一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现:每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.
(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元?
(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】(1)这一星期中每件童装降价20元;(2)每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元. 【解析】 【分析】
(1)根据售量与售价x (元/件)之间的关系列方程即可得到结论. (2)设每星期利润为W 元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题. 【详解】
解:(1)根据题意得,(60﹣x )×10+100=3×100, 解得:x =40, 60﹣40=20元,
答:这一星期中每件童装降价20元; (2)设利润为w ,
根据题意得,w =(x ﹣30)[(60﹣x )×10+100]=﹣10x 2+1000x ﹣21000 =﹣10(x ﹣50)2+4000,
答:每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元. 【点睛】
本题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题,利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.
2.已知抛物线26y x x c =-++.
(1)若该抛物线与x 轴有公共点,求c 的取值范围;
(Ⅱ)设该抛物线与直线21y x =+交于M ,N 两点,若MN =C 的值; (Ⅲ)点P ,点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点,,PA QB 都垂直于x 轴,垂足分别为A ,B ,若OPA OQB ???,求c 的取值范围.
【答案】(I )9c -;(Ⅱ)2c =-;(Ⅲ)c 的取值范围是21
74
c -<< 【解析】 【分析】
(1) 抛物线与x 轴有公共点,则判别式为非负数,列不等式求解即可;
(2)求出二次函数与直线的交点,并根据勾股定理求出MN 的长度,列方程即可求解;
(3)由OPA OQB ???可知,P ,Q 两点的坐标特点,设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ,则点Q 的坐标为(,)n m ,代入二次函数,得到n,m 的关系,则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】
解:(I )∵抛物线2
6y x x c =-++与x 轴有交点,
∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
240b ac ∴?=-,即264(1)0c -?-?.解得9c -
(Ⅱ)根据题意,设()()1122,21,,21M x x N x x ++
由2621
y x x c y x ?=-++?=+?,消去y ,得2410x x c -+-= ①. 由2
(4)4(1)1240c c ?=---=+>,得3c >-.
∴方程①的解为1222x x ==
()()()()2
2
2
21212122121520(3)MN x x x x x x c ∴=-++-+=-=+???? 20(3)20c ∴+=,解得2c =-
(Ⅲ)设点P 的坐标为(, )m n ,则点Q 的坐标为(,)n m ,且0,
0,m n m n >>≠,
2266m m c n n n c m
?-++=∴?-++=?,两式相减,得227()0n m m n -+-=,即()(7)0m n m n -+-= 7m n ∴+=,即7n m =-
2770m m c ∴-+-=,其中07m <<
由0?,即2
74(1)(7)0c -?-?-,得214
c -
. 当214c =-
时,7
2
m n ==,不合题意。 又70c ->,得7c <. ∴c 的取值范围是21
74
c -<< 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式,数形结合思想的应用及待定系数法的应用是解题的关键,属于中考压轴题.
3.如图,在平面直角坐标系中,二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、
()2,0B ,交y 轴于点()0,6C ,在y 轴上有一点()0,2E -,连接AE .
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点,求ADE ?面积的最大值; (3)抛物线对称轴上是否存在点P ,使AEP ?为等腰三角形,若存在,请直接写出所有
P 点的坐标,若不存在请说明理由.
【答案】(1)二次函数的解析式为233642y x x =--+;(2)当2
3
x =-时,ADE ?的面积取得最大值50
3
;(3)P 点的坐标为()1,1-,(
1,11-,(1,219--. 【解析】
分析:(1)把已知点坐标代入函数解析式,得出方程组求解即可;
(2)根据函数解析式设出点D 坐标,过点D 作DG ⊥x 轴,交AE 于点F ,表示△ADE 的面积,运用二次函数分析最值即可;
(3)设出点P 坐标,分PA =PE ,PA =AE ,PE =AE 三种情况讨论分析即可. 详解:(1)∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A (﹣4,0)、B (2,0),C (0,6),
∴16404206a b c a b c c -+=??
++=??=?
, 解得:34326a b c ?
=-??
?
=-??
=???
,
所以二次函数的解析式为:y =233
642
x x -
-+; (2)由A (﹣4,0),E (0,﹣2),可求AE 所在直线解析式为y =1
22
x -
-, 过点D 作DN ⊥x 轴,交AE 于点F ,交x 轴于点G ,过点E 作EH ⊥DF ,垂足为H ,如图,
设D (m ,233642m m --+),则点F (m ,1
22
m --), ∴DF =233642m m -
-+﹣(122m --)=23
84
m m --+, ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +1
2
DF ×EH =
12×DF ×AG +1
2×DF ×EH =1
2
×4×DF =2×(2
384
m m --+)
=2
325023
3
m -++(), ∴当m =23-
时,△ADE 的面积取得最大值为503
. (3)y =233
642
x x -
-+的对称轴为x =﹣1,设P (﹣1,n ),又E (0,﹣2),A (﹣4,0),可求PA 29n +PE 212n ++()
AE 16425+=,分三种情况讨论: 当PA =PE 29n +212n ++()
n =1,此时P (﹣1,1); 当PA =AE 29n +16425+=n =11,此时点P 坐标为(﹣1,
11);
当PE =AE 212n ++()
16425+=n =﹣219P 坐标为:(﹣1,﹣219).
综上所述:P 点的坐标为:(﹣1,1),(﹣1,111,﹣219). 点睛:本题主要考查二次函数的综合问题,会求抛物线解析式,会运用二次函数分析三角形面积的最大值,会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键.
4.如图,抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (3,0),与y 轴交于点C . (1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,D 为抛物线对称轴上一动点,求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小; (3)如图2,点E 在第一象限抛物线上,AE 与BC 交于点F ,若AF :FE =2:1,求E 点坐标;
(4)点M 、N 同时从B 点出发,分别沿BA 、BC 方向运动,它们的运动速度都是1个单位/秒,当点M 运动到点A 时,点N 停止运动,则当点N 停止运动后,在x 轴上是否存在点P ,使得△PBN 是等腰三角形?若存在,直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)248433y x x =-++(2)81,3D ??
