导数题型归纳
请同学们高度重视:
首先,关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法: 1、分离变量; 2 变更主元; 3 根分布; 4 判别式法
5、二次函数区间最值求法: ( 1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在
其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想” ,创建不等关系求出取值范围。
最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
'
第二步:画两图或列表;
第三步:由图表可知;
其中 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、常见处理方法有三种:
第一种:分离变量求最值 ----- 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0 ) 第二种:变更主元 (即关于某字母的一次函数) ----- (已知谁的范围就把谁作为主元
);
例 1:设函数 y
f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ( x) ,f (x) 在区间 D 上的导数为
g (x) ,若在区间 D 上,g (x) 0 恒成立,则称函数 y
f ( x) 在区间 D 上为“凸函数” ,已知实数
x 4 mx 3 3x 2
m 是常数, f (x)
6
2
( 1)若 y
f ( x) 在区间 0,3
12
上为“凸函数” ,求 m 的取值范围;
( 2)若对满足 m
2 的任何一个实数 m ,函数 f ( x) 在区间 a, b 上都为“凸函数” ,求 b a 的最大值 .
x 4
mx 3 3x 2 得 f ( x)
x 3
mx 2
3x
解 : 由函数 f ( x)
6
2 3
2
g( x) x 2
12
mx 3
( 1) Q y
f (x) 在区间 0,3 上为“凸函数” ,
则
g ( x) x 2 mx 3 0
在区间 [0,3]
上恒成立 -
解法一:从 二次函数的区间最值 入手:等价于 g max (x)
g(0) 0
3 0
m
2
g(3)
9 3m 3 0
解法二: 分离变量法:
∵ 当 x 0 时 ,
g( x)
x 2 mx 3 3 0 恒成立 , 当 0
x 3 时, g( x)
x 2 mx 3 0恒成立
等价于 m x 2 3
3 的最大值( 0 x 3 )恒成立,
x
x
x
而 h(x)
3 0 x 3 )是增函数,则 h max ( x) h(3) 2
x
( x
m 2
(2) ∵当m 2 时f ( x) 在区间a, b 上都为“凸函数”
则等价于当m 2 时 g( x) x2 mx 3 0 恒成立
变更主元法
再等价于 F ( m) mx x2 3 0 在m 2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)
F ( 2) 0 2x x2 3 0 F (2) 0 2x x2 3 1 x 1
b a 2
-2 2
例 2:设函数 f (x) 1 x3 2ax2 3a 2 x b(0 a 1,b R)
3
(Ⅰ)求函数 f ( x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的 x [ a 1, a 2], 不等式 f (x) a恒成立,求 a 的取值范围 .
(二次函数区间最值的例子)
解:(Ⅰ) f ( x)x24ax 3a2x 3a x a
Q 0 a 1
f (x)
a 3a a 3a
令 f ( x) 0,得 f ( x) 的单调递增区间为(a,3 a)
令 f ( x) 0,得 f ( x) 的单调递减区间为(-, a)和(3 a,+ )
∴当 x=a 时, f (x)极小值= 3 a3 b; 当 x=3a 时,f (x)极大值=b.
4
(Ⅱ)由 | f (x) | ≤a,得:对任意的x [ a 1, a 2], a x2 4ax 3a 2 a 恒成立①
则等价于 g( x) 这个二次函数g max ( x) a
g( x) x2 4ax 3a2 的对称轴 x 2a Q 0 a 1, g min ( x) a
a 1 a a 2a (放缩法)
即定义域在对称轴的右边,g(x) 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。
g(x) x2 4ax 3a2在[ a 1,a 2] 上是增函数. (
∴
g(x)max g (a 2) 2a 1.
g(x)min g( a 1) 4a 4.
a 1, a 2 于是,对任意 x [a 1, a 2] ,不等式①恒成立,等价于x 2a
g(a 2) 4a 4
a,
解得 4 a 1.
g(a
1) 2a 1 a 5
又 0 a 1, ∴
4
a 1.
