私家车保有量增长及调控问题
孙荣红汪琴陈旭
一摘要
我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。据统计，全国汽车保有量的60%左右为私人汽车。私人汽车的多少直接影响国民经济的发展和环境问题. 本文在正确理解题意的基础上，提出了合理的假设，提出了解决问题的模型和方法，并取得了很好的效果。我们先根据历史数据随时间变化的情况,得到各影响因子随时间的增长趋势关系,可初步得到私家车保有量随时间的关系算出其保有量,但其准确度不高,主成分分析,通过对其改进,我们产用多元灰色系统理论对其进行预测,得到2010年私家车保有量为192.5408万辆. 后我们利用SPSS对汽车保有量的主要影响因素进行主成分分析,还通过多元回归分析可得全社会固定资产投资总额对私人汽车保有量有极强的负作用，人均国内生产总值、运营公交车辆数对私人汽车保有量有较强的负作用，居民储蓄款余额对私人汽车保有量有一定的负作用；道路总长、公交车营运总里程对私人汽车保有量有极强的正作用，汽油(93号)年均价、居民人均可支配收入对私人汽车保有量有较强的正作用，全社会消费品零售总额、公交营运总数、公交营运总数对私人汽车保有量有一定的正作用。全社会固定资产投资总额越多，则用于购买私人汽车的资产就越少，这与实际相符；道路总长、公交车营运总里程越长，道路上行驶的私有汽车就可以越多，这与实际相符。因为在自变量对因变量产生影响的同时，自变量之间也有相互影响，所以从各个自变量对因变量的直接作用来看：汽油(93号)年均价、道路总长、运营公交车辆数对私人汽车保有量有强的正作用，居民储蓄款余额对私人汽车保有量有较强的正作用，公交营运总数对私人汽车保有量几乎没有影响，其余的对私人汽车保有量都有不同程度的负作用。
关键字曲线拟合灰色预测模型主成分分析法
二、问题重述
我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。然而，当我们快速迈进以私人汽车为主体的汽车社会的时候，也面临着新的考验，除了能源紧缺、燃油价格上涨、土地资源有限等诸多不利因素对汽车发展带来巨大的压力外，环境污染也对汽车工业的发展提出了严格的要求.题目要求我们解决以下问题：
结合数学模型分析影响该地区私人汽车保有量因素，并根据影响私人汽车保有量的主要因素预测2010年该地区私人汽车保有量有多少。
三模型假设
1) 假设汽车保有量只受表中所列的集中因素影响;
2) 假设汽车生产厂家不会出现停产或者供应不足的现象;
3) 假设原始数据可靠，均为真实情况的反映。
四符号说明:
x人均国内生产总值（元）
(1)
1
x全社会消费品零售总额(亿元)
(2)
2
x全社会固定资产投资总额(亿元)
(3)
3
x运营公交车辆数（辆）
(4)
4
x公交营运总数(亿人次)
(5)
5
x城市交通干线噪音均值(分贝)
(6)
6
x公交车营运总里程(万公里)
(7)
7
x道路总长(公里)
(8)
8
x居民人均可支配收入（元）
(9)
9
x居民储蓄款余额(亿元)
(10)
10
x汽油(93号)年均价 (元/升)
(11)
11
五、问题一的分析、模型的建立和求解
模型一二次曲线拟合预测模型
模型的建立
通过观察1996年-2008年各年份数据的时间趋势图，可以看出逐年的数据
有很明显的上升趋势，根据其特点，可以采用二次函数曲线对各点进行拟合，然
后对2010年该地区的私人汽车保有量进行预测。即假设私人汽车保有量与时间
的关系为
y=a1+a2x+a3x2
求得2010年私有车保有量为y=187.3049万辆;
对应matlab程序见附录1.
预测值与真实值的差异如下图：
1996
19982000
20022004
200620082010
-500
50
100
150
200
时间
汽车保有量
模型二 灰色预测模型
假定非负原始数据向量序列为X (0)={ X (0)(1), X (0)(2). . . X (0)(n) }，其一次累加生成向量序列为X
(1)
={ X
(1)
(1), X
(1)
(2). . . X
(1)
(n) } ，其中X
(1)
(k)=∑=k
i 1
(0)(i)X ，
(k=1,2. . .n)，n 为观测数据的个数，X (0)(k)=(X 1(0)(K)，X 2(0)(K). . .X m (0)(K))T 是m 维向量。如果记
A= ????
?
??
?
