1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(3)x n n δ=- （2）211
()(1)()(1)22
x n n n n δδδ=
+++- （3）3()(),01n
x n a u n a =<<
（4）4()(3)(4)x n u n u n =+--
2、 设()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求
下列各序列的离散时间傅里叶变换。 （1）()()(1)g n x n x n =-- （2）()*()g n x n = （3）()*()g n x n =- （4）()(2)g n x n = （5）()()g n nx n = （6）2()()g n x n =
（7）(),
()2
0,
n x n g n n ??=???为偶数为奇数
3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换
（1）1()(),||1n
x n a u n a =< （2）2()(),||1n
x n a u n a =->
（3）||3,
||()0,
n a n M x n n ?≤=?
?为其他
（4）4()(3),||1n
x n a u n a =+<
（5）501()()(3)4
n m x n n m δ∞
==
-∑ （6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ????
=?
???????
4、 设()x n 是一有限长序列，已知
1,2,0,3,2,1,
0,1,2,3,4,5()0,
n x n n --=?=?
?为其他
它的离散傅里叶变换为()j X e ω
。不具体计算()j X e ω
，试直接确定下列表达式的值。 （1）0
()j X e （2）()j X e π （3）()j X e
d π
ω
πω-
?
（4）
2|()|j X e d π
ωπ
ω-
?
（5）2
()|
|j dX e d d ωπ
πωω
-? 5、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）11,
||()0,
n N x n n ≤?=?
?为其他
（2）21||/,
||()0,
n N n N x n n -≤?=?
?为其他
（3）3cos(
),||()20,
n n N x n N
n π?
≤?=???为其他
6、证明：若()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而
1(),
()0,
n n
x x n k
k
??=???为整数
其他
则1()()j j X e X e ωω
=。
7、设序列()()x n u n =，证明()x n 的离散时间傅里叶变换为
1
()(2)1j j l X e l e ω
ωπδωπ∞
-=-∞
=+--∑
8、如图所示四个序列，已知序列1()x n 的离散时间傅里叶变换为1()j X e ω，试用1()j X e ω
表示其
他序列的离散时间傅里叶变换。
9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即
221|()||()|2j n x n X e d π
ωπ
ωπ
∞
-
=-∞
=
∑?
10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即
()
[()]j dX e DTFT nx n j d ωω
=
式中，()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换。 11、证明：
（1）若()x n 是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω
是ω的实偶函数。 （2）若()x n 是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω是ω的虚奇函数。
12、设4()()x n R n =，试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。
13、设实序列()x n 的偶对称序列1
()[()()]2
e x n x n x n =
+-，奇对称序列1
()[()()]2
o x n x n x n =--，试证明
2
2
2
|()|
|()|
|()|
e
o
n n n x n x n x n ∞
∞
∞
=-∞
=-∞
=-∞
=
=
∑∑∑
14、设实序列()x n 的波形如图所示，
（1）试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。 （2）设序列1()()()e o x n x n x n =+，式中，()e x n 和()o x n 为（1）所求结果。画出1()x n 的波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？
（3）分别求序列()x n 、()e x n 和()o x n 的离散时间傅里叶变换()j X e ω
、()j e X e ω和()j o X e ω，分析()j X e ω
、()j e X e ω和()j o X e ω的实部Re{()}()j j R X e X e ωω=、虚部
Im{()}()j j I X e X e ωω=的关系。
15、已知序列()()(01)n
x n a u n a =<<，试分别求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称
序列()o x n 的离散时间傅里叶变换()j e X e ω和()j o X e ω
。
16、若序列()x n 是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω
的实部()j e X e ω为 ()1cos j R X e ω
ω=+
求序列()x n 及其离散时间傅里叶变换()j X e ω
。
17、若序列()x n 是实因果序列，(0)1x =，
已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω
的虚实部()j I X e ω为
()sin j I X e ω
ω=-
求序列()x n 及其其离散时间傅里叶变换()j X e ω
。 18、如果()x n 是实序列，试证明*()()j j X e X e
ω
ω
-=
19、设()x n 是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为()j X e ω
，若序列()y n 的离散时间傅里叶变换为
221(){()][()()]2
j j j Y e DTFT y n X e X e ωω
ω
-==+ 试求序列()y n 。
离散时间傅里叶变换习题解答：
1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(3)x n n δ=-
解：3()j j X e e ω
ω
-=
（2）211
()(1)()(1)22
x n n n n δδδ=
+++-
解：()1cos j X e ω
ω=+
（3）3()(),01n
x n a u n a =<<
解：1
()1j j X e ae
ω
ω
-=
- （4）4()(3)(4)x n u n u n =+--
解：771111()1cos cos 2cos32221j j j a e X e ae
ω
ω
ω
ωωω---=+++=- 2、 设()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求
下列各序列的离散时间傅里叶变换。 （1）()()(1)g n x n x n =--
解：()(1)()j j j G e e
X e ω
ω
ω-=-
（2）()*()g n x n =
解：()*()j j G e X e
ω
ω
-=
（3）()*()g n x n =-
解：()*()j j G e X e ω
ω
=
（4）()(2)g n x n =
解：()()j jn n G e x n e
ω
ω
∞
-=-∞
=
∑(2)jn n x n e
ω
∞
-=-∞
=
∑
令'2n n =，
'
2
'()(')jn j n G e x n e
ω
ω
-=
∑
为偶数
21[()(1)()]2jn n
n x n x n e ω
∞-=-∞
=+-∑
2211()()22j jn jn n X e x n e e ωωπ∞-=-∞=+∑()22211()()()22j j jn jn n X e X e x n e e ωωωππ
∞--=-∞
=+∑ （5）()()g n nx n =
解：
()()j dX e jnx n d ωω?-()()j j dX e G e j d ωω
ω
∴= （6）2
()()g n x n =
解：
1
()()*()2j j j G e X e X e ωωωπ
=
（7）(),
()2
0,
n x n g n n ??=???为偶数为奇数
解： ()()j jn n G e x n e
ω
ω
∞
-=-∞
=
∑22()()j m j m x m e
X e ω
ω∞
-=-∞
=
=∑
3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换
（1）1()(),||1n
x n a u n a =<
解： 1
()1j j X e ae ω
ω
-=
-
（2）2()(),||1n
x n a u n a =->
解： 11
()1j j X e a e
ω
ω
-=
- （3）||3,
||()0,
n a n M x n n ?≤=?
?为其他
解： ()()12Re[
]M
M
j jn n jn n jn n n M
n M
X e x n e
a e
a e
ω
ω
ω
ω
∞
---=-∞=-=-=
=
=+∑∑∑
122
1cos cos[(1)]cos 2Re[
]12112cos M M M
n jn n M
a a M a M a e
a a ω
ωωωω++-=---++=-=--+∑
2122
12cos[(1)]2cos 12cos M M a a M a M a a ωω
ω++--++=-+
（4）4()(3),||1n x n a u n a =+<33
(3),||1n a a u n a -+=+<
解： 3311
()1j j j X e a e
a e ωω
ω
--=-
（5）501()()(3)4n m x n n m δ∞
==-
∑301()(3)4
m
m n m δ∞
==-∑
解： 3333300111()()()(3)()1441()4
j jn m jn m j m j n n m m X e x n e
n m e e e ω
ω
ω
ωωδ∞
∞∞
∞
----=-∞
=-∞===
=-==-∑∑∑∑
（6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ????=?
???????1sin(/3)sin(/4)12/3/4n n n n ππππ????
=???????? 解：
2sin()
()c
c c c
n g n
ωωπ
ωωω?
23
2
sin(/3)sin(/4)3()
4()/3
/4
n n g g n n ππππωωππ∴
??
232
1
()()*()2j X e g g ωππωωπ∴=
10()124
77()[()]/2()/212
12
12412
j j X e X e ωωπ
ωπ
ππππ
ωωπωπ
∴≤≤
=
≤≤
=--+=-
1
,0412
()77()/2,12
1212
j X e ωπ
ωππ
π
ωπω?≤≤
???
?-≤≤??
4、 设()x n 是一有限长序列，已知
1,2,0,3,2,1,
0,1,2,3,4,5()0,
n x n n --=?=?
?为其他
它的离散傅里叶变换为()j X e ω
。不具体计算()j X e ω
，试直接确定下列表达式的值。 （1）0
()j X e
解：()()j jn n X e x n e
ω
ω
∞
-=-∞
=
∑ 5
()()1j n X e x n ==
=∑
（2）()j X e π
解：()()j jn n X e x n e
ω
ω
∞
-=-∞
=
∑ 5
()(1)
()1j n
n X e x n π
==
-=-∑
（3）
()j X e
d π
ω
πω-
?
