2017 年考研数学二真题一、选择题1— 8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1cos x
, x0
在 x0 处连续，则
1．若函数f (x)ax
b,x0
1
（ B）ab 1
（ D）ab 2
（ A）ab（ C）ab 0
22
【详解】 lim f (x)
x 0
必须满足1
b 2a
2．设二阶可导函数
1
（ A ）f ( x) dx
1
（ C） f ( x)dx
1
【详解】注意到条件
lim
1
cos x
1 x
1
lim2， lim f (x)b f (0) ，要使函数在 x0 处连续，x0ax x 0ax2a x0
ab
1
．所以应该选（ A ）
2
f (x) 满足 f (1) f ( 1)1， f (0) 1 ，且 f( x)0 ，则（）
01 f ( x)dx 0
（B ）
1
1
f ( x)dx01f (x) dx
（D ）
1
f ( x)dx
f(x)0 ，则知道曲线 f ( x) 在1,0, 0,1 上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然
当 x1,0 时， f (x)2x1，当x0,1 时， f (x)2x1，而且两个式子的等号不是处处成立，
1
f ( x) dx01)dx11)dx0 ．所以选择（B）．
否则不满足二阶可导．所以( 2x(2x
110
当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数 f ( x)2x2 1 ，此时
0 1 ,11
，可判断出选项（ A ），（ C），（D ）都是错误的，当然选择（B）．希望同
f ( x)dx f (x)dx
1303
学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧．
3．设数列x n收敛，则
（ A）当lim sin x n0 时， lim x n0（ B）当lim( x n x n )0 时， lim x n0 n n n n (C）当lim( x n x n2)0 时， lim x n0（ D）当lim( x n sin x n )0 时，lim x n0 n n n n
【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D）是正确的．
其实此题注意，设lim x n A，则
n
limsin x n sin A,lim( x n x n ) A A ,lim(x n x n2 )A A2 ,lim( x n sin x n )A sin A
n n n n
分别解方程 sin A0, A A0,A A20, A sin A0 时，发现只有第四个方程A sin A 0 有唯
一解 A0 ，也就是得到 lim x n0 ．
n
４．微分方程 y 4 y89e2 x (1cos2x) 的特解可设为y*（）
（ A ）Ae2 x e2 x ( B cos2x C sin 2x)（B ）Axe2 x xe2x (B cos2 x C sin 2x)
（ C）Ae2 x xe2x (B cos2x C sin 2x)（ D）Axe2 x xe2x (B cos2 x C sin2x)
【详解】微分方程的特征方程为r 24r80，有一对共轭的复数根r 22i ．
所以1 2 不是特征方程的根，所以对应方程y 4 y89e2 x的特解应该设为 y1*Ae2 x；
而22
2i是方程的单根，所以对应方程 y4y89e2x cos2x的特解应该设为
y2*
2 x
( B cos2x C sin 2x)；从而微分方程 y 4 y8 9
2x c o xs的2特)解可设
为xe e ( 1
y*y1 *y2 *Ae2x xe2 x ( B cos2x C sin 2x) ，应该选（C）．
5．设f (x, y)具有一阶偏导数，且对任意的( x, y) 都有 f (x, y)0,f ( x, y)0 ，则（）
x y
（ A）f (0,0) f (1,0)（B ）f (0,0) f (1,1)
（ C）f (0,1) f (1,0)（ D）f (0,1) f (1,0)
【详解】由条件对任意的( x, y) 都有 f ( x, y)0, f ( x, y)0 可知 f (x, y) 对于x是单调增加的，
x y
对 y 就单调减少的．所以 f (1,1) f (1,0) f (0,0), f (1,1) f (0,1) f (0,0),f (0,1) f (0,0) f (1,0) ，只有第三个不等式可得正确结论（D），应该选（ D）．
6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线v v1 (t )（单位：米 /秒），虚线表示乙的速度曲线v v2 (t) （单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3 ，计时开始后乙追上甲的时刻为t0，则（）
（ A ）t010（ B）15 t020
（ C）t025（ D ）t025
S(t)T2
【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，v(t )dt 表示时刻 T1,T2
T1
内所走的路程．本题中的阴影面积S1,S2 , S3分别表示在时间段0,10, 10,25 , 25,30 内甲、乙两人所
0 0 7．设 A 为三阶矩阵， P
1, 2, 3 为可逆矩阵， 使得 P
1
AP 0
1 0 ，则
0 2
（A ）12
（B ） 2
23（C ）2 3
（D ） 1
A(
2
1 2 3
)（
）
3
【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目．可知
0 0 0
0 0 0
A(1,2,3) AP P0 1 0
1,2,30
1 0 0, 2,
2 3
0 0 2
0 2
所以A(1 2
3 )
A 1 A 2
A 3
2
2 3 ，所以可知选择（ B ）．
2 0 0 2 1 0 1 0 0
8．已知矩阵 A
0 2 1 ， B 0 2 0 ， C 0
2 0 ，则
0 1
0 0 1
0 0 2
（ A ） A,C 相似， B,C 相似
（ B ） A, C 相似， B,C 不相似
（ C ） A, C 不相似， B,C 相似
（ D ） A,C 不相似， B, C 不相似
【详解 】矩阵 A, B 的特征值都是
1
2
2,
3
1
2 的情况．
．是否可对解化，只需要关心
0 0 0
对于矩阵 A ，2E A
0 0 1 ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值
2 存在两个线性无关的特
0 0
1
征向量，也就是可以对角化，也就是
A~C ．
0 1 0
对于矩阵 B ，2E B
0 0 0 ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值
2 只有一个线性无关的特
1
征向量，也就是不可以对角化，当然 B,C 不相似故选择（ B ）．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）
9．曲线 y
x(1 arcsin 2
) 的斜渐近线为
．
x
解： lim
y
x(1 arcsin 2
)
x) lim x arcsin
2
lim x 1， lim( y
2 ，所以斜渐近线为 y x 2 ．
x
x
x x x
x
x
10．设函数 y y( x) 由参数方程
x t e t 确定，则 d 2
2
y
|t 0
．
y sin t dx
【详解 】 cost d 2 y (1 e t
)sin t
e t
cost ，所以 d 2 y 1
, dt
|
t 0
dx 1 e t dx 2
dx (1 e t ) 3
dx 2
8
．
dt 11
ln(1
x)
2 dx
.