???
(3)点P 的坐标P 1(﹣1,0)或P 2(7,0)或P 3(﹣95,0)或P 4(1
3
,0). 【解析】 【分析】
(1)直接待定系数法代入求解即可 (2)找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点,先求出直线BC ,然后D 点横坐标是1,直接代入直线BC 求出纵坐标即可 (3)作EH ∥AB 交BC 于H ,则∠FAB =∠FEH ,∠FBA =∠FHE ,易证△ABF ∽△EHF ,得AB AF
2EH EF
==,得EH=2,设E (x ,248x x 433-
++),则H (x ﹣2,420x 33
-+),y E =y H ,解出方程x =1或x =2,得到E 点坐标 (4)△PBN 是等腰三角形,分成三种情况,①BP =BC 时,利用等腰三角性质直接得到P 1(﹣1,0)或P 2(7,0),②当NB =NP 时,作NH ⊥x 轴,易得△NHB ∽△COB ,利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH =BH ,BP ,进而得到OP ,即得到P 点坐标,③当PN =PB 时,取NB 中点K ,作KP ⊥BN ,交x 轴于点P ,易得△NOB ∽△PKB ,利用比例式求出PB ,进而得到OP ,即求出P 点坐标 【详解】
解:(1)将A (﹣1,0)、B (3,0)代入y =ax 2+bx+4,
得 40
930a b a b c -+=??++=?
解得a =43-
,b =83
, ∴抛物线的解析式248
433
y x x =-++; (2)2248416
4(1)3333
=-
++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x =1, ∴D 的横坐标为1,
由(1)可得C (0,4), ∵B (3,0), ∴直线BC :4
y 43
x =-+ ∵DA =DB ,
△DAC 的周长=AC+CD+AD =AC+CD+BD , 连接BC ,与对称轴交于点D ,
此时CD+BD 最小, ∵AC 为定值, ∴此时△DAC 的周长, 当x =1时,y =﹣43×1+4=83
, ∴D (1,
8
3
); (3)作EH ∥AB 交BC 于H ,则∠FAB =∠FEH ,∠FBA =∠FHE ,
∴△ABF ∽△EHF , ∵AF :FE =2:1,
∴
AB AF
2EH EF ==, ∵AB =4, ∴EH =2,
设E (x ,248x x 433-
++),则H (x ﹣2,420x 33
-+) ∵EH ∥AB , ∴y E =y H ,
∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x =1或x =2,
y =
16
3
或4, ∴E (1,
16
3
)或(2,4); (4)∵A (﹣1,0)、B (3,0),C (0,4) ∴AB =4,OC =4,
点M 运动到点A 时,BM =AB =4, ∴BN =4,
∵△PBN 是等腰三角形, ①BP =BC 时,
若P 在点B 左侧,OP =PB ﹣OB =4﹣3=1, ∴P 1(﹣1,0),
若P 在点B 右侧,OP =OB+BP =4+3=7, ∴P 2(7,0);
②当NB =NP 时,作NH ⊥x 轴, △NHB ∽△COB ,
∴4
5
NH BH BN OC OB BC === ∴NH =45OC =445?=16
5
,
BH =
45BC =125
, ∴PH =BH =12
5
, BP =
245
, ∴OP =BP ﹣OB =249355
-=, ∴P 3(﹣
9
5
,0); ③当PN =PB 时,
取NB 中点K ,作KP ⊥BN ,交x 轴于点P , ∴△NOB ∽△PKB ,
∴
PB BK
BN OB
= ∴PB =83
,
∴OP =OB ﹣PB =3﹣83=13
P 4(
1
3
,0) 综上,当△PBN 是等腰三角形时,点P 的坐标P 1(﹣1,0)或P 2(7,0)或P 3(﹣95
,0)或P 4(1
3
,0). 【点睛】
本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点,综合程度比较高,对综合能力要求比较高. 第一问比较简单,考查待定系数法;第二问最短距
离,找到D点是解题关键;第三问证明出相似是关键;第四问能够分情况讨论是解题关键
5.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5)
(1)求该函数的关系式;
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;
(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15.
【解析】
【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式;
(2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标;
(3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积.
【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4,
将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1,
∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3;
(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3),
令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1,
即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0);
(3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧),
由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0),
当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位,
故A'(2,4),B'(5,﹣5),
∴S△OA′B′=1
2
×(2+5)×9﹣
1
2
×2×4﹣
1
2
×5×5=15.
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识.熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的
面积的求解方法等是解题的关键.
6.如图1,抛物线2:C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点,G 是其顶点,将抛物线C 绕点O 旋转180,得到新的抛物线'C .
(1)求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标; (2)如图2,直线12
:5
l y kx =-
经过点A ,D 是抛物线C 上的一点,设D 点的横坐标为m (2m <-),连接DO 并延长,交抛物线'C 于点E ,交直线l 于点M ,
2DE EM =,求m 的值;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接AG 、AB ,在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ,使得DEP GAB ∠=∠?若存在,求出点P 的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)2
4y x x =--,顶点为:(2,4)G -;(2)m 的值为﹣3;(3)存在,点
P 的横坐标为:7734+-
737
4
. 【解析】 【分析】
(1)运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中,即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式,再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标; (2)根据抛物线C 绕点O 旋转180,可求得新抛物线'C 的解析式,再将(4,0)A -代入
12
5
y kx =-
中,即可求得直线l 解析式,根据对称性可得点E 坐标,过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ,过E 作//EK y 轴交直线l 于K ,由2DE EM =,即可得
1
3
ME MD =,再证明MEK ?∽MDH ?,即可得3DH EK =,建立方程求解即可; (3)连接BG ,易证ABG ?是Rt ?,90ABG ∠=,可得
1
tan tan 3
DEP GAB ∠=∠=,在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥,在OH 上截取
1
3
OH OE ==E 作ET y ⊥轴于T ,连接EH 交抛物线C 于点P ,点P 即为
所求的点;通过建立方程组求解即可. 【详解】
(1)将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中,得1640
3
a b a b -=??
