几何意义 从几何上看,如果在区间[]b a ,上函数 )(x f 连续且恒有0)(≥x f 。那么定积分?b a dx x f )(表示由直线a x = b x =,)(b a <,0=y 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形 的面积。 4.性质1 、 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( (其中k 是不为0的常数) (定积分的线性性质) 性质2、 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±??? (定积分的线性性质) 性质3 、 ()()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<??其中(定积分对积分区间的可加性)
定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学山永峰 考 什么怎么考 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解. 3.考查曲边梯形面积的求解. 4.与几何概型相结合考查. [归纳·知识整合] 1.定积分 (1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质:①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t,则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??0 1(x 2-x )d x B .S =??0 1(x -x 2)d x C .S =??0 1(y 2-y )d y D .S =??0 1(y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) — A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??-3 1 (3-x 2-2x )d x =(3x -13x 3-x 2)|1-3 =32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, / ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后 的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分,即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积.从图象知:在t 0时刻,v 甲的图象与t 轴和t =0,t =t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t =0,t =t 0围成区域的