（责任编辑：田苗）收稿日期：２０１２－０２－２３
作者简介：马小刚（１９８５－），男，湖北钟祥人，２００９级课程与教学论专业硕士研究生，从事数学教育研究。弗赖登塔尔数学教育思想评述
马小刚
（天津师范大学数学科学学院，天津３００３８７）
一、弗赖登塔尔对数学的认识（一）数学发展的历史弗赖登塔尔强调：“数学起源于实用，它在今天比以往任何时候都更有用！但其实，这样说还不够，我们应该说：倘若无用，数学就不存在了。”从其著作的论述中我们可以看到，任何数学理论的产生都有其应用需求，这些“应用需求”对数学的发展起了推动作用。弗赖登塔尔强调：数学与现实生活的联系，其实也就要求数学教学从学生熟悉的数学情景和感兴趣的事物出发，从而更好地学习和理解数学，并要求学生能够做到学以致用，利用数学来解决实际中的问题。（二）现代数学的特征１．数学的表达。弗赖登塔尔在讨论现代数学的特征的时候首先指出它的现代化特征是：“数学表达的再创造和形式化的活动。”其实数学是离不开形式化的，数学更多时候表达的是一种思想，具有含义隐性、高度概括的特点，因此需要这种含义精确、高度抽象、简洁的符号化表达。２．数学概念的构造。弗赖登塔尔指出，数学概念的构造是从典型的通过“外延性抽象”到实现“公理化抽象”。现代数学越来越趋近于公理化，因为公理化抽象对事物的性质进行分析和分类，能给出更高的清晰度和更深入的理解。３．数学与古典学科之间的界限。弗赖登塔尔认为：“现代数学的特点之一是它与诸古典学科之间的界限模糊。”首先现代数学提取了古典学科中的公理化方法，然后将其渗透到整个数学中；其次是数学也融入于别的学科之中，其中包括一些看起来与数学无关的领域也体现了一些数学思想。二、弗赖登塔尔对数学教育的认识（一）数学教育的目的弗赖登塔尔围绕数学教育的目的进行了研究和探讨，他认为数学教育的目的应该是与时俱进的，而且应该针对学生的能力来确定。他特别研究了以下几个方面。１．应用。弗赖登塔尔认为：“应当在数学与现实的接触点之间寻找联系。”而这个联系就是数学应用于现实。数学课程的设置也应该与现实社会联系起来，这样学习数学的
学生才能够更好地走进社会。其实，从现在计算机课程的普及可以看出弗赖登塔尔这一看法是经得起实践考验的。２．思维训练。弗赖登塔尔对“数学是否是一种思维训练？”这一问题感到棘手，尽管其意愿的答案是肯定的。但更进一步，他曾给大学生和中学生提出了许多数学问题，其测试的结果是，在受过数学教育以后，对那些数学问题的看法、理解和回答均大有长进。
３．解决问题。弗赖登塔尔认为：数学之所以能够得到高度的评价，其原因是它解决了许多问题。这是对数学的一种信任。而数学教育自然就应当把“解决问题”作为其又一
目的，这其实也是实践与理论的一种结合。其实从现在的评价与课程设计等中都可以看出这一数学的教育目的。（二）数学教学的基本原则
１．再创造原则。弗赖登塔尔指出：“将数学作为一种活动来进行解释和分析，建立这一基础之上的教学方法，我称之为再创造方法。”再创造是整个数学教育最基本的原
则，适用于学生学习过程的不同层次，应该使数学教学始终处于积极、发现的状态。笔者认为“情景教学”与“启发式教学”就遵循了这么一种原则。
２．数学化原则。弗赖登塔尔认为：数学化不仅仅是数学家的事，也应该被学生所学习，用数学化组织数学教学是
数学教育的必然趋势。他进一步强调：“没有数学化就没有数学，特别是，没有公理化就没有公理系统，没有形式化也就没有形式体系。”这里，可以看出弗赖登塔尔对夸美纽斯倡导的“教一个活动的最好方法是演示，学一个活动最好的方法是做。”是持赞同意见的。
３．严谨性原则。弗赖登塔尔将数学的严谨性定义为：
“数学可以强加上一个有力的演绎结构，从而在数学中不
仅可以确定结果是否正确，而且甚至可以确定结果是否已经正确地建立起来。”而且严谨性是相对于具体的时代、具体的问题来作出判断；严谨性有不同的层次，每个问题都有相应的严谨性层次，要求老师教学生通过不同层次的学
习来理解并获得自己的严谨性。
摘要：弗赖登塔尔的数学教育思想主要体现在对数学的认识和对数学教育的认识上。他认为数学教育的目
的应该是与时俱进的，并应针对学生的能力来确定；数学教学应遵循创造原则、数学化原则和严谨性原则。
关键词：弗赖登塔尔；数学教育思想；评述
中图分类号：G ６４２文献标志码：Ａ文章编号：１００２－２５８９（２０１２）０８－０１７３－０１
ＪｉａｏＹｕＬｉＬｕｎＹａｎＪｉｕ☆教育理论研究☆１７３
摘要 本文为弗赖登塔尔数学教育思想的文献综述。首先我们阐述了弗赖登塔尔数学教育思想的研究意义以及弗赖登塔尔数学教育思想的具体内容。接着，我们对弗赖登塔尔数学教育思想本身内容的研究现状和弗赖登塔尔数学教育思想应用的研究现状进行了总结。最后，我们针对现有的研究内容作出了总结级建议。关键词：弗赖登塔尔的数学教育思想再创造数学化数学现实反思 一、研究背景 1、弗赖登塔尔的数学教育思想的研究意义 弗赖登塔尔是20世纪最伟大的数学教育家，他生于1905年，专长李群的研究。1950年代后关注数学教育，并迅速成为国际数学教育界的领袖。他的一系列数学教育著作，影响遍及全球。在我国对数学教育的理解仍然肤浅的时候，是弗赖登塔尔的访华行动为我们打开了通往世界数学教育领域的一扇窗户。 领会并贯彻弗赖登塔尔的教育思想对于今天的课堂教学仍然具有现实意义。弗赖登塔尔的数学教育思想的符合数学内容本身的发展规律，符合学生学习心理发展的规律，符合传统数学教育改革的要求。而对弗赖登塔尔数学教育思想的研究有助于我们开阔思路、得到启示，从更高更宽的层面上审视和思考当前的数学教育研究现状并探寻解决当前存在问题的方法和途径。 2、弗赖登塔尔的数学教育思想 弗赖登塔尔强调数学教育要以解决现实生活中的问题为目的，必须与日常生活的实际问题相联系，提倡教授现实的数学，以数学化为桥梁，将现实生活与抽象的数学知识紧密联系，注重培养和发展学生用数学知识解决客观现实问题的能力；不论是教还是学，都要采用再创造的方法，学习过程是主观地再创造过程，而不是教师灌输式的讲授和学生的死记硬背。弗赖登塔尔的现实数学教育理论突破了传统的在课堂中学习数学的思维禁锢，将现实生活中的实际问题抽象成数学问题，又将数学延伸到学生所处的现实世界中，学习现实中的数学问题，并用数学知识解决现实中遇到的问题。 弗赖登塔尔所认识的数学教育有五个特征：情景问题是数学的平台；数学化是数学教育的目标；学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；互动是主要的学习方式；学科交织是数学教育内容的呈现方式。而这些特征可以用三个词来概括，即：现实、数学化、再创造。 本文通过查阅中国知网若干篇文章将对弗赖登塔尔数学教育思想的研究现状进行总结并提出相关建议。 二、弗赖登塔尔数学教育思想的研究现状 对弗赖登塔尔数学教育思想的研究主要表现为以下几个方面，一是对弗赖登