-=?
解得1
4
a b =-??
=-?
∴抛物线C 解析式为:24y x x =--,
配方,得:224(2)4y x x x =--=-++,∴顶点为:(2,4)G -; (2)∵抛物线C 绕点O 旋转180,得到新的抛物线'C . ∴新抛物线'C 的顶点为:'(2,4)G -,二次项系数为:'1a = ∴新抛物线'C 的解析式为:22(2)44y x x x =--=- 将(4,0)A -代入125y kx =-中,得12045k =--,解得35
k =-, ∴直线l 解析式为31255
y x =--, ∵2(,4)D m m m --,
∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+,
由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称,可得点D 、V 关于原点对称, ∴2(,4)E m m m -+
如图2,过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ,过E 作//EK y 轴交直线l 于K ,
则312(,)5
5H m m --,312(,)55
K m m --, ∴22
31217124()5555DH m m m m m =-----=--
+,223121712
4()5555
EK m m m m m =+--=++,
∵2DE EM = ∴
1
3
ME MD =, ∵//DH y 轴,//EK y 轴
∴//DH EK
∴
MEK ?∽MDH ? ∴
1
3
EK ME DH MD ==,即3DH EK =
∴2
2171217123()5555
m m m m --
+=++ 解得:13m =-,22
5
m =-,
∵2m <-
∴m 的值为:﹣3;
(3)由(2)知:3m =-,
∴(3,3)D -,(3,3)E -
,OE =
如图3,连接BG ,在ABG ?中,∵222
(14)(30)18AB =-++-=,22BG =,
220AG =
∴222AB BG AG +=
∴ABG ?是直角三角形,90ABG ∠=,
∴1
tan 3
BG GAB AB ∠=
==, ∵DEP GAB ∠=∠ ∴1tan tan 3
DEP GAB ∠=∠=
, 在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥,在OH
上截取1
3
OH OE =
= 过点E 作ET y ⊥轴于T ,连接EH 交抛物线C 于点P ,点P 即为所求的点; ∵(3,3)E -, ∴45EOT ∠= ∵90EOH ∠= ∴45HOT ∠=
∴(1,1)H --,设直线EH 解析式为y px q =+,
则331p q p q +=-??-+=-?,解得12
32p q ?=-????=-??
∴直线EH 解析式为13
22
y x =-
-, 解方程组213224y x y x x ?=--???=--?
,得117458x y ?-=???
?=??
,2274
58x y ?-+=?
???=-??
, ∴点P
的横坐标为:
.
【点睛】
本题考查了二次函数图象和性质,待定系数法求函数解析式,旋转变换,相似三角形判定和性质,直线与抛物线交点,解直角三角形等知识点;属于中考压轴题型,综合性强,难度较大.
7.如图甲,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线
y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);(3)E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.
【解析】
试题分析:(1)由直线解析式可求得B、C坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴,可设出M点坐标,表示出MC、MP和PC 的长,分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,可分别得到关于M点坐标的方程,可求得M点的坐标;
(3)过E作EF⊥x轴,交直线BC于点F,交x轴于点D,可设出E点坐标,表示出F点的坐标,表示出EF的长,进一步可表示出△CBE的面积,利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标.
试题解析:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,
∴B(3,0),C(0,3),
把B、C坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;
(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线对称轴为x=2,P(2,﹣1),
设M(2,t),且C(0,3),
∴MC=,MP=|t+1|,PC=,
∵△CPM为等腰三角形,
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,
①当MC=MP时,则有=|t+1|,解得t=,此时M(2,);
②当MC=PC时,则有=2,解得t=﹣1(与P点重合,舍去)或t=7,此时M(2,7);
③当MP=PC时,则有|t+1|=2,解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2,此时M(2,﹣
1+2)或(2,﹣1﹣2);
综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);
(3)如图,过E作EF⊥x轴,交BC于点F,交x轴于点D,
设E(x,x2﹣4x+3),则F(x,﹣x+3),
∵0<x<3,
∴EF=﹣x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x,
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=×3(﹣x2+3x)=﹣(x﹣)2+,∴当x=时,△CBE的面积最大,此时E点坐标为(,),
即当E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.
考点:二次函数综合题.
8.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D (8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.
【答案】(1)点A的坐标为(4,8)
将A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx 得8=16a+4b
0=64a+8b
解得a=,b=4
∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x
(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE=PE
AP
=
BC
AB
,即
PE
AP
=
4
8
∴PE=AP=t.PB=8-t.
∴点E的坐标为(4+t,8-t).
∴点G的纵坐标为:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)
=-t2+t.
∵-<0,∴当t=4时,线段EG最长为2.
②共有三个时刻:t1=16
3
, t2=
40
13
,t3=
85
25
.
【解析】
(1)根据题意即可得到点A的坐标,再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式;
(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,由tan∠PAE,即可表示出点E的坐标,从而得到点G 的坐标,EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标,得到一个函数关系式,根据函数关系式的特征即可求得结果;②考虑腰和底,分情况讨论.
9.如图,已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C
(1)求此二次函数解析式;
(2)点D 为抛物线的顶点,试判断△BCD 的形状,并说明理由;
(3)将直线BC 向上平移t(t>0)个单位,平移后的直线与抛物线交于M ,N 两点(点M 在y 轴的右侧),当△AMN 为直角三角形时,求t 的值. 【答案】(1)243y x x =-+;(2)△BCD 为直角三角形,理由见解析;(3)当△AMN
为直角三角形时,t 的值为1或4.
