专题四：曲线运动万有引力与航天
一、曲线运动：
（一）曲线运动的条件：F与v0不在同一直线上。
（二）曲线运动的特点：v沿切线、F指向凹侧；
1、力与轨迹：合力指向轨迹的凹侧；
2、力与速度：切向分力改变v的大小；
径向分力改变v的方向；
(具体阐述平抛、斜向上抛、匀速圆周运动、水流星等运动中力与v的
关系，并引出一个观点：物体在某一方向上的运动只取决于此方向的
受力和初速度。)
3、轨迹与速度：轨迹的切线代表v的方向，而不是v大小，注意与x-t图象的区别。
例一：如图所示,点电荷的静电场中电场线用实线表示,但其方向未标明,虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹.a、b是轨迹上的两点.若带电粒子在运动中只受到电场力的作用,根据此图可作出正确判断的是 (CD )
A. 带电粒子所带电荷的性质
B. a、b两点电场强度方向
C. 带电粒子a、b两点处的受力方向
D. 带电粒子在a、b两点的速度何处较大
例二：一质点在xOy平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是( A )
A．若在x方向始终匀速运动，则在y方向先减速后加速运动
B．若在x方向始终匀速运动，则在y方向先加速后减速运动
C．若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直加速运动
D．若在y方向始终匀速运动，则在x方向一直减速运动
例三：一带正电的小钢球m以初速度v0在光滑水平面上运动，后受到另一正电荷的排斥作用力而做曲线运动，从M点运动到N点，如图所示．过轨迹上M、N两点的切线MM′和NN′将轨迹MN上方的空间划分为四个区域，由此可知，该正电荷可能处在哪个区域()
A．①区
B．③区
C．②或④区
D．均不可能
（三）曲线运动的分解——首先让学生回答什么是运动的合成和分解 1、定则：平行四边形（x 、v 、a 均为矢量）
2、性质：独立性、等时性、等效性（前一个性质是保障，后两个性质可列方程求解）
3、思想：将曲线运动分解为直线运动或熟悉的运动模型。 例一：一半径为r 光滑圆筒高h ，如右图所示，现将一小球以速度v 从a 点水平切入圆筒，结果刚好从其正下方的b 点射出。试说明小球在圆筒内作何运动，速度v 应满足什么条件？
4、原则：分解实际运动
（四）曲线运动的模型： 1、速度关联：
例一：如图所示，轮船以恒定的水平速度v 0沿水面向远离河岸方向运动，通过跨越滑轮的钢丝绳拉动岸上水平轨道上的重物，当钢丝绳与水平面夹角为α 的瞬间，岸上重物移动的速度多大？ v 0cos α
例二：如图所示，一个带滑轮的物体放在水平面上，一根轻绳固定在C 处，通过滑轮B 和D 牵引物体，BC 水平，以水平恒速v 拉绳上自由端时，物体沿水平面前进．求当跨过B 的两绳夹角为时，物体的运动速度为多少？ 法一：设经Δt 时间物体由B 运动到B’ ，如图，使DE =DB’，则D 端绳子运动的距离s 为
s BE BB '=+，
当Δt →0，可以认为B’E ⊥BD ，则
()cos 1cos s BB BB BB αα'''=+=+，
又 0lim
t s v t ?→=?，0lim t BB v t
?→'
=?物，可得
()1cos v v α=+物， 所以物体的运动速度为 1cos v
v α
=
+物．
法二：关联速度法——
（1）设只有一根水平绳子拉动物体：
（2）设只有一根倾斜绳子拉动物体：
（3）把两种情况合在一起：
2、小船过河：
例一：一条宽为L的河，水流速度为v1，船在静水中的速度为v2，那么：
(1)怎样渡河时间最短？最短时间是多少？
(2)若v1 (3)若v1>v2，怎样渡河船漂下的距 离最短？最短距离为多大?——身 不由己、尽力而为 例二：A船从港口P出发，拦截正以速度v0沿直 线MN航行的B船，P与B船所在航线的垂直距离为 a，A船起航时，B船与P点的距离为b，且b>a，如 图所示。如果略去A船起动时的加速过程，认为它 一起航就作匀速运动，求A船能拦到B船所需的最小 速率。 法一：设两船相遇于H 点， A v 与PN 间的夹角为α，则： A 船的位移——αcos a s A = B 船的位移——αtan 22a a b s B +-= 因时间相等，故有——0v v s s A B A = 整理化简以上各式后有 () αβα α+= +-= sin sin cos 0 220 b av a a b av v A 其中b a arccos =β 可见当b a b a arcsin arccos 22=-=-=π βπα 即当A 船速度方向与MP 垂直时有最小值b av v A 0min = 法二：以B 船为参考系，A 船已经具有水平向右的分速度v 0，再有一自身的分速度v A 后，合速度必须朝向B 船方能实施拦截。由图，显然，满足这样条件的最小b a v v v A ?=?=00sin θ。 3、平抛运动： (1)类型：任意的初速度+只受重力； 轨迹有直线和抛物线两种。（轨迹得出的方法：建立y 与x 的函数关系，如平抛运 动有?? ? ??==2021gt y t v x ，其斜率x v g k 02= ，此处速度k g v x v gt v v ≠+=+=2 20 220 2 20 )(，进一步证明轨迹的斜率 不是速度，只是速度的方向。） 例一：、在光滑的水平面内，一质量m =1 kg 的质点以速度v 0=10 m/s 沿x 轴正方向运动，经过原点后受一竖直向上的恒力F =15 N 作用，从此开始，物体离开水平面而在竖直平面内运动。直线OA 与x 轴成37°角，如图所示，曲线为质点的轨迹图，求(g 取10 m/s 2)： ①写出质点的运动轨迹方程； ②轨迹与直线OA 的交点坐标； ③质点经过P 点时的速度。 ①y =1/40 x 2 ②P (30 m,22.5 m) ③135m/s,与x 轴正方向成arctan1.5角斜向上 (2)方法：运动的分解与合成 平抛运动中的两个矢量三角形——tan α =2tan θ 速度矢量三角形：0 220tan ,,,v gt v v v gt v v v y x y x = += ==α 位移矢量三角形：0 222021tan ,,21,v gt y x s gt y t v x =+== =θ 此结论也可表述为平抛运动的物体在任一位置的瞬时速度的反向延长线过水平位移的中点。 例二：如图所示，光滑斜面长为b ，宽为a ，倾角为θ， 一物块沿斜面左上方顶点P 水平射入，而从右下方顶点Q 离开斜面，求入射初速度。b g a 2/sin θ 例三：如图所示，墙壁上落着两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A 与竖直墙壁成530，飞镖B 与竖直墙壁成370，两者相距为d ．假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离．（sin370=0.6，cos370=0.8） 解析：首先清楚飞镖与墙壁的夹角为速度与墙壁所成的角，做出如图所示的轨迹图，设水平距离为x ，将两只飞镖的速度反向延长与初速度的延长线交于一点 C ，2x C D =，037cot CD BD =，0 53cot CD AD =，d AD BD =-解得d x 7 24 =． 例四：如图所示，从倾角为θ的斜面顶端水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点到落点间斜边长为L 。 (1)求抛出的初速度。 (2)抛出后经多长时间物体离斜面最远？并求最远距离。 (1) θθcos sin 2?gL (2) g L 2sin θ 4cos sin θθgL 法一：速度反向延长线过水平位移的中点。 法二：类斜向上抛运动。 （四）曲线运动的类型： 1、从力的角度分类： 恒力：平衡状态——静止或匀速直线运动 匀变速直线运动——匀加速、匀减速直线运动 匀变速曲线运动——抛体运动 变力：变速曲线运动——匀速圆周运动 单摆（角度范围、受力特征） 变速直线运动——弹簧振子 例一：若以固定点为起点画出若干矢量，分别代表质点在不同时刻的速度。则这些矢量的末端所形成的轨迹被定义为“速矢端迹”，则以下说法中不正确的是( A ) A ．匀速直线运动的速矢端迹是线段； B ．匀加速直线运动的速矢端迹是射线； C ．匀速圆周运动的速矢端迹是圆； D ．平抛运动的速矢端迹是竖直方向的射线。 2、从运动的角度分类： （1）两个匀速直线运动的合运动——仍然是匀速直线运动。如：蜡块的运动、小船过河问题等。 例一：如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（A ） （A ）大小和方向均不变 （B ）大小不变，方向改变 （C ）大小改变，方向不变 （D ）大小和方向均改变 变形：…… 例二：如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v 水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为(C) A．水平向左，大小为v B．竖直向上，大小为v tan θ C．沿A杆斜向上，大小为 v cos θ D．沿A杆斜向上，大小为v cos θ 解析：两杆的交点P参与了两个分运动：与B杆一起以速度v水平向左的匀速直线运动和沿B杆竖直向上的匀速运动，交点P的实际运动方向沿A杆斜向上，如图所示，则交点P的速度大小为v P＝v cos θ ，故C正确． （2）一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动（如竖直上抛、下抛运动），不共线时为匀变速曲线运动（如斜抛、平抛）。讲解：斜向上抛运动 ○1原始：匀速v+自由落体 ○2一般：水平——vcosθ 匀速 竖直——vsinθ 匀减速 ○3特殊：沿着v方向——初速度为v，以gcosθ 匀减速 垂直v方向——初速度为零，以gsinθ 匀加速 可见，运动的分解与力的分解相似，并不唯一。 例一：在2009年秋季运动会上，高一3班的运动员小李参与掷5㎏铅球项目的比赛，他以8m/s的速度，且与水平方向成30O角的速度斜向上抛出（为了简便，不考虑运动员的身高），如图所示。取重力加速度g＝10m／s2，不计空气阻力。 求： （1）铅球在空中飞行时间为t；0.8s （2）铅球在空中达到的最大高度为H；0.8m （2）铅球的水平射程S。5.54m 思考：运动员掷铅球要想射程最大，掷铅球的仰角应是多大？ ——由 2 sin2 v s g θ =知θ=45O。 例二：（匀速+匀变速）如图所示的塔吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车A，小 车下装有吊着物体B的吊钩。在小车A与物体B以相同的水平速 度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起。A、B 之间的距离以d=H-2t2（SI）（SI表示国际单位制，式中H为吊臂 离地面的高度）规律变化。则物体做( B、C) Ａ．速度大小不变的曲线运动 Ｂ．速度大小增加的曲线运动 Ｃ．加速度大小方向均不变的曲线运动 Ｄ．加速度大小方向均变化的曲线运动 例三：在节日里，礼花弹爆炸后在空中形成五彩缤纷的焰火四 散开来，此模型可简化为有8个小球从同一点以大小相同的初速度， 分别作斜抛运动，如图所示，则任一时刻，小球在空中的排列的形 状形成什么图案？它将做什么运动？ 答案：观察节日焰火，经常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形。 一般说来，焰火升空后突然爆炸成许许多多小块（看作发光质点）， 各发光质点抛出速度v0大小相等，方向不同，所以各质点有的向上做减速运动，有的向下做加速运动，有的做平抛运动，有的做斜抛运动，这些发光质点会形成一个不断扩大的球面（“礼花”越开越大）！ 解析一：用抛体运动的知识解释 设某一发光质点的抛出速度为v0，与水平方向夹角为 θ，将v0沿水平方向（x轴）和竖直方向（y轴，向上为正 方向）正交分解。由抛体运动的研究可知质点的位置坐标 为： 水平x＝v0 cos θ·t；竖直y＝v0 sin θ·t－1 2 2gt 联立以上两式得： x2＋(y＋1 2)2＝ (v0t)2。 2gt 这是一个以C（0，－1 2）为圆心、以v0t为半径的圆的方程式。可见，只要初速度 2gt v0相同，无论初速度方向怎样，各发光质点均落在一个圆上（在空间形成一个球面，其球心在不断下降，“礼花”球一面扩大，一面下落），如图所示。 解析二：用运动合成和分解的知识解释 礼花炮爆炸后，每个发光质点的抛出速度v0大小相同，方向各异，都可以分解为沿原速度方向的匀速直线运动和只在重力作用下的自由落体运动（各个发光质点质量都较小，空气阻力的影响也很小）。很明显，前一分运动使各发光质点时刻构成一个圆，后一个分运动都相同，所以观察者看到的是一个五彩缤纷的“礼花”球一面扩大、一面下落。 (3)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。 (4)两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动；若合初速度与合加速度在同一直线上，则合运动为匀变速直线运动，如图(甲)所示，不共线时为匀变速曲线运动。如图(乙)所示。 二、圆周运动： （一）基本关系与方法 1、圆周运动——???????? ?==←=??= ←=22222 ) π2()π2(f mr T mr mr r v m F F r v a t w wr v n ω θ向合证明过程 2、非匀速圆周运动——向心力公式F=mv2/R=m ω2R ，既适用于匀速圆周运动，又适用于变速圆周运动，对于变速圆周运动来说，式中的v 和ω是做圆周运动的物体在那一时刻的瞬时线速度和瞬时角速度。对于任何圆周运动的物体来说，将物体所受到的所有外力沿半径方向和垂直于半径方向分解后，所有在半径方向上的合力就是向心力： ? ? ?==切向 合沿切向的分力沿半径的分力ma F ma F F y x （如单摆、水流星） （二）基本模型 1、同轴传动：ω相同； 2、皮带传动：v 相同； 例1、 无级变速是在变速范围内任意连续地变换速度，性能优于传统的档位变速器。很多种高档汽车都应用了无级变速。如图所示是截锥式无级变速模型示意图，两个锥轮中间有一个滚轮，主动轮、滚轮、从动轮之间靠着彼此之间的摩擦力带动。当位于主动轮与从动轮之间的滚轮从左向右移动时从动轮转速降低，滚轮从右向左移动时从动轮转速增加。当滚轮位于主动轮直径D 1，从动轮直径D 2的位置上时，则主动轮转速n 1，从动轮转速n 2之间的关系是（ B ） A ． 121 2D D n n = B ．2 112D D n n = C ．2112D D n n = D ．22 2 112D D n n = 解析：v 1=v 2，即221122R n R n ππ=，可见2 12112D D R R n n ==，故2112D D n n = 例2、如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A 和B 水平放置，两轮半径R A =2R B ．当主动轮A 匀速转动时，在A 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A 轮边缘上．若将小木块放在B 轮上，欲使木块相对B 轮也静止，则木块距B 轮转轴的最大距离为( C ) A ．R B /4 B ．R B /3 C ．R B /2 D ．R B 3、圆锥摆模型 ①运动特点——物体做匀速圆周运动，物体做圆周运动的圆心在水平面内； ②受力特点——物体所受的重力与弹力(拉力或支持力)的合力充当向心力，合力的方向是水平指向圆心的。 例1、如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m 的小物块。求： (1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；2 2 R H H mg +、2 2 R H R mg + (2)当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。R gH 2 例2、如图所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是( ) A ．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B ．小球只受重力和绳的拉力作用 C ．θ 越大，小球运动的速度越大 D ．θ 越大，小球运动的周期越大 讲点：（1）题中选项虽然容易得出，但是应该予以定量、严谨的计算。 （2）计算使圆锥摆摆动的最小线速度0min =v ，而最小角速度0min ≠ω： 0cos sin sin tan min 2 2 =→= →?=v gL v L v m mg θ θ θ θ L g L g L m mg = →?= →?=min 2cos sin tan ωθ ωθωθ （3）周期的计算：g h g L T π θπ ω π 2cos 22=== ——摆线确定，周期由确定； ——高度确定，周期确定，与θ,,l m 无关。 例3、在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供。若轨道水平，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损坏。车速大时，容易出事故。设车轨间距为L ，两轨高度差为h ，车转弯半径为R ，质量为M 的火车运行时应当有多大的速度？L ghR v /= 情况 v 车>(ghR/L)1/2 v 车>(ghR/L)1/2 合力F 与F 向的关系 F 火车挤压内轨 结果 外轨对车轮的弹力补充向心力 内轨对车轮的弹力抵消合力 4、竖直面内的圆周运动 （1）运动特点： ①绳模型—— 最低点：5gR ≥v ——做完整的圆周运动，最高点临界速度——最小速度gR ； 2gR 5gR >>v ——运动至圆心等高位置以上后做斜向上抛运动； 2gR ≥ v ——在与圆心等高位置以下，来回摆动。 ②杆模型—— 最低点：gR 2≥v ——做完整的圆周运动，最高点临界速度——最小速度为0； gR 2 （2）受力特点：? ? ?==切向 合沿切向的分力沿半径的分力ma F ma F F y x 例1、半径为R 的圆桶固定在小车上,有一光滑小球静止在圆桶的最低点,如图所示.小车以速度v 向右匀速运动.当小车遇到障碍物突然停止,小球在圆桶中上升的高度可能为(ACD) A.等于v 2/2g B.大于v 2/2g C.小于v 2/2g D.等于2R 例2、一质量为m 的金属小球拴在长为L 的细线下端，细线上端固定在O 点处，在悬点O 的正下方P 处钉有一光滑钉子，如图所示。现将小球拉至悬线水平，然后释放。为使悬线碰到钉子后，小球能绕钉子在竖直平面内做完整的圆周运动，则OP 的最小距离是多少？ 3/5 L （三）基本题型 1、圆周运动 例1、如图所示，质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O 点匀速转动时，求杆的OA 段及AB 段对球的拉力之比. 法一、受力分析法；法二、系统的牛顿第二定律。 2、临界问题 例1、如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m 的物体A 放在转盘上，A 到竖直筒中心的距离为r ，物体A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B 相连，B 与A 质量相同.物体A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的m 倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A 才能与转盘相对静止，并随盘转动？ r m mg mg ?=-2 min ωμ r m mg mg ?=+2max ωμ 例2、如图，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球A 和物块B ，跨过固定于斜面体顶端的 小滑轮O ，倾角为θ＝30°的斜面体置于水平地面上，A 的质量为m ，B 的质量为4m ，开始时，用手托住A ，使OA 段绳恰好处于水平伸直状态(绳中无拉力)，OB 绳平行于斜面，此时B 静止，将A 由静止释放，其下摆过程中斜面体保持静止，下列判断中正确的是(ABC ) A ．物块 B 受到摩擦力先减小后增大 B ．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右 C ．小球A 重力的瞬时功率先变大后变小 D ．小球A 的机械能不守恒，A 、B 系统的机械能守恒 三、万有引力与航天 （一）开普勒三大定律： 轨道定律—— 面积定律——可在学习能量知识之前得出近日点速度快，远日点速度小； 周期定律——2 2322244ππGM T r r T m r Mm G =?= 例1、1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km 的高空，使得 人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m ，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m 这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是（ B ） A ．0.6小时 B ．1.6小时 C ．4.0小时 D ．24小时 （二）万有引力定律： 例1、万有引力定律的得出： 2 22 22232 221 1144r Mm G F r Mm F r M F r m F r T r m r T m F =?∝??? ? ???∝?∝????==万 万万万万ππ 例2、万有引力定律的验证： （1）已知月球围绕地球公转的轨道半径是地球半径的60倍。请从理论上推导月球公转的向心加速度a 与地球表面的重力加速度g 的大小关系。 （2）天文观测表明，月球围绕地球公转的周期T=27.3天，地球半径R=6.4×106m ，请计算天文观测结果与你的理论推导是否一致。 理论预判—— 实验测量—— 万有引力定律的特殊应用： 例3、如图所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F 。如果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且2 R r =，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为多少？ 间接求法：设球体的质量为M ，质点的质量为m ，质点到球心的距离为L ，则2 L Mm G F = 挖去部分的质量8 34813433' M R r M =?== ρπρπ， 此部分对质点的万有引力为88122'1F L Mm G L m M G F ===。 所以剩余部分对质点P 的万有引力F F F F 8 7 12=-=。 直接求法：剩余部分的质量为78 M M = // ，质点到球壳球心的距离仍为L ，故 //1227788 M m Mm F F G G L L ===。 例4、假设将质量为m 的铅球放在地心处，在地球内部的A 处挖去质 量为m 的物体，如图所示，则铅球受到的万有引力大小为________，方向________。（地球半径为R ，2 R OA = ） 割补法：先将地球补完整，将质量为m 的铅球放在地心处，则根据对称性，铅球受到的万有引力为0。在A 处挖去一部分物体后，则相当于在与A 点对称的B 点有质量为m 的物体对铅球的作用力，沿AO 向左，大小2 2 24)2 (R Gm R mm G F ==。 例5、在密度为ρ0的无限大的液体中，有两个半径为R 、密度为ρ的球，相距为d ，且ρ＞ρ0，求两球受到的万有引力。 解析：可以设想，假定其中一个球的密度慢慢减少，当其密度与液体密度相等时，则相当于一个密度为ρ的球放在密度为ρ0的液体中，根据对称性，此时密度为ρ的球所受液体引力的合力为零。当球的密度由ρ0慢慢增加到ρ时，两球之间又会产生引力。这时这个球能产生引力的质量为△m =4 3 πR 3（ρ－ρ0）故万有引力的大小： F = G m △m d 2 = G 43 πR 3ρ·4 3 π R 3(ρ－ρ0)d 2 = 16 9 π2R 6ρ（ρ－ρ0） d 2 。 （三）基本方法： ????? ??? ? ????? ?? ?====??????????????=?=GM r T r GM w r GM v r GM a r T m r m r v m ma r Mm G F F n n 3 23 22222244ππω向万 人造卫星和苹果是同等地位的，对于同一个中心天体，轨道半径r 唯一地决定天体运行的各个物理量。 （四）基本模型： ○ 1一中一卫： 近地卫星——n F F G =≈万——min 7.83=T 同步卫星——n F F =万——高度约为3.6×104 km （距地心6.6r 、距地面5.6r ），环绕速度大 小3.08 km/s ，环绕方向与地球自转相同 侦察卫星——n F F =万——也叫极地卫星