波利亚数学教育思想研究综述 陈汉君 (天津师范大学数学科学学院300074)时丽霞(青岛烹饪学校,山东266040) 王信林(莱阳市河洛镇教委,山东265212) 中图分类号:O12-3文献标识:A文章编号:0488-7395(2004)9-0001-04 1 研究意义 目前,在中学数学教学实践中存在的学生负担过重问题、解题教学效益不高问题、压抑学生的创新精神和创造能力、研究性学习未真正受到重视等已成为当前基础教育中数学教育所亟待解决的问题.一些有关的教育学、心理学原理对于解决上述问题无疑是十分有益的,但是这些理论不能直接用于指导中学数学教学实践.一线的数学教师,都渴望找到一种可以直接用于指导中学数学教学实践的理论,呼唤用带有数学教育特征的理论去浇灌数学教育教学的实践.波利亚数学教育思想就是这样一种带有数学教育特征的理论. 2 研究综述 笔者在认真阅读波利亚的三部原著《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与合情推理》基础上,以近二十年来的《数学教育学报》、《西北师大学报》、《河北师大学报》、《淮北煤师院学报》、《教育研究》、《吉林教育》、《数学通讯》、《数学教学》、《中等数学》、《数学教学通讯》、《内蒙古教育》等杂志为文献源,对波利亚数学教育思想进行了比较系统地研究,综述如下: 2.1 关于数学教育的目的 文献源对波利亚数学教育的目的进行了广泛地研究,有十余篇文章提到了波利亚的数学教育目的,其中有八篇文章对此进行了专门研究.有的学者[12]指出，波利亚就现代社会对(高中)数学知识的使用情况进行了概算,结论是:数学家等“生产数学”的人占1%,直接使用数学的人占29%,而不用数学的人占70%.因此他主张数学教学的目标应该是提高学生的“一般文化素养”.有的学者[13]认为,波利亚长期奉行的教育宗旨是:“教会那些年轻人去思考”.他认为与其给人以死板的知识,不如给人以活的、生动的方法,以点石成金的手段.还有的学者[15]研究认为,波利亚一生酷爱创造性活动,对发现和创造有特殊的嗜好.自然而然,培养学生的创造精神就成了他的数学教育思想的重要内容,成为了他的教学目标的核心.分析上述学者的观点,笔者认为从根本上说是一致的.波利亚的数学教育目
提升小学数学课堂教学效率的基本要求 一、教学观点现代化 实践证明：教学观点直接影响课堂教学效率，教学观点不解决，再好的教材，再完善的教学方法，使用起来也会“走样”。传统的教学观认为：教学就是教师教，学生学，教师讲，把学生当作消极、被动地接受知识的容器。现代的教学观认为：教学就是教师有效、合理地组织学生的学习活动，使所有的学生都能学好，学得主动、生动活泼。要提升数学课堂教学效率，必须转变传统的教学观点，建立符合现代教学观的崭新体系，努力做到“五个转变”和确立“四种教学观”。 “五个转变”是指：①由单纯的“应试教育”转变为全面的素质教育；②由“填鸭式”的教学方法转变为启发式的教学方法；③由局限于课堂的封闭教学转变为课堂内外相结合的开放性教学；④由单纯传授知识的教学转变为既传授知识，又发展水平的教学；⑤由教学方法的“一刀切”转变为因材施教。 “四种教学观”是指在数学教学过程中要确立如下四种观点：①整体观。即是用整体观点指导课堂教学，从整体上实行数学教学改革，充分发挥课堂教学中各种因素（教师、学生、教材等）的积极性，使它合理组合，和谐发展，实现课堂教学整体优化；②重学观。就是要求教者重视学法指导，积极地把“教”的过程转化为“学”的过程；③发展观。不但要引导学生有效地学习，更重要的要培养水平，发展智力；④愉快观。要把愉快因素带进课堂，让学生在轻松愉快的课堂氛围中获取知识。 二、数学目标明确化 教学目标是教学大纲的具体化，是教材所包含的知识因素和水平训练的具体要求，是评估教学质量的依据。教学目标决定着教学活动的方向，决定着教学内容、方法、途径的选择，决定着教学效率的提升。 在数学课堂教学中，如果目标制定明确，便能发挥如下功能：对指引师生的教与学，有定向功能；对教改程序的有效实行，有控制功能；对知识与水平的双向发展，有协调功能；对减轻学生因题海战术而盲目训练所造成的负担，有效率功能；对教改工作的科学评价和管理，有竞争功能；对统一标准大面积提升教学质量，有稳定功能。由此可见，要提升数学课堂教学效率，就应制定完整、明确的课堂教学目标，注意根据教材内容定出基础知识、基本
幼儿数学教育思想 有些幼儿园教师对数学教育活动的目标、价值和功能、幼儿数学学习的心理机制等缺乏足够的了解，导致幼儿数学教育活动课堂气氛沉闷，效率低下。以下是有关幼儿数学教育的几点想法，以期能提高幼儿教师组织幼儿数学集体教学活动的有效性。 幼儿数学教育思想 一、树立先进的教育思想 幼儿园数学教育的现状，存在着重知识传授轻思维训练与能力培养的现象。幼儿园数学教育的任务是要传授知识，培养兴趣，发展思维能力。这三项任务既有相对独立性，又相辅相成、互为一体。因此要完成幼儿园数学教育的三项任务就必须在提高认识的基础上，把训练尤其是培养幼儿思维能力的训练任务落到实处。 我们针对过去存在的知识教学与思维训练脱节的弊端，合理地安排教材，采用多种练习形式来加强对幼儿的思维训练，力图使思维训练与知识传授有机地结合起来，并互相渗透，互相促进。 例如：学习数的组成，我们把数的分解和组合的学习，按物体特征从不同角度给其分类的教学，使物的分类与数的分合得到自然的对应。再如，把数的组成与数的加减结合起来，要求幼儿在学习了数的分合后，能按分合式编算术题，经过一段时间的练习，促进了幼儿逻辑思维的发展。 二、创设学习数学的外部环境 著名的法国数学教育家佐尔坦?迪恩尼斯提出这样的观点：