【解析】 【分析】
(1)根据点A 、B 的坐标,利用待定系数法即可求出二次函数解析式;
(2)利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征,可求出点C 、D 的坐标,利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长,由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形; (3)根据点B 、C 的坐标,利用待定系数法可求出直线BC 的解析式,进而可找出平移后直线的解析式,联立两函数解析式成方程组,通过解方程组可找出点M 、N 的坐标,利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值,分别令三个角为直角,利用勾股定理可得出关于t 的无理方程,解之即可得出结论. 【详解】
(1)将()1,0A 、()3,0B 代入2
3y ax bx =++,得:
309330a b a b ++=??++=?,解得:1
4a b =??
=-?
, ∴此二次函数解析式为243y x x =-+.
(2)BCD ?为直角三角形,理由如下:
()2
24321y x x x =-+=--, ∴顶点D 的坐标为()2,1-.
当0x =时,2
433y x x =-+=,
∴点C 的坐标为()0,3.
点B 的坐标为()3,0,
BC ∴==,
BD =
=,
CD =
=
22220BC BD CD +==,
90CBD ∴∠=?,
BCD ∴?为直角三角形.
(3)设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠,
将()3,0B ,()0,3C 代入y kx c =+,得:
303k c c +=??
=?,解得:1
3k c =-??=?
, ∴直线BC 的解析式为3y x =-+,
∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++.
联立新直线与抛物线的解析式成方程组,得:2
343y x t
y x x =-++??=-+?
,
解得:11x y ?=????=??
22x y ?=????=??
∴点M
的坐标为3(2+
,322
t +,点N
的坐标为3(2-
,
.
点A 的坐标为()1,0,
(
22
22
10571AM t t t ??∴=+-=++-+????????
(
2
2
2210571AN t t t ??=-+-=++++????????
,2
2
2
3332321882222t t MN t ??-+++=-+-=+ ?
??
?
. AMN ?为直角三角形, ∴分三种情况考虑:
①当90MAN ∠=?时,有222AM AN MN +=,即
(
(
22571571188t t t t t t t ++-+++++=+,
整理,得:220t t +-=,
解得:11t =,22t =-(不合题意,舍去); ②当90AMN ∠=?时,有222AM MN AN +=,即
(
(
22571188571t t t t t t t ++-++=++++,
整理,得:2280t t --=,
解得:14t =,22t =-(不合题意,舍去); ③当90ANM ∠=?时,有222AN MN AN +=,即
()()225719418857194t t t t t t t t t +++++++=++-++,
整理,得:()
941940t t t ++++=.
0t >,
∴该方程无解(或解均为增解).
综上所述:当AMN ?为直角三角形时,t 的值为1或4. 【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2;(3)分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑.
10.如图,△ABC 的顶点坐标分别为A (﹣6,0),B (4,0),C (0,8),把△ABC 沿直线BC 翻折,点A 的对应点为D ,抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C ,顶点M 在直线BC 上.
(1)证明四边形ABCD 是菱形,并求点D 的坐标; (2)求抛物线的对称轴和函数表达式;
(3)在抛物线上是否存在点P ,使得△PBD 与△PCD 的面积相等?若存在,直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)详见解析
(2)2
2y x 4x 85
=
-+ (3)详见解析 【解析】 【分析】
(1)根据勾股定理,翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ,根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标.
(2)根据对称轴公式可得抛物线的对称轴,设M 的坐标为(5,n ),直线BC 的解析式为
y=kx+b ,根据待定系数法可求M 的坐标,再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式. (3)分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况,根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标: 设P 22x,
x 4x 85??-+ ???
, 当点P 在CD 的上面下方,根据菱形的性质,知点P 是AD 与抛物线2
2y x 4x 85
=-+的交点,由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1
y x 32
=+,二者联立可得P 1(
529
,48
); 当点P 在CD 的上面上方,易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线2
2y x 4x 85
=
-+的交点,此时,∠D 的外角平分线与直线AD 垂直,由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于-2,可设其为y 2x m =-+,将D (10,8)代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,与抛物线2
2y x 4x 85
=-+联立可得P 2(﹣5,38). 【详解】
(1)证明:∵A (﹣6,0),B (4,0),C (0,8), ∴AB=6+4=10
,AC 10==.∴AB=AC .
由翻折可得,AB=BD ,AC=CD .∴AB=BD=CD=AC .∴四边形ABCD 是菱形. ∴CD ∥AB .
∵C (0,8),∴点D 的坐标是(10,8).
(2)∵y=ax 2﹣10ax+c ,∴对称轴为直线10a
x 52a
-=-=. 设M 的坐标为(5,n ),直线BC 的解析式为y=kx+b ,
∴4k b 0b 8+=??
=?,解得k 2
b 8=-??=?
.
∴直线BC 的解析式为y=﹣2x+8.
∵点M 在直线y=﹣2x+8上,∴n=﹣2×5+8=﹣2. ∴M (5,,-2).
又∵抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C 和M ,
∴25a 50a c 2c 8-+=-??=?,解得2a 5c 8
?=???=?.
∴抛物线的函数表达式为2
2y x 4x 85
=
-+.