5
点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系
第三种:构造函数求最值
题型特征: f ( x) g( x) 恒成立
h( x) f ( x) g( x) 0 恒成立;从而转化为
第一、二种题型
例 3;已知函数 f (x) x 3 ax 2 图象上一点 P(1,b) 处的切线斜率为
3 ,
g(x) x 3 t 6 x 2 (t 1)x 3 (t 0)
2
(Ⅰ)求 a, b 的值;
(Ⅱ)当 x [ 1,4] 时,求 f ( x) 的值域;
(Ⅲ)当 x [1,4] 时,不等式 f (x)
g( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。
解:(Ⅰ) f /
( x) 3x 2
f /
(1)
3 , a 3
2ax ∴
解得
2
b 1 a
b
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在 [ 1,0] 上单调递增,在 [0, 2] 上单调递减,在 [2, 4] 上单调递减
又 f ( 1) 4, f (0) 0, f (2) 4, f (4) 16
∴ f ( x) 的值域是 [ 4,16]
(Ⅲ)令 h( x)
f ( x) g( x)
t x 2 (t 1)x 3 x [1,4]
2
思路 1:要使 f ( x)
g( x) 恒成立,只需 h( x) 0 ,即 t( x 2
2x) 2x 6 分离变量
思路 2:二次函数区间最值
二、题型一: 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法 1:转化为 f ' ( x) 0或 f ' ( x) 0 在给定区间上恒成立, 回归基础题型
解法 2:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;
做题时一定要看清楚“在( m,n )上是减函数”与“函数的单调减区间是( a,b )”,要弄清楚两句话的区
别:前者是后者的子集
例 4:已知 a
R ,函数 f ( x)
1 x 3 a 1 x
2 (4a 1) x .
12 2
(Ⅰ)如果函数 g( x) f ( x) 是偶函数,求 f ( x) 的极大值和极小值;
(Ⅱ)如果函数 f ( x) 是 (
,
) 上的单调函数,求 a 的取值范围.
解:
f ( x)
1 x
2 (a 1) x (4a 1) .
4
1
1 x 2
(Ⅰ)∵ f (x) 是偶函数,∴
a
1.
此时 f ( x)
x 3 3x , f ( x)
3 ,
12
4
令 f ( x)
0 ,解得: x 2 3 .
列表如下:
x
( -∞, - 2
3 )
- 2
3
( -
2
3
(2
3 ,+ ∞)
f ( x) f (x)
2
3 ,2 3 )
+ 0
-
+
递增 极大值 递减 极小值 递增
可知: f (x) 的极大值为 f ( 2 3) 4 3 ,
f (x) 的极小值为 f (2
3)4 3 .
(Ⅱ)∵ 函数 f ( x) 是 ( ,
) 上的单调函数,
∴
f ( x)
1 x
2 (a 1)x (4 a 1) 0 ,
在给定区间 R 上恒成立 判别式
法
4
4
1
则
(a
1)
2
(4 a 1) a 2
2a 0,
解得: 0
a 2
.
4
综上, a 的取值范围是 { a 0 a 2} .
例 5、已知函数 f ( x)
1 x 3 1 (
2 a)x 2 (1 a) x(a 0).
3 2
( I )求 f ( x) 的单调区间;
( II )若 f ( x) 在[0 , 1] 上单调递增, 求 a 的取值范围。 子集思想
( I ) f (x) x 2
(2 a) x 1 a
(x 1)(x 1 a).
1
、 当 a 0时, f (x)
(x 1)2
0恒成立 ,
当且仅当 x 1 时取“ =”号, f (x)在 (
, ) 单调递增。
2 、 当 a 0时,由 f ( x) 0, 得 x 1
1, x 2 a 1,且 x 1
x 2 ,
单调增区间: (
, 1),(a 1, )
f (x)
单调增区间: ( 1,a
1)
-1
a-1
( II )当 Q f ( x)在[0,1] 上单调递增 ,
则 0,1 是上述增区间的子集:
1、 a 0 时, f ( x)在 ( , ) 单调递增 符合题意
2、 0,1
a 1,
,
a 1 0
a 1
综上, a 的取值范围是 [0 ,1] 。
三、题型二:根的个数问题
题 1 函数 f(x) 与 g(x) (或与 x 轴)的交点 ======即方程根的个数问题解题步骤
第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ;
第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ;主要看极大值和极小值与
0 的关系;
第三步:解不等式(组)即可;
例 6、已知函数 f ( x) 1 x 3
(k 1) x 2 , g(x) 1 kx ,且 f ( x) 在区间 ( 2,
) 上为增函数.
