《随机事件》说课稿
各位老师，大家好！今天我说课的课题：九年级上册第二十五章概率初步第一课时《随机事件》，下面我将从以下几个方面进行说明。一、教材分析
（一）教材地位与作用
前面所学的数学问题,其结果往往是确定的,而从本节课开始就要接触结果不确定的情况——随机事件.它既是概率论的基础,又是生活中存在的大量现象的一个反映.因此,学好它,既能解决生活中的一些问题,也为今后的学习打下良好的基础.
（二）教学目标
（1）知识与技能：了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点。
（2）过程与方法：经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程，发展从纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力。
（3）情感、态度与价值观：学生通过亲身体验、亲自演示，感受数学就在身边，使学生乐于亲近数学，感受数学，喜欢数学，体会数学的应用价值。
（三）重点、难点分析
重点：随机事件的特点。
难点：判断现实生活中哪些事件是随机事件。
（四）学情分析
由于学生以前未接触过结果不确定的数学问题，所以对随机事件概念的出现一时难以适应，教师只有通过大量、生动、鲜活的例子，让学生充分感知的基础上，才能准确理解和把握随机事件的有关概念。
二、教法分析
为了说明什么是随机事件和它有什么特点，我通过大量的实例，让学生经历体验、操作、观察、归纳、讨论总结概括出定义，为了检验学生是否理解它的特点，我通过一定的例题加以巩固，特别让学生对“生死签”问题进行思考、再讨论，既能发现学生对随机事件的特点掌握怎样？又能充分体现学生的学习主体性。充分挖掘出学生的学习潜力，激发学生的学习兴趣，让学生充分感受数学的价值。
三、学法指导
建构主义认为：“数学学习并非是一个被动接受的过程，而应是主动建构的过程”。教师通过一系列活动和具体例子，让学生通过观察，动手操作，积极思考，充分讨论和交流。逐步加深对随机事件及其特点的理解和把握。充分调动、激发学生学习思维的积极性，充分体现学生是学习的主体和教师是学生学习的组织者、参与者和促进者。
四、教学过程
教学设计说明
本节是“概率初步”一章的第一节课，教学中，首先列举了学生在实际生活中所熟悉的、生动的、鲜活的实例，让学生初步感受必然事件，不可能事件，随机事件的意义。然后，通过演示试验，小组讨论，逐步形成对随机事件的特点及定义的理性认识，这样从易到难，从简单到复杂，逐渐深入地引入随机事件的概念的安排，显得自然而又流畅。
本节课，没有纠缠在概念的具体文字上，而是通过经典的随机事件的例子，使学生准确的理解和把握随机事件的有关概念。
《概率》说课稿
各位老师：大家好
今天我说课的题目是 25.1.2概率，这节课所选用的教材为人教版义务教育课程标准九年级上册教科书。本节课在教材中具有承上启下的作用。
一、教材分析
1、教材的地位和作用、学情分析
本节内容是在学生已经学习了必然事件、随机事件、不可能事件等知识的基础上，从上节课所讲的三种事件出发，以探索随机事件发生的可能的大小为目标，并为学生后面学习用列举法求概率及用频率估计概率奠定了基础。但对于概率的理解，（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
2、教学目标分析
知识与技能：1.理解什么是随机事件的概率，认识概率是反映随机事件发生可能性大小的量.