学习必备 欢迎下载 1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ 4.已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线2 1y x =-上,下列说法中正确的是( ) A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =- C .若120x x <<,则12y y > D .若120x x <<,则12y y > 5. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 322--=x x y ,则b 、c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3, c=2 ★6.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M = 7.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值,则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时,Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上,则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ,当X 取1x 和2x 时函数值相等,当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ,当X 取X1和X2(21x x ≠) 时函数值相等,则当X 取X1+X2时,函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过(2.9)点,则当X =4 时函数值Y = ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则, h 0 ,k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是1.且过(3.0)点求解析式? 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式,则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为6.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于( ) (A )8 (B )14 (C )8或14 (D )-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时,y 随着x 的增大而增大,当x<1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( ) (A )12 (B )11 (C )10 (D )9 20.若0 B.1a < C.1a ≥ D.1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上,求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)(-1,0)与y 轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ,OA=2,OB=1 ,OC=1,求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ,B ,(A 在B 左侧)顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ,使△ABM 的面积是△ABC 的面积的2倍。求M 点坐标(得分点的把握) (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得 △QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ,使四边形PBAC 是等腰 梯形,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由
二次函数培优专题一(图像和性质)姓名: 一:填空题: 1.若y =(2-m )2 3 m x -是二次函数,且开口向上,则m 的值为__________. 2.抛物线y =x 2+8x -4与直线x =4的交点坐标是__________. 3.若抛物线y =(k +2)x 2+(k -2)x +(k 2+k -2)经过原点,则k =________. 4.已知点P (a ,m )和Q (b ,m )是抛物线y =2x 2+4x -3上的两个不同点,则a +b =_____. 5.函数y =mx 2+x -2m (m 是常数),图象与x 轴的交点有_____个. 二、选择题: 6.如果反比例函数y =k x 的图象如图4所示,那么二次函数y =kx 2-k 2x -1的图象大致为( ) 7.函数在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 8.二次函数y =x 2-(12-k )x +12,当x >1时,y 随着x 的增大而增大,当x <1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( ).A .12 B .11 C .10 D .9 9.如果抛物线y =x 2-6x +c -2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于( ). A .8 B .14 C .8或14 D .-8或-14 10.若0培优二次函数辅导专题训练及答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式; (2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值? (3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB的面积有最大值; (3)点P(4,6). 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得; (2)作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM,先求出直线AB解析式为y=﹣x+6, 设P(t,﹣1 2 t2+2t+6),则N(t,﹣t+6),由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式,利用二次函数 的性质求解可得; (3)由PH⊥OB知DH∥AO,据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°,结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,从而得出点E与点A重合,求出y=6时x的值即可得出答案. 【详解】(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(﹣2,0), ∴设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+2), 将点A(0,6)代入,得:﹣12a=6, 解得:a=﹣1 2 , 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 (x﹣6)(x+2)=﹣ 1 2 x2+2x+6; (2)如图1,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,
2020年中考数学专题培优 二次函数综合应用(含答案) 一、解答题(共有7道小题) 1.如图,直线1y x =+与x 轴教育点A ,切经过点B(4,m)。点C 在y 轴负半轴上,满足OA=OC ,抛物线 () 20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点,且与x 轴的另一交点为D 。 (1)球抛物线的解析式。 (2)在抛物线的对称轴上找一点P ,使PA+ PC 的和最小。求出点P 的坐标。 2.如图,已知二次函数2 2y ax x c = + + 的图象经过点C(0,3),与x 轴分别交于点A ,点B(3, 0).点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点. (1)求二次函数 2 2y ax x c = + + 的表达式; (2)连接PO ,PC ,并把△POC 沿y 轴翻折,得到四边形POP′C .若四边形POP′C 为菱形, 请求出此时点P 的坐标; (3)当点P 运动到什么位置时,四边形ACPB 的面积最大?求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积. 3.如图,已知二次函数 2 = + + y ax bx c 的图象与x 轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y 轴相交于点C(0,-3). y x C D B A O x y P B A C O
(1)求这个二次函数的表达式; (2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH ⊥x 轴于点H ,与BC 交于点M ,连接PC . ①求线段PM 的最大值; ②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时,求点P 的坐标. 4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数265=- + - y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与 y 轴交于点C ,其顶点为P ,连接PA 、AC 、CP ,过点C 作y 轴的垂线l . (1)求点P ,C 的坐标; (2)直线l 上是否存在点Q ,使△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 5.如图,已知二次函数2 2y ax x c = + + 的图象经过点C(0,3),与x 轴分别交于点A ,点B(3, 0).点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点. (1)求二次函数 2 2y ax x c = + + 的表达式; (2)连接PO ,PC ,并把△POC 沿y 轴翻折,得到四边形POP′C .若四边形POP′C 为菱形,请求出此时点P 的坐标; (3)当点P 运动到什么位置时,四边形ACPB 的面积最大?求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积. y x M C A O B P H y x D B A l C P O x y P B A C O
112O x y 培优训练五(二次函数1) 1、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( ) A .m =n ,k >h B .m =n ,k <h C .m >n ,k =h D .m <n ,k =h 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b ﹣2a =0;②abc <0;③a ﹣2b +4c <0;④8a +c >0.其中正确的有( ) A . 3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个 3、如图,二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交,其顶点坐标 为(1,12 ),下列结论:①0ac <;②0a b +=; ③244ac b a -=;④0a b c ++<.其中正确结论的个数是 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A (-1,y 1)、B (2,y 2)、C (23+,y 3)三点,则关于y 1、y 2、y 3大小关系正确的是 A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 2>y 1>y 3 D .y 3>y 1>y 2 5、如图,一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数 )0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-,5)、B (9,2)两点,则关 于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 的解集为 A 、91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 6.如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.新春佳节,电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏.某商店经销一种电子鞭炮,已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元,市场调查发现,该种电子鞭炮每天的销售量y (盒)与销售单价x (元)有如下关系:y=﹣2x+320(80≤x≤160).设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元. (1)求w 与x 之间的函数关系式; (2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润,又想卖得快.那么销售单价应定为多少元? 【答案】(1)w=﹣2x 2+480x ﹣25600;(2)销售单价定为120元时,每天销售利润最大,最大销售利润3200元(3)销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 (1)用每件的利润 ()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润,即 ()()()80802320w x y x x =-=--+, 然后化为一般式即可; (2)把(1)中的解析式进行配方得到顶点式()2 21203200w x =--+,然后根据二次函数的最值问题求解; (3)求2400w =所对应的自变量的值,即解方程()2 212032002400x --+=.然后检验即可. 【详解】 (1)()()()80802320w x y x x =-=--+, 2248025600x x =-+-, w 与x 的函数关系式为:2248025600w x x =-+-; (2)()2 224802560021203200w x x x =-+-=--+, 2080160x -<≤≤,, ∴当120x =时,w 有最大值.w 最大值为3200. 答:销售单价定为120元时,每天销售利润最大,最大销售利润3200元. (3)当2400w =时,()2 212032002400x --+=. 解得:12100140x x ,.== ∵想卖得快, 2140x ∴=不符合题意,应舍去. 答:销售单价应定为100元. 2.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数 ( )的图象
二次函数专题复习 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,.