3
2
3
( 1) 求实数 k 的取值范围;
k 的取值范围.
( 2) 若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数
解:( 1)由题意 f ( x)
x 2 (k 1) x ∵ f ( x) 在区间 ( 2,
) 上为增函数,
∴ f (x) x 2 (k 1)x
0 在区间 (2, ) 上恒成立 (分离变量法)
即 k 1
x 恒成立,又 x 2 ,∴ k 1 2 ,故 k 1 ∴ k 的取值范围为 k 1
( 2)设 h(x) f (x) g( x) x 3 ( k 1) x 2 kx 1 ,
x 2 3 2
3 h ( x) (k 1)x k ( x k)( x 1) 令 h ( x) 0 得 x k 或 x 1 由( 1)知 k 1 ,
①当 k
1 时, h (x) ( x 1)
2
, h( x) 在 R 上递增,显然不合题意 ②当 k 1 时, h( x) , h ( x) 随 x 的变化情况如下表:
x (
, k)
k
(k,1)
1 (1,
)
h ( x)
— 0
h( x)
↗
极大值 ↘
极小值
↗
k 3 k 2 1 k 1 由于
k
1
6
2
3
2
0 ,欲使 f ( x) 与 g(x) 的图象有三个不同的交点,即方程
h(x) 0 有三个不同的实根,故需
2 k 1
3
2
k
k
1 0,即 (k 1)(k 2
2k
2) 0 ∴
,解得 k
1 3
k 2 2k 6
2 3
2 0
综上,所求 k 的取值范围为 k
1 3
根的个数知道,部分根可求或已知。
例 7、已知函数
( 1)若是的极值点且的图像过原点,求的极值;
( 2)若,在( 1)的条件下,是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在,求出实
数的取值范围;否则说明理由。 考资源网
解:(1)∵ 的图像过原点,则 f (0)
0 c 0
f (x)
3ax 2 x 2 ,
又∵
是的极值点,则
f ( 1) 3a 1
2 0 a
1
f (x) 3x 2
x
2 (3x 2)( x 1) 0
f (x)
f 极大值 (x)
f ( 1) 3
f 极小值 (x)
f ( 2
)
22
2
3
7
-1
2
3
(2)设 函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点,
等价于 f ( x)
g( x) 有含 x 1 的三个根,即: f ( 1) g ( 1)
d
1
(b 1)
1 x 2
1 bx 2
1
(b 2
x
3
2x
x 1) 整理得:
2
2 2
即: x
3
1
(b
1)x 2
x
1
(b 1) 0 恒有含 x 1 的三个不等实根
2
2
(计算难点来了:) h(x)
x
3
1
(b 1)x
2
x 1
(b 1) 0 有含 x 1的根,
2
2
则 h(x) 必可分解为 ( x 1)(二次式 )
0 ,故用 添项配凑法因式分解,
x
3
x
2
x
2
1
(b 1)x
2
x
1 (b 1) 0
2
2
x 2
(x 1)
1
(b 1)x
2
x
1
(b 1)
2
2
x 2 ( x 1) 1 (b 1)x 2 2 x (b
1)
1 2
十字相乘法分解: x 2 ( x 1) (b 1)x (b 1) x 1
2
(x 1) x
2
1
(b 1)x
1
(b 1) 0
2
2
x 3 1 (b 1)x 2
x 1 (b 1) 0 恒有含 x
1 的三个不等实根
2
2
等价于 x
2
1
(b 1)x 1
(b 1) 0 有两个不等于 -1 的不等实根。
2 2
1
(b 1)2 4
1
(b 1) 0
4
2
b (
, 1) ( 1,3)
(3,
)
1
(b
1
(b
( 1)2
1) 1) 0
2
2
题 2:切线的条数问题 ====以切点 x 0 为未知数的方程的根的个数
已知函数
f (x) ax 3 bx 2
cx 在点 x 0 处取得极小值- 4,使其导数 f '( x) 0 的 x 的取值范围为 (1,3) ,
例 7、
求:( 1) f ( x) 的解析式;( 2)若过点 P( 1,m) 可作曲线 y f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.
