《传感器与传感器技术》计算题
解题指导（供参考）
第1章 传感器的一般特性
1-5 某传感器给定精度为2%F ·S ，满度值为50mV ，零位值为10mV ，求可能出现的最大误差δ(以mV 计)。当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。由你的计算结果能得出什么结论? 解：满量程（F ?S ）为50~10=40(mV)
可能出现的最大误差为：
?m ＝40?2%=0.8(mV)
当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：
%4%10021
408.01=??=γ
%16%1008
1
408
.02=??=γ
1-6 有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常数τ和静态灵敏度K 。 （1） T y dt
dy
5105.1330
-?=+ 式中，y 为输出电压，V ；T 为输入温度，℃。 （2） x y dt
dy
6.92.44
.1=+ 式中，y ——输出电压，μV ；x ——输入压力，Pa 。
解：根据题给传感器微分方程，得 (1) τ=30/3=10(s)，
K =1.5?10-5/3=0.5?10-5
(V/℃)；
(2) τ=1.4/4.2=1/3(s)，
K =9.6/4.2=2.29(μV/Pa)。
1-7 设用一个时间常数τ=0.1s 的一阶传感器检测系统测量输入为x (t )=sin4t +0.2sin40t 的信号，试求其输出y (t )的表达式。设静态灵敏度K =1。
解 根据叠加性，输出y (t )为x 1(t )=sin4t 和x 2(t )= 0.2sin40t 单独作用时响应y 1(t )和y 2(t )的叠加，即y (t )= y 1(t )+ y 2(t )。
由频率响应特性：
)
8.214sin(93.0)
1.04arctan(4sin[)
1.04(11
)]
arctan(4sin[)
(1)(2
12
11ο-=?-??+=
-+?+=
t t t K t y τωτω
)
96.7540sin(049.0)]
1.040arctan(40sin[
2.0)
1.040(11
)(22ο-=?-??+=t t t y 所以
y (t )= y 1(t )+ y 2(t )=0.93sin(4t -21.8?)+0.049sin(40t -75.96?)
1-8 试分析)()(d )(d t Cx t By t
t y A =+传感器系统的频率响应特性。
解 传感器系统的时间常数τ=A /B ，灵敏度K =C /B 。所以，其频率响应为
2
)
/(1/)(B A B C A ωω+=
相频特性为
)/arctan()(B A ωω?-=
1-9 已知一热电偶的时间常数τ=10s ，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动，周期为80s ，静态灵敏度K =1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。 解：依题意，炉内温度变化规律可表示为
x (t) =520+20sin(ωt)℃
由周期T =80s ，则温度变化频率f =1/T ，其相应的圆频率 ω=2πf =2π/80=π/40； 温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应y (t )为
y (t )=520+B sin(ωt +?)℃
热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为
()()
786
010********
2
2
.B A =???
? ???π+=
ωτ+==
ω
因此，热电偶输出信号波动幅值为
B =20?A (ω)=20?0.786=15.7℃
由此可得输出温度的最大值和最小值分别为
y(t )|m ax =520+B=520+15.7=535.7℃ y(t )|m in =520﹣B=520-15.7=504.3℃
输出信号的相位差?为
?(ω)= -arctan(ωτ)= -arctan(2π/80?10)= -38.2?
相应的时间滞后为
?t =
()s 4.82.38360
80
=? 1-10 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即
x y dt dy dt y d 10
1032
2100.111025.2100.3?=?+?+
式中，y 为输出电荷量，pC ；x 为输入加速度，m/s 2
。
试求其固有振荡频率ωn 和阻尼比ζ。 解: 由题给微分方程可得
()()s rad n /105.11/1025.25
10
?=?=
ω
01.01
1025.22100.310
3
=????=
ξ
1-11 某压力传感器的校准数据如表1-5所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。（最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录）
解 校验数据处理（求校验平均值）：
（1）端点连线法 设直线方程为
y =a 0+kx ，
取端点（x 1，y 1）=（0，-2.70）和(x 6，y 6)=（0.10，14.45）。则a 0由x =0时的y 0值
确定，即
a 0=y 0-kx =y 1=-2.70 (mV)
k 由直线的斜率确定，即
5.1710
10.0)70.2(45.141616=---=--=x x y y k （mV/MPa ）
拟合直线方程为
y =-2.70+171.5x
%7.0%100)
70.2(45.1412
.0±=?--±=L δ
?求重复性误差：
最大不重复误差为0.08 mV ，则重复性误差为
%47.0%100)
70.2(45.1408
.0±=?--±=R δ
?求迟滞误差：
最大迟滞为0.10mV ，所以迟滞误差为
%58.0%100)
70.2(45.1410
.0±=?--±
=H δ
（2）最小二乘法 设直线方程为
y =a 0+kx
数据处理如下表所示。
根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为：
()mV)
(77.2042
.08826
.076626.03.0022.06942.23.083.34022.02
2
2
2
-=-=
-??-?=
-?-?=∑∑∑∑∑∑x x n xy x y x a
()
)MPa /mV (5.1713.0022.0683
.343.0942.262
2
2=-??-?=
-?-=
∑∑∑∑∑x x n y
x xy n k
所以，最小二乘法线性回归方程为
y =-2.77+171.5x
求非线性误差：
所以，压力传感器的非线性误差为
%41.0%100)
77.2(38.1407
.0±=?--±=L δ
可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小，所以最小二乘法拟合更合理。
重复性误差δR 和迟滞误差δH 是一致的。
1-12 用一个一阶传感器系统测量100Hz 的正弦信号时，如幅值误差限制在
5%以内，则其时间常数应取多少?若用该系统测试50Hz 的正弦信号，问此时的幅值误差和相位差为多？
解: 根据题意
()
%51112
-≥-+=
ωτγ （取等号计算）
()0526.195
.01
%51112
==-=
+ωτ
解出
ωτ =0.3287
所以
()s 310523.0100
23287
.0/3287.0-?=?=
=πωτ=0.523ms
当用该系统测试50Hz 的正弦信号时，其幅值误差为
()
(
)
%32.1110
523.050211
1112
32
-=-???+=
-+=
-πωτγ
相位差为
?=﹣arctan(ωτ)=﹣arctan(2π×50×0.523×10-3
)=﹣9.3°
1-13 一只二阶力传感器系统，已知其固有频率f 0=800Hz ，阻尼比ζ=0.14，
现用它作工作频率f =400Hz 的正弦变化的外力测试时，其幅值比A(ω)和相位角?(ω)各为多少；若该传感器的阻尼比ζ=0.7时，其A(ω)和?(ω)又将如何变化?