二次函数培优专题训练 一、实际应用专题 例题1某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 例题2 小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器,进价12元∕只,售价20元∕只.为了促销,专卖店决定凡是买10只以上的,每多买一只,售价就降低0.10元(例如:某人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1元,就可以按19元∕只的价格购买),但是最低价为16元∕只.(1)顾客一次至少买多少只,才能以最低价购买? (2)写出当一次购买x只时(x>10),利润y(元)与购买量x(只)之间的函数关系式. (3)星期天,小华来到专卖店勤工俭学,上午做成了两笔生意,一是向顾客甲卖了46只,二是向顾客乙卖了50只,记账时小华发现卖50只反而比卖46只赚的钱少.为了使每次卖得越多赚钱越多,在其他促销条件不变的情况下,最低价16元∕只至少要提高到多少?为什么? 例题3(2010?恩施州)恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售. (1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式. (2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用) (3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?
二次函数培优专题 基础训练 1.已知抛物线9)2(2 ++-=x a x y 的顶点在坐标轴上,则a 的值为__________. 2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ,与x 轴正半轴交于B ,C 两点,且BC =2,ABC S ?=3,则b =____________. 3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. (1)这个二次函数的解析式是y =_________; (2)当x =________时,3=y ; (3)根据图象回答,当x _______时,0>y . 4.已知二次函数的图象经过原点及点(21- ,4 1-),且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为_______________. 5.二次函数c bx ax y ++=2 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( ) A B C D 6.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数c bx x y ++=2 的图象过点(1,0)……求证:这个二次函数的图象关于直线2=x 对称,根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是( ) A .过点(3,0) B .顶点是(2,-2) C .在x 轴上截得的线段长度是2 D .与y 轴的交点是(0,3) 7.如图,抛物线c bx ax y ++=2 与两坐标轴的交点分别是A ,B ,E ,且△ABE 是等腰直角三角形,AE =BE ,则下列关系式不能总成立的是( )
A .0=b B . 2 c S ABE =? C .1-=ac D .0=+c a 第7题图 第8题图 8.如图,某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,则校门的高为(精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计)( ) A .9.2米 B .9.1米 C .9米 D .5.1米 9.如图,是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ,A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β,OA =1千米,tan α= 28 9, tan β=83,位于O 点正上方35 千米D 点处的直 升机向目标C 发射防空导弹,该导弹运行到达距地面最大高度3千米时,相应的水平距离为4千米(即图中 E 点). (1)若导弹运行为一抛物线,求抛物线的解析式; (2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标的理由. 10.如图,已知△ABC 为正三角形,D ,E 分别是边AC 、BC 上的点(不在顶点),∠BDE =60°. (1)求证:△DEC ∽△BDA ; (2)若正三角形ABC 的边长为6,并设DC =x ,BE =y ,试求出y 与x 的函数关系式,并求BE 最短时,△BDE 的面积. 11.如图,在平面直角坐标系中,OB ⊥OA 且OB =2OA ,点A 的坐标是(-1,2) . C E D B A
2018年九年级数学上册二次函数压轴题培优专题 1.如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C (1)求点A,B,C的坐标; (2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作NM∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用含m 的代数式表示MN的长; (3)在(2)的条件下,连接NB,NC,是否存在点m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
3.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点, 其中C点的横坐标为2. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PBC的周长最小,并求出点P的坐标; (3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G为顶点四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出F点坐标;如果不存在,请说明理由. 4.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点(1,0). (1)求抛物线的表达式; (2)把﹣4<x<1时的函数图象记为H,求此时函数y的取值范围; (3)在(2)的条件下,将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象H的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若直线y=x+b与图象M有三个公共点,求b的取值范围.
九年级数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含答案 一、二次函数 1.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1), 如图,直线y=1 4 x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1. (1)求抛物线的解析式; (2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)知F(x0,y0)为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,求定点F的坐标. 【答案】(1)抛物线的解析式为y=1 4 x2﹣x+1.(2)点P的坐标为( 28 13 ,﹣1).(3) 定点F的坐标为(2,1). 【解析】 分析:(1)由抛物线的顶点坐标为(2,0),可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2,由抛物线过点(4,1),利用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组,通过解方程组可求出点A、B的坐标,作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值,根据点B的坐标可得出点B′的坐标,根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标; (3)由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标 特征,即可得出(1-1 2 - 1 2 y0)m2+(2-2x0+2y0)m+x02+y02-2y0-3=0,由m的任意性可得出关 于x0、y0的方程组,解之即可求出顶点F的坐标.详解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0), 设抛物线的解析式为y=a(x-2)2. ∵该抛物线经过点(4,1), ∴1=4a,解得:a=1 4 , ∴抛物线的解析式为y=1 4(x-2)2= 1 4 x2-x+1.
九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1.在如图的直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(0,-4),将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC. (1)求点C的坐标; (2)若抛物线y=-1 4 x2+ax+4经过点C. ①求抛物线的解析式; ②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c 经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D. (1)求抛物线的解析式; (2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标; (3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值.