(1 x)
【详解】
ln(1 x)2 dx ln(1 x)d 1
ln(1
x)
|0 1 2 dx
1
(1 x) 0
1 x 1 x
(1 x)
12．设函数
f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知
df (x, y) ye y dx
x(1 y)e y dy ， f (0,0) 0 ，则
f ( x, y)
【详解 】df ( x, y) ye y dx x(1
y)e y dy d ( xye y ) ，所以 f (x, y)
xye y
C ，由 f (0,0) 0
，得 C 0 ，
所以
( , ) y ．
f x y xye
13． 1
1
tan x
dx
．
dy
y
x
【详解 】交换二重积分的积分次序得：
tan x dy
tan xdx
ln cos x
ln cos1.
dy 1 tan x dx dx
1
1
1 x
1
y
x 0
x
4 1
2
14．设矩阵 A1
2 a 的一个特征向量为
3 1
1
【详解 】根据特征向量的定义，有
1
1 ，则 a ．
2
4 1 2 1
1 1 A1
2 a
1 1 3 2a ，解得 a
1．
3 1
1 2
2
2
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
x
x
te t
dt
求极限 lim
3
x 0
x
【详解 】令 x
t u ，则 t x u , dt
du ，
x x te t
dt
x ue
x
u
du
0 0
x
t
x
x u x
u
x
ue du
ue du
te dt
e
xe x
2
lim
lim
lim
lim
x 0
x 3
x 0
x 3
x 0
x 3
x 0
3 x 3
2
【详解 】 cost d 2 y (1 e t
)sin t
e t
cost ，所以 d 2 y 1
, dt
|
t 0
dx 1 e t dx 2
dx (1 e t ) 3
dx 2
8
．
dt 11
ln(1
x)
2 dx
.
(1 x)
【详解】
ln(1 x)2 dx ln(1 x)d 1
ln(1
x)
|0 1 2 dx
1
(1 x) 0
1 x 1 x
(1 x)
12．设函数
f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知
df (x, y) ye y dx
x(1 y)e y dy ， f (0,0) 0 ，则
f ( x, y)
【详解 】df ( x, y) ye y dx x(1
y)e y dy d ( xye y ) ，所以 f (x, y)
xye y
C ，由 f (0,0) 0
，得 C 0 ，
所以
( , ) y ．
f x y xye
13． 1
1
tan x
dx
．
dy
y
x
【详解 】交换二重积分的积分次序得：
tan x dy
tan xdx
ln cos x
ln cos1.
dy 1 tan x dx dx
1
1
1 x
1
y
x 0
x
4 1
2
14．设矩阵 A1
2 a 的一个特征向量为
3 1
1
【详解 】根据特征向量的定义，有
1
1 ，则 a ．
2
4 1 2 1
1 1 A1
2 a
1 1 3 2a ，解得 a
1．
3 1
1 2
2
2
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
x
x
te t
dt
求极限 lim
3
x 0
x
【详解 】令 x
t u ，则 t x u , dt
du ，
x x te t
dt
x ue
x
u
du
0 0
x
t
x
x u x
u
x
ue du
ue du
te dt
e
xe x
2
lim
lim
lim
lim
x 0
x 3
x 0
x 3
x 0
x 3
x 0
3 x 3
2
16．（本题满分 10 分）
【详解 】 cost d 2 y (1 e t
)sin t
e t
cost ，所以 d 2 y 1
, dt
|
t 0
dx 1 e t dx 2
dx (1 e t ) 3
dx 2
8
．
dt 11
ln(1
x)
2 dx
.
