人教版数学九年级下册第27章能力测试题(含答案)
27.1《图形的相似》
一、选择题
1.在比例尺为1：50000的地图上量得甲、乙两地的距离为10cm，则甲、乙两地的实际距离是（）
A.500km
B.50km
C.5km
D.0.5km
2.如图，AD∥BE∥CF，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB=2，
AC=6，DE=1.5，则DF的长为（）
A.7.5
B.6
C.4.5
D.3
3.生活中到处可见A黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b
的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（）
A.1.24米
B.1.38米
C.1.42米
D.1.62米
4.若，则的值是（）
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是（）
A.菱形都相似
B.正六边形都相似
C.矩形都相似
D.一个内角为80°的等腰三角形都相似
6.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）
（1）菱形都相似；
（2）等腰直角三角形都相似；
（3）正方形都相似；
（4）矩形都相似；
（5）正六边形都相似.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.下列各组线段中是成比例线段的是（）
A.1cm，2cm，3cm，4cm
B.1cm，2cm，2cm，4cm
C.3cm，5cm，9cm，13cm
D.1cm，2cm，2cm，3cm
8.用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（）
A.150°
B.105°
C.15°
D.无法确定大小
9.已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为（）
A.2
B.3
C.－3
D.3或－3
10.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）
A.a= b
B.a=2b
C.a=2 b
D.a=4b
二、填空题
11.若则______.
12.顺次连接正方形各边中点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比是
_________.
13.如图，AB//CD//EF.若CE=2AC，BD=5，则DF=______.
14.如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地
的实际距离是千米.
15.如果线段a，b，c，d成比例，且a=5，b=6，c=3，则d= .
16.已知，则
三、解答题
17.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度.
18.若,且2a－b+3c=21.试求a∶b∶c.
19.已知，求的值.
20.已知a,b,c均不为0，且，求的值.
21.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.
参考答案
1.答案为：C；
2.答案为：C；
3.答案为：A；
4.答案为：A；
5.答案为：B；
6.答案为：C；
7.答案为：B；
8.答案为：C；
9.答案为：B；
10.答案为：B；.
11.答案为：1.
12.答案为：
13.答案为：10
14.答案为：34
15.答案为：3.6.
16.答案为：3；
17.答案为：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm.
18.答案为：a:b:c=4:8:7；
19.答案为：2.25.
20.解：设=k，则
①②③
由①+③得，2b+2c=12k,∴b+c=6k④
由②＋④，得4b=9k, ∴b=，分别代入①，④得，a=,c=.
∴.
21.解：(1)若设AD=x(x＞0)，则DM=0.5x.
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴=.即x=4 (舍负).
∴AD的长为4.
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为：=.
27.2相似三角形
一．选择题
1．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠D
C．D．且∠A＝∠D
2．如图，已知△ABC中，D是AB上一点，连结CD，不能判定△ACD∽△ABC的条件是（）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD?AB
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（）
①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
4．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中，不能判定DE∥AC的条件是（）
A．B．C．D．
5．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝
6．已知△ABC如图所示．则下列4个三角形中．与△ABC相似的是（）
A．B．
C．D．
7．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B＝∠ACD，则图中相似三角形有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
9．如图，在正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交边CD于点M，那么下列结论中，错误的是（）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABG∽△CFB D．△ABF∽△CBG 10．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠GAD；
②△AFC∽△AGD；
③2AE2＝AH?AC；
④DG⊥AC．
其中正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
11．已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是．（写出一个即可）
12．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P为AC中点，经过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有条．
14．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC上，当AE＝cm时，使得△ADE与△ABC相似．
15．如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射
线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM＝．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF?DF ＝CF?BF．求证：△CAB∽△DAE．
17．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．（1）含x的代数式表示BQ、PB的长度；
