2014合肥一中高考最后一卷数学试题
理科数学试题
命题人：郭建德
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数13(2i i ω=-+为虚数单位),则4ω等于 A.1 B.132i -+ C.132i - D.132i +
2.已知双曲线的渐近线方程为20x y ±=,则该双曲线的离心率为 A.
5 B.5 C.3 D.5或5 3.已知随机变量(5,9)X N ,随机变量32
X η-=,且2(,)N ημδ,则 A.1,1μδ== B.11,3
μδ== C.71,3μδ== D.43,9
μδ== 4.已知,x y 满足不等式组40
x y e x y ?≥?-≥?,则2y x x +的取值范围是 A.[1,4] B.[21,9]e +
C.[3,21]e +
D.[1,]e
5.执行如图所示的程序框图,输出的c 值为 A.5 B.8
C.13
D.21
6.将一个边长为2的正方形ABCD 沿其对角线AC 折起,其俯视图如图所示, 此时连接顶点,B D 形成三棱锥B ACD -,则其正(主)视图的面积为
A.2
B.3
C.2
D.1
7.对于任意实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数,那么“[][]x y =”是“||1x y -<”的
( )条件
A.充分而不必要
B.必要而不充分
C.充要
D.既不充分又不必要
8.已知函数(),[1,3]y f x x =∈-的图象如图所示,
令1()(),(1,3]x g x f t dt x -=
∈-?,则()g x 的图象是
9.合肥一中第二十二届校园文化艺术节在2014年12月开幕,在其中一个场馆中,由吉他社,口琴社各表演两个节目,国学社表演一个节目,要求同社团的节目不相邻,节目单排法的种数是
A.72
B.60
C.48
D.24
10.定义在R 上的奇函数()f x 的最小正周期为10,在区间(0,5)内仅(1)0f =,那么函数(3)5x f -在区间[100,200]-的零点个数是 A.24 B.25 C.26 D.28
二、本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.
12.某社区有500户家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户,为了调查社会购买力的某项指标,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为若干户的样本,若高收入家庭抽取了25户,则低收入家庭被抽取的户数为
13.数列{}n a 中,若*175,n n a a n n N ++=+∈,则1100a a +=
14.在极坐标系中,曲线1C 的方程为cos()24π
ρθ+=,曲线2C 的方程为2cos()ρπθ=-,
若点P 在曲线1C 上运动,过点P 作直线l 与曲线2C 相切于点M ,则||PM 的最小值为 15.已知平面上定点,,O A B ,向量,a OA b OB ==,且||2,||1,||7a b a b ==+=
,点C 是平面上的动点,记c OC =,若(2)()0a c b c -?-=,给出以下命题:
①||3a b -=;
②点C 的轨迹是一个圆;
③||AC 的最大值为
712+,最小值为712
-; ④||BC 的最大值为312+,最小值为312-. 其中正确的有 (填上你认为正确的所有命题的序号)
三、本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分12分)
在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且sin cos 1sin
2B B B +=-. (Ⅰ)求cos B 的值
(Ⅱ)若4a c +=,求ABC ?的面积的最大值.
17(本小题满分12分)
如图,已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面,90,ABC BAC ACD ∠=∠= 60,.EAC AB AC AE ∠===,
(Ⅰ)在直线BC 上是否存在一点P ,使得//DP 平面?EAB 若存在,求出这个点,若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.
(Ⅰ)已知01x <<,求证:
ln 121x x x
-<+; (Ⅱ)已知k 为正常数,且0a >,曲线:kx C y e =上有两点(,),(,)ka ka P a e Q a e --,分别过点P
和Q 作曲线C 的切线,求证:两切线的交点的横坐标大于零.
19(本小题满分13分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意*n N ∈,都有2n n S a n +=成立.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设1111,11n n n n n n b a a x b b ++=-=
++-,若记数列{}n x 的前n 项和为n T ,求证:122
n T n >-
.
合肥一中每年五月举行校园微型博览会,在会馆入口处准备了,,A B C 三种形式的校长签名纪念卡片供参观同学抽取.
(Ⅰ)若有大量纪念卡,其中20%的A 卡,现抽取了5张,求其中A 卡的张数X 的分布列及其数学期望()E X ;(注:在总体数量特别大时,无放回抽样可以近似看作有放回抽样)
(Ⅱ)活动结束,剩余若干纪念卡,从中任意抽取1张纪念卡,得到A 卡的概率是
37
,任意抽取2张卡,没有B 卡的概率是14,求证:任意抽取2张卡,至少得到1张A 卡的概率不大于57,并指出余下的卡中那种卡最少.
21(本小题满分13分)
在一张画有直角坐标系的纸片中,作以点(1,0)M -为圆心,半径为的圆,折叠纸片使圆周上的某一个点P 恰好与定点(1,0)N 重合,连接PM 与折痕交于点Q ,反复这样折叠得到动点Q 的集合.
(Ⅰ)求动点Q 的轨迹E 的方程;
(Ⅱ)过直线2x =上的点T 向圆22:2O x y +=作两条切线,切点分别为,A B ,若直线AB 与(Ⅰ)中的轨迹E 相交于,C D 两点,求
||||
AB CD 的取值范围.