2017年河南省洛阳市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．的相反数是（）
A．B．C．﹣5 D．5
2．大树的价值很多，可以吸收有毒气体，防止大气污染，增加土壤肥力，涵养水源，为鸟类及其他动物提供繁衍场所等价值，累计计算，一棵50年树龄的大树总计创造价值超过160万元，其中160万元用科学记数法表示为（）A．1.6×105B．1.6×106C．1.6×107D．1.6×108
3．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和俯视图
4．下列各式计算正确的是（）
A．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2B．2a3+a3=3a6
C．a3?a=a4D．（﹣a2b）3=a6b3
5．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=40°，∠2=70°，则∠3=（）
A．70°B．100°C．110° D．120°
6．已知点P（a+1，﹣+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A．B． C．
D．
7．洛阳某中学“研究学习小组”的同学们进行了社会实践活动，其中一个小组的同学调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：
则这30户家庭用水量的众数和中位数分别是（）
A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25
8．如图，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延
长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C 为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB
平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时，点F的坐标是（）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：0﹣（﹣3）﹣2=．
12．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x
轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为．
13．有三辆车按A，B，C编号，甲、乙两人可任意选坐一辆车，则两人同坐C 号车的概率为．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=3，以BC为直径的半圆交AB于点D，则阴影部分的面积为．
15．在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD时等腰三角形时，AP的长为．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，且a为非负整数．
17．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC．
（1）求证：GC是⊙F的切线；
（2）填空：
①若∠BAD=45°，AB=2，则△CDG的面积为．
②当∠GCD的度数为时，四边形EFCD是菱形．
18．某居民区道路上的“早市”引起了大家关注，小明想了解本小区居民对“早市”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“早市”的看法分为四个层次：A、非常赞同B、赞同但要有一定的限制；C、无所谓D、不赞同，并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求本次被抽查的居民有多少人？
（2）将图1和图2补充完整；
（3）求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；
（4）估计该小区4000名居民中对“早市”的看法表示赞同（包括A层次）．19．如图2，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图1，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA=75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度．
（1）求∠CBO的度数；
（2）求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
20．甲、乙两家樱桃采摘园的品质相同，销售价格也相同，“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x （千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系．
（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克元；
（2）求y1、y2与x的函数表达式；
（3）在图中画出y1与x的函数图象，若某人想在“五一期间”采摘樱桃25千克，那么甲、乙哪个采摘园较为优惠？请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，
与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠
ABO=，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为
=4S△DFO，求点D的坐标．
点F，连接OD、BF．如果S
△BAF
22．如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN
（1）线段MN和GD的数量关系是，位置关系是；
（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）已知BC=7，CE=3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A （1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2017年河南省洛阳市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．的相反数是（）
A．B．C．﹣5 D．5
【考点】15：绝对值；14：相反数．
【分析】先根据绝对值的性质求出|﹣|，再根据相反数的定义求出其相反数．
【解答】解：∵|﹣|=，的相反数是﹣；
∴的相反数是﹣，
故选B．
2．大树的价值很多，可以吸收有毒气体，防止大气污染，增加土壤肥力，涵养水源，为鸟类及其他动物提供繁衍场所等价值，累计计算，一棵50年树龄的大树总计创造价值超过160万元，其中160万元用科学记数法表示为（）A．1.6×105B．1.6×106C．1.6×107D．1.6×108
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将160万用科学记数法表示为1.6×106．
故选B．
3．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和俯视图
【考点】Q2：平移的性质；U2：简单组合体的三视图．
【分析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
【解答】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选：B．
4．下列各式计算正确的是（）
A．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2B．2a3+a3=3a6
C．a3?a=a4D．（﹣a2b）3=a6b3
【考点】4I：整式的混合运算．
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=4a2﹣b2，不符合题意；
B、原式=3a3，不符合题意；
C、原式=a4，符合题意；
D、原式=﹣a6b3，不符合题意，
故选C
5．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=40°，∠2=70°，则∠3=（）
A．70°B．100°C．110° D．120°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠4，再根据对顶角相等解答．
【解答】解：∵a∥b，∠1=40°，
∴∠4=∠1=40°，
∴∠3=∠2+∠4=70°+40°=110°．
故选：C．
6．已知点P（a+1，﹣+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A．B． C．
D．
【考点】R6：关于原点对称的点的坐标；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据关于原点对称点的性质得出对应点坐标，再利用第四象限点的坐标性质得出答案．
【解答】解：∵点P（a+1，﹣+1）关于原点的对称点坐标为：（﹣a﹣1，﹣1），该对称点在第四象限，
∴，
解得：a＜﹣1，
则a的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：C．
7．洛阳某中学“研究学习小组”的同学们进行了社会实践活动，其中一个小组的同学调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：
则这30户家庭用水量的众数和中位数分别是（）
A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25
【考点】W5：众数；W4：中位数．
【分析】根据中位数和众数的定义进行解答，将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数是中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．【解答】解：∵用水量为30吨的户数有9户，户数最多，
∴该月用水量的众数是30；
∵共有30个数，
∴这30户家庭该月用水量的中位数是第15个和16个数的平均数，
∴该月用水量的中位数是（25+25）÷2=25；
故选D．
8．如图，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延
长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质．【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在?ABCD 中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；△ABE是等腰三角形，AB=BE=6，所以CF=3；在△ABG中，BG⊥
AE，AB=6，BG=，可得AG=2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE=2AG=4，
所以△ABE的周长等于16，又由?ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．
【解答】解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，
∴∠BAF=∠F，
∴∠DAF=∠F，
∴AD=FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD=DF=9；
∵AB=BE=6，
∴CF=3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得：AG=2，
又BG⊥AE，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵?ABCD
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．
9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C 为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB
平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：根据作图过程可知：PB=CP，
∵D为BC的中点，
∴PD垂直平分BC，
∴①ED⊥BC正确；
∵∠ABC=90°，
∴PD∥AB，
∴E为AC的中点，
∴EC=EA，
∵EB=EC，
∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，
故正确的有①②④，
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时，点F的坐标是（）
A． B． C． D．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；D2：规律型：点的坐标．
【分析】正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；因为2017÷6=336余
1，点F滚动1次时的横坐标为2，纵坐标为，点F滚动7次时的横坐标为8，
纵坐标为，所以点F滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，由此即可解决问题．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；
∴2017÷6=336余1，
∴点F滚动1次时的横坐标为2，纵坐标为，点F滚动7次时的横坐标为8，
纵坐标为，
∴点F滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，
∴点F滚动2107次时的横坐标为2017+1=2018，纵坐标为，
∴点F滚动2107次时的坐标为，
故选C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：0﹣（﹣3）﹣2=．
【考点】6F：负整数指数幂；6E：零指数幂．
【分析】根据零次幂、负整数指数幂，可得答案．
【解答】解：原式=1﹣=，
故答案为：．
12．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x
轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为﹣32．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；L8：菱形的性质．
【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．
【解答】解：∵A（﹣3，4），
∴OC==5，
∴CB=OC=5，
则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，
故B的坐标为：（﹣8，4），
将点B的坐标代入y=得，4=，
解得：k=﹣32．
故答案是：﹣32．
13．有三辆车按A，B，C编号，甲、乙两人可任意选坐一辆车，则两人同坐C
号车的概率为．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人同坐C号车的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两人同坐C号车的只有1种情况，
∴两人同坐C号车的概率为：．
故答案为：．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=3，以BC为直径的半圆交AB于
点D，则阴影部分的面积为9﹣﹣．
【考点】MO ：扇形面积的计算；KQ ：勾股定理．
【分析】连接OD ，CD ，根据三角函数的定义得到∠B=30°，根据圆周角定理得到
∠COD=60°，求得BC=3
，解直角三角形得到CD=
，BD=，于是得到结论．
【解答】解：连接OD ，CD ，
∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，AC=3，
∴sin ∠B=
=，
∴∠B=30°， ∴∠COD=60°，
∴BC=3
，
∵BC 为⊙O 的直径， ∴CD ⊥BD ，
∴CD=
，BD=，
∴阴影部分的面积=S △ABC ﹣S 扇形COD
﹣S △BOD =
3×6﹣
﹣
×
×=9﹣
﹣．
故答案为：9﹣
﹣
．
15．在菱形ABCD 中，AB=5，AC=8，点P 是对角线AC 上的一个动点，过点P 作EF 垂直于AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 折叠，使点A 落在点A′处，
当△A′CD时等腰三角形时，AP的长为或．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KH：等腰三角形的性质；L8：菱形的性质．【分析】首先证明四边形AEA′F是菱形，分两种情形：①CA′=CD，②A′C=A′D分别计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，
∵EF⊥AA′，
∴∠EPA=∠FPA=90°，
∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，
∴∠AEP=∠AFP，
∴AE=AF，
∵△A′EF是由△AEF翻折，
∴AE=EA′，AF=FA′，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四边形AEA′F是菱形，
∴AP=PA′
①当CD=CA′时，∵AA′=AC﹣CA′=3，
∴AP=AA′=．
②当A′C=A′D时，∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC，
∴△A′CD∽△DAC，
∴=，
∴A′C=，
∴AA=8﹣=，
∴AP=AA′=．
故答案为或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，且a为非负整数．
【考点】6D：分式的化简求值；AA：根的判别式．
【分析】根据分式的额加减法和除法可以化简题目中的式子，再根据x2﹣2
x+a=0有两个不相等的实数根，且a为非负整数和求得的a的值必须使得原分式有意义，从而可以求得a的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（a+2﹣）
=
=
=
=
=，
∵x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，且a为非负整数，
∴△=且a≥0，a为整数，
解得，0≤a＜3且a为整数，
∵a﹣2≠0，a≠0，
∴a=1，
当a=1时，原式=．
17．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC．
（1）求证：GC是⊙F的切线；
（2）填空：
①若∠BAD=45°，AB=2，则△CDG的面积为．
②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形．
【考点】ME：切线的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；L9：菱形的判定．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠D=∠BCF，证出CF∥AD，由已知条件得出CG⊥CF，即可得出结论；
（2）解：①连接AC，BE，根据圆周角定理得到AC⊥BD，∠AEB=90°，根据等腰
三角形的性质得到BC=CD，解直角三角形得到DE=2﹣2，根据三角形的中位线
的性质得到DG=EG=DE=﹣1，CG=BE=1，于是得到结论；
②证出△BCF是等边三角形，得出∠B=60°，CF=BF=AB，证出△ABD是等边三角
形，CF=AD，证出△AEF是等边三角形，得出AE=AF=AB=AD，因此CF=DE，证出四边形EFCD是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB=AD，FB=FC，
∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，
∴∠D=∠BCF，
∴CF∥AD，
∵CG⊥AD，
∴CG⊥CF，
∴GC是⊙F的切线；
（2）解：①∵连接AC，BE，