解：1()()2j jn x n X e e d π
ωωπ
ωπ
-
=? ()2(0)2j X e d x π
ωπ
ωππ-==-?
（4）
2|()|j X e d π
ωπ
ω-
?
解：
221|()||()|2j n x n X e d π
ωπ
ωπ
∞
-
=-∞
=
∑?
2
2
|()|2|()|
2(14941)38j n X e d x n π
ω
π
ωπ
ππ∞
-
=-∞
==++++=∑?
（5）2
()|
|j dX e d d ωπ
πωω
-? 解：
()()j dX e jnx n d ωω
?-
2
2()||2|()|2(01149916425)2174348j n dX e d jnx n d ωπ
πωππππω∞
-=-∞
==?+?+?+?+=?=∑?试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）11,
||()0,
n N x n n ≤?=?
?为其他
（2）21||/,
||()0,
n N n N x n n -≤?=?
?为其他
（3）3cos(
),||()20,
n n N x n N
n π?
≤?=???为其他
6、证明：若()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而
1(),
()0,
n n
x x n k
k
??=???为整数
其他
则1()()j j X e X e ωω
=。
7、设序列()()x n u n =，证明()x n 的离散时间傅里叶变换为
1
()(2)1j j l X e l e ω
ωπδωπ∞
-=-∞
=+--∑
8、如图所示四个序列，已知序列1()x n 的离散时间傅里叶变换为1()j X e ω，试用1()j X e ω
表示其
他序列的离散时间傅里叶变换。
9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即
2
21
|()||()|2j n x n X e
d π
ω
πωπ∞
-
=-∞
=
∑?
10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即
()
[()]j dX e DTFT nx n j d ωω
=
式中，()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换。 11、证明：
（1）若()x n 是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω
是ω的实偶函数。 （2）若()x n 是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω是ω的虚奇函数。
12、设4()()x n R n =，试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。
13、设实序列()x n 的偶对称序列1
()[()()]2
e x n x n x n =
+-，奇对称序列1
()[()()]2
o x n x n x n =--，试证明
2
2
2
|()|
|()|
|()|
e
o
n n n x n x n x n ∞
∞
∞
=-∞
=-∞
=-∞
=
=
∑∑∑
14、设实序列()x n 的波形如图所示，
（1）试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。 （2）设序列1()()()e o x n x n x n =+，式中，()e x n 和()o x n 为（1）所求结果。画出1()x n 的波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？
（3）分别求序列()x n 、()e x n 和()o x n 的离散时间傅里叶变换()j X e ω
、()j e X e ω和()j o X e ω，
分析()j X e ω
、()j e X e ω和()j o X e ω的实部Re{()}()j j R X e X e ωω=、虚部
Im{()}()j j I X e X e ωω=的关系。
15、已知序列()()(01)n
x n a u n a =<<，试分别求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称
序列()o x n 的离散时间傅里叶变换()j e X e ω和()j o X e ω
。
16、若序列()x n 是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω
的实部()j e X e ω为 ()1cos j R X e ω
ω=+
求序列()x n 及其离散时间傅里叶变换()j X e ω
。
17、若序列()x n 是实因果序列，(0)1x =，
已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω
的虚实部()j I X e ω为
()sin j I X e ω
ω=-
求序列()x n 及其其离散时间傅里叶变换()j X e ω
。 18、如果()x n 是实序列，试证明*()()j j X e X e
ω
ω
-=
19、设()x n 是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为()j X e ω
，若序列()y n 的离散时间傅里叶变换为
221(){()][()()]2
j j j Y e DTFT y n X e X e ωω
ω
-==+ 试求序列()y n 。
快速傅里叶变换实验报告
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ?