2.理解“事件A发生的概率是P（A）= (在一次试验中有n种等可能的结果，其中事件A包含m种)”的求概率的方法，并能求出简单问题的概率.并阐明理由。
过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，理解随机事件的概率的定义，掌握概率求法.并在解决实际问题中提高他们解决问题的能力，发展学生应用知识的意识。
情感态度与价值观：引导学生对问题观察、质疑，激发他们的好奇心和求知欲，理解概率意义，渗透辩证思想，感受数学现实生活的联系，使学生在运用数学知识解决问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心。体会数学在现实生活中的应用价值。
3、重难点分析
教学重点：能够运用概率的定义求简单随机事件发生的概率，并阐明理由。
教学难点：正确地理解随机事件发生的可能性的大小。
二、学法指导
本节课共设计了6个教学活动，难易程度由浅入深、层层递进，通过游戏的形式，学生在动手操作、观察分析、类比归纳中，通过自主探究、合作交流，在教师的启发指导下,学生在轻松愉快的环境中探求新知。充分体现了“数学教学主要是数学活动教学”这一思想，体现了师生互动、生生互动的教学理念。
利用多媒体形象生动的特点，增加了课堂的趣味性和直观性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，激活学生思维能力，增大了教学容量，对
解决重点、突破难点起到辅助作用。提高教学效率。
三、教学过程分析
为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：
第一环节:创设情景、复习引入
第二环节:引深拓展，归纳总结
第三环节:巩固知识，实际应用
第四环节:试试伸手，找找不足
第五环节:交流反思，课时小结
第六环节：课后作业，拓展升华
（一）创设情景、复习引入
判断下列这些事件是随机事件、必然事件还是不可能事件？
1.明天会下雨
2. 太阳从西边升起
3.买彩票中奖
4.一分钟等于六十秒
问题1 从分别标有1，2，3，4，5的5根签中随机地抽取一根，抽到的号是5.这个事件是随机事件吗？抽到5个号码中任意一个号码的可能性的大小一样吗？
问题 2 抽出的可能的结果一共有多少种？每一种占总数的几分之几？
问题3 掷一枚骰子，向上的一面的点数有多少种可能？它分别是什么？
问题4 向上的点数是1、2、3、4、5、6的可能性的大小相等吗？它们都是总数的几分之几？
问题5 你认为抽到你和抽到别人的可能性一样吗？
问题6：掷一枚骰子，向上的一面的点数有几种可能？出现向上一面的点数是1的可能性是多少？其它点数呢？
由于骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出，所以出现每种结果的可能性大小相等，都是全部可能结果总数的多少.
设计意图建构主义主张教学应从学生已有的知识体系出发,这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境。通过以抽签的方式回答问题，让学生自己的亲身体验，这样容易激发起学生学习兴趣。这样安排一方面复习了必然事件、随机事件和不可能事件的内容，而且还加深了对三种事件的理解；另一方面也为过渡到本节课的教学作了一个很好的铺垫。以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望。
通过情境创设，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节———
（二）、引申拓展，归纳总结
概率定义(概率的古典定义) (是什么？)
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率。表示方法：事件A的概率表示为P（A）特点
提问：问题1和问题6有什么共同特点
（其实是古典定义计算概率时的两个条件：）
特点1 每一次试验中，可能出现的结果只有有限个
特点2 每一次试验中，各种结果出现的可能性相等
1. 掷一枚骰子，向上的一面的点数是1的概率是多少？
2. 抛一枚硬币，正面向上的的概率是多少？
对于具有上述特点的试验，可以从事件所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果数中所占的比，分析出事件发生的概率.即“点数是1”这个事件包含一种可能结果，在全部6种可能结果中所占的比为。概率求法：（怎么求出，在哪里？）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等。事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝m/n
请6名同学上台来参与模拟抽奖游戏，分三次进行
第一次全都没有奖第二次有一部分有奖第三次全都有奖
从此可以看出，不可能事件A的概率为0，即P(A)=0
必然事件A的概率为1，即P(A)=1
随机事件A的概率 0 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1； 事件发生的可能性越小，它的概率越接近0. 设计意图：现代数学教学论指出，教学必须在学 生自主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，在这里，通过观察分析、独立思考、小组交流等活动，引导学生归纳求法。从实际问题出发，使学生理解概率定义，理解概率是从数 量上刻画了一个随机事件发生的大小。 (三)巩固知识，实际应用（用在何处，怎么用？） 例1 掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为2；（2）点数为奇数；（3）点数大于2且小于5. 解：掷一个骰子时，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。 （1）P(点数为2)=1/6 （2）点数为奇数有三种可能，即点数为1，3，5， P(点数为奇数)=3/6=1/2 （3）点数大于2且小于5有两种可能，即点数为3，4， P(点数大于2且小于5)=2/6=1/3 例2 图25.1-2是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色。指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)。求下列事件的概率： （1）指针指向红色（2）指针指向红色或黄色（3）指针不指向红色。解：按颜色把7个扇形分别记为：红1，红2，红3，绿1，绿2，黄1，黄2，所以可能结果的总数为7。 (1)指针指向红色（记为事件A）的结果有3个，即红1，红2，红3，因此P(A)=3/7 (2)指针指向红色或黄色（记为事件B）的结果有5个，即红1，红2， 红3，黄1，黄2。因此P(B)=5/7 (3)指针不指向红色（记为事件C）的结果有4个，即绿1，绿2，黄1，黄2，因此P(C)=4/7 思考：联系第一问和第三问，你有什么发现？ 