?
mm m m m m a a a a a a a a a (2)
1
22221
11211，B=(b 1,b 2,…b n
)T
则多变量灰色模型的微分方程组可表示为
B t AX dt
t dX +=)()
()1()1(，如果规定初始条件为X (1) (t)|t=1 = X (0)(1)，则动态微分方程组模型的联系时间响应函数为X (1) (t)=e At X (1) (1)+A -1（e At —I ）B 。
通过多变量灰色预测模型将2010年的影响汽车保有量的各个因素分别预测出来,程序见下面附录2;数据如下:
表2. 该地区2010年的预测数据
年份人均
国内
生产
总值
(元)
全社会消
费品零售
总额(亿
元)
全社会
固定资
产投资
总额
(亿元)
运营
公交
车辆
数
（辆）
公交营
运总数
(亿人
次)
城市
交通
干线
噪音
均值
(分
贝)
公交
车营
运总
里程
(万公
里)
道路
总长
(公
里)
居民人
均可支
配收入
（元）
居民储
蓄款余
额(亿
元)
汽油
(93
号)年
均价
(元/
升)
2010 10014
3168.2 1581.2 11071
25.555
7
68.84
6
10676
4085.
3
35053 6268.4
6.386
9 再利用matlab统计工具箱中的regress命令通过回归分析求解汽车保有量与
各个因素之间的回归系数求解出来
x=[27000297.35 327.53 2658 6.31 68.3 15948 737 16316 583.89 1.96 30619325.00 390.51 2763 6.94 69.6 17130 789 18600 707.67 2.28 33282423.00 474.63 2801 5.73 69.7 17866 894 19886 861.88 2.32 33689 467.57 569.55 2887 7.76 69.8 18961 1015 20249 941.99 2.38 41020 538.17 616.25 2920 8.23 69.7 19688 1198 21626 1082.6 2.73 43344 832.04 686.37 3495 8.87 68.3 24465 1361 23544 1373.4 2.89 46030 941.94 788.15 3495 9.57 68.2 24814 1710 24941 1756.5 2.82 53887 1095.13 969.1 4885 9.65 68.7 36149 2100 25936 2199.5 3.08 59271 1250.64 1092.6 5376 10.11 69.2 43008 2314 26596 2625.4 3.56 64507 1437.67 1176.1 6091 15.05 69.2 51946 2500 28494 3229.4 3.98 70597 1671.29 1273.7 7305 16.81 69.2 65745 2614 29628 3744.7 4.98 79221 1905.03 1345 8023 18.6 69.1 70346 2798 30063 3792.6 5.1 78812 2207.88 927.16 8328 20.52 69.3 71088 2964 30904 3951.64 5.21]; y=[3.1 3.6 4.2 4.8 6.7 9.1 13 18.9 29 51.1 78.2 103.5 128]’;
a=regress(y,x)
a =
0.0022
0.0439
-0.0471
-0.0130
2.1928
0.2769
0.0025
-0.0314
-0.0027
0.0010
-11.2077
计算得2010年该地区汽车保有量为192.5408万辆.
模型三主成份分析法
利用spss 对汽车保有量的主要影响因素进行主成分分析。
采用主成分分析法的原因是因为主成分分析方法在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息，进而尽量用这几个较少的变量来刻画个体的一种方法。是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法
1）数据处理
由于各因素量纲的不同，数据极差过大，有必要对数据进行无量纲化处理，即标准化处理，数据处理可以减少数据量纲的影响，提高整体数据的平滑度，对预测精度有较大影响。 X’=
∑=-
---n
i i i x x x n x 1
2_
)(11
处理过的数据如下：
2）计算相关系数矩阵
利用标准化后的数据计算因素相关系数矩阵 R=(r ij )11x11， r ij =
∑∑∑===----n
k n
k kj i ki
n
k j kj i ki
j x x x x
x x x x
1
1
2
21
)()()
)(((i,j=1,2…11)
由上表可看出所选取的指标中除了V6（城市交通干线噪音均值），其它的相关性都很高，表明它们在信息表达上有很大部分重叠。
方差贡献率
主成分个数一般提取主成份所对应特征值大于1的个数，同时保证累积贡献率尽可能大。特征值在一定程度上表示了主成分影响力的大校，根据上表，提取三个主成分来代表原来的十一个影响因素，并计算前三个主成分的初始因子载荷矩阵如下表所示：
初始因子载荷矩阵表示主成分与对应变量的相关系数，第一主成分对除了城市交通干线噪音均值在内的其它几个指标都进行了充分的解析，第二主成分主要反映了城市交通干线噪音均值这一指标，第三主成分主要反应了全社会固定资产投资总额这一指标。对初始因子载荷矩阵进行变换，即可得到主成分表达式，即特征向量表达式，计算前三个特征值所对应的特征向量如下所示：
