第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系
课前预习案
考纲要求
1、了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2、掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
3、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.
4、了解圆锥曲线的简单应用.
5、理解数形结合的思想.
基础知识梳理
1.直线和圆锥曲线的位置关系 （1）位置关系：相交、相切、相离。 （2）位置关系的判断：
已知直线:0l ax by c ++=，圆锥曲线:(,)0M
f x y =，联立方程组0
(,)0
ax by c f x y ++=??=?，
消元（消x 或y ），整理得2
0Ax Bx C ++=
<1>若0A =，则直线l 和圆锥曲线M 只有一个公共点. ①当曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合； ②当曲线为抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行. <2>若0A ≠，设24B AC ?=-
①当0?
>时，直线和圆锥曲线M
有两个不同的公共点； ②当0?=时，直线和圆锥曲线M 相切，只有一个公共点； ③当0?<时，直线和圆锥曲线M
没有公共点.
2.弦长问题
（1）斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点
111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长
21212||1||P P k x x =+-或12122
1
||1||PP y y k =+
-（0k ≠）
； （2）椭圆与双曲线的通径长为
2
2b a
；
（3）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，弦AB 过焦点F ，
①；
()121222
p p
AB AF BB x x x x p =+=+
++=++ ②若直线AB 与x 轴的夹角为θ，则22||sin p
AB θ
=；特别地，抛物线的通径长为2p .
预习自测
1．双曲线方程为
2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）
A 、2,02?? ? ???
B 、5,02??
? ??? C 、
6,02??
? ??? D 、(
)3,0
2．以抛物线
2
4=y x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A.2220++=x y x
B.
22
0++=x y x C.
220+-=y x χ D.2220+-=x y x
3．若点O 和点F 分别为椭圆22
1
43x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ? 的最大值为（ ）
A.2
B.3
C.6
D.8
第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系
课堂探究案
典型例题
考点一：圆锥曲线定义、方程的综合
【典例1】（1）若双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ,线段21F F 被抛物线bx y 22
=的焦点
分成2:3的两段,则此双曲线的离心率为 （ ）
A ．
8
9
B ．
37376 C ．
3
3
5 D ．
21
21
5 （2）已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
1
2-
14
3
y
2- 0
1
12
则1C 与2C 的标准方程分别为（ ）
A. 2214x y +=；2
4y x = B. 2212x y +=；24y x = C. 2214x y +=；2
2y x = D. 22143
x y +=；24y x =
【变式1】（1）已知三个数2,8m ，构成一个等比数列，则圆锥曲线
22
12
x y m +=的离心率为
（A ）
22
（B ）
3 （C ）
22
或
3 （D ）
22
或
62
（2）已知双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率等于（ ）
A ．
2
B ．
3
C ．2
D ．2
3
考点二：直线和圆锥曲线的位置关系 【典例2】过抛物线
24y x =的焦点F 作弦AB ，且||8AB ≤，直线AB 与椭圆22322x y +=相交于两个不同的点，求
直线AB 的倾斜角的取值范围.
【变式2】椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(,)P a b 满足212||||PF F F =． (1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线2PF 与椭圆相交于A 、B 两点，若直线2PF 与圆22
(1)(3)16x y ++-=相交于M 、N 两点，且
5
||||8
MN AB =，求椭圆的方程．
考点三：最值问题
【典例3】已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，由4个点(,)M a b -，(,)N a b ，2
F 和1F 构成了一个高为
3，面积为33的等腰梯形.
（1）求椭圆的方程;
（2）过点1F 的直线和椭圆交于两点A 、B ，求2F AB ?面积的最大值.
【变式3】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>过点(0,2)M ，离心率6
3
e =.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点(2,0)N 的直线l 与椭圆相交于
A 、
B 两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),求直线l 斜率的
取值范围.
当堂检测
1. 若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线
22
122
x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．4
2.在区间[1,5]和[2,6]内分别取一个数，记为a 和b ， 则方程22
221()x y a b a b
-=<表示离心率小于5的双曲线的概
率为 A.
12
B.
1532 C.1732 D. 3132
3. 已知抛物线2
2y px =的焦点F 与双曲线
22
179
x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则AFK ?的面积为( )
A.4
B.8
C.16
D.32
4.设F 是抛物线1:C 2
4y x =的焦点，点A 是抛物线与双曲线2:C 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线的一个公
共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 .
第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系（课后拓展案）
A 组全员必做题
1．两个正数a 、b 的等差中项是2
5, 一个等比中项是
1
,,622
22=->b y a x b a 则双曲线且的离心率
e 等于
（ ）
A ．
23 B ．215
C ．13
D ．
313
2．已知12F 、F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两
点，若2ABF ?为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( )
(A)
()1,12+ (B)()12,++∞
(C)()12,12
-
+
(D)
(
)2,21
+
3．已知抛物线
x y 42
=，以)1,1(为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线方程为（ ）
A ．
012=+-y x B ．012=--y x C ．032=-+y x
D ．
032=-+y x
4． 已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的长轴长是短轴长的2倍，斜率为
1的直线l 与椭圆相交，截得的弦长为正
整数的直线l 恰有3条，则b 的值为（ ）
A.22
B.
2
C.
32
D.
62
5．已知抛物线C ：
22(0)y px p =>过点A （1 , -2）.
（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的距离等于55？若
存在，求直线L 的方程；若不存在，说明理由.
B 组提高选做题
设
12,F F 分别是椭圆
E:22
221x y a b +=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为
1的直线l 与 E 相交于
,A B 两点，且
2
AF ,
AB
,
2
BF 成等差数列.
（1)求E 的离心率； （2）设点P （0,-1）满足PA PB
=,求E 的方程.
第五十五课时 直线与圆锥曲线的位置关系
参考答案
预习自测
1.C
2.D
3.C
典型例题
【典例1】（1）D ；（2）A 【变式1】（1）C ；（2）B 【典例2】23[
,)(,]4334
ππ
ππ
； 【变式2】（1）
1
2
；（2）
22
11612
x y +=. 【典例3】（1）22
143
x y +=；（2）3.
【变式3】（1）22
1124
x y +=；
（2）3k >或3k <- 当堂检测 1.D 2.B 3.D 4.
5
A 组全员必做题
1.D
2.A
3.B
4.C
5.（1）
24y x =；准线为1x =-.
（2）存在.210x y +
-=
B 组提高选做题
（1）
22
；（2）
22
1189
x y +=.