快速傅里叶变换实验报告 机械34班 刘攀 2０1３0105５8 一、 基本信号（函数)的FF Ｔ变换 1. 000()sin()sin 2cos36x t t t t π ωωω=+++ 1) 采样频率08s f f =,截断长度N ＝１６； 取02ωπ=ｒad/ｓ，则0f =1Hz ，s f =8Ｈz ，频率分辨率 f ?=s f f N ?= =0.5Hz 。 最高频率c f ＝30f =３Hz ，s f ＞2c f ,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 截断长度02T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下:
幅值误差0A ?=,相位误差0??=。 2) 采样频率08s f f =，截断长度N=3２; 取02ωπ=rad/s ，则0f =１Hz,s f ＝８Hz ，频率分辨率f ?=s f f N ?==０.2５Hz 。 最高频率c f =30f =3H ｚ,s f >２c f ,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 截断长度04T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下：
幅值误差0A ?=，相位误差0??=。 2. 00()sin()sin116x t t t π ωω=++ 1) 采样频率08s f f =,截断长度N=16； 取02ωπ=ra ｄ/s,则0f =１Hz ，s f =８Hz,频率分辨率f ?=s f f N ?==0．5H ｚ。 最高频率c f =110f =11H ｚ,s f <２c f ，故不满足采样定理，会发生混叠现象。 截断长度02T T =,整周期截取，不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。 频谱图：
1 / 7 信息工程学院实验报告 课程名称：信号与系统 实验项目名称：实验 3 傅里叶变换及其性质实验时间： 2013-11-29 班级： 姓名：学号： 一、实验目的: 1、学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换； 2、学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图； 3、学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 二、实验环境: 1、硬件：在windows 7 操作环境下； 2、软件：Matlab 版本7.1 三、实验原理： 3.1傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为：() [()] ()j t F F f t f t e dt ， 傅里叶反变换定义为： 1 1()[()] ()2 j t f t F F f e d 。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方法，下面分别加以探讨。同时， 学习连续时间信号的频谱图。 3.1.1 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )和ifourier( )。 Fourier 变换的语句格式分为三种。 （1）F=fourier(f)：它是符号函数 f 的Fourier 变换，默认返回是关于的函数。 （2）F=fourier(f,v) ：它返回函数F 是关于符号对象 v 的函数，而不是默认的 ，即 ()()j v t Fv fte d t 。 （3）F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的函数，即 ()()jvu F v f t e du 。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。（1）f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为 ，默认返回是关于 x 的函数。 （2）f=ifourier(F,u)：它返回函数 f 是u 的函数，而不是默认的 x 。 （3）f=ifourier(F,u,v) ：是对关于v 的函数F 进行反变换，返回关于 u 的函数f 。 成 绩： 指导教师（签名）：
河北联合大学 本科毕业设计（论文） 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日
题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.doczj.com/doc/875933205.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人
实验四：离散傅里叶变换 实验原理： DFT的快速算法FFT利用了的三个固有特性：（1）对称性（2）周期性（3）可约性。FFT算法基本上可以分为两大类，即按时间抽选法(DIT,Decimation-In-Time)和按频率抽选法(DIF,Decimation-In-frequency)。 MATLAB中提供了进行快速傅里叶变换的fft函数： X=fft(x)，基2时间抽取FFT算法，x是表示离散信号的向量；X是系数向量； X=fft(x,N),补零或截断的N点DFT，当x得长度小于N时，对补零使其长度为N，当x的长度大于N时，对x截断使其长度为N。 实验内容： =60; n=[0:1:k/2]; xa1=2*sin(10*pi*n/k)+cos(18*pi*n/k); subplot(321) stem(n,xa1) xlabel('N');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1) subplot(322) stem(n,xk1) xlabel('k');ylabel('X(k)'); n=[0:1:k*]; xa1=2*sin(10*pi*n/k)+cos(18*pi*n/k); subplot(323) stem(n,xa1) xlabel('N');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1) subplot(324) stem(n,xk1) xlabel('k');ylabel('X(k)'); n=[0:1:k*2]; xa1=2*sin(10*pi*n/k)+cos(18*pi*n/k); subplot(325) stem(n,xa1) xlabel('N');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1) subplot(326) stem(n,xk1) xlabel('k');ylabel('X(k)');
数字信号处理实验 实验二、离散傅立叶变换及谱分析 学院：信息工程学院 班级：电子101班 姓名：*** 学号：******