应该设置一个数学学习的环境，让他们尽可能多地使用不同媒介和尽可能多的与变量打交道，使他们获得有关概念的丰富经验，从而抽象出这个概念的结构。 幼儿学习数学的环境有两大类：一是幼儿生活的客观现实大环境，二是为达一定教育目标而设置的专门学习数学的数学环境。在现实生活中包含了大量的数学信息，幼儿每时每刻都在和它们打交道，因为数、形存在于一切事物之中。 比如幼儿在搭大桥时，桥面用什么形状的积木，要用几块，怎样搭放才不会倒塌等等，这些数学经验对于他们学习数学极为重要，是我们数学教育取之不尽的源泉。教师创设适当的数学环境，有目的、有计划的设计和组织活动，可以帮助幼儿形成概念和发展思维，在良好的学习环境中，幼儿能够运用适合自己特点的学习形式进行学习，且根据自己的能力水平和学习速度去探索学习，使自己在原有的水平上不断地进步。可见这个人为的数学学习环境更显重要。 三、发挥游戏活动的作用 幼儿由于其年龄和生理心理的特点，注意力不能长久集中。为了调动幼儿积极性和高度集中注意力，在活动中丰富内容、改变活动形式是非常有必要的。幼儿最喜爱的是游戏活动，在游戏活动中融入数学知识，或将数学活动设计成游戏形式，将会幼儿全身心地投入，并学得轻松、愉快，起到事半功倍的效果。 1.在游戏中学数学 小朋友都很喜欢玩具，所以我经常用玩具来设计数学游戏。如在小班数学活动“1和许多”中，我把它设计成“一辆大客 车和许多小汽车去旅游”的游戏。小朋友们手拿玩具汽车，排成队伍，由一辆大客车领队，后面跟着许多小汽车一起出去玩，
《数学思想方法》心得体会 宁安市东京城镇小学黄淑伟 我通过对数学思想方法的学习，并结合我在工作中的实际情况，体会到如下心得： 数学的内容、思想、方法和语言广泛渗入自然学科和社会学科，成为现代文化的重要组成部分。数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养和重要内容之一。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，而数学思想方法在教学实践方面的应用，更能加强教师的数学思想方法教学意识，更新教学观念，形成有效的数学思想方法教学策略，提高教学水平。 1.数学思想。数学思想是人们对数学科学研究的本质，及规律的深刻认识。它是指导学习数学，解决数学问题的思维方式、观点、策略、指导原则。它具有导向性、统摄性、迁移性。中学数学教学中的基本数学思想有对应思想（函数思想、数形结合思想），系统与统计思想（整体思想、最优化思想、统计思想），化归与辩证思想（化归思想、转换思想）等。 2.数学方法。数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。它具有过程性、层次性、可操作性。中学数学教学中的基本数学方法：一是科学认识方法：观察与实验，比较与分类，归纳与类比，想象、直觉与顿悟；二是推理论证方法：综合法与分析法，完全归纳法与数学归纳法，演绎法、反证法与同一法；三是求解方程：配方法、换元法、消元法、待定系数法、图象法、轴对称法、平移法、旋转法等。
3.数学思想方法。数学思想与数学方法既有差异性，又有同一性。数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。“方法”指向“实践”。数学思想是数学方法的灵魂，它指导方法的运用；数学思想与数学方法同属于数学方法论的范畴，它们有时是等同的，并没有明确的界限。由于数学思想与数学方法的这种特殊关系，我们在中学数学教学中把它们统称为数学思想方法。 4.数学思想方法教学。因为数学教学内容始终反映着显形的数学知识（概念、定理、公式、性质等）和隐形的数学知识（数学思想方法）这两方面。所以，在教学中，我们不仅应当注意显形的数学知识的传授，而且也应注意数学思想方法的训练和培养。只有注意思想方法的分析，我们才能把课讲活、讲懂、讲深。“讲活”，就是让学生看到活生生的数学知识的来龙去脉，形成过程，而不是死的数学知识；“讲懂”就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；“讲深”是指学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能感受、领会、形成、运用内在的思想方法。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法教学，必然对提高数学教学的质量起到积极的作用。
数学教育的基本理论 一、 [荷]H.Freudenthal数学教育理论 ㈠ 数学教育的基本特征（现实,数学化,再创造）: 1、情景问题是教学的平台 2、数学化是数学教育的目标 3、学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分 4、“互动”是主要的学习方式 5、学科交织是数学教育内容的呈现方式 ㈡ 何谓数学教育中的现实 1、 数学教育中的现实——数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实” 2、 数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实 3、例题生活化，问题情境化 ㈢ 运用“现实的数学”进行教学 第一，数学的概念、运算、法则和命题，都是来自于现实世界的实际需要而形成的，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结 第二，数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现象抽象而成的量化模式 第三，数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识 ㈣什么是数学化 1、人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程——即数学地组织现实世界的过程就是数学化 2、数学教学即是数学化的教学 3、 抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看成是数学化 4、数学化的形式：实际问题转化为数学；从符号到概念的数学化 ㈤ 数学学习的“再创造” 1、 学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程。