故
Y1=0.3321X1+0.3198X2+0.2966X3+0.3189X4+0.3117X5+(-0.0032)X6+0.3192X7+ 0.3185X8+0.3143X9+0.3221X10+0.3182X11;
Y2=0.0030X1+(-0.0435)X2+(-0.0633)X3+0.0425X4+0.0524X5+0.9867X6+
0.0554X7+(-0.0633)X8+(-0.0544) X9+(-0.0020)X10+0.0801X11;
Y3=0.0413X1+(-0.1713)X2+0.7425X3+(-0.2166)X4+(-0.4390)X5+0.1260X6+
(-0.1890)X7+0.1851X8+0.2796X9+0.0276X10+(-0.1988)X11;
三个主成分的累积方差贡献率达到了98.756%，能够充分反应原始数据的信息（主成分中的X1、X2…X11是经过标准化后的数据）
最后通过Matlab运算，预测出2010年汽车保有量为207.43万辆。
六问题二的分析、模型的建立
6.1对问题的分析
通过对题目中数据的分析，我们先假设出某地区的汽车废气排放量的值，根据问题一中的预测方法，预测出某年私家车的数量。再利用题目中所给出的公交车营运里程、国III排放标准（欧III）等数据即可以求得私家车废气排放量的值，通过与该地区的最大限度废气排放量相比较，来决定是否超出该限度。
要根据该地区的汽车废气的排放情况，来调控公交车和私人汽车保有量，因此要建立各项废弃排放指标与公交车和私人汽车保有量的关系。只要实行一项标准就可以根据这项标准来调控公交车和私人汽车保有量。进而需要调整小汽车和公交车的比值，以达到减少汽车废气排放量的目的。
6.1.1假设汽车排放的废气主要为碳氢化合物(HC)、氮氧合物(NOx)、一氧化碳(CO)、微粒(PM)，其他废气成分质量忽略不计。
6.1.2假设某地区的私人汽车保有量占全国汽车保有量比例（60%左右）保持不变。
6.1.3假设题中给出的单位小汽车排放的污染物比公共汽车高9倍这一比例保持不变，即小汽车每一种排放的污染物都是公共汽车的10倍。
6.1.4假设私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的五分之一。
6.2模型的建立
6.2.1符号说明:
设A为小汽车数量；
B为公共汽车数量；
X为一辆小汽车行驶一公里排放的污染物总量；
Y为一辆公共汽车行驶一公里排放的污染物总量；
X C为一辆小汽车行驶一公里CO的排放量；
X HN为一辆小汽车行驶一公里HC+NOX的排放量；
X P为一辆小汽车行驶一公里PM的排放量；
Y C为一辆公共汽车行驶一公里CO的排放量；
Y HN为一辆公共汽车行驶一公里HC+NOX的排放量；
Y P为一辆公共汽车行驶一公里PM的排放量；
S a为一辆小汽车一年行驶的公里数；
S b为一辆公共汽车一年行驶的公里数；
M C为该地区所有小汽车行驶s a公里CO的排放量；
M HN为该地区所有小汽车行驶s a公里HC+NOX的排放量；
Mp 为该地区所有小汽车行驶s a 公里PM 的排放量； N C 为该地区所有公共汽车行驶s b 公里CO 的排放量；
N HN 为该地区所有公共汽车行驶s b 公里HC+NOX 的排放量； Np 为该地区所有公共汽车行驶s b 公里PM 的排放量；
则我们可得
X C =10Y C ，X HN =10Y HN ，X P =10Y p ； S b =5S a ；
M C =X C AS a =10Y C AS a , M HN =X HN AS a =10Y HN AS a ，Mp=X P AS a =10Y p AS a ； N C =Y C BS b =5 Y C BS a ，N HN =Y HN BS b =5 Y HN BS a ，Np=Y p BS b =5 Y p BS a ；
由于按照汽车废气国III 排放标准（欧III ）（要求CO 排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX 排放量每公里不超过0.56克，PM 排放量每公里不超过0.05克） 由此我们通过各因素间的关系分别建立以下三个调控模型
b
a BS AS Nc Mc ++=a a a a BS AS YcBS YcAS 5510++=B A B A Yc 5)2(5++<2.3
b
a HN HN BS AS N M ++=a a a HN a HN BS AS BS Y AS Y 5510++=B A B A Y HN 5)2(5++<056
b
a p p BS AS N M ++=
a
a a
p a p BS AS BS Y AS Y 5510++=
B
A B A Y p 5)2(5++<0.05
6.2.1结果分析:
对于预测值a ，
① a w <，表明汽车废气排放量未超标，汽车的保有量在一定范围内还可
增加。
② a w =，表明汽车的废气排放量刚刚好达到最大值，汽车的保有量达到 大值，不可以再增加。
③ a w >，表明汽车废气排放量已经超标，必须调整汽车保有量和公交车保
有量，以减少废气排放量。
通过以上模型分析，降低各项污染物的排放量只要调整A 与B 的比例关系或提高汽车性能以降低汽车的污染物的排放量。若题目已知该地区的小汽车在一公里内的总排污量，则通过三个调控模型进而可以对公交车于该地区私人汽车的保有量进行调控.