(1 x)
【详解】
ln(1 x)2 dx ln(1 x)d 1
ln(1
x)
|0 1 2 dx
1
(1 x) 0
1 x 1 x
(1 x)
12．设函数
f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知
df (x, y) ye y dx
x(1 y)e y dy ， f (0,0) 0 ，则
f ( x, y)
【详解 】df ( x, y) ye y dx x(1
y)e y dy d ( xye y ) ，所以 f (x, y)
xye y
C ，由 f (0,0) 0
，得 C 0 ，
所以
( , ) y ．
f x y xye
13． 1
1
tan x
dx
．
dy
y
x
【详解 】交换二重积分的积分次序得：
tan x dy
tan xdx
ln cos x
ln cos1.
dy 1 tan x dx dx
1
1
1 x
1
y
x 0
x
4 1
2
14．设矩阵 A1
2 a 的一个特征向量为
3 1
1
【详解 】根据特征向量的定义，有
1
1 ，则 a ．
2
4 1 2 1
1 1 A1
2 a
1 1 3 2a ，解得 a
1．
3 1
1 2
2
2
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
x
x
te t
dt
求极限 lim
3
x 0
x
【详解 】令 x
t u ，则 t x u , dt
du ，
x x te t
dt
x ue
x
u
du
0 0
x
t
x
x u x
u
x
ue du
ue du
te dt
e
xe x
2
lim
lim
lim
lim
x 0
x 3
x 0
x 3
x 0
x 3
x 0
3 x 3
2
16．（本题满分 10 分）
【详解 】 cost d 2 y (1 e t
)sin t
e t
cost ，所以 d 2 y 1
, dt
|
t 0
dx 1 e t dx 2
dx (1 e t ) 3
dx 2
8
．
dt 11
ln(1
x)
2 dx
.
(1 x)
【详解】
ln(1 x)2 dx ln(1 x)d 1
ln(1
x)
|0 1 2 dx
1
(1 x) 0
1 x 1 x
(1 x)
12．设函数
f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知
df (x, y) ye y dx
x(1 y)e y dy ， f (0,0) 0 ，则
f ( x, y)
【详解 】df ( x, y) ye y dx x(1
y)e y dy d ( xye y ) ，所以 f (x, y)
xye y
C ，由 f (0,0) 0
，得 C 0 ，
所以
( , ) y ．
f x y xye
13． 1
1
tan x
dx
．
dy
y
x
【详解 】交换二重积分的积分次序得：
tan x dy
tan xdx
ln cos x
ln cos1.
dy 1 tan x dx dx
1
1
1 x
1
y
x 0
x
4 1
2
14．设矩阵 A1
2 a 的一个特征向量为
3 1
1
【详解 】根据特征向量的定义，有
1
1 ，则 a ．
2
4 1 2 1
1 1 A1
2 a
1 1 3 2a ，解得 a
1．
3 1
1 2
2
2
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
x
x
te t
dt
求极限 lim
3
x 0
x
【详解 】令 x
t u ，则 t x u , dt
du ，
x x te t
dt
x ue
x
u
du
0 0
x
t
x
x u x
u
x
ue du
ue du
te dt
e
xe x
2
lim
lim
lim
lim
x 0
x 3
x 0
x 3
x 0
x 3
x 0
3 x 3
2
16．（本题满分 10 分）
【详解 】 cost d 2 y (1 e t
)sin t
e t
cost ，所以 d 2 y 1
, dt
|
t 0
dx 1 e t dx 2
dx (1 e t ) 3
dx 2
8
．
dt 11
ln(1
x)
2 dx
.
(1 x)
【详解】
ln(1 x)2 dx ln(1 x)d 1
ln(1
x)
|0 1 2 dx
1
(1 x) 0
1 x 1 x
(1 x)
12．设函数
f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知
df (x, y) ye y dx
x(1 y)e y dy ， f (0,0) 0 ，则
f ( x, y)
【详解 】df ( x, y) ye y dx x(1
y)e y dy d ( xye y ) ，所以 f (x, y)
xye y
C ，由 f (0,0) 0
，得 C 0 ，
所以
( , ) y ．
f x y xye
13． 1
1
tan x
dx
．
dy
y
x
【详解 】交换二重积分的积分次序得：
tan x dy
tan xdx
ln cos x
ln cos1.
dy 1 tan x dx dx
1
1
1 x
1
y
x 0
x
4 1
2
14．设矩阵 A1
2 a 的一个特征向量为
3 1
1
【详解 】根据特征向量的定义，有
1
1 ，则 a ．
2
4 1 2 1
1 1 A1
2 a
1 1 3 2a ，解得 a
1．
3 1
1 2
2
2
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
x
x
te t
dt
求极限 lim
3
x 0
x
【详解 】令 x
t u ，则 t x u , dt
du ，
x x te t
dt
x ue
x
u
du
0 0
x
t
x
x u x
u
x
ue du
ue du
te dt
e
xe x
2
lim
lim
lim
lim
x 0
x 3
x 0
x 3
x 0
x 3
x 0
3 x 3
2
16．（本题满分 10 分）