其核心是数学过程再现。 2、数学学习是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生学生主动学习，做数学是学生理解数学的重要途径 二、 建构主义的数学教育理论 ㈠ 什么是数学知识 对于数学知识的认识，持建构主义观的学者往往不同于绝对主义或者行为主义论者，在他们看来： 1、数学知识不是对现实的纯粹客观的反映，任何一种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征。它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，出现新的解释和假设。
波利亚的数学教育思想： 乔治·波利亚是20世纪举世公认的数学家，著名的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师．波利亚在数学教育领域最突出的贡献是开辟了数学启发法研究的新领域，为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理论基础．波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题表》。 怎样解题表的主要内容是： 第一步：你必须弄清问题。 1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？ 2.画张图，将已知标上。 3.引入适当的符号。 4.把条件的各个部分分开。 第二步：找出已知与未知的联系。 1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？ 2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？ 3.回到定义去。 4.你能否解决问题的一部分？ 5.你是否利用了所有的条件？ 第三步：写出你的想法。 1.勇敢地写出你的方法。 2.你能否说出你所写的每一步的理由？ 第四步：回顾。 1.你能否一眼就看出结论？ 2.你能否用别的方法导出这个结论？ 3.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？ 波利亚指出，解题的过程主要包括动员与组织、辨认与回忆、充实与重组、分离与组合这8种思维活动方式，而且它们密切相关，相辅相成，共同构成了一个连续的过程.具体地说，当问题出现时，解题者看到的问题是一个未经剖析的没有细节或只有很少细节的整体.此时就要通过辨认已给的元素，并回忆与之相关的元素，把与问题有关的材料从记忆中提取出来，这就是动员.但仅有这些材料还不够，还必须对解题材料进行认真的挑选和分类，把一个一个特殊的细节从整体里挑出来，再把零散细节重新合成一个有意义的整体，这就是分离与组合.在对细节进行重新评价后，需要进一步充实和调整对问题的构思，这就是组织.。、 波利亚的数学教育思想的应用： “希望教给学生正确思考问题方法的老师应当首先自己掌握它”〔4〕，是波利亚身体力行、从事数学教学研究的切身体验．他的数学启发法的研究成果告诫人们，教师应当在授予学生一定的数学知识的同时,教会他们发现问题和解决问题的一般规律和方法，培养学生具有“复原”学科重大发现渊源过程的能力，并从中学到一些具有普遍意义的思想和方法．这就要求教师应根据数学学科的特点和知识结构，站在方法论的高度，创设数学发现活动的模拟情境，并根据学生思维的
初中数学教学设计的基 本要求 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
初中数学教学设计的基本要求 新课程改革实施已将近六年，但学习理论，研读课标，熟悉教材是一个永无止境的过程，同时，不少教师的教学观念仍然没有从根本上改变，不肯把目光移向课标、教材，致使课堂教学知识技能异化，教学目标不实，教学方法单一，时间安排不佳，教学效果不好。为改进课堂教学方式，体现知识与技能，过程与方法，情感态度价值观并重的教学要求，须根据数学课程标准的有关要求，以及教学内容、教学方式、教学效果反映出的教学方法，按研究教学内容→制定分解目标→设计单元活动→整合教学方法→有效组织教学的思路，落实每个环节工作，这里就以数学活动为中心的备课谈一些看法。 1、分解教学目标，把握活动要领。 教学目标的制定和落实是有效实施课堂教学的关键，也是当前课堂教学需要解决的问题，由于新的教学目标强调知识与技能、过程与方法、情感态度价值观并重的三元体系，需要正确认识知识技能目标与过程性目标的关系，找准其中的生成点和结合点，转化为教与学活动。由于仅有笼统的教学目标而不进行活动分解，目标容易模糊，教学方法容易单调，教学过程不易把握。因此，要求合理分解教学目标，形成教与学的双边活动，并通过关键的行为动词，把握活动要求，体现新的教学理念和教学过程的可操作性。 新的课程目标强调教学目标的完整统一，并通过行为动词反映出对教学内容和教学过程的要求；因此，根据相应的教学要求进行活动设计，符合新课程对课堂教学的诠释，符合通过学习活动获得适应社会发展所必须的知识与技能的要求。教学目标的分解要注意过程性和知识性的联系，体现可操作性。比如，活动
数学教育家弗兰登塔尔及其教育思想 数学教育家弗兰登塔尔及其教育思想 作者 : 未知文章来源 : 网络点击数 : 71更新时间:2007-9-19 荷兰从60 年代末开始，卓有成效的实现了从传统数学教育向现实数学教育的改革。目前，几乎所有的荷兰中小学生都已经在使用根据现实数学教育思想编写的数学 课本。荷兰数学教师队伍的主体，已经由在现实数学教育思想熏陶下成长起来的新一 代构成。现实数学教育的思想、观点和教学方法也已经被荷兰政府，社会和大众所接受。纵观世界各国的数学教育改革，荷兰的改革是全面和彻底的。而且与许多国家数 学教育改革过程中出现的轰轰烈烈、大起大落的情形不同，荷兰的数学教育改革一直 以稳定、循序渐进的方式进行，于“悄悄然之中完成了数学教育领域里的一场革命”。今天的现实数学教育已经具有了世界性的影响。 现实数学教育与一位荷兰数学家的名字 -- 弗兰登塔尔紧密联系在一起。现实数学教育就是指由弗兰登塔尔领衔的荷兰数学教育研究集体在近半个世纪的时间里丰富、发展和完善起来的新型数学教育。弗兰登塔尔指导、推动和亲身参与了荷兰的 数学教育改革实践。研究现代数学教育的发展应当从弗兰登塔尔开始。一、生平弗兰登塔尔(H.Freudenthal ，1905-1990) ，荷兰人，著名数学家、数学教育家，曾任荷兰数学会的两届主席。作为国际著名的数学家，弗兰登塔尔非常关注教育问题，在这一点上，弗兰登塔尔有些与众不同。其它高水平的科学家往往是到了一定年龄之 后才开始关注和投入研究教育问题，而弗兰登塔尔很早就把学习和教学作为自己思考 和研究的对象了。对此他有一个非常简单的解释“我一生都是做教 师，之所以从很早就开始思考教育方面的问题，是为了把教师这一行做好。”早 在1936 年，他就组织了著名的“数学教育研究小组”，成为荷兰数学教育研究的领 头人。那时，这个小组每个周末都聚集在弗兰登塔尔家里讨论与数学教育发展关
波利亚的怎样解题表 陕西师范大学罗增儒罗新兵１乔治·波利亚 乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容． 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)． ２怎样解题表 波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．
第5章数学教学原则 1．数学有哪些特点？怎样理解这些特点？ 答：数学的内容具有高度的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性．数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象．所以它的研究对象本来是十分具体的．但是，为了在比较纯粹的状况下研究空间形式和量的关系，才不得不把客观对象的所有其它特性抛开不管，而只抽象出其空间形式和量的关系进行研究．因此数学具有十分抽象的形式． 严谨性是数学科学理论的基本特点．它要求数学结论的表述必须精练、准确，对结论的推理论证要求步步有根据，处处符合逻辑理论的要求．在数学内容的安排上要求有严格的系统性，要符合学科内在逻辑结构，既严格又周密．数学广泛的应用性表现在它已渗入到日常生活的各个领域中，当今世界各门学科都在经历着数学化的过程．用华罗庚的一句话来形容就是：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”2．何谓数学教学原则？中学数学教学原则有哪些？确定中学数学教学原则的依据是什么？ 答：数学教学原则是依据数学教学目的和教学过程的客观规律而制定的指导数学教学工作的一般原理．它是数学教学经验的概括总结，它来自于数学教学实践，反过来又指导数学教学实践． 目前，在中学数学教学中，主要应遵循如下基本原则：抽象与具体相结合原则；严谨性与量力性相结合原则；理论与实际相结合原则；巩固与发展相结合原则； 数学教学原则，应根据数学教学目的和数学学科特点，以及学生学习数学心理特
点来确定． 3．在中学数学教学中，如何贯彻抽象与具体相结合原则？ 4．在中学数学教学中，如何贯彻严谨性与量力性相结合原则？ 答：认真了解学生的心理特点与接受能力，是贯彻严谨性和量力性相结合的原则的前提．“备课先备学生”的经验之谈，就出于此．也就是说，只有全面地了解学生情况，才能使制订的教学计划与内容安排真正做到有的放矢、因材施教才能真正贯彻好这一原则．在教学中，对严谨性要求，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，做到立论有据．例如初学平面几何的学生，对严格论证很不适应，教学时应先由教师给出证明步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，合情合理地提出教学要求，逐步过渡到学生自己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明．但绝不能消极适应学生，人为地降低教材理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学．在数学教学中，注意从准确的数学基础知识和语言出发培养严谨性．这就要求教师备好教材，达到熟练准确，不出毛病．例如，把正方形说成“正正方方”的四边形，把圆定义为自行车轮子等．另外要严防忽略公式、法则、定理成立的条件． 还要注意逐步养成学生的语言精确习惯．这就要求教师有较高的教学语言素养，使自己的语言精确、简练、规范．对教学术语要求准确、得当．如“至少”、“仅当”、“只有”、“增加”、“增到”等．32只能读“2的三次方”，不能读“2的三次幂”等．在数学教学中，注意培养全面周密的思维习惯，逐步提高严谨程度．一般数学中所研究的是一类事物所具有的性质或它们元素之间的关系，而不仅仅是个别事物．于是要求我们思考问题全面周密是理所当然的．但中学生真正懂得这样做
著名特级教师王永“小学数学课堂教学的数学化”探讨实录 这里所说的“数学化”更注重生活数学化，课程内容数学化，还是教学方法数学化，或者其他？“数学化”是数学教学手段、目的，还是特征？ 王永：“数学化”是弗赖登塔尔数学教育思想的核心。今天我们看到以数学活动为载体的小学数学课程，强调“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。 数学作为人类的一种活动，它的主要特征是数学化。数学的根源在于普通的常识，在于学生已有的生活经验。数学教学要通过数学活动让学生亲身经历对现实进行数学化的过程，使数学变成是他们自己“再创造”的产物，而不是成人强加给他们的东西。 所以，数学化是学生自己的活动，不是教师的活动；数学化的对象是学生熟悉的现实，不是成人的现实。教师的责任首先是创设适合于学生进行数学化活动的具体的现实的情境，并有效地指导他们参与到数学化的各个方面中去。 例如，小学一年级学生怎样学习加法呢？首先要向学生提供熟悉的现实情境：笑笑左手拿着2支铅笔，右手拿着3支铅笔，她一共有几支铅笔？（用两幅图呈现这个实际问题）其次，指导学生参与如下的数学活动：①笑笑的一只手拿着几支铅笔，你就在本子上画几个小圆圈；②笑笑的另一只手拿着几支铅笔，你在本子上继续画上几个小圆圈；③数一数你的本子上一共画了几个小圆圈？④想一想：你所画的这些小圆圈表示什么意义？让每个学生都经历上述画图、数数与思考等数学活动，都体验并获得一个数学事实：2支铅笔与3支铅笔合起来一共有5支铅笔。在这个基础上，教师才把这个数学事实加以形式化，写出加法算式：2＋3＝5或3＋2＝5，并指导学生结合具体情境运用语言描述或解释算式中每一个数字或符号的意义。进而让学生在新的情境中尝试应用加法算式，表示现实生活中大量存在的加法结构。 这就是课程标准强调的：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，也就是经历数学化的过程。我所理解的“数学化”，既是数学教学活动的目的，也是实现目的的手段。 数学化是否就是培养学生的数学建模思想？数学化与纯数学之间有什么联系与区别？ 王永：数学化有横向数学化和纵向数学化之分。在弗赖登塔尔看来，横向数学化“是把生活世界引向符号世界”，而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”，则是纵向数学化。 是否也可以这样理解：横向数学化的产物是生成数学与生活的联系，纵向数学化的产物是生成抽象的数学知识之间的联系。数学建模只是数学化的一个方面，它关注的是横向数学化的因素，并不是数学化的全部。将实际问题抽象成数学模型，这个“模型”是不可缺少的一种中介，用它把复杂的现实来理想化或简单化，从而更易于进行形式的数学处理。 所谓纯数学，如果是指脱离了现实背景的抽象的形式化的数学理论与方法，它却是纵向数学化所要生成的东西。对数学模型进行形式的数学处理，就是纵向数学化的过程。 有趣的是，弗赖登塔尔原来并不接受横向与纵向数学化的划分，但最终他不仅接受了这种划分的思想，甚至到了极力推崇的地步。原因是如果数学教育用双重的二分法分别注重横向数学化和纵向数学化来进行分类的话，可以分成如下四种类型，这些教学类型分别对应着
概念教学应该遵循哪些基本原则？ 概念教学是数学教学不可或缺的重要组成部分，在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。数学概念教学必须把握数学概念的基本特征，熟悉数学概念的基本获得方式，掌握数学概念教学的一般过程。 案例角 某学校为了探索概念教学的规律，以“数列的概念与简单表示（第1课时）”的处理为例，研究了一堂公开课，摘要如下： 教师：同学们，今天我们来学习一个新的数学概念—数列，先请同学们自主阅读教材，再前后两桌同学（每桌坐两面位同学）组成一个小组合作探究如下问题； （1）什么叫一个数列？何为数列的项？怎样表示一个数列呢？ （2）数列的项数是什么？如果按此分类，数列有哪些种类呢？除此之外还有哪些常见的分类方式呢？ （3）何为数列的通项公式？如何理解“数列可以看成正整数集N * （或它的有限子集{}1,2,3,,n ???）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应 的一列函数值”呢？（大约过十分钟，教师抽查各小组合作探究成果） 学生1：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的叫第1项，排在第n 位的叫做第n 项。 学生2：按项数分，数列可分为有穷数列和无穷数列。项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。 教师：对数列的分类的表述，哪位同学能帮助补充完善一下吗？ 学生3：我来！按数列的项的大小的变化规律分，数列还可分为递增数列、递减数列、摆动数列等。从第2项起，每一项都大于它前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它前一项的数列叫做递减数列；从第2项起，有些项大于它前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列。 学生4：…… …… 教师：同学们回答得均很好，说明你们的钻研和讨论是用心和富有成效的。请判断下面的数组哪些是数列？如果是数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）古代有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若将“一尺之棰”记为1份，则每日剩余部分依次是：???,32 1,161,81,41,21 （2）古希腊数学家常用小石子摆成如图1的形状来表示数，称为三角形数，它们依次是：1，3，6，10，…
《数学教育教学理论》学习心得 沈进 随着课改的不断深化，数学教师原有的一些教学观念、教学方法和教学手段都受到了新的冲击和新的挑战，如何更好适应课改的要求，这就需要我们不断更新教学观念，不断学习总结，才能更好地服务于数学教学. 课堂教学是一种师生双边参与的动态变化的过程，每一个学生都是生动、独立的个体，是课堂上主动求知、主动探索的主体；而教师是这个变化过程的设计者、组织者、引导者和合作者，是为学生服务的。 在教学过程中，真正做到“以学生为本”，提高课堂40分钟效率，我的体会是--精心的进行合理、有效的课堂教学设计，使教师的教案符合学生的实际情况，而不是学生适应教师的教案。在课堂教学进程安排上，在以“目标──策略──评价”为主线安排教学进程的同时，进行“活动──体验──表现”这一新进程。关注学生的主动参与，让学生在观察、操作、讨论、质疑、探究中，在情感的体验中学习知识，完善人格。 1.“身边的数学”与“身边的生活”的互相渗透 在课堂教学过程中，我们要按照学生的认知规律，逐步展示知识的形成过程，“化简”书本知识，把“身边的数学”引入课堂，再把数学知识引入“身边的生活”，用好用活每一篇教材。 （1）让生活走进数学课堂 引用学生熟悉的现实生活作为一堂课的开幕式，教会学生去观察生活，领悟生活中的数学因素。例如，在初中《代数》的第一章有理数的引人。举一个事例，一辆汽车从车站出发，沿公路向东行驶10千米，接着掉转车头向北行驶10千米，问这辆汽车在什么位置？对于这个简单问题，当然学生不难作出回答，但问及如何用数学式了表达这辆汽车的位置变化过程，学生就感到茫然了，趁学生构成忌于求知的心理状态之时机切人新裸课题，“为了满足实际需要，我们必须把已经学习过的算术数扩充到有理数。”例如，在学习“同类项”一节课时，可通过设计情境：准备一小袋零钱（有1角，2角，5角，1元），请一位同学来数数一共有多少钱？在情境中渗透分类的数学思想，从而引入新课。再如学习“图形的旋转”可以向学生展示生活中的钟表、电风扇叶片、大风车、自行车车轮等，引起学生学习数学兴趣，使数学“生活化”；学生这节课后，请学生应用所学的旋转设计一个广告图案，并为设计书写说明，这又使得生活“数学化”了。 （2）让数学回归生活 现代社会里，“数学不仅能够帮助我们在经营中获利，而且，它能给予我们能力，包括直观思维、逻辑推理、精确计算，以及结论的明确无误”。例如一个人要成立一家新公司，由于业务关系，急需一辆汽车，但又因资金问题无力购买，决定暂租一辆汽车使用。现有两家出租车公司供选择，两家出租车公司条件不同，租哪家的更合算？一家的出租条件是“每月付给司机1000元工资，另外每百公里付10元汽油费”；另一家公司只按行程算账，出租条件是“每百公里付140元的费用”。这就要求新公司老板根据自身业务用车情况（里程）运用数学的知识去选择有利于自己的出租车公司。足以说明数学并不是远离生活的抽象理论，而是生活中必不可少的知识──让数学回归生活，以激发学生学习的兴趣。 数学新课程标准倡导课程和教学的发展性，强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展”。因此，我认为在引导学生进行数学学习的过程中，从学生认知发生、发展的规律出发，提出思考的途径，随着学生的思路层层递进，把数学条理化，符合学生的认知规律，活泼多变，向
数学教育家弗兰登塔尔及其教育思想 作者：未知 文章来源：网络 点击数： 71 更新时间：2007-9-19 荷兰从60年代末开始，卓有成效的实现了从传统数学教育向现实数学教育的改革。目前，几乎所有的荷兰中小学生都已经在使用根据现实数学教育思想编写的数学课本。荷兰数学教师队伍的主体，已经由在现实数学教育思想熏陶下成长起来的新一代构成。现实数学教育的思想、观点和教学方法也已经被荷兰政府，社会和大众所接受。纵观世界各国的数学教育改革，荷兰的改革是全面和彻底的。而且与许多国家数学教育改革过程中出现的轰轰烈烈、大起大落的情形不同，荷兰的数学教育改革一直以稳定、循序渐进的方式进行，于“悄悄然之中完成了数学教育领域里的一场革命”。 今天的现实数学教育已经具有了世界性的影响。 现实数学教育与一位荷兰数学家的名字--弗兰登塔尔紧密联系在一起。现实数学教育就是指由弗兰登塔尔领衔的荷兰数学教育研究集体在近半个世纪的时间里丰富、发展和完善起来的新型数学教育。弗兰登塔尔指导、推动和亲身参与了荷兰的数学教育改革实践。研究现代数学教育的发展应当从弗兰登塔尔开始。 一、生平 弗兰登塔尔(H.Freudenthal ，1905-1990)，荷兰人，著名数学家、数学教育家，曾任荷兰数学会的两届主席。作为国际著名的数学家，弗兰登塔尔非常关注教育问题，在这一点上，弗兰登塔尔有些与众不同。其它高水平的科学家往往是到了一定年龄之后才开始关注和投入研究教育问题，而弗兰登塔尔很早就把学习和教学作为自己思考和研究的对象了。对此他有一个非常简单的解释“我一生都是做教师，之所以从很早就开始思考教育方面的问题， 是为了把教师这一行做好。”早在1936年，他就组织了著名的“数学教育研究小组”，成为荷兰数学教育研究的领头人。那时，这个小组每个周末都聚集在弗兰登塔尔家里讨论与数学教育发展关系密切的问题。二战期间，战争使研究小组的活动无法进行，但弗兰登塔尔仍没有停止自己的研究工作。他利用在家中独自教育两个儿子的机会，系统阅读了与小学数学内容有关的所有关于算术，比例等方面的出版物，其中包括课本，教学参考书，以及一些重要的关于算术教育的教材教法理论书籍等等。即使被关在集中营里，他的阅读和研究也没有停止。弗兰登塔尔的阅读不仅仅是一般的“读”，而是运用他关于数学和数学史方面的知识把所有这些出版物都“过滤”了一遍。结合自己对学生学习过程的观察，他在那个时期就已经得出结论：儿童不可能通过演绎法学会新的数学知识，对传统的数学教育目的提出了质疑。
专题讲座 《义务教务阶段数学课程标准（2011年版）》的理念及总体目标 王尚志（首都师范大学教授） 马云鹏（东北师范大学教授） 刘晓玫（首都师范大学教授） 话题一、课程标准的基本理念 课程标准的理念和目标，是非常重要的两部分内容，课程标准的理念，从五个方面来阐述，分别从数学教育，课程内容，教学方式，评价还有新技术，这几个方面来阐述。 （一）数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 课程标准基本理念的第一条，是一个总的论述。 这一条是对义务教育阶段数学教育做了总体的阐述，就是义务教育的阶段的数学，在这个阶段的数学教育使学生获得一个什么样的数学教育，使他在数学方面，获得什么样的发展，这里边强调的要根据义务教育阶段的培养目标，义务教育阶段的学生的成长，是整个人发展的一个重要阶段，是它为学生打基础的阶段，在打基础的阶段，要面向全体学生，使学生在各个方面打好基础，而数学是学生应该掌握基础知识、基本能力和基本素养的非常重要组成部分。 正因为是义务教育，所以强调要面向全体学生，义务教育阶段是面向所有学生发展的阶段。 这里强调两个要点，第一，人人都能获得良好的数学教育，面向全体学生，使每一个学生都接受良好的数学教育。每个学生都要提高数学素养，进而提高学生的公民素养，数学素养是学生公民素养的一个重要组成部分。义务教育重要的任务就是使学生将来能够成为一个社会需要的、具有良好的素养、各方面能够健康发展的公民。他们有良好的数学素养是非常重要，所以良好的数学教育就是让每一个学生获得他所需要的良好的数学素养。 第二，不同的人在数学上得到不同的发展，这个是针对学生的差异，因为每一个学生都要接受义务教育，而在学生的发展和学生原有的基础存在很大的差异。良好的数学教育，使每一个学生都得到一样的教育，得到一样的机会，但最后的发展可能是有差别的。根据学
小学数学教学的根本任务是提高学生的综合素质，而思维素质是其中最重要的素质，数学思想方法的渗透是培养学生良好的思维品质，提高数学素养的关键。教学中，教师要根据学生的认知规律和年龄特征，有意识地挖掘蕴含在教材里的隐性资源，真正把数学思想方法的渗透落到实处，使学生的数学思维能力得到有效的发展，数学素养得到全面的提高，为培养新世纪的新型人才奠定坚实的基础。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识。所谓数学方法，是指人们解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段。了解了二者的关系，懂得数学思想是宏观的，而数学方法则是微观的；数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段；前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。由于小学阶段的数学思想和方法在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。 一、小学数学教材中渗透的数学思想方法主要有 1、数形结合的思想方法 数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。 例如，在小学一年级中刚开始学习数的认识时，都是以实物进行引入，再从中学习数字的实际含义。例如学习“5的认识”时，先出
示主题图，问学生图中有些什么？学生从中数出5朵小花，5只小鸟，5个气球。从而感知5的某些具体意义，再从实物中慢慢抽象成某一特定物体，利用学生的学具小棒摆出由5根小棒组成的任何图形，从而让学生在动手的过程中，不仅表现出自己的独特创意，而且更深一层地理解5的实际意义；第三层次是利用黑板进行画5个圆，5个正方形，5个三角形等特定图形来代表5，从而慢慢抽象至数字5。这样从实物至图形，在抽象到数字，整个过程应该符合一年级小学生的特点，也是数形结合思想的一种渗透。 2、对应思想方法 利用数量间的对应关系来思考数学问题，就是对应思想。集合、函数、坐标等问题都以这一思想为基础。寻找数量之间的对应关系，也是解答应用题的一种重要的思维方式。在低、中年级整数应用题训练时，教师就应该让学生明白数量之间存在着一一对应的关系。 例如：水果店上午卖出橘子6筐，下午又卖出同样的橘子8筐，比上午多卖100元，每筐橘子多少元? 这里存在着钱数和筐数的对应关系，学生如果能看出下午比上午多卖的100元对应的筐数是(8-6)筐，此题就迎刃而解了，即100÷(8-6)=50(元)。解决问题对于小学生是个抽象的问题，特别对于低、中年级学生更难理解。但找到了对应关系，也就找到了解题的关键。 3、转化思想方法 转化就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将一个问题转化成为另外一个问题来解决。一般是将复杂的问题转化为简单的
概括---归纳,总括。把事物的共同特点归结在一起加以简明地叙述,扼要重述 用一句话概括 概念---在头脑里所形成的反映对象的本质属性的思维形式。把所感知的事物的共同本质特点抽象出来,加以概括,就成为概念,概念都具涵和外延,并且随着主观、客观世界的发展而变化 定义---- 对概念的涵或语词的意义所做的简要而准确的描述 加法----数学运算法之一,是把两个或两个以上的数合成一个数的法 和----数学上指加法运算中的得数：二加二的～是四。 减法--- 将一个数或量从另一个数或量中减去的一种数学法,这一法可用公式概括为m-s=r,其中差数r加上减数s,总数等于被减数m 乘---算术中的乘法运算,亦指乘法的运算法[multiplication]。如:加减乘除 乘积---- 由两个或两个以上的数或量相乘所得出的数或量 乘法---- 一般指ab,a·b这些数学运算,其含义随有关的类型不同而异。当a和b为正整数时,这些运算的含义最简单,它们代表以a作单位重复取b次或反过来以b作单位重复取a次 类比---- 根据两种事物在某些特征上的相似,推论出它们在其他特征上也有可能相似。用这种推理法推出的结论是或然性的,是否正确还有待实践证明 比较---- 对比几种同类事物的异同、高下 对比------[两种事物或一事物的两个面] 相对比较--新旧对比 弗赖登塔尔的数学教育思想 荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育面的权威学者。30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独特的观点。 第一节关于现代数学特性的论述 弗赖登塔尔认为现代数学的特性可以归结为以下几个面。 1．数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数学的变化，就会发现其变化主要是它的外表形式，而不是它的实质容。这是一个自然演变的过程，在数学的各个领域，逐渐渗透与发展了各种新知识与新词汇，最终汇成一个新潮流--形式化，这是组织现代数学的重要法之一，也是现代数学的标志之一。 微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要，对它们进行各种描述，以及各种运算，经过了一段很长的历史，才逐渐形成了极限的概念，才有了-形式的定义，于是微积分才有密、精确而又完整的外衣，也才形成了清晰而又相容的逻辑演绎体系，这是对长期的非形式化运算过程进行形式化改造的结果。 形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达密的数学含义，不容混淆，也不容矛盾。换句话说，数学需要有自己特定的语言，密、精确、完整而且相容。随