七、模型的评价：
多变量灰色预测模型广泛应用于许多领域，但该模型参数估计以及预测都需要经过比较复杂的计算。本文中第三个模型使用了大家所熟悉的主成分分析法，各因子的权重不是人为确定的，而是根据各因子的贡献率大小确定的。这就克服
了某些评价方法中人为确定权重的缺陷，使得模型客观合理、形式简单、可靠性强。本文的不足有以下几点：
(1)对各种算法了解甚少，文章中可能包含一些不完善或错误之处
(2)由于历史数据有限，我们在预测的过程中，预测精度受到了限制。
(3)在问题二中，对公交车与小汽车的废气排放标准没有考虑太全面，因此使得
问题二的模型具有了很多局限性。
八附录:
1、x=1996:1:2008;
y=[3.1 3.6 4.2 4.8 6.7 9.1 13 18.9 29.0 51.1 78.2 103.5 128];
a=polyfit(x,y,2);
y10=polyval(a,2010);
x0=1996:0.5:2010;
y0=6076182.57103374+1.52077922087997*x0.^2-6079.64945095313*x0.^1 ;
plot(x0,y0,x,y,'*');
xlabel('时间');
ylabel('汽车保有量');
2、灰色预测中MATLAB程序
k=input('输入k');% 令1996年为第一年
i=input('输入i');% 预测第k年的第i个因素
load('data.txt'); %data.txt为包含原始数据的文本文档
x=data(:,i);
[n,m]=size(x);
for j=1:m c=0;
for i=1:n
c=x(i,j)+c;
x1(i,j)=c;
end
end
for j=1:m
for i=1:n-1
l(i,j)=(x1(i,j)+x1(i+1,j))/2;
end
end
L=[l ones(n-1,1)];
for j=1:m
y(1:n-1,j)=x(2:n,j);
a(:,j)=inv(L'*L)*L'*y(1:n-1,j);
end
a=a';
A=a(1:end,1:end-1);
B=a(1:end,end);
s=x1(1,1:end);
if k==1
z=s'
elseif k>1
z=expm(A*(k-1))*s'+inv(A)*(expm(A*(k-1))-eye(size(expm(A* (k-1)))))*B-(expm(A*(k-2))*s'+inv(A)*(expm(A*(k-2))-eye(s ize(expm(A*(k-2)))))*B)
else disp('输入错误，k不得小于1')
end
3、1996-2008年关于私人汽车保有量的有关数据
1996-2008年关于私人汽车保有量的有关数据
年份人均国
内生产
总值(附
表：
元)
全社会
消费品
零售总
额(亿
元)
全社会
固定资
产投资
总额(亿
元)
运营
公交
车辆
数
（辆）
公交营
运总数
(亿人
次)
城市
交通
干线
噪音
均值
(分贝)
公交
车营
运总
里程
(万公
里)
道路
总长
(公里)
居民人
均可支
配收入
（元）
居民储
蓄款余
额(亿
元)
汽油
(93号)
年均
价(元
/升)
私人
汽车
保有
量(万
辆)
1996 27000297.35 327.53 2658 6.31 68.3 15948 737 16316 583.89 1.96 3.1 1997 30619325.00 390.51 2763 6.94 69.6 17130 789 18600 707.67 2.28 3.6 1998 33282423.00 474.63 2801 5.73 69.7 17866 894 19886 861.88 2.32 4.2 1999 33689 467.57 569.55 2887 7.76 69.8 18961 1015 20249 941.99 2.38 4.8 2000 41020 538.17 616.25 2920 8.23 69.7 19688 1198 21626 1082.6 2.73 6.7 2001 43344 832.04 686.37 3495 8.87 68.3 24465 1361 23544 1373.4 2.89 9.1 2002 46030 941.94 788.15 3495 9.57 68.2 24814 1710 24941 1756.5 2.82 13 2003 53887 1095.13 969.1 4885 9.65 68.7 36149 2100 25936 2199.5 3.08 18.9 2004 59271 1250.64 1092.6 5376 10.11 69.2 43008 2314 26596 2625.4 3.56 29 2005 64507 1437.67 1176.1 6091 15.05 69.2 51946 2500 28494 3229.4 3.98 51.1 2006 70597 1671.29 1273.7 7305 16.81 69.2 65745 2614 29628 3744.7 4.98 78.2 2007 792211905.0313********.669.1703462798300633792.6 5.1103.5
2008 788122207.88927.16832820.5269.3710882964309043951.6
4
5.21128
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