一、实验目的 1．掌握离散傅里叶变换的计算机实现方法。 2．检验实序列傅里叶变换的性质。 3．掌握计算序列的循环卷积的方法。 4．学习用DFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差，以便在实际中正确应用DFT。 二、实验内容 1．实现序列的离散傅里叶变换并对结果进行分析。（自己选择序列，要求包括复序列，实序列，实偶序列，实奇序列，虚奇序列） 本例检验实序列的性质DFT[xec(n)]=Re[X(k)] DFT[xoc(n)]=Im[X(k)] (1)设 x(n)=10*(0.8).^n（0<=n<=10），将x(n)分解为共扼对称及共扼反对称部分 n=0:10; x=10*(0.8).^n; [xec,xoc]=circevod(x); subplot(2,1,1);stem(n,xec); title('Circular -even component') xlabel('n');ylabel('xec(n)');axis([-0.5,10.5,-1,11]) subplot(2,1,2);stem(n,xoc); title('Circular -odd component') xlabel('n');ylabel('xoc(n)');axis([-0.5,10.5,-4,4]) figure(2) X=dft(x,11); Xec=dft(xec,11); Xoc=dft(xoc,11); subplot(2,2,1);stem(n,real(X));axis([-0.5,10.5,-5,50]) title('Real{DFT[x(n)]}');xlabel('k'); subplot(2,2,2);stem(n,imag(X));axis([-0.5,10.5,-20,20]) title('Imag{DFT[x(n)]}');xlabel('k'); subplot(2,2,3);stem(n,Xec);axis([-0.5,10.5,-5,50]) title('DFT[xec(n)]');xlabel('k'); subplot(2,2,4);stem(n,imag(Xoc));axis([-0.5,10.5,-20,20]) title('DFT[xoc(n)]');xlabel('k'); 实验说明： 复数序列实数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的共轭对称分量，复数序列虚数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的反对称分量，复序列共轭对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的实数部分，复序列反对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的虚数部分。
XXXX大学 2012届学士学位论文 离散傅里叶变换的分析与研究 学院、专业物理与电子信息学院 电子信息工程 研究方向数字信号处理 学生姓名XX 学号 XXXXXXXXXXX 指导教师姓名XXX 指导教师职称讲师 2012年4月26日
离散傅里叶变换的分析与研究 XX 淮北师范大学物理与电子信息学院 235000 摘要离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。 关键词离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析
The Analysis and Research of Discrete Fourier Transform XX School of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing . This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal bandwidth, sampling frequency and intercept length. Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis
离散信号的变换（MATLAB 实验） 一、实验目的 掌握用Z 变换判断离散系统的稳定与否的方法，掌握离散傅立叶变换及其基本性质和特点，了解快速傅立叶变换。 二、实验内容 1、已经系统函数为 5147.13418.217.098.2250 5)(2342-++--+=z z z z z z Z H (1) 画出零极点分布图，判断系统是否稳定； (2)检查系统是否稳定； (3) 如果系统稳定，求出系统对于u(n)的稳态输出和稳定时间b=[0,0,1,5,-50];a=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147]; subplot(2,1,1);zplane(b,a);title('零极点分布图'); z=roots(a); magz=abs(z) magz = 0.9000 0.9220 0.9220 0.9900 n=[0:1000]; x=stepseq(0,0,1000); s=filter(b,a,x); subplot(2,1,2);stem(n,s);title('稳态输出'); （1）因为极点都在单位园内，所以系统是稳定的。 （2）因为根的幅值（magz ）都小于1，所以这个系统是稳定的。 （3）稳定时间为570。 2、综合运用上述命令，完成下列任务。 (1) 已知)(n x 是一个6点序列： ???≤≤=其它,050,1)(n n x
计算该序列的离散时间傅立叶变换，并绘出它们的幅度和相位。 要求：离散时间傅立叶变换在[-2π,2π]之间的两个周期内取401个等分频率上进行数值求值。 n=0:5;x=ones(1,6); k=-200:200;w=(pi/100)*k; X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); magX=abs(X);angX=angle(X); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid;title('幅度'); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid;title('相位'); (2) 已知下列序列： a. ,1000),52.0cos()48.0cos()(≤≤+=n n n n x ππ； b ．)4sin()(πn n x =是一个N ＝32的有限序列； 试绘制)(n x 及它的离散傅立叶变换 )(k X 的图像。 a ． n=[0:1:100];x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); subplot(2,1,1);plot(n,x);title('x(n)的图像'); X=dft(x,101); magX=abs(X); subplot(2,1,2);plot(n,magX);title('丨X(k)丨的图像');