( 1)由题意得: f '(x)
3ax 2 2bx c 3a(x 1)(x 3),( a
0) ∴在 ( ,1) 上 f '( x) 0 ;在 (1,3) 上 f '( x) 0 ;在 (3,
) 上 f '( x)
因此 f (x) 在 x 0
1 处取得极小值 4
∴ a
b c
4 ①, f '(1) 3a
2b c 0 ②, f '(3)
27 a 6b
c 0 ③
a
1
由①②③联立得:
b 6 ,∴
f ( x)
x 3 6x 2
9 x
c 9
( 2)设切点 Q
,
y
f (t)
f ,
(t)( x t )
(t, f (t))
y ( 3t 2 12t 9)( x t)
( t 3 6t 2 9t)
( 3t 2 12t 9) x t (3t
2
12t 9) t(t 2 6t
9)
( 3t 2
12t 9) x t(2 t 2 6t ) 过 ( 1, m)
m ( 3t 2 12t 9)( 1) 2t 3 6t
2
g(t) 2t 3 2t 2 12t 9 m 0
令 g '(t ) 6t 2 6t 12 6(t 2 t 2) 0 ,
求得: t
1,t 2 ,方程 g(t ) 0 有三个根。
需:
g( 1)
0 2 3 12 9 m 0
m 16
g(2)
16
12 24
9
m 0
m
11
故:
11 m 16 ;因此所求实数 m 的范围为: ( 11,16)
题 3:已知f ( x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法:根分布或判别式法
例 8、
1 3 7 2
+ 10x,
解:函数的定义域为 R (Ⅰ)当m=4时,f(x)=x - x
3 2
f ( x) =x2-7x+10,令 f ( x) 0 ,解得 x 5, 或x 2.
令 f ( x) 0 ,解得2 x 5
可知函数 f ( x)的单调递增区间为( ,2) 和(5,+∞),单调递减区间为2,5.
(Ⅱ) f ( x) =x2-(m+3)x+m+6,
要使函数y= f ( x)在(1,+∞)有两个极值点, f (x) =x2-(m+3)x+m+6=0
的根在( 1,+∞)
根分布问题:
1
(m 3)2 4(m 6) 0;
则 f (1) 1 (m 3) m 6 0; ,解得m>3
m 3
1.
2
例 9、已知函数 f (x) a x3 1
x2, ( a R, a 0)(1)求 f ( x) 的单调区间;(2)令 g( x) =
1
x4+ f ( x)(x∈R)
3 2
4 有且仅有 3 个极值点,求 a 的取值范围.
解:( 1)f'(x) ax2 x x(ax 1)
当 a0 时,令f'( x)
所以 f (x) 的递增区间为(
当 a 0时,同理可得
(2)
g( x) 1 x4 a x3
4 3
0 解得 x
1
或 x 0 ,令 f ' ( x) 0 解得 1 x 0 ,
a a
,
1
) (0, ) ,递减区间为 (
1
,0) .
a a
f ( x) 的递增区间为 (0,
1
) ,递减区间为 ( ,0) ( 1 , ) . 1
a a
x2有且仅有3个极值点
2
g ( x) x3 ax2 x x( x2 ax 1) =0有3个根,则x 0 或x2 ax 1 0 ,a 2 方程 x2 ax 1 0 有两个非零实根,所以a2 4 0,
a 2 或 a 2
而当 a 2 或 a 2 时可证函数y g(x) 有且仅有 3 个极值点
1、(最值问题与主元变更法的例子).
例 10 已知定义在R
上的函数 f (x) ax3 2ax 2 b(a 0)在区间2,1 上的最大值是5,最小值是- 11.
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;
(Ⅱ)若 t [ 1,1] 时, f ( x) tx 0 恒成立,求实数x 的取值范围.
解:(Ⅰ) Q f (x) ax3 2ax 2 b, f ' (x) 3ax 2 4ax ax (3x 4)
令 f '
0, x2
4
2,1 (x) =0,得x1 3
因为 a 0 ,所以可得下表:
x 2,0 0 0,1
f ' ( x) + 0 -
f ( x) ↗极大↘
因此 f (0) 必为最大值, ∴ f(0) 5因此
b 5 ,
即 f ( 2) 16a 5 11 ,∴a 1 ,∴(Ⅱ)∵ f (x) 3x 2 4x ,∴ f ( x) tx 令 g (t ) xt 3x 2 4x ,则问题就是 g(t )
Q f ( 2) 16a 5,f(1) a 5, f (1) f ( 2),
f (x) x3 2x 2 5.
