第二节 随机变量及其分布
考纲解读
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。
3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。
命题趋势探究
1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。
2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。
3.有关正态分布的考题多为一道小题。
知识点精讲
一、条件概率与独立事件
（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作
()P B A ，条件概率公式为()=
P B A ()()
P AB P A 。
（2）若()=P B A P
B （），即()=()()P AB P A P B ,称A 与B 为相互独立事件。 A 与B 相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。即,A B 相互独立，则有公式
()=()()P AB P A P B 。
（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A 在其
中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()
1n k
k k
n n P k C p p -=- .
二、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质 （1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.
表13-1
ξ
1ξ 2ξ
3ξ
… n ξ
P
1p
2p
3p
n p
①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ; ②121n p p p ++
= .
（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+. （3）D ξ表示ξ的方差：()
()()2
22
1122=---n n E p E p E p D ξξ
ξξξξξ++
+，反映随机变量
ξ取值的波动性。D ξ越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量ξη，满足
=a b ηξ+，则2=D a D ηξ。
三、几种特殊的分布列、期望、方差 （1）两点分布（又称0，1分布）
E ξ=p ，D ξ=()1p p - .
件发生的概率为p ()01p <<，则
（2）二项分布：若在一次实验中事
在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ= ()1n k
k k
n C p p --()0,1,2,,k n =?，
称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ ~(),B n p ，E ξ=np ，D ξ=()1p p -. （3）几何分布：若在一次实验中事件发生的概率为()01p p << ，则在n 次独立重复实验中，在第k 次首次发生的概率为()()
1
1k p k p p -=- ，1,2,k =?， 1=
E p
ξ。 （4）超几何分布：总数为N 的两类物品，其中一类为M 件，从N 中取n 件恰含M 中的m
件，0,1,2,m k =? ，其中k 为M 与n 的较小者，()=P m ξ=m n m
M N M
n
N
C C C --，称ξ 服从参数为,,N M n 的超几何分布，记作ξ ~(),,H N M n ，此时有公式=E nM
N
ξ。
四、正态分布
（1）若X 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为()()2
2
21e
2x f x μσπσ
--
=
? ，
x R ∈ （其中,μσ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞）。
ξ 0 1
P
1-p
p
其图像如图13-7所示，有以下性质：
①曲线在x 轴上方，并且关于直线x μ=对称；
②曲线在x μ=处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
③曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”； ④()f x 图像与x 轴之间的面积为1.
（2）E ξ=μ ，D ξ=2
σ ，记作ξ ~()
2,N μσ.
当0,1μσ==时， ξ服从标准正态分布，记作ξ ~()0,1N .
（3）ξ ~()
2
,N μσ，则ξ在(),μσμσ-+，
()2,2μσμσ-+，()3,3μσμσ-+上
取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的3σ原则。
题型归纳及思路提示
题型178 概率的计算
思路提示
要分析题中事件是独立事件、互斥事件还是对立事件，然后考虑用相应的概率公式计算，若A ，B 为独立事件，则有()()()P A B P A P B =
，
若A,B 为互斥事件，则
()()()P A B P A P B ?=+ ，若A ，B 为对立事件，则()()1P A P B += ，如果为条件概
率，则需选用条件概率公式()
=
P B A ()()
P AB P A 计算（其中A ，B 为两个事件，()
P B A 表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率）。
例13.7 甲乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲乙各胜1局。
（1）求再赛2局结束这次比赛的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率。
分析：前2局中甲乙各胜1局是已发生的事情，计算其后的概率不考虑已发生的情况。 解析：（1）一局中甲胜记为A ，则再赛2局比赛结束，意味着甲或乙连胜2局，故此事件可表示A A
A A ，由AA 与AA 互斥，并考虑比赛结果互斥，所以有
22()()()0.60.40.52.P AA AA P AA P AA =+=+=
（2）甲获胜可表示为AA
AAA AAA ，从而P （甲获胜）
()()()22==0.6+0.40.62=0.648P AA P AAA P AAA ++?? .
评注：只要分析清楚比赛的可能进程，将问题“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用概率的加法公式与乘法公式时，要注意正确运用事件的互斥性、独立性等，即可按顺序完成解答。 变式1 甲乙丙射手击中目标的概率分别为0.6，0.7，0.8，求： （1）甲乙丙3人各射击一次，恰一人击中目标的概率； （2）3人各射击一次，至少一次击中目标的概率；
（3）每人射击3次，甲乙丙击中次数依次为1、2、3次的概率（甲乙丙每次击中目标与否相互独立）。
变式2 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定：两人面试都合格就一周签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是
1
2
，且面试是否合格互不影响，求： （1）至少一人面试合格的概率； （2）没人签约的概率。
例13.8 如图13-8所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”。则（1）()P A =_________;（2）()
P B A =_________.
解析： （1）由题意可得，事件A 发生的概率为14
. （
2
）
事
件
AB 表示“豆
子
落
在
E O H ?内”，则
()1(AB)1
=(B|A)2(A)4
EOH O P P AB P P S S π?=
==圆，故 。 变式1 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 表示“取到的两个数之和为偶数”，事件B 表示“取到的2个数均为偶数”，则()
P B A =（ ） A.
18 B. 14 C. 25 D. 12
变式2 甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以123,,A A A 表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________.
（1）()25P B =
； （2）()15
11
P B A = ；
2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V =0)。
(1)求V =0的概率；
(2)求V 的分布列及数学期望EV 。
变式2 某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区。设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任意4位申请人中：
(1)恰有2人申请A 片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列和期望。 例13.10(2013北京理16)
如图13-10所示是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3
月13日中的某一天到达该市，并停留2天。
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。
分析：(1)重度污染的只有2天，由于到达的日期是随机的，根据古典概型求解；(2)随机变量X=0,1,2，根据图表中连续2天的空气质量指数求出X=0,1,2对应的基本事件个数，根据古典概型可得其分布列，然后使用数学期望的公式计算其数学期望。
解析：设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13)。
根据题意，()
1 13
i
P A=，且A i∩A j=?(i≠j)。
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A5∪A8。
所以()()()()
5858
2 13
P B P A A P A P A
==+=。(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且
P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=
4 13
，
P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=4
13，
P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=5
13
,
所以X的分布列为:
X0 1 2
P
5
13
4
13
4
13
故X的期望EX=0?5
13
+1?
4
13
+2?
4
13
=
12
13
。
变式1 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，
除第五局甲队获胜的概率是1
2
外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是
2
3
，假设各局比赛结果
相互独立。
(1)分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分；对方得1分。求乙队得分X的分布列及数学期望。
变式 2 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历。假定
该毕业生得到甲公司面试的概率为2
3，得到乙、丙两公司面试的概率为p ，且三个公司是否
让其面试是相互独立的。记X 为该毕业生得到面试的公司个数。若()1
012
P X ==
，则随机变量X 的数学期望E (X )=__________。
例13.11(2012天津理16)
现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择。为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏。
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用x ，y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|x -y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ。
解析：由题意可知，某个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为2
3
。
设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i =0,1,2,3,4)， 则()()()4412
C 33
i i i i P A -=。
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为()()()2224
128
C 3327
i P A ==。 (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B =A 3
∪A 4，由于A 3与A 4互斥，故()()()()()()3344
34441211C C 3339
P B P A P A =+=+=
。 (3)ξ的所有可能取值为0，2，4。
()()28027P P A ξ===
，()()()1340281P P A P A ξ==+=，()()()0417481
P P A P A ξ==+=， 随机变量ξ的分布列为 ξ 0
2
4
P
827 4081 1781
故84040148
024********
E ξ=?
+?+?=
。 评注：(1)运用独立重复试验的概率公式解题时常把所求的概率事件分拆为若干个事件，而每个事件均为独立重复试验；
(2)解第(3)问时要明确随机变量所取的每个值所表示的事件，否则就无法求出它的概率。
变式1 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3。设各车主购买保险相互独立。
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。 变式2 (2013辽宁理19)
现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。 (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题。设张同学答对每道甲类题的概率
都是35
，答对每道乙类题的概率都是4
5，且各题答对与否相互独立。用X 表示张同学答对题
的个数，求X 的分布列和数学期望。
例13.12某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别。公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料。若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元。令X 表示此人选对A 饮料的杯数。假设此人对A 和B 没有鉴别能力。
(1)求X 的分布列；
(2)求此员工月工资的期望。
解析：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
()444
4
8
C C C i i
P X i -==(i =0,1,2,3,4)，故X 服从N =8，M =4，n =4的超几何分布，即X 的分布列为：
X 0
1
2
3
4
P
170 835 1835 835 170
(2)令Y 表示此员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100，2800，3500， 则()()13500470
P Y P X ====
， ()()82800335P Y P X ====， ()()532100270
P Y P X ==≤=， 则()1853
3500280021002280703570
E Y =?
