1．写出下列命题的否定．
(1)?x∈R,2x2＋3x＋4＝0；________________________________________________________________________；
(2)所有的等边三角形都全等；________________________________________________________________________；
(3)锐角都相等；________________________________________________________________________；
(4)实系数一元二次方程都有实数解．________________________________________________________________________.
答案：(1)?x∈R,2x2＋3x＋4≠0
(2)有的等边三角形不全等
(3)锐角不都相等
(4)有的实系数一元二次方程没有实数解
2．写出下列命题的否定．
(1)存在没有最小正周期的周期函数；________________________________________________________________________；
(2)?x∈R，x2＋2x＋15>0；________________________________________________________________________；
(3)有的实数没有平方根．________________________________________________________________________.
答案：(1)不存在没有最小正周期的周期函数
(2)?x∈R，x2＋2x＋15≤0
(3)所有的实数都有平方根
3．命题“?x∈R，x2－4x－6≥0”的否定是________________________________________________________________________．答案：?x∈R，x2－4x－6<0
4．命题“ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根”的否定是________________________________________________________________________ ________________.
答案：ax2＋2x＋1＝0没有任何负实根
一、填空题
1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“非p”形式的命题是________．
答案：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
2．命题“原函数与反函数的图象关于y＝x对称”的否定是________．
解析：命题中隐含全称量词“所有的”．
答案：存在一个原函数与反函数的图象不关于y＝x对称
3．下列命题的否定为假命题的是________．
①?x∈R，－x2＋x－1<0
②?x ∈R ，|x |>x
③?x ，y ∈Z,2x －5y ≠12
④?x 0∈R ，sin 2x 0＋sin x 0＋1＝0
解析：命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．
答案：①
4．对于函数f (x )，若命题“?x 0∈R ，f (x 0)≠x 0的否定成立，则称x 0为f (x )的不动点”，则函数f (x )＝x 2－x －3的不动点是________．
解析：由题意有x ＝x 2－x －3，解得x ＝－1或x ＝3，∴函数f (x )＝x 2－x －3的不动点是－1,3.
答案：－1,3
5．命题“?x ∈R ，x 2＋2x －3>0”是________命题．(填“真”或“假”)
解析：因为x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)，所以存在x ＝1，使x 2＋2x －3＝0，故“?x ∈R ，x 2＋2x －3>0”为假命题．
答案：假
6．已知命题p ：不等式x 2＋2x ＋3≤0的解集为R ；命题q ：不等式x －2x －1
≤0的解集为{x |1 解析：∵x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2>0， ∴命题p 为假命题，又不等式x －2x －1 ≤0?(x －2)(x －1)≤0且x －1≠0?{x |1 答案：p 或q ， p 7．命题p ：?x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为 p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)． 答案：存在性命题 假 ?x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 真 8．已知命题p ：?x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题 p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________． 解析：因为命题 p 是真命题，所以命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，就 是不等式ax 2＋2x ＋3>0对一切x ∈R 恒成立，这时就有??? a >0Δ＝4－12a <0 ，解得a >13，因此当命题p 是假命题，即命题 p 是真命题时，实数a 的取值范围是a ≤13 . 答案：a ≤13 二、解答题 9．用“?”“?”写出下列命题的否定，并判断真假： (1)二次函数的图象是抛物线； (2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象； (3)有些四边形存在外接圆； (4)?a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解． 解：(1) p ：?x ∈{二次函数}，x 的图象不是抛物线．假命题． (2) p ：在直角坐标系中，?x ∈{直线}，x 不是一次函数的图象．真命题． (3) p ：?x ∈{四边形}，不存在外接圆．假命题． (4) p ：?a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0无解或至少有两解．真命题． 10．设集合A ＝{1,2,4,6,8,10,12}，试写出下列各命题的否定，并判断其真假． (1)p ：?x ∈A ，x <12； (2)q ：?y ∈{奇数}，y ∈A . 解：(1) p ：?x 0∈A ，x 0≥12，是真命题； (2) q ：?y ∈{奇数}，y ?A ，是假命题． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，试问是否存在实数a ，使得命题“?x ∈[0,1]，|f (x )|>1”的否定成立，若存在，求出实数a 的取值范围，否则说明理由． 解：∵命题“?x ∈[0,1]，|f (x )|>1”的否定为“?x ∈[0,1]，|f (x )|≤1”． 假设?x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立，即?x ∈[0,1]，－1≤ax 2＋x ≤1 ①成立， 当x ＝0时，对任意的a ≠0，①式显然成立； 当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x ， 设t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，则有－t 2－t ≤a ≤t 2－t ， 所以只需????? a ≥(－t 2－t )max ＝－2a ≤(t 2－t )min ＝0， 故－2≤a ≤0，又a ≠0，故－2≤a <0. 综上，所求实数a 的取值范围是[－2,0)．
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