结论：在一次试验中，相互对立的两个事件的概率之和等于1 设计意图：数学教学论指出数学概念要明确其内涵和外延（条件、结论、应用范围等），通过对概率的几个重要方面的阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，使学生的数学理解又一次突破思维的难点使学生初步会求随机事件发生的概率，从而解决实际问题，培养学生应用意识。 通过前面的学习，学生已基本把握了本节课所要学习的内容，此时，他们急于寻找一块用武之地，以展示自我，体验成功，此时我把学生带入下一环节——— (四)试试伸手，找找不足课本练习 补充：1、小李手里有红桃1,2,3,4,5,6,从中任抽取一张牌，观察其牌上的数字．求下列事件的概率． (1)牌上的数字为3;(2)牌上的数字为奇数;(3)牌上的数字为大于3且小于6. 2、如图所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，分为红、绿、黄三种颜色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位里（指针指向两个扇形的交线时当作指向右边的扇形），求下列事件的概率 (1）指针指向绿色；(2）指针指向红色或黄色；(3)指针不指向红色．3、一个袋子中装有15个球，其中有10个红球，则摸出一个球不是红球的概率。 设计意图：巩固学生对概率定义的理解和认识及对概率的计算公式的简单运用技能。以达到及时学习、及时应用，让学生从中找一成功的感觉，从而提高学生对学习数学的兴趣。 （五）交流反思，课时小结 如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且他们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m/n。0≤m≤n，有0 ≤ m/n≤1 因此 0 ≤P(A) ≤1 P(必然事件)=1 P(不可能事件)=0 小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主体地位，让学生畅谈本节课的收获。加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯。（六）课后作业，拓展升华 习题25.1 课本132页，第4、5题 选做题：圆盘被分成若干等份分别涂成红、黄、绿三种颜色，使得转出红区域的概率为0.2 ，转出黄区域的概率为0.5 ，转出蓝区域的概率为0.3 。 以作业的巩固性和发展性为出发点，体现分层施教的原则。我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本 节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。 板书设计 25.1.2概率 概率定义:一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）. 有以下特点： （1）每一次试验中可能出现的结果只有有限个； （2）每一次试验中，各种结果出现的可能性相等. 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 0≤P(A)≤1 特别地：当A为必然事件时，P(A)=1， 当A为不可能事件时，P(A)=0. 例1 例2 归纳 板书就是一个微型的教案，本节课的板书主要为大纲式文字图示结合式。这样的好处是比较直观、系统，不仅能帮助学生构建知识网络，而且能及时地体现教材中的知识点和重点，以便于学生能够理解掌握。 以上是我对本节课的见解，不足之处敬请各位评委谅解！批评指正！我的说课完毕。谢谢！ 25.2 《用列举法求概率》（第2课时）说课稿 现实生活中存在着大量的不确定事件，而概率正是研究不确定事件的一门学科。今天我说课的题目是《用列举法求概率》（第2课时） 我将从教材分析、学情分析、教法分析、学法分析、过程分析及评价分析六个方面来具体阐述对本节教材的理解和教学设计。 一、教材分析 1、内容分析：《用列举法求概率》是人教版新教材九年级上册第二十五章第二节。本节内容分2课时完成，本节课是第2课时的教学。本节课主要内容是学习用列表法和树形图法求概率。 2、地位与作用：概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。因此，初中教材增加了这部分内容。了解和掌握一些概率统计的基本知识，是学生初中毕业后参加实际工作的需要，也是高中进一步学习概率统计的基础，在教材中处于非常重要的位置。 3、教学重点：学习运用列表法或树形图法计算事件的概率。 概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0 随机事件(第一课时) 25.1.2 概率的意义 教学目标: 〈一〉知识与技能 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 〈二〉教学思考 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 〈三〉解决问题 在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念. 〈四〉情感态度与价值观 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解 【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件 【教学过程】 一、创设情境，引出问题 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁. 二、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则. 把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试 验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来.. 2．教师巡视学生分组试验情况. 注意：（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难. （2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3.各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入. 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性，引导他们小组合作，进一步探究. 解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作. 4．全班交流. 把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图. 表25-2 想一想1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？ 注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动. 