+?+?=， 所以此员工月工资的期望为2280元。 例13.13(2012全国新课标理18)
某花店每天以每5枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N)的函数解析式。
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理后如表13-2所示：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列，数学期望及方差；
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？ 请说明理由。
解析：(1)当日需求量n ≥16时，利润y =80， 当日需求量n <16时，利润y =10n -80，
所以关于n的函数解析式为
1080,
80,
n
y
-
?
=?
?
16
16
n
n
<
≥
(n∈N)。
(2)(i)X可能的取值为60，70，80，且P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7，
所以X的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
X的数学期望EX=60?0.1+70?0.2+80?0.7=76，
X的方差DX=(60-76)2?0.1+(70-76)2?0.2+(80-76)2?0.7=44。
(ii)答案一：花店一天应购进17枝玫瑰花，理由如下：
若花店一天应购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，
那么Y的分布列为：
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
Y的数学期望E(Y)=55?0.1+65?0.2+75?0.16+85?0.54=76.4。
结合(i)可知，E(X) 答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花，理由如下： 若花店一天应购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)， 那么Y 的分布列为： Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的方差 D(Y)=(55-76.4)2?0.1+(65-76.4)2?0.2+(75-76.4)2?0.16+(85-76.4)2?0.54=1112.04。 由以上的计算结果可以看出，D(X) 另外，虽然E(X) 变式1 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需要量的频率分布直方图，如图13-11所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以X(单位：t，100≤x≤150)表示市场需要量，T表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 (1)将T表示为X的函数； (2)根据直方图估计利润了不少于37000元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需要量取该区间中点值的概率(例如：若X∈[100,110)，则取X=105，且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望。 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 O100 110 120 130 140 150 t 图13-11 频率/组距 变式2 某算法的程序框图如图13-12所示，其中输入的变量x在1，2，3， (24) 24个整数中等可能随机产生。 (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i=1,2,3)； (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运算n次后，统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数。表13-3和表13-4分别是甲、乙所作频数统计表的部分数据。 表13-3 甲的频数统计表(部分) 运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数 30 14 6 10 ………… 2100 1027 376 697 表13-4 乙的频数统计表(部分) 运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数 30 12 11 7 ………… 2100 1051 696 353 当n=2100时，根据表中的数据，分别求出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位编写程序符合算法要求的可能性较大； (3)按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望。 题型 180正态分布 思路提示 正态分布概率密度函数 () () 2 2 μ 2σ 1 e 2πσ x f x - - =，记为X～N(μ,σ2)，概率计算 否 是 否 开始 x能被3整除？ 输出y P P 输入x 结束 图11-5 是 3 y= 2 y=x为偶数? 1 y= P (a ≤X ≤b )=Φ(b )-Φ(a )，期望E (X )=μ，D (X )=σ2 ，要明确密度函数曲线是关于直线x =μ对称，曲线y =?(x )与x 轴之间面积为1。 例13.14如图13-13所示为正态分布N (0,1)密度曲线图，则①()1 2a -Φ-，②Φ(-a )， ③()12a Φ-，④[()()]1 2 a a Φ-Φ-中能表示图中阴影部分面积的个数为( )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解析：()()()()1 -00----2S P a x P x P x a a =≤≤=≤≤=Φ影，故①正确； ②若成立()()12S a a =-Φ-=Φ-?()1 4 a =Φ-，不一定成立，故②不正确； ③()()()()1 002 a P x a P x P x a Φ-=≤-≤=≤≤，由对称性可知，P (0≤x ≤a )=P (-a ≤x ≤0)， 故③成立，③正确； ④[()()][()()]()1111 22222 a a P x a P x a P a x a S S Φ-Φ-=≤-≤-=-<≤=??=成立，④正确。故选C 。 变式1 随机变量ξ～N (2,9)，P (ξ≥c +1)=P (ξ≤c -1)，c =( )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式2 已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2 )，且P (ξ<4)=0.8，则P (0<ξ<2)=( )。 A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 例13.15 某自动打包机打包商品每包重Xk g ，X ～N (100,1.22 )，共1500包。求： (1)X ∈(100-1.2,100+1.2)，X 有多少包？ (2)X ∈(100-2?1.2,100+2?1.2)，X 有多少包？ (3)X ∈(100-3?1.2,100+3?1.2)，X 有多少包？ 解析：μ=100，σ=1.2，所给区间为(μ-σ，μ+σ)，(μ-2σ,μ+2σ)，(μ-3σ，μ+3σ)，由正态分布3σ原则有： (1)1500?0.683=1025(包)。 (2)1500?0.954=1431(包)。 (3)1500?0.997=1496(包)。 评注：本题考查了正态分布的3σ原则。 变式1 两个正态分布N 1(μ1,σ12)，N 2(μ2,σ22 )(σ1>0,σ2>0)的密度函数图像如图13-14所示，则有( )。 A. μ1<μ2，σ1<σ2 B . μ1<μ2，σ1>σ2 C. μ1>μ2，σ1<σ2 D. μ1>μ2，σ1>σ2 a -O a x 图 13-13 y 变式 2 以Φ(x )表示标准正态总体在区间(-∞,x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态 分布N (μ,σ2 )，则概率P (|ξ-μ|<σ)等于( )。 A. Φ(μ+σ)-Φ(μ-σ) B. Φ(1)-Φ(-1) C. ()1μσ -Φ D. 2Φ(μ+σ) 变式3 (2012全国新课标理15) 某一部件由三个电子元件如图13-15所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态 分布N (1000,502 )，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 . 最有效训练题54(限时40分钟) 1. 设随机变量ξ～B (8,1 2 )，则P (ξ=3)等于( )。 A. 716 B. 316 C. 732 D. 332 2. 在运动会上，小明参加了乒乓球和网球两个项目的比赛，获得乒乓球冠军的概率是34，获得网球冠军的概率是1 2 ，则小明获得冠军个数ξ的数学期望是( )。 A. 5 4 B. 1 C. 2 D. 58 3. 设某批产品合格率为34，不合格率为1 4 。现对该产品进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X =3)等于( )。 A. ()2 2313C 44 ?? B. ()2 2331C 44 ?? C. ()21344? D. ()231 44 ? 4. 已知某一个随机变量ξ的分布列如表13-5所示，且E ξ=6.3，则a 的值为( )。 原件1 原件2 原件3 图 13-15 2 222(,)N μσ 2111(,)N μσ O x 1x μ= 2x μ= 图 13-14 ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b 5. 设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，P (ξ>1)=p ，则P (-1<ξ<0)等于( )。 A. 12p B. 1-p C. 1-2p D. 1 2 p - 6. 甲、乙两人下棋，甲单场获胜的概率为0.6，没有平局，且不同场次胜负相互独立。规定先胜3场者获胜，现已知前两场比赛甲、乙各胜一场，则甲最终获胜的概率为( )。 A. 0.432 B. 0.288 C. 0.648 D. 0.6 7. 设随机变量ξ的分布列为()10i P i ξ==(i =1,2,3,4)，则()17 22 P ξ<<=________。 8. 若随机变量ξ～B (n ,p )，且43E ξ= ，8 9 D ξ=，则P (ξ=2)=______。 9. 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P (ξ=0)=_______。 10.已知随机变量X ，Y ，其中Y =12X +7，且E (Y )=34，若X 的分布列如表13-6所示。 表13-6 X 1 2 3 4 P 14 m n 112 则m 的值为________。 11.甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率为3 5 ， 乙能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)减5分，至少得15分才能入选。 (1)求乙得分的分布列和数学期望； (2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率。 12.某游乐场将要举行狙击移动靶比赛，比赛规则是：每位选手可选择在A 区射击3次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次，则得3分，射不中得0分；在B 区每射中一次得2分，射不中得0分。已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别为 1 4 和p (0 (1)若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率； (2)我们把在A ，B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围。 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否 绝密 ★ 启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试 文 科 数 学（二） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合2{log (1)0}A x x =-<，则R C A =（ ） A.(,1]-∞ B.[2,)+∞ C.(,1) (2,)-∞+∞ D.(,1][2,)-∞+∞ 2.若复数z 满足(23)13i z +=，则复平面内表示z 的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数11 ()22 x f x e x = --的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4.在ABC ?中，90B ∠=?，(1,2)AB =，(3,)AC λ=，λ=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，()()2a b c a c b ab +-++=，则角C 的正弦值为（ ） A. 1 2 D.1 6.双曲线2 2 1mx ny -=（0mn >）的一条渐近线方程为1 2 y x = ，则它的离心率为（ ） D.5 7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为1-，则判断框中可以填入的条件是（ ） A.999n ≥ B.999n ≤ C.999n < D.999n > 8.已知单位圆有一条直径AB ，动点P 在圆内，则使得2AP AB ?≤的概率为（ ） A. 12 B. 14 C. 2 4ππ - D. 2 4ππ + 9.长方体1111ABCD A B C D -，4AB =，2AD = ，1AA =11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ） A. 2 5 B. 35 C. 45 D. 12 10.将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象上所有点向左平移 38 π 个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一个对称中心是（ ） A.( ,0)3 π B.( ,0)4 π C.( ,0)6 π D.( ,0)2 π 11.已知()f x 是定义在R 上偶函数，对任意x R ∈都有(3)()f x f x +=且(1)4f -=， 则(2020)f 的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 此 卷 只 装 订不密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2018年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．（4分）行列式的值为． 2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为． 3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）． 4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=． 5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=． 8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴 上的两个动点，且||=2，则的最小值为． 9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）． 10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若 =，则q=． 11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=． 12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=， 则+的最大值为． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（） A．2 B．2 C．2 D．4 14．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（） A．4 B．8 C．12 D．16 16．（5分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x） 的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（） A．B．C．D．0 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2． 