0 等价于 3x 2 4x tx 0 ,
0 在 t [ 1,1] 上恒成立时,求实数x 的取值范围,
为此只需g ( 1) 0 ,即3x 2 5x 0 ,
g(
0 x 2 x 0
1)
解得 0 x 1,所以所求实数x 的取值范围是[0,1].
2、(根分布与线性规划例子)
例 11 已知函数 f ( x) 2 x3 ax2 bx c
3
( Ⅰ ) 若函数 f ( x) 在x 1 时有极值且在函数图象上的点(0, 1) 处的切线与直线 3x y 0 平行, 求 f ( x) 的解析式;
( Ⅱ ) 当f ( x)在x (0, 1) 取得极大值且在 x (1, 2) 取得极小值时, 设点 M (b 2, a 1) 所在平面区域为S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为1:3 的两部分 , 求直线 L 的方程 .
解: ( Ⅰ). 由f ( x) 2x2 2ax b ,函数 f ( x) 在x 1 时有极值,
∴2a b 2 0
∵ f (0) 1 ∴ c 1
又∵ f ( x) 在 (0, 1) 处的切线与直线3x y 0 平行 ,
∴ f (0) b 3 故 a 1 2
2 x
3 1 x2
∴ f ( x) 3x 1 . 7 分
3 2
( Ⅱ ) 解法一 : 由 f ( x) 2x2 2ax b 及 f ( x) 在 x (0, 1) 取得极大值且在x (1, 2) 取得极小值,
f (0) 0 b 0 x b 2
∴ f (1) 0 2a b 2 0 令 M ( x, y) ,
即则
a 1
f (2) 0 4a b 8 0
y
a
y
1 x
2 0
2 y x
2 0 故点 M 所在平面区域 S 为如图△ ABC,
∴
x
∴ b 2
4 y x
6 0
易得 A(
2, 0) , B( 2,
1) , C (2,2) , D (0,
1) , E(0,
3
) ,S ABC
2
2
同时 DE 为△ ABC 的中位线 ,
S DEC
1
S 四边形 ABED
3
∴ 所求一条直线 L 的方程为 : x 0
另一种情况设不垂直于
x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分 , 设直线 L 方程为 y kx , 它与 AC,BC 分
别交于 F 、 G,
则 k 0 ,
S
四边形 DEGF
1
由
由
y kx 得点 F 的横坐标为 : 2 2y x
2 x F
1
2k y kx 得点 G 的横坐标为 : 6 4y x
6 x G
1
4k
∴
S
四边形 DEGF
S
OGE
S
OFD
1 3 6 1 1 1
2 1即 16k 2 2k 5 0
2 2 4k 2
2k 1
解得 : k
1
或
k
5 ( 舍去 ) 故这时直线方程为 : y 1 x
2
8 1 x
2
综上 , 所求直线方程为 :
x 0 或 y .
..12
分
2
( Ⅱ ) 解法二 :
由 f ( x) 2x 2
2ax b 及 f ( x) 在 x (0, 1) 取得极大值且在 x (1, 2) 取得极小值 ,
f (0)
b
x b 2 ∴
f (1) 0 即
2a b 2 0 令 M ( x, y) ,则
y a
1
f (2)
4a b 8
a y 1
x 2 0
2 y x 2
0 故点 M 所在平面区域 S 为如图△ ABC,
∴
x 2
∴
b
4 y x 6
易得 A( 2, 0) , B( 2,
1) ,
C (2,
2) ,
D (0,
1) , E(0,
3
) ,
S
ABC
2
2
同时 DE 为△ ABC 的中位线 ,
S DEC
1
L 的方程为 :
x
S 四边形 ABED ∴所求一条直线
3
另一种情况由于直线 BO 方程为 : 1 x , 设直线 BO 与 AC 交于 H ,
y
2
y
1
x
得直线 L 与 AC 交点为 : H ( 1,
1 )
由
2
2y x 2 0
2
∵ S ABC 2,
S
DEC
1 1
2 1 , S ABH S
ABO
S
AOH
1 2 1
1 2 1
1
2 2 2
2
2 2 2
∴ 所求直 方程 : x 0
或 y
1 x
2
3、
12 已知函数
f(x)
ax 3
bx 2
(c 3a
2b)x d (a
0) 的 象如 所示。
(根的个数问题) 例
(Ⅰ)求 c 、 d 的 ;
(Ⅱ)若函数 f(x) 的 象在点 (2,f(2)) 的切 方程
3x y 11 0 ,求函数 f ( x )
的解析式;
(Ⅲ)若 x 0
5, 方程 f(x)
8a 有三个不同的根,求 数
a 的取 范 。
解:由 知: f (x)
3ax 2 2bx+c-3a-2b
(Ⅰ)由 可知
函数 f ( x ) 的 像 点 ( 0 , 3 ) ,且 f
1 = 0
得
d 3
d 3
3a 2b
c 3a
2b 0
c
(Ⅱ)依 意
f 2 = – 3 且 f ( 2 ) = 5
12a 4b 3a 2b 3
解得 a = 1 ,
b =
– 6
8a 4b 6a 4b 3 5
所以 f ( x ) = x 3 – 6 x 2 + 9 x + 3
(Ⅲ)依 意
f (
x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3 a + 2 b ) x + 3 (
a > 0 )
f x = 3 ax 2 + 2 bx – 3 a – 2 b
由 f 5
= 0
b = – 9 a
①
若方程 f ( x ) = 8 a 有三个不同的根,当且 当
足 f ( 5 )
<8 a < f ( 1 ) ②
由① ②
得 – 25 a + 3 < 8a <7a + 3
1
< a <3
所以 当
1
11
< a <3 ,方程 f ( x
) = 8 a 有三个不同的根。????
12 分
11
1 x 3
4、(根的个数问题) 例 13 已知函数 f ( x)
ax 2 x 1(a
R)
3
( 1)若函数 f (x) 在 x x 1, x x 2 取得极 ,且
x 1 x 2 2 ,求 a 的 及 f ( x) 的 区 ;
( 2)若 a
1 , 曲
f (x) 与 g(x)
1 x
2 (2 a 1)x
5
( 2 x
1) 的交点个数.
2
2
6
解:( 1) f' (x)
x 2 2ax 1
x 1 x 2 2a, x 1 x 2
1
x 1 x 2
( x 1 x 2 )2 4 x 1 x 2 4a 2
4 2
a
0 ???????????????????????????
2 分
f ( x) x 2
2ax 1 x
2 1
令 f ( x)
0 得 x 1,或x 1
令 f ( x)
0 得 1 x 1
∴ f (x) 的 增区 ( , 1) , (1,
) , 减区 (
1,1)???? 5 分
( 2)由 f ( x)
g (x) 得 1
x 3 ax 2
x 1 1 x 2
(2 a 1)x 5
即 1
1 3 1
2
6 x
3
( a )x 2 2ax 0
3 1 x 3 2 1) x 2 6 1 (
令 ( x) ( a 2ax 2 x
1) ????????
6 分
3 2 6
( x) x 2 (2 a 1)x 2a
(x 2a)( x 1)
令
( x) 0 得
x
2a 或
x ?????????????????
7 分
1
Q a
1
2
当 2a
2 即 a
1
x
2
( 2,1)
1
(x)
-
(x)
8a
9
a
2
此 ,
8a
9
0 , a
0 ,有一个交点;??????????
9 分
2
1
当 2a
2即 1 a
,
2
x
2
( 2,2 a)
2a
(2a,1)
1
( x)
+
—
( x)
8a 9
2
a 2 (3
2a) 1
a
2
3
6
Q 2
a 2 (3 2a)
1 0 ,
3
9
6
9
∴当
0 即 1 a
8a
, 有一个交点;
2
16
9
0,且 a 0 即
9
a 0 ,有两个交点;
当 8a
16
2
当 0
a
1
8a
9 0 ,有一个交点.?????????
13 分
,
2
2
上可知,当 a
9 或 0
a 1
,有一个交点;
16
2
当
9
a 0 ,有两个交点.?????????????
14 分
16