解: 5.0800400
2200====f f f f n ππωω
所以，当ξ=0.14时
()()
[]()2
2
2
2411
n n A ωωζ
ωω
ω+-=
()
31.15.014.045.011
2
22
2=??+-=
()()()
()ο6.101845.05
.015
.014.02arctan
12arctan
2
2
-=-=-??-=--=rad n n ωωωωξωφ 当ξ=0.7时
()()
975.05
.07.045.011
2
2
2
2=??+-=
ωA
()()ο4375.05
.015
.07.02arctan
2
-=-=-??-=rad ω?
1-14 用一只时间常数τ=0.318s 的一阶传感器去测量周期分别为1s 、2s 和3s 的正弦信号，问幅值相对误差为多少?
解：由一阶传感器的动态误差公式
()
111
2
-+=ωτγ
τ=0.318s
%2.551)
318.02(11)(211)1(2
1-=-?+=
?=?=?=πγπωrad Hz f s T
%3.29)(5.02)2(2-=?=?=?=γπωrad Hz f s T
%8.16)(3
2
313)3(3-=?=?=?=γπωrad Hz f s T
1-15 已知某二阶传感器系统的固有频率f 0=10kHz ，阻尼比ζ=0.1，若要求传感器
的输出幅值误差小于3%，试确定该传感器的工作频率范围。
解：由f 0=10kHz ，根据二阶传感器误差公式，有
()[]()
%
n
n 31411
2
2
2
2≤-ωωξ+ωω-=
γ
()[]()
069
1031411
22
2
2
2..n
n =≤ωωξ+ωω-
将ζ=0.1代入，整理得
()()00645.096.124=+-n n ωωω
???=????=???? ??0.183(388.10335.0927.12
舍去）n n
ωωωω ()
kHz f f f f f f o o
o n 83.110183.0183.0183.022=?==?===ππωω 1-16 设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理，其固有振荡频率分别为800Hz 和1.2kHz ，阻尼比均为0.4。今欲测量频率为400Hz 正弦变化的外力，应选用哪一只?并计算将产生多少幅度相对误差和相位差。
解：由题意知
???===3
/11200/4005.0800/400n ωω 则其动态误差()4.0=ξ
()[]()
1411
2
2
2
21-+-=
n
n
ωωξωωγ
[]%
6.171
5.04
.045.011
2
2
2
2=-??+-=
()[]
()
1314.043111
2
22
22-??+-=
γ =7.76%
相位差
()()
2
12n 1
15.015.04.02tan / 1/2tan -??-=--=--ωωωωξ?n ()?
-=-=9.2749.0rad ()()
2
1
23/11314.02tan -??-=-?= -0.29(rad)= -16.6°
第2章 电阻应变式传感器
2-5 一应变片的电阻R 0=120Ω，K =2.05，用作应变为800μm/m 的传感元件。(1)求?R 与?R /R ；(2)若电源电压U i =3V ，求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压U o 。 解：由 K =
ε
R
R /? ，得
361064.11080005.2-?=?==?m
m
K R R μμε 则
ΔR =1.64×10-3
×R=1.64×10-3
×120Ω=0.197Ω
其输出电压为
()V R R U U i 3301023.11064.14
34--?=??=??=
=1.23(mV) 2-6 一试件的轴向应变εx =0.0015，表示多大的微应变(με)？该试件的轴向相对伸
长率为百分之几?
解： εx =0.0015=1500×10-6
=1500(με) 由于
εx =Δl/l
所以
Δl/l =εx =0.0015=0.15%
2-7 假设惠斯通直流电桥的桥臂1是一个120Ω的金属电阻应变片（K =2.00，检测用），桥臂1的相邻桥臂3是用于补偿的同型号批次的应变片，桥臂2和桥臂4是120Ω的固定电阻。流过应变片的最大电流为30mA 。
（1）画出该电桥电路，并计算最大直流供桥电压。
（2）若检测应变片粘贴在钢梁（弹性模量E =2.1?1011N/m 2
）上，而电桥由5V 电