1.【解析】 试题分析:(1)过点C作CD垂直于x轴,由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC,根据旋转的旋转得到AB=AC,且∠BAC为直角,可得∠OAB与∠CAD 互余,由∠AOB为直角,可得∠OAB与∠ABO互余,根据同角的余角相等可得一对角相等,再加上一对直角相等,利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等,根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB,CD=OA,由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长,可得出OD及CD的长,根据C在第四象限得出C的坐标; (2)①由已知的抛物线经过点C,把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式,列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出抛物线的解析式; ②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑: (i)A为直角顶点,过A作AP 1垂直于AB,且AP 1 =AB,过P 1 作P 1 M垂直于x轴, 如图所示,根据一对对顶角相等,一对直角相等,AB=AP 1 ,利用AAS可证明三角 形AP 1M与三角形ACD全等,得出AP 1 与P 1 M的长,再由P 1 为第二象限的点,得出 此时P 1 的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(ii)当B为直角顶点,过B作 BP 2垂直于BA,且BP 2 =BA,过P 2 作P 2 N垂直于y轴,如图所示,同理证明三角形 BP 2N与三角形AOB全等,得出P 2 N与BN的长,由P 2 为第三象限的点,写出P 2 的 坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(iii)当B为直角顶点,过B作BP 3 垂直 于BA,且BP 3=BA,如图所示,过P 3 作P 3 H垂直于y轴,同理可证明三角形P 3 BH 全等于三角形AOB,可得出P 3H与BH的长,由P 3 为第四象限的点,写出P 3 的坐 标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标.试题解析:(1)过C作CD⊥x轴,垂足为D, ∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°, 又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°, ∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°, ∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,﹣2), ∴OA=CD=1,OB=AD=2, ∴OD=OA+AD=3,又C为第四象限的点, ∴C的坐标为(3,﹣1); (2)①∵抛物线y=﹣1 2 x2+ax+2经过点C,且C(3,﹣1), ∴把C的坐标代入得:﹣1=﹣9 2 +3a+2,解得:a= 1 2 , 则抛物线的解析式为y=﹣1 2 x2+ 1 2 x+2; ②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,(i)若以AB为直角边,点A为直角顶点,
2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题及答案解析 一、二次函数 1.(6分)(2015?牡丹江)如图,抛物线y=x 2+bx+c 经过点A (﹣1,0),B (3,0).请解答下列问题: (1)求抛物线的解析式; (2)点E (2,m )在抛物线上,抛物线的对称轴与x 轴交于点H ,点F 是AE 中点,连接FH ,求线段FH 的长. 注:抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)的对称轴是x=﹣ . 【答案】(1)y=-2x-3;(2). 【解析】 试题分析:(1)把A,B 两点坐标代入,求待定系数b,c ,进而确定抛物线的解析式;(2)连接BE ,点F 是AE 中点,H 是AB 中点,则FH 为三角形ABE 的中位线,求出BE 的长,FH 就知道了,先由抛物线解析式求出点E 坐标,根据勾股定理可求BE ,再根据三角形中位线定理求线段HF 的长. 试题解析:(1)∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A (﹣1,0),B (3,0),∴把A,B 两点坐标代入得: ,解得: ,∴抛物线的解析式是:y=-2x-3;(2)∵点 E (2,m )在抛物线上,∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得:m=4﹣4﹣3=﹣3,∴E (2,﹣3),∴BE= = .∵点F 是AE 中点,点H 是抛物线的对称轴与 x 轴交点,即H 为AB 的中点,∴FH 是三角形ABE 的中位线,∴FH=BE=×= .∴ 线段FH 的长 . 考点:1.待定系数法求抛物线的解析式;2.勾股定理;3.三角形中位线定理. 2.如图,已知抛物线2y ax bx c =++经过A (-3,0),B (1,0),C (0,3)三点,其顶点为D ,对称轴是直线l ,l 与x 轴交于点H .
2016/11/24 14:57:23 一.选择题(共10小题) 1.一次函数y=ax +b (a ≠0)与二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A . B . C . D . 2.二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)图象上部分点的坐标(x ,y )对应值列表如下: x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的对称轴是( ) A .直线x=﹣3 B .直线x=﹣2 C .直线x=﹣1 D .直线x=0 3.二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么一次函数y=ax +b 的图象大致是( ) A . B . C . D . 4.已知函数y=ax 2﹣2ax ﹣1(a 是常数,a ≠0),下列结 论正确的是( ) A .当a=1时,函数图象过点(﹣1,1) B .当a=﹣2时,函数图象与x 轴没有交点 C .若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而减小 D .若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大 5.如图,已知二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (﹣1,0),与y 轴的交点B 在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论: ①abc >0 ②4a +2b +c >0 ③4ac ﹣b 2<8a ④<a < ⑤b >c . 其中含所有正确结论的选项是( ) A .①③ B .①③④ C .②④⑤ D .①③④⑤ 6.抛物线y=x 2+bx +c (其中b ,c 是常数)过点A (2,6) ,且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x ≤3)有交点,则c 的值不可能是( ) A .4 B .6 C .8 D .10 7.如图是抛物线y=ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n ),且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论: ①a ﹣b +c >0;②3a +b=0;③b 2=4a (c ﹣n ); ④一元二次方程ax 2+bx +c=n ﹣1有两个不相等的实数根. 其中正确结论的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 8.二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a +b=0;(2)9a +c >3b ;(3)8a +7b +2c >0;(4)若点A (﹣3,y 1)、点B (﹣,y 2)、点C (,y 3)在该函数图象上,则y 1<y 3<y 2;(5)若方程a (x +1)(x ﹣5)