想一想2（投影出示） 随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？ 在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具n 图25.1-1 第二章练习题(答案) 一、单项选择题 1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为 3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1] 4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C ) 5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25)，记 P1 = P (X “ + 5), 则正确的是 (A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p? (c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P2 6.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C ) F(x) = o, kx+b 、 x<0 0 < x< x> 则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0 龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 (A ) z 7 fl -cosx ； 2 0, f sinx, A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0); B. f (x) 1, x < 0 [cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)非负 D. f (x)在(-叫+00)内连续 A. P {X 25.1.1随机事件（1） 自学目标： 1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。 2.历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。 重、难点： 随机事件的特点并能对生活中的随机事件作出准确判断。 自学过程： 一、课前准备： 1.在一定条件下必然发生的事件，叫做；在一定条件下不可能发生的事件，叫做；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做； 2．下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ (1)太阳从西边下山；(2)某人的体温是100℃； (3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)；(4)水往低处流； (5)酸和碱反应生成盐和水；(6)三个人性别各不相同； (7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。 3．什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？ 二、自主探究： 活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题： （1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？ （2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？ （3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？ （4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 活动2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面： （1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？ （2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？ （3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？ （4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ （1）上述两个活动中的两个事件（2）怎样的事件称为随机事件呢？ （3）与必然事件和不可能事件的区别在哪里？ 三、巩固新知： 1．下列事件是必然发生事件的是（） (A)打开电视机，正在转播足球比赛(B)小麦的亩产量一定为1000公斤 (C)在只装有5个红球的袋中摸出1球是红球(D)农历十五的晚上一定能看到圆月 2．下列事件中是必然事件的是( ) 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第二章 随机变量及其分布 教学要求： 一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌 握(0-1)分布、二项分布、Poisson 分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质， 并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数. 三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布． 重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布． 练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律 1．填空、选择 (1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量?? ?=，，出现正面 ，，出现反面H T X 10 则随机变量X 在区间 ]22 1 ，（上取值的概率为21. (2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X 表示命中的次数,如果 {}81 80 1= ≥X P ,则{}==1X P 8. (3)设离散型随机变量X 的概率分布为{},,2,1, ===i cp i X P i 其中0>c 是常数， 则（ B ） （A ）11-=c p ； （B ）1 1 +=c p ； （C ）1+=c p ； （D ）0>p 为任意常数 2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 解：从1～5中随机取3个共有103 5=C 种取法. 以X 表示3个中的最大值.X 的所有可能取值为;5,4,3 {}3=X 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则 概率论与数理统计课后习题答案 第二章 1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最 大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 35 35 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分 布律； （2） X 的分 布函数并作图； (3) — 133{},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 31331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35 C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== 故X 的分布律为 （2） 当x <0时， F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 2235 当1≤x <2时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时， F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函 数 0, 022 ,0135 ()34,12351,2x x F x x x 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=? ??02x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事 件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 25.1.1随机事件(第一课时) 知识与技能：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。 过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。 情感态度和价值观：体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。 重点：随机事件的特点 难点：对生活中的随机事件作出准确判断 教学程序设计 一、创设情境，引入课题 1．问题情境 下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ (1)太阳从西边下山； (2)某人的体温是100℃； (3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)； (4)水往低处流； (5)酸和碱反应生成盐和水； (6)三个人性别各不相同； (7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。 【设计意图：首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。】 2．引发思考 我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？ 【设计意图：概念也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念。】 二、引导两个活动，自主探索新知 活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题：（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？ （2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？ （3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？ （4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?0 2x 其它1 ???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 ?==≤4120 21)21(xdx X P 64 9 )43()41()2(1223= ==C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ???≥<≤<=2,110, 4/0, 0)(2 x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝ ()?????≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2 100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－??=-+=+=150 1001501002 3 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=( 32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝ ___________，P ＝_________________。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2 10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝9 5 ，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。 解： 11. 随机变量X ～N （2， σ2），且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿ % 2.8081 65811614014 ==-=-=q p C o ) 0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94 )1(95)1(2 = =?=∴===??= ≥p q q X p X p X p 第1章随机事件与概率概率论与数理统计是研究随机现象规律性的学科. 概率论侧重于对随机现象出现的可能性大小做出数量上的描述，形成一整套数学理论和方法； 数理统计是以概率论为基础研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定结论的科学和艺术. 概率论与数理统计是既有理论基础又有应用潜力的学科，其理论与方法已广泛应用于林业、农业、工程、社会学、经济学等领域中，还在不断向新兴学科渗透并相互促进发展. §1.1 随机现象及其统计规律性客观世界的各种现象大体可分为两类： 一类称为决定性现象，即在一定的条件下，只出现一个结果.例如，在标准大气压下，水升温至100摄氏度时沸腾；每天清晨，太阳总从东方升起；向空中抛一物体必然下落等. 另一类称为非决定性现象，即在一定的条件下，并不总是出现相同结果，在概率论中称为随机现象. 比如，播种一粒银杏种子，可能发芽可能不发芽；掷一颗骰子，可能出现1至6点等. 该类现象有以下两个特点： ①结果不止一个； ②人们事先不能确定出现的结果. 随机现象是概率论与数理统计的研究对象. 1.1.1 随机试验 对随机现象进行的试验和观察称为随机试验. 例1．1随机现象的例子 （1）播种一粒银杏种子，观察银杏种子发芽； （2）掷一颗骰子，观察出现的点数； （3）单位时间内，某手机被呼叫的次数； （4）某种型号冰箱的使用寿命； （5）测量课本的长度，观测其误差. 在一定条件下，对自然与社会现象进行的观察或实验称为试验. 在概率论中，将满足下述条件的试验称为随机试验： （1）试验在相同条件下是可以重复进行的； （2）试验的结果不至一个，但全部可能结果事先是知道的； （3）每一次试验都会出现上述全部可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事先无法预知. 1.1.2随机现象的统计规律性 对一个随机试验来说，每次试验结果具有不确定性，规律性不强，但大量重复性试验的结果就存在一定的规律性. 例如，若抛掷一枚均匀硬币，一次抛掷，出现正面还是出现反面很难确定，但重复大量次抛掷，出现正面次数占抛掷总次数的1/2. 历史上有许多科学家做过抛掷硬币的试验. 抛掷均匀硬币，其结果见表1—1. 表1—1 历史上抛掷硬币试验 第二十五章概率初步 25．1随机事件与概率 25．1.1随机事件 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点． 了解随机事件发生的可能性是有大有小的，不同的随机事件发生的可能性的大小不同． 重点随机事件的特点． 难点判断现实生活中哪些事件是随机事件． 一、情境引入 分析说明下列事件能否一定发生： ①今天不上课；②煮熟的鸭子飞了；③明天地球还在转动；④木材燃烧会放出热量；⑤掷一枚硬币，出现正面朝上． 二、自主探究 1．提出问题 教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球，分组讨论从这三个袋子里摸出黄色乒乓球的情况．学生积极参加，通过操作和观察，归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的，在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的，在第3个袋子中摸出黄色球是必然的． 2．概念得出：从上面的事件可看出，对于任何事件发生的可能性有三种情况： (1)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； (2)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件； (3)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件． 3．随机事件发生的可能性有大小 袋子中有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的情况下，随机地从袋子中摸出一个球． (1)是白球还是黑球？ (2)经过多次试验，摸出的黑球和白球哪个次数多？说明了什么问题？ 结论：一般地，随机事件发生的可能性有大小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同． 三、巩固练习教材第128页练习 四、课堂小结(学生归纳，老师点评) 本节课应掌握： (1)必然事件，不可能事件，随机事件的概念． (2)一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同． 五、作业布置：教材第129页练习1，2. 25．1.2概率 1．在具体情境中了解概率的意义，体会事件发生的可能性大小与概率的值的关系． 第2章练习题 1、二手数据的特点是（） A.采集数据的成本低，但搜集比较困难 B. 采集数据的成本低，但搜集比较容易 C.数据缺乏可靠性 D. 不适合自己研究的需要 2、从含有N个元素的总体中，抽取n个元素作为样本，使得总体中的每一个元素都有相同的机会（概率）被抽中，这样的抽样方式称为（） A.简单随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D. 整群抽样 3、从总体中抽取一个元素后，把这个元素放回到总体中再抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为（） A.重复抽样 B.不重复抽样 C.分层抽样 D.整群抽样 4、一个元素被抽中后不再放回总体，然后从所剩下的元素中抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为（） A.不重复抽样 B.重复抽样 C.系统抽样 D.多阶段抽样 5、在抽样之前先将总体的元素划分为若干类，然后从各个类中抽取一定数量的元素组成一个样本，这样的抽样方式称 为（） A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样D?整群抽样 6、先将总体各元素按某种顺序排列，并按某种规则确定一个随机起点，然后每隔一定的间隔抽取一个元素，直至抽取 n个元素形成一个样本。这样的抽样方式称为（） A.分层抽样 B.简单随机抽样 C.系统抽样D?整群抽样 7、先将总体划分为若干群，然后以群作为抽样单位从中抽取部分群，再对抽中的各个群中所包含的所有元素进行观察， 这样的抽样方式称为（） A.系统抽样 B.多阶段抽样 C.分层抽样 D.整群抽样 8为了调查某校学生的购书费用支出，从男生中抽取60名学生调查，从女生中抽取40名学生调查，这种调查方是（） A.简单随机抽样 B.整群抽样 C.系统抽样 D.分层抽样 9、为了调查某校学生的购书费用支出，从全校抽取4个班级的学生进行调查，这种调查方法是（） A.系统抽样 B.简单随机抽样 C.分层抽样D?整群抽样 10、为了调查某校学生的购书费用支出，将全校学生的名单按拼音顺序排列后，每隔50名学生抽取一名学生进行调查， 这种调查方法是？（） A.分层抽样 B.整群抽样 C.系统抽样 D.简单随机抽样 11、为了了解女性对某种化妆品的购买意愿，调查者在街头随意拦截部分女性进行调查。这种调查方式是（） A.简单随机抽样 B.分层抽样C?方便抽样D?自愿抽样 12、研究人员根据研究对象的了解有目的的选择一些单位作为样本，这种调查方式是（） A.判断抽样 B.分层抽样 C.方便抽样 D.自愿抽样 13、下面的那种调查方式不是随机选取的（） A.分层抽样 B.系统抽样C?整群抽样D?判断抽样 14、下面的那种抽样调查结果不能用于对总体有关参数进行估计（） A.分层抽样 B.系统抽样 C.整群抽样 D.判断抽样 15、调查时首先选择一组调查单位，对其实施调查之后，再请他们提供另外一些属于研究总体的调查对象，调查人员根据所提供的线索，进行此后的调查。这样的调查方式称为（） A.系统抽样 B.整群抽样 C.滚雪球抽样 D.判断抽样 16、如果要搜集某一特定群体的有关资料。适宜采用的调查方式是（） A.滚雪球抽样 B.系统抽样 C.判断抽样 D.整群抽样 17、下面的那种抽样方式不属于概率抽样（） A.系统抽样 B.整群抽样 C.分层抽样 D.滚雪球抽样 18、下面的那种抽样方式属于非概率抽样（） A.系统抽样 B.简单随机抽样 C.整群抽样 D.方便抽样 19、先将总体中的所有单位按一定的标志（变量）分为若干类，然后在每个类中采用方便抽样或判断抽样的方式选取样本单位。这种抽样方式称为（） A.分类抽样 B.配额抽样 C.系统抽样 D.整群抽样 第二章 条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概 率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件 下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然 后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第 二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回 时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以 pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为， 而误认废品为合格品的概率为，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,, 皆与C 独立。 第二章 作业题解: 2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式. 解： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。 并且，361)12()2(= ===X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；36 4 )9()5(====X P X P ； 36 5 )8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。 即 36 | 7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据 1)(0 ==∑∞=k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率： (1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则 12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ======== 两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=???=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为： 2016 .06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=????=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ 习题 2-2 1. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量 1, 发生 , X A 0, 不发生 . A 写出随机变量 X 的分布律 . 解 { =1}= , { =0}=1- p . P X p P X 或者 X 0 1 P 1- p p 2. 已知随机变量 X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为 1 , 3 , 5 , 7 . 试确定常数 c , 并计算条件概率 P{ X 1 | X 0} . 2c 4c 8c 16c 解 由离散型随机变量的分布律的性质知， 1 3 5 7 1, 2c 4c 8c 16c 37 所以 c . 16 1 P{ X 1} 8 所求概率为 { <1| X 0 }= 2c . P X P{ X 0} 1 5 7 25 2c 8c 16c 3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分 布 , 若 P{X ≥ 1} 5 , 求P{Y ≥1}. 9 解 注意 p{x=k}= C n k p k q n k , 由题设 5 P{ X ≥1} 1 P{ X 0} 1 q 2 , 9 故 q 1 p 2 从而 . 3 P{Y ≥1} 1 P{ Y 0} 1 ( 2 ) 3 19 . 3 27 4. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率 19 为, 求每次试验成功的概率 . 27 解 设每次试验成功的概率为 p , 由题意知至少成功一次的概率是 19 ，那么一次都 27 第2章一维随机变量 习题2 一. 填空题： 1.设 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 是 (){}x P x F ≤=ξ， 则 用 F (x) 表 示 概 { }0x P =ξ = __________。 解：()()000--x F x F 2.设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 为 ()()+∞<<∞-+= x arctgx x F π 1 21 则 P{ 0<ξ<1} = ____14_____。 解： P{ 0<ξ<1} = =-)0(F )1(F 1 4 3.设 ξ 服 从 参 数 为 λ 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{ ξ = 2 } = P{ ξ = 3 }， 则 P{ ξ = 3 }= ___ 278 3 e - 或 3.375e -3____。 4.设 某 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 { }???===,2,1,0,! k k C k P K λξ， 常 数 λ>0， 则 C 的 值 应 是 ___ e -λ _____。 解： {}λλλλξ-∞ =∞ =∞==?=?=?=?==∑ ∑ ∑e C Ce k C k C k P K K K K K 11! 1! 10 5 设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}4,3,2,1,21=?? ? ??==k A k P k ξ 则 ????? ?<<252 1 ξP = 0.8 。 解： ()A A k P k 1615 1618141214 1 =??? ??+++==∑=ξ 令 1516 1A = 得 A =1615 ()()21252 1 =+==??? ??