（2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当△BPQ和△BAC相似时，求此时x的值．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；
B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
故选：B．
2．解：因△ACD和△ABC已有一公共角，要使△ACD∽△ABC，
则需再有一角对应相等，如∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠ACB，故A，B正确；
或公共角的两边对应相等，如AD：AC＝AC：AB，即AC2＝AD?AB，故D正确，C错误．故选：C．
3．解：∵∠A＝∠A，
∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．
∵＝，
∴＝
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故①②③可以判断三角形相似，
故选：B．
4．解：A、∵，不能判定DE∥AC，选项符合题意；
B、∵，∴DE∥AC，选项不符合题意；
C、∵，∴，∴DE∥AC，选项不符合题意；
D、∵，∴，∴DE∥AC，选项不符合题意；
故选：A．
5．解：如图，若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例，即＝，＝，＝，
故B选项答案错误；
故选：B．
6．解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
7．解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似；
第2个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；
第3个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝＝，所以这两个三角形相似；
第4个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；
故选：D．
8．解：∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ACD∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵∠B＝∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
故共4对，
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA＝∠ACB＝∠DAC＝∠CAB＝∠EBM＝45°，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠EBM＝∠DCA，∠MGC＝∠BGF，
∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；
∴∠CMG＝∠CFB，
∵CD∥AB，
∴∠CMG＝∠ABG，
∴∠CFB＝∠ABG，
又∵∠CAB＝∠BCF＝45°，
∴△BCF∽△GAB，故选项C不合题意；
∵∠CAB＝∠ACB＝∠FBG＝45°，
∴∠ABF+∠CBG＝45°，
∴∠ABF≠∠CBG，
∴△ABF与△CBG不相似，故选项D符合题意；
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠F AG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，
∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，故①正确；
∵AF＝AG，AC＝AD，
∴＝，
∵∠F AG＝∠CAD＝45°，
∴∠F AC＝∠DAG，
∴△F AC∽△DAG，故②正确，
∴∠ADG＝∠ACB＝45°，
延长DG交AC于N，
∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，
∴∠AND＝90°，
∴DG⊥AC，故④正确，
∵∠F AC＝∠F AH，∠AFG＝∠ACF＝45°，∴△AFH∽△ACF，
∴，
∴AF2＝AH?AC，
∴2AE2＝AH?AC，故③正确，
故选：D．
二．填空题
11．解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝时，△ACP∽△ABC，故答案为：∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝．
12．解：∵点A为（4，0），
∴AO＝4；
∵点B为（0，2），
∴OB＝2．
若△BOC∽△AOB．
则：＝．
即：＝，
∴OC＝1．
故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．
故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．
13．解：过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB．过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB．
过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA．
故满足条件的直线有3条，
故答案为：3．
14．解：有两种情形：
如图，当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，∴＝，
∴＝，
∴AE＝（cm），
当∠ADE′＝∠C时，∵∠A＝∠A，
∴△ADE′∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AE′＝1.5（cm），
故答案为或1.5．
15．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，
∵PB⊥BF，
∴∠PBM＝90°，
∵∠ABP+∠CBP＝90°，∠CBP+∠CBM＝90°，
∴∠ABP＝∠CBM，
∴当＝时，△BAP∽△BCM，即＝，解得BM＝2；
当＝时，△BAP∽△BMC，即＝，解得BM＝，
综上所述，当BM为2或时，以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似．故答案为2或．
三．解答题
16．证明：∵EF?DF＝CF?BF．
∴，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，
∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
17．证明：∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴＝，
即，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠DBE＝∠DBC+CBE，
∵，∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC∽△DBE．
18．解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，
∴AB＝＝＝8（cm）．
由运动可知：BQ＝x（cm），P A＝2x（cm），
∴PB＝（8﹣2x）cm．
（2）由题意，得
8﹣2x＝x，
∴x＝．
∴当x＝时，△PBQ为等腰三角形．
当BP：BA＝BQ：BC时，两三角形相似，此时（8﹣2x）：8＝x：6，解得x＝，当BP：BC＝BQ：AB时，两三角形相似，此时（8﹣2x）：6＝x：8，解得x＝，综上所述，满足条件的x的值为或．