二次函数考点分析培优 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点: 开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. ★★二次函数y=ax 2 +bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0) 一般式:y=ax 2 +bx+c ,三个点 顶点式:y=a (x -h )2 +k ,顶点坐标对称轴 顶点坐标(-2b a ,244ac b a -). 顶点坐标(h ,k ) ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小,│a │越小,开口越大, a , b 的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y 轴,当a ,b 同号时,对称轴x=-2b a <0, 即对称轴在y 轴左侧,当a ,b?异号时,对称轴x=- 2b a >0,即对称轴在y c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c>0时,与y 轴交于正半轴;c<0时,与y?轴交于负半轴,以上a ,b ,c 的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出. 交点式:y=a(x- x 1)(x- x 2),(有交点的情况) 与x 轴的两个交点坐标x 1,x 2 对称轴为2 2 1x x h += 1.把二次函数的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2 -+=x y 则原二次函数的解析式为 2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与抛物线y= - 2x 2 相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(2 32++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ 4.(08绍兴)已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线2 1y x =-上,下列说法中正确的是( ) A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =- C .若120x x <<,则12y y > D .若120x x <<,则12y y > 5.(兰州10) 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 322 --=x x y ,则b 、c 的值为 A . b=2, c=2 B. b=2,c=0
培优训练五(二次函数1) 1、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( ) A .m =n ,k >h B .m =n ,k <h C .m >n ,k =h D .m <n ,k =h 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b ﹣2a =0;②abc <0;③a ﹣2b +4c <0;④8a +c >0.其中正确的有 ( ) 3、如图,二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交,其顶点坐标 为(1,12),下列结论:①0ac <;②0a b +=; ③244ac b a -=; ④0a b c ++<.其中正确结论的个数是 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A (-1,y 1)、B (2,y 2)、C (23+,y 3)三点,则关于y 1、y 2、y 3大小关系正确的是 A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 2>y 1>y 3 D .y 3>y 1>y 2 5、如图,一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数 )0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-,5)、B (9,2)两点,则关 于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 的解集为 A 、 91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 6.如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、
二次函数的综合应用——专题培优、能力提升复习讲义 类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置 1.二次函数y=-x2+ax-b的图象如图所示,则一次函数y=ax+b的图象不经过() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.已知一次函数y=-kx+k的图象如图所示,则二次函数y=-kx2-2x+k的图象大致是() 类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是() A.a>0 B.c<0 C.3是方程ax2+bx+c=0的一个根D.当x<1时,y随x的增大而减小 2.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且 OA=OC,则下列结论:①abc<0;②b2-4ac 4a >0;③ac-b+1=0;④OA·OB=- c a .其中正确结 论的序号是____________.
类型三 没有限定自变量的范围求最值 1.函数y =-(x +1)2+5的最大值为_______. 2.已知函数y =x(2-3x),当x 为何值时,函数有最大值还是最小值?并求出最值. 类型四 限定自变量的取值范围求最值 1.函数y =x 2+2x -3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是( ) A .4和-3 B .-3和-4 C .5和-4 D .-1和-4 2.二次函数y =-12x 2+32x +2的图象如图所示,当-1≤x ≤0时,该函数的最大值是( ) A .3.125 B .4 C .2 D .0 3.已知0≤x ≤32,则函数y =x 2+x +1( ) A .有最小值34,但无最大值 B .有最小值34,有最大值1 C .有最小值1,有最大值194 D .无最小值,也无最大值 类型五 限定自变量的取值范围求函数值的范围 1.从y =2x 2-3的图象上可以看出,当-1≤x ≤2时,y 的取值范围是( ) A .-1≤y ≤5 B .-5≤y ≤5 C .-3≤y ≤5 D .-2≤y ≤1 2.已知二次函数y =-x 2+2x +3,当x ≥2时,y 的取值范围是( ) A .y ≥3 B .y ≤3 C .y >3 D .y <3 类型六 已知函数的最值,求自变量的取值范围或待定系数的值
二次函数图像与性质培优题及答案
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2016/11/24 14:57:23 一.选择题(共10小题) 1.一次函数y=ax +b (a ≠0)与二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A . B . C . D . 2.二次函数y=ax 2 +bx +c (a ≠0)图象上部分点的坐标(x ,y )对应值列表如下: x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的对称轴是( ) A .直线x=﹣3 B .直线x=﹣2 C .直线x=﹣1 D .直线x=0 3.二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么一次函数y=ax +b 的图象大致是( ) A . B . C . D . 4.已知函数y=ax 2﹣2ax ﹣1(a 是常数,a ≠0),下列结论正确的是( ) A .当a=1时,函数图象过点(﹣1,1) B .当a=﹣2时,函数图象与x 轴没有交点 C .若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而减小 D .若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大 5.如图,已知二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (﹣1,0),与y 轴的交点B 在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论: ①abc >0 ②4a +2b +c >0 ③4ac ﹣b 2<8a ④<a < ⑤b >c . 其中含所有正确结论的选项是( ) A .①③ B .①③④ C .②④⑤ D .①③④⑤ 6.抛物线y=x 2+bx +c (其中b ,c 是常数)过点A (2,6) ,且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x ≤3)有交点,则c 的值不可能是( ) A .4 B .6 C .8 D .10 7.如图是抛物线y=ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n ),且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论: ①a ﹣b +c >0;②3a +b=0;③b 2=4a (c ﹣n ); ④一元二次方程ax 2+bx +c=n ﹣1有两个不相等的实数根. 其中正确结论的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 8.二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a +b=0;(2)9a +c >3b ;(3)8a +7b +2c >0;(4)若点A (﹣3,y 1)、点B (﹣,y 2)、点C (,y 3)在该函 数图象上,则y 1<y 3<y 2;(5)若方程a (x +1)(x ﹣5)=﹣3的两根为x 1和x 2,且x 1<x 2,则x 1<﹣1<5<x 2.其中正确的结论有( )