<<ξξξp p P 8.041211516=??????+= 6.若 定 义 分 布 函 数 (){ }x P x F ≤=ξ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是 F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F (- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ ) = 1 第二章 离散型随机变量及其分布律 第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题 Page 55 1、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用ξ表 示所得球上的数字，求ξ的分布律。 解答：因为ξ只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以ξ的分布律为： 2、 在问ξ解答：可能为0ξ0,1,,10 3、 个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球 解答：0 m 中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数k ，则第 1k +次取到是黑球，以i A 表示第i 次取到的是白球；_ i A 表示第i 次取到的是黑球。则ξ的 分布律为： _ _ 12112111 {}()()(|) (|) 11,0,1,,1 1k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k m n n n k n k ξ++===--+-=????=--+-。 4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿 灯显示时间相等。以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求ξ的分布律。 解答：因为只有3个路口，因此ξ只可能取0、1、2、3，其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。 以i A 表示第i 个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2i P A =，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以123,,A A A 相互独立。因此ξ的分布律为： _ 11{0}()2 P P A ξ=== ， _ _ 12121{1}()()()4 P P A A P A P A ξ==== ， {2}P ξ==_ _ _ _ 1231231()()()()8 P A A A P A P A P A == ， _ _ _ _ _ _ 123123{3}()()()()1/8P P A A A P A P A P A ξ====。 5、 一实的概率为 i p = 解答：的，以A 因此ξ的{P ξ={1P ξ={P ξ={P ξ=6、 解答：因{},0,1,2,! k P k c k k λξ===如果是随机变量ξ的分布律，则应该满足如下两个 条件：1、对任意的k ，{}0P k ξ=≥，因此可得0c ≥；2、 1{}k P k ξ∞ ===∑0 ! k k c k λ∞ ==∑ce λ=， 所以可得c e λ -=。 7、 设在每一次试验中，事件A 发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3时，指示灯发出 信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试 《概率论与数理统计》第二单元补充题 一、 填空题： 1、函数()f x 为连续型随机变量X 的概率密度函数的充要条件是 12），） 2、随机变量X 的分布律为5 110 32 12 10 P X ，则2X 的分布律为__________,2X +1的分布律为__________ 3、设离散型随机变量X 的分布律为Λ,2,1,2 1}{===k k X P k ，则随机变量X Y 2sin π =的分布律为 4、设离散型随机变量X 的分布律为 k =1, 2, 3,…，则c= . 5、设随机变量X 的概率密度函数为 ， 则P (0 2、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，则为使 12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是________ （ A ） 32,55a b = =- （ B ） 22,33 a b ==- ( C ） 13,22a b =-= （ D ） 13,22 a b =-=- 三、计算题 1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为c c c c 167 , 85,43,21, 确定常数c 并计算P{ξ<1|ξ≠0}. 2、已知ξ~?? ?<<=其它 01 02)(x x x ?, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x). 3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:?? ???≥<≤<=1 11000)(2 x x Ax x x F 求：（1）、系数A; （2）、P (0.3<ξ<0.7); （3）、 概率密度φ(x ). 4、设随机变量X 的密度函数? ??<<=其他0102)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观 察中事件}2 1 {≥X 出现的次数，求（1）P {Y =2}；（2）P {Y ≥1}. 5、已知离散型随机变量X 的概率分布为Λ,2,1,32 }{== =n n X P n ，求随机变量X Y )1(1-+=的分布律和分布函数. 6、（1）、已知随机变量X 的概率密度函数为1(),2 x X f x e x -=-∞<<+∞，求X 的分布函数。 （2）、已知随机变量X 的分布函数为(),X F x 另有随机变量 1,0, 1, X Y >?=? -≤?X 0。 试求Y 的分布律和分布函数。 7、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的命中率分别为0.7和0.8。记Y 表示二人投篮的总次数。（1）求Y 的分布律；（2）问谁先投中的可能性大？ 8、假设随机变量X 的绝对值不大于1，81}1{= -=X P ；4 1 }1{==X P ；在事件“|X |<1”发生的条件下，X 在（-1，1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长概率论与数理统计第四版第二章习题答案
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