2018年高考理科全国三卷 一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则 面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( ) A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则 三．解答题 17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过 第一种生产方 式 第二种生产方 式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点 2019年高考数学押题卷及答案（共五套） 2019年高考数学押题卷及答案（一） 一.填空题（每题5分，共70分） 1. 复数(2)i i +的虚部是 2．如{}23,2a a a ∈-,则实数a 的值等于 3. 若函数1(),10()4 4,01x x x f x x ?-≤xy ，则|21||21|x y y x +++的最小值为 8．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则给出如下四个判断：正确的有 ①()()76f f > ②()()96f f > ③()()97f f > ④()()107f f > 9．已知角A 、B 、C 是ABC 的内角，,,a b c 分别是其对边长，向量2(23sin ,cos ),22A A m =，(cos ,2)2 A n =-，m n ⊥，且2,a =3cos 3 B =则b = 10．直线1x y a b +=通过点(cos ,sin )M αα,则2211a b +的取值范围为 11．已知()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=，且()f x 在区间(,)63 ππ有最小值，无最 2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积 的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ） 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 （ ） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+ 高考理科数学押题卷与答案 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数1226,2z i z i =+=-．若12,z z 在复平面内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则z =（ ） A ．5 B ．5 C ．25 D ．217 2. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 3. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为( ） A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定 4．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 设实数x ，y 满足约束条件，则当z=ax+by （a ＞0，b ＞0）取得最小值2时，则 的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ．2 6. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ） A ．22514++ B ．16214+ C ．8214+ D ．814+ 7. 已知函数()()2sin sin 3f x x x ?=+是奇函数，其中0,2π??? ∈ ??? ，则函 数()()sin 22g x x ?=+的图象 （ ） A.可由()f x 的图象向左平移6 π 个单位而得到 B.可由()f x 的图象向右平移6 π 个单位而得到 C.可由()f x 的图象向左平移3 π 个单位而得到 D.可由()f x 的图象向右平移 3 π 个单位而得到 8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳 县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值 的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示 程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个 实例，若输入x 的值为2，则输出v 的值为（ ） A.1021- B.102 C. 1031- D. 103 9. 一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为（ ） A.45 B.60 C.90 D.与点P 的位置有关 10．已知变量,x y 满足1311 x y x y ≤+≤??-≤-≤?，若目标函数2z x y =+取到最大值a ，则122a x ?? +- ???的展 开式中2 x 的系数为（ ） A ．-144 B ．-120 C ．-80 D ．-60 11.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ?的取值范围是（ ） A ．10,5? ? ??? B ．11,53?? ??? C ．1,3??+∞ ??? D ．1,5??+∞ ??? 12．已知函数()1,()ln ,x f x e ax g x x ax a =--=-+若存在0(1,2)x ∈，使得00()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为( ) A ．21 (ln 2,)2 e - B ．(ln 2,1)e - C ．[)1,1e - D ． 211,2e ??-???? 第Ⅱ卷（共90分） '. 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 20（12分）21（12分）选做题（本小题满分10分） 请考生从给出的22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所 选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做 的第一题计分。 我所选择的题号是[22] [23] 文科数学答题纸第2页——共2页 '. 19.（12分） 2018年普通高等学校全国统一招生考试 文科数学答题卡 姓 名： 准考证号： 选择题 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 1、 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚， 并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2、 选择题必须用2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3、 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区 域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4、 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第I 卷 选择题 二、填空题（20分） 13（5分） 14（5分） 15（5分） 16（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17（12分） x √ 一 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 18（12分） 接（17题） 文科数学答题纸 第1页——共2页 第Ⅱ卷 非选择题 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 2018年数学高考全国卷3答案 参考答案： 13. 14. 15. 16.2 17.(12分) 解：（1）设的公比为，由题设得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，则.由得，此方 程没有正整数解. 若，则.由得，解得. 综上，. 18.（12分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 12 3-3{}n a q 1 n n a q -=4 2 4q q =0q =2q =-2q =1 (2)n n a -=-1 2n n a -=1 (2) n n a -=-1(2)3 n n S --= 63 m S =(2) 188 m -=-1 2n n a -=21 n n S =-63 m S =2 64 m =6m =6m = （ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下： 7981 802 m +== 2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅰ卷 理科数学 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出得四个选项中, 只有一项就是符合题目要求得。 1、设,则 A 、0 B 、 C 、1 D 、 2、已知集合则 A 、 B 、 C 、 D 、 3、某地区经过一年得新农村建设,农村得经济收入增加了一倍,实现翻番、为更好地了解该地区农村得经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村得经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论不正确得就是 A 、新农村建设后,种植收入减少 B 、新农村建设后,其她收入增加了一倍以上 C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入得总与超过了经济收入得一半 4、记为等差数列得前项与、若则 A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数若为奇函数,则曲线在点处得切线方程为 A 、 B 、 C 、 D 、 6、在中,AD 为BC 边上得中线,E 为AD 得中点,则 A 、 B 、 C 、 D 、 7、某圆柱得高为2,底面周长为16,其三视图如右图、 圆柱表面上得点M 在正视图上得对应点为A,圆柱表 面上得点N 在左视图上得对应点为B,则在此圆柱侧 面上,从M 到N 得路径中,最短路径得长度为 A 、 B 、 C 、3 D 、2 8、设抛物线C:得焦点为F,过点且斜率为得直线与C 交于M,N 两点,则 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 9.已知函数若存在2个零点,则得取值范围就是 A 、 B 、 C 、 D 、 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究得几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆得直径分别为直角三角形ABC 得斜边BC,直角边AB,AC 、 得三边所围成得区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ、在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ得概率分别记为则 60% 30% 6% 4% 种植收入 第三产业收入 其她收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 37% 30% 28% 5% 种植收入 养殖收入 其她收入 第三产业收入 建设后经济收入构成比例 A B 绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学（一） 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数()i z a a =+∈R 的共轭复数为z ，满足1z =，则复数（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i + D ．i 【答案】D 【解析】根据题意可得，i z a =-，所以211z a =+=，解得0a =，所以复数i z =． 2．集合()1=0,sin 12A θθ??∈π????＜≤，14B ???? π=< 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1 2i 1 2i 4 3 4 3 i 3 4 3 4 A ． i B ． 5 C ． i D ． i 5 5 5 5 5 5 5 2．已知集合 A x ，y x 2 y 2≤3 ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9 B ． 8 C ． 5 D ． 4 3．函数 f e x e x 的图像大致为 x x 2 A B C D 4．已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b ) A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 2 2 5．双曲线 x 2 y 2 1( a 0, b 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a b A ． y 2x B ． y 3x C ． y 2 D ． y 3 x x 2 2 6．在 △ABC 中， cos C 5 ，BC 1 ， AC 5，则 AB 开始 2 5 N 0,T A ．4 2 B ． 30 C ． 29 D ．2 5 i 1 1 1 1 1 1 7．为计算 S 1 3 ? 99 ，设计了右侧的程序框图，则在 是 100 否 2 4 100 i 空白框中应填入 1 A ． i i 1 N N S N T i B ． i i 2 T T 1 输出 S i 1 C ． i i 3 结束 D ． i i 4 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 1 B ． 1 1 1 A ． 14 C ． D ． 12 15 18 ABCD A B C D AD DB 2019年高考理科数学押题卷与答案 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共23题。 2. 试卷满分150分，考试时间120分钟。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数1226,2z i z i =+=-．若12,z z 在复平面内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则z =（ ） A ．5 B ．5 C ．25 D ．217 2. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 3. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为( ） A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定 4．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 设实数x ，y 满足约束条件，则当z=ax+by （a ＞0，b ＞0）取得最小值2时，则 的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ．2 6. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ） A ．22514++ B ．16214+ C ．8214+ D ．814+ 7. 已知函数()()2sin sin 3f x x x ?=+是奇函数，其中0,2π??? ∈ ??? ，则函数()()sin 22g x x ?=+的图象 （ ） A.可由()f x 的图象向左平移6 π 个单位而得到 B.可由()f x 的图象向右平移6 π 个单位而得到 C.可由()f x 的图象向左平移3 π 个单位而得到 D.可由()f x 的图象向右平移 3 π 个单位而得到 8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳 县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值 的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示 程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个 实例，若输入x 的值为2，则输出v 的值为（ ） A.1021- B.102 C. 1031- D. 103 9. 一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为（ ） A.45o B.60o C.90o D.与点P 的位置有关 10．已知变量,x y 满足1311 x y x y ≤+≤??-≤-≤?，若目标函数2z x y =+取到最大值a ，则122a x ?? +- ???的展 开式中2 x 的系数为（ ） A ．-144 B ．-120 C ．-80 D ．-60 11.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ?的取值范围是（ ） A ．10,5? ? ??? B ．11,53?? ??? C ．1,3??+∞ ??? D ．1,5??+∞ ??? 12．已知函数()1,()ln ,x f x e ax g x x ax a =--=-+若存在0(1,2)x ∈，使得00()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为( ) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 20（12分）21（12分）选做题（本小题满分10分） 请考生从给出的22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所 选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做 的第一题计分。 我所选择的题号是[22] [23] 文科数学答题纸第2页——共2页 19.（12分） 2018年普通高等学校全国统一招生考试 文科数学答题卡 姓 名： 准考证号： 选择题 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 1、 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚， 并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2、 选择题必须用2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3、 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区 域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4、 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第I 卷 选择题 二、填空题（20分） 13（5分） 14（5分） 15（5分） 16（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17（12分） x √ 一 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 18（12分） 接（17题） 文科数学答题纸 第1页——共2页 第Ⅱ卷 非选择题 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 姓名： 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（） A．0 B．C．D． 2．已知集合，则（） A．B． C．D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和．若，，则（） A．B．C．D．12 5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则（） A．B． C．D． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为， 则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（） A．B．C．D．2 8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点， 则（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D． 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成 的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一 点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（） A．B．C．D． 11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（） A．B．3 C．D．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A．B．C．D． 2018全国Ⅲ卷高考押题卷 文科数学 本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合M ＝{}4x x ≤，N ＝{} 2log x y x =，则M N ?=（ ） A ．[)4,+∞ B ．(],4-∞ C ．()0,4 D ．(]0,4 2. “1a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. z 为复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，且1i z i ?=-，则复数z 的虚部为( ) A ．i - B ．-1 C ．i D ．1 4. 下列说法中正确的是 A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽 取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为 150,100 ,50+++m m m 的学生，这样的抽样方法是分层抽样法 B. 线性回归直线a x b y ???+=不一定过样本中心点),(y x C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1 D.若一组数据1、a 、3的平均数是2，则该组数据的方差是 32 5. 已知命题p :),0(0+∞∈?x ,使得0 0169x x -=，命题q : +∈?N x ,0)1(2>-x 都有，则下列命题为真命题的是（ ） A.q p ∧ B.q p ∨?)( C.()q p ??∧)( D.())(q p ??∨ 6. 若3cos()45 πα-=，则s 2in α=（ ） A ． 725 B ．37 C.35- D ．35 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--,则A B =I A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{2,1,0,1,2}-- 2．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．已知椭圆22214 x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为 A ．1 3 B ． 12 C D 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ． B ．12π C ． D ．10π 6．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144A B A C -u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 8．已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧 面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ． B ． C ．3 D ．2 10．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?， 则该长方体的体积为 A ．8 B ． C ． D ．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ， (2,)B b ，且2 cos23α= ，则||a b -= A ．15 B C D ．1 12．设函数2,0, ()1,0,x x f x x -?=?>? ≤ 则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．(0,)+∞ C ．(1,0)- D ．(,0)-∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2018年高考理科数学试题及答案-全国卷2
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