第三章 离散傅里叶变换（DFT ） 1. 如图P3-1所示，序列)(n x 是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。 图 P3-1 分析 利用DFS 的定义求解。 解：由nk j n nk n e n x W n x k X 6250650 )()()(~π -==∑∑== k j k j k j k j k j e e e e e 56 246 236 226 26 21068101214πππππ-----+++++= 计算求得 ,3j39(1)X ~ 60,(0)X ~-== 3j 3(2)X ~ += , 3j 3(4)X ~ 0,(3)X ~-== 3j39(5)X ~ += 2. 设4()()x n R n =，6()(())x n x n =，试求)(~k X ，并做图表示)(~ ),(~ k X n x 。 分析 利用DFS 的定义求解。 解： 由 k j k j k j nk j n nk n e e e e n x W n x k X ππ π π -----=+++===∑∑3 236250 650 1)(~)(~)(~ 计算求得 ,3j (1)X ~ 4,(0)X ~-== 1(2)X ~ = ,1(4)X ~ 0,(3)X ~== 3j (5)X ~ = )(~),(~k X n x 如图P3-2所示。
图 P3-2 3. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。现将长度变成rN 点的有限长序列)(n y ???-≤≤-≤≤=1,01 0),()(rN n N N n n x n y 试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。 分析 利用DFT 定义求解，)(n y 是rN 点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。 解：由)(k X = DFT[)(n x ]∑-=-=1 02)(N n nk N j e n x π ，10-≤≤N k 可得 nk rN N n nk rN N n W n x W n y n y DFT k Y ∑∑-=-====10 1 )()()]([)( )()(1 2r k X e n x N n l k n N j ==∑-=-π， 1,...,0,-==N l lr k 所以在一个周期内，)(k Y 的抽样点数是)(k X 的r 倍（)(k Y 的周期为Nr ），相当于在)(k X 的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），儿当k 为r 烦人整数l 倍时，)(k Y 与)(r k X 相等。 4. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =，现将)(n x 的每两点之间补进
戶幵,戈丿、弟实验报告 课程名称：彳 _____________ 指导老师 _____________ 成绩： ____________________ 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型: _________________ 同组学生姓名： 一、实验目的和要求(必填) 二、实验内容和原理(必填) 三、主要仪器设备(必填) 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析(必填) 七、讨论、心得 一、实验目的和要求 1. 掌握DFT 的原理和实现 2. 掌握FFT 的原理和实现，掌握用 FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 二、实验内容和原理 2.1 DTFT 和 DFT N 1 如果x(n)为因果有限长序列,n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT 表示为：X(e j ) x(n)e n 0 序列的N 点DFT 是DTFT 在［0,2 n 上的N 点等间隔采样，采样间隔为2 d N 。通过DFT , 可以完成由一组有限个信号采样值 x(n)直接计算得到一组有限个频谱采样值 X(k)。X(k)的幅 度谱为X(k) v 'x R (k ) X |2(k ) , X R (k)和X i (k)分别为X(k)的实部和虚部。X(k)的相位谱 为(k) 列吩 序列x(n)的离散事件傅里叶变换(DTFT )表示为: X(e j ) x( n)e x(n)的离散傅里叶变换(DFT )表达式为: X(k) x(n)e n 0 j^nk N (k 0,1,…,N 1)
IDFT )定义为 x(n)丄 N \(k)e j_Nnk (n 0,1，…，N 1) N n 0 2.2 FFT 快速傅里叶变换(FFT )是DFT 的快速算法，它减少了 DFT 的运算量，使数字信号的处理 速度大大提高。 三、主要仪器设备 PC 一台，matlab 软件 四、实验内容 4.1第一题 x(n)的离散时间 傅里叶变换(DTFT ) X(e j Q )并绘图。 0 其2他n 2; (2)已知 x(n) 2n 0 n 10。 0其他 4.1.1理论分析 1) 由DTFT 计算式, X (Q)是实数，可以直接作出它的图像。 离散傅里叶反变换 求有限长离散时间信号 (1)已知 x(n) X( ) x(n)e j n e 2j 1 5j e 1 e j e 2? e 2? 0.5j e 0.5 j e sin(2.5 )
第三章 离散傅立叶变换 一、离散傅立叶级数 计算题： 1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。把)(~n x 看 作周期为N 的周期序列有)(~ )(~1k X n x ?（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ?（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示） （k X 2~ 。 二、离散傅立叶变换定义 填空题 2．某DFT 的表达式是∑-==10 )()(N k kl M W k x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。 3．某序列DFT 的表达式是∑-==1 0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 （ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。 4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 （ ）。 5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1 -z 代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）； )(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ） 。 6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。则频域 抽样点之间的频率间隔f ?为_______,数字角频率间隔w ?为 _______和模拟角频率间隔 ?Ω ______。 判断说明题： 7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。 （ ） 计算题 8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。
x=[1,1,1,1];w=[0:1:500]*2*pi/500; [H]=freqz(x,1,w); magH=abs(H);phaH=angle(H); