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2017年河南省洛阳市中考数学一模试卷(解析版)

2017年河南省洛阳市中考数学一模试卷

一、选择题(每小题3分,共30分)

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1.的相反数是()

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A.B.C.﹣5 D.5

2.大树的价值很多,可以吸收有毒气体,防止大气污染,增加土壤肥力,涵养水源,为鸟类及其他动物提供繁衍场所等价值,累计计算,一棵50年树龄的大树总计创造价值超过160万元,其中160万元用科学记数法表示为()A.1.6×105B.1.6×106C.1.6×107D.1.6×108

3.如图,一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移,平移过程中不变的是()

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A.主视图B.左视图

C.俯视图D.主视图和俯视图

4.下列各式计算正确的是()

A.(b+2a)(2a﹣b)=b2﹣4a2B.2a3+a3=3a6

C.a3?a=a4D.(﹣a2b)3=a6b3

5.如图,直线a,b被直线c所截,若a∥b,∠1=40°,∠2=70°,则∠3=()

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A.70°B.100°C.110° D.120°

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6.已知点P(a+1,﹣+1)关于原点的对称点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是()

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A.B. C.

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D.

7.洛阳某中学“研究学习小组”的同学们进行了社会实践活动,其中一个小组的同学调查了30户家庭某月的用水量,如表所示:

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则这30户家庭用水量的众数和中位数分别是()

A.25,27 B.25,25 C.30,27 D.30,25

8.如图,在?ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延

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长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=,则△CEF的周长为()

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A.8 B.9.5 C.10 D.11.5

9.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边的中点,分别以B、C 为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径画弧,两弧在直线BC上方的交点为P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论:①ED⊥BC;②∠A=∠EBA;③EB

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平分∠AED;④ED=AB中,一定正确的是()

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A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

10.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(2,0),正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动,每旋转60°为滚动1次,那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时,点F的坐标是()

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A. B. C. D.

二、填空题(每小题3分,共15分)

11.计算:0﹣(﹣3)﹣2=.

12.如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(﹣3,4),顶点C在x

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轴的负半轴上,函数y=(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为.

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13.有三辆车按A,B,C编号,甲、乙两人可任意选坐一辆车,则两人同坐C 号车的概率为.

14.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,AC=3,以BC为直径的半圆交AB于点D,则阴影部分的面积为.

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15.在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,点P是对角线AC上的一个动点,过点P作EF垂直于AC交AD于点E,交AB于点F,将△AEF折叠,使点A落在点A′处,当△A′CD时等腰三角形时,AP的长为.

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三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)

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16.先化简,再求值:÷(a+2﹣),其中x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根,且a为非负整数.

17.如图,在△ABD中,AB=AD,以AB为直径的⊙F交BD于点C,交AD于点E,CG⊥AD于点G,连接FE,FC.

(1)求证:GC是⊙F的切线;

(2)填空:

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①若∠BAD=45°,AB=2,则△CDG的面积为.

②当∠GCD的度数为时,四边形EFCD是菱形.

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18.某居民区道路上的“早市”引起了大家关注,小明想了解本小区居民对“早市”的看法,进行了一次抽样调查,把居民对“早市”的看法分为四个层次:A、非常赞同B、赞同但要有一定的限制;C、无所谓D、不赞同,并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图.

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请你根据图中提供的信息解答下列问题:

(1)求本次被抽查的居民有多少人?

(2)将图1和图2补充完整;

(3)求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数;

(4)估计该小区4000名居民中对“早市”的看法表示赞同(包括A层次).19.如图2,“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直,展开小桌板使桌面保持水平时如图1,小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA=75厘米,此时CB⊥AO,∠AOB=∠ACB=37°,且支架长OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度.

(1)求∠CBO的度数;

(2)求小桌板桌面的宽度BC.(参考数据sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)

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20.甲、乙两家樱桃采摘园的品质相同,销售价格也相同,“五一期间”,两家均推出了优惠方案,甲采摘园的优惠方案是:游客进园需购买50元的门票,采摘的草莓六折优惠;乙采摘园的优惠方案是:游客进园不需购买门票,采摘园的草莓超过一定数量后,超过部分打折优惠.优惠期间,设某游客的草莓采摘量为x (千克),在甲采摘园所需总费用为y1(元),在乙采摘园所需总费用为y2(元),图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系.

(1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克元;

(2)求y1、y2与x的函数表达式;

(3)在图中画出y1与x的函数图象,若某人想在“五一期间”采摘樱桃25千克,那么甲、乙哪个采摘园较为优惠?请说明理由.

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21.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B,与y轴交于点A,

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与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C,CE⊥x轴,垂足为点E,tan∠

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ABO=,OB=4,OE=2.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点,过点D作DF⊥y轴,垂足为

=4S△DFO,求点D的坐标.

点F,连接OD、BF.如果S

△BAF

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22.如图①,C为线段BE上的一点,分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG,M、N分别是线段AF和GD的中点,连接MN

(1)线段MN和GD的数量关系是,位置关系是;

(2)将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°,其他条件不变,如图②,(1)的结论是否成立?说明理由;

(3)已知BC=7,CE=3,将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周,其他条件不变,直接写出MN的最大值和最小值.

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23.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A (1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为(0,﹣1),该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动,连接OM,BM,设运动时间为t秒(t>0),在点M的运动过程中,当t为何值时,∠OMB=90°?

(3)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PBF被BA平分?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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参考答案与试题解析

一、选择题(每小题3分,共30分)

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1.的相反数是()

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A.B.C.﹣5 D.5

【考点】15:绝对值;14:相反数.

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【分析】先根据绝对值的性质求出|﹣|,再根据相反数的定义求出其相反数.

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【解答】解:∵|﹣|=,的相反数是﹣;

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∴的相反数是﹣,

故选B.

2.大树的价值很多,可以吸收有毒气体,防止大气污染,增加土壤肥力,涵养水源,为鸟类及其他动物提供繁衍场所等价值,累计计算,一棵50年树龄的大树总计创造价值超过160万元,其中160万元用科学记数法表示为()A.1.6×105B.1.6×106C.1.6×107D.1.6×108

【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,整数位数减1即可.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

【解答】解:将160万用科学记数法表示为1.6×106.

故选B.

3.如图,一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移,平移过程中不变的是()

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A.主视图B.左视图

C.俯视图D.主视图和俯视图

【考点】Q2:平移的性质;U2:简单组合体的三视图.

【分析】主视图是从正面观察得到的图形,左视图是从左侧面观察得到的图形,俯视图是从上面观察得到的图形,结合图形即可作出判断.

【解答】解:根据图形,可得:平移过程中不变的是的左视图,变化的是主视图和俯视图.

故选:B.

4.下列各式计算正确的是()

A.(b+2a)(2a﹣b)=b2﹣4a2B.2a3+a3=3a6

C.a3?a=a4D.(﹣a2b)3=a6b3

【考点】4I:整式的混合运算.

【分析】各项计算得到结果,即可作出判断.

【解答】解:A、原式=4a2﹣b2,不符合题意;

B、原式=3a3,不符合题意;

C、原式=a4,符合题意;

D、原式=﹣a6b3,不符合题意,

故选C

5.如图,直线a,b被直线c所截,若a∥b,∠1=40°,∠2=70°,则∠3=()

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A.70°B.100°C.110° D.120°

【考点】JA:平行线的性质.

【分析】根据两直线平行,内错角相等求出∠4,再根据对顶角相等解答.

【解答】解:∵a∥b,∠1=40°,

∴∠4=∠1=40°,

∴∠3=∠2+∠4=70°+40°=110°.

故选:C.

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6.已知点P(a+1,﹣+1)关于原点的对称点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是()

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A.B. C.

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D.

【考点】R6:关于原点对称的点的坐标;C4:在数轴上表示不等式的解集.【分析】根据关于原点对称点的性质得出对应点坐标,再利用第四象限点的坐标性质得出答案.

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【解答】解:∵点P(a+1,﹣+1)关于原点的对称点坐标为:(﹣a﹣1,﹣1),该对称点在第四象限,

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∴,

解得:a<﹣1,

则a的取值范围在数轴上表示为:

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故选:C.

7.洛阳某中学“研究学习小组”的同学们进行了社会实践活动,其中一个小组的同学调查了30户家庭某月的用水量,如表所示:

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则这30户家庭用水量的众数和中位数分别是()

A.25,27 B.25,25 C.30,27 D.30,25

【考点】W5:众数;W4:中位数.

【分析】根据中位数和众数的定义进行解答,将这组数据从小到大重新排列,求出最中间两个数的平均数是中位数,众数是一组数据中出现次数最多的数据.【解答】解:∵用水量为30吨的户数有9户,户数最多,

∴该月用水量的众数是30;

∵共有30个数,

∴这30户家庭该月用水量的中位数是第15个和16个数的平均数,

∴该月用水量的中位数是(25+25)÷2=25;

故选D.

8.如图,在?ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延

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长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=,则△CEF的周长为()

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A.8 B.9.5 C.10 D.11.5

【考点】S9:相似三角形的判定与性质;KQ:勾股定理;L5:平行四边形的性质.【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查.在?ABCD 中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分线交BC于点E,可得△ADF是等腰三角形,AD=DF=9;△ABE是等腰三角形,AB=BE=6,所以CF=3;在△ABG中,BG⊥

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AE,AB=6,BG=,可得AG=2,又△ADF是等腰三角形,BG⊥AE,所以AE=2AG=4,

所以△ABE的周长等于16,又由?ABCD可得△CEF∽△BEA,相似比为1:2,所以△CEF的周长为8,因此选A.

【解答】解:∵在?ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分线交BC于点E,∴AB∥DC,∠BAF=∠DAF,

∴∠BAF=∠F,

∴∠DAF=∠F,

∴AD=FD,

∴△ADF是等腰三角形,

同理△ABE是等腰三角形,

AD=DF=9;

∵AB=BE=6,

∴CF=3;

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∴在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG=,可得:AG=2,

又BG⊥AE,

∴AE=2AG=4,

∴△ABE的周长等于16,

又∵?ABCD

∴△CEF∽△BEA,相似比为1:2,

∴△CEF的周长为8.

故选:A.

9.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边的中点,分别以B、C 为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径画弧,两弧在直线BC上方的交点为P,直线PD交AC于点E,连接BE,则下列结论:①ED⊥BC;②∠A=∠EBA;③EB

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平分∠AED;④ED=AB中,一定正确的是()

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A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【考点】N2:作图—基本作图;KG:线段垂直平分线的性质.

【分析】根据作图过程得到PB=PC,然后利用D为BC的中点,得到PD垂直平分BC,从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可.

【解答】解:根据作图过程可知:PB=CP,

∵D为BC的中点,

∴PD垂直平分BC,

∴①ED⊥BC正确;

∵∠ABC=90°,

∴PD∥AB,

∴E为AC的中点,

∴EC=EA,

∵EB=EC,

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∴②∠A=∠EBA正确;③EB平分∠AED错误;④ED=AB正确,

故正确的有①②④,

故选:B.

10.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(2,0),正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动,每旋转60°为滚动1次,那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时,点F的坐标是()

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A. B. C. D.

【考点】R7:坐标与图形变化﹣旋转;D2:规律型:点的坐标.

【分析】正六边形ABCDEF一共有6条边,即6次一循环;因为2017÷6=336余

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1,点F滚动1次时的横坐标为2,纵坐标为,点F滚动7次时的横坐标为8,

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纵坐标为,所以点F滚动2107次时的纵坐标与相同,横坐标的次数加1,由此即可解决问题.

【解答】解:∵正六边形ABCDEF一共有6条边,即6次一循环;

∴2017÷6=336余1,

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∴点F滚动1次时的横坐标为2,纵坐标为,点F滚动7次时的横坐标为8,

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纵坐标为,

∴点F滚动2107次时的纵坐标与相同,横坐标的次数加1,

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∴点F滚动2107次时的横坐标为2017+1=2018,纵坐标为,

∴点F滚动2107次时的坐标为,

故选C.

二、填空题(每小题3分,共15分)

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11.计算:0﹣(﹣3)﹣2=.

【考点】6F:负整数指数幂;6E:零指数幂.

【分析】根据零次幂、负整数指数幂,可得答案.

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【解答】解:原式=1﹣=,

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故答案为:.

12.如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(﹣3,4),顶点C在x

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轴的负半轴上,函数y=(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为﹣32.

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【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征;L8:菱形的性质.

【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标,然后利用待定系数法求出k的值即可.

【解答】解:∵A(﹣3,4),

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∴OC==5,

∴CB=OC=5,

则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8,

故B的坐标为:(﹣8,4),

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将点B的坐标代入y=得,4=,

解得:k=﹣32.

故答案是:﹣32.

13.有三辆车按A,B,C编号,甲、乙两人可任意选坐一辆车,则两人同坐C

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号车的概率为.

【考点】X6:列表法与树状图法.

【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两人同坐C号车的情况,再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解:画树状图得:

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∵共有9种等可能的结果,两人同坐C号车的只有1种情况,

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∴两人同坐C号车的概率为:.

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故答案为:.

14.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,AC=3,以BC为直径的半圆交AB于

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点D,则阴影部分的面积为9﹣﹣.

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【考点】MO :扇形面积的计算;KQ :勾股定理.

【分析】连接OD ,CD ,根据三角函数的定义得到∠B=30°,根据圆周角定理得到

∠COD=60°,求得BC=3

,解直角三角形得到CD=

,BD=,于是得到结论.

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【解答】解:连接OD ,CD ,

∵Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AB=6,AC=3,

∴sin ∠B=

=,

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∴∠B=30°, ∴∠COD=60°,

∴BC=3

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∵BC 为⊙O 的直径, ∴CD ⊥BD ,

∴CD=

,BD=,

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∴阴影部分的面积=S △ABC ﹣S 扇形COD

﹣S △BOD =

3×6﹣

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×

×=9﹣

﹣.

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故答案为:9﹣

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15.在菱形ABCD 中,AB=5,AC=8,点P 是对角线AC 上的一个动点,过点P 作EF 垂直于AC 交AD 于点E ,交AB 于点F ,将△AEF 折叠,使点A 落在点A′处,

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当△A′CD时等腰三角形时,AP的长为或.

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【考点】PB:翻折变换(折叠问题);KH:等腰三角形的性质;L8:菱形的性质.【分析】首先证明四边形AEA′F是菱形,分两种情形:①CA′=CD,②A′C=A′D分别计算即可.

【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=BC=CD=AD=5,∠DAC=∠BAC,

∵EF⊥AA′,

∴∠EPA=∠FPA=90°,

∴∠EAP+∠AEP=90°,∠FAP+∠AFP=90°,

∴∠AEP=∠AFP,

∴AE=AF,

∵△A′EF是由△AEF翻折,

∴AE=EA′,AF=FA′,

∴AE=EA′=A′F=FA,

∴四边形AEA′F是菱形,

∴AP=PA′

①当CD=CA′时,∵AA′=AC﹣CA′=3,

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∴AP=AA′=.

②当A′C=A′D时,∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC,

∴△A′CD∽△DAC,

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∴=,

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∴A′C=,

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∴AA=8﹣=,

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∴AP=AA′=.

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故答案为或.

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三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)

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16.先化简,再求值:÷(a+2﹣),其中x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根,且a为非负整数.

【考点】6D:分式的化简求值;AA:根的判别式.

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【分析】根据分式的额加减法和除法可以化简题目中的式子,再根据x2﹣2

x+a=0有两个不相等的实数根,且a为非负整数和求得的a的值必须使得原分式有意义,从而可以求得a的值,然后代入化简后的式子即可解答本题.

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【解答】解:÷(a+2﹣)

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=

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=

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=

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=

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=,

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∵x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根,且a为非负整数,

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∴△=且a≥0,a为整数,

解得,0≤a<3且a为整数,

∵a﹣2≠0,a≠0,

∴a=1,

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当a=1时,原式=.

17.如图,在△ABD中,AB=AD,以AB为直径的⊙F交BD于点C,交AD于点E,CG⊥AD于点G,连接FE,FC.

(1)求证:GC是⊙F的切线;

(2)填空:

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①若∠BAD=45°,AB=2,则△CDG的面积为.

②当∠GCD的度数为30°时,四边形EFCD是菱形.

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【考点】ME:切线的判定与性质;KH:等腰三角形的性质;L9:菱形的判定.【分析】(1)由等腰三角形的性质得出∠D=∠BCF,证出CF∥AD,由已知条件得出CG⊥CF,即可得出结论;

(2)解:①连接AC,BE,根据圆周角定理得到AC⊥BD,∠AEB=90°,根据等腰

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三角形的性质得到BC=CD,解直角三角形得到DE=2﹣2,根据三角形的中位线

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的性质得到DG=EG=DE=﹣1,CG=BE=1,于是得到结论;

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②证出△BCF是等边三角形,得出∠B=60°,CF=BF=AB,证出△ABD是等边三角

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形,CF=AD,证出△AEF是等边三角形,得出AE=AF=AB=AD,因此CF=DE,证出四边形EFCD是平行四边形,即可得出结论.

【解答】(1)证明:∵AB=AD,FB=FC,

∴∠B=∠D,∠B=∠BCF,

∴∠D=∠BCF,

∴CF∥AD,

∵CG⊥AD,

∴CG⊥CF,

∴GC是⊙F的切线;

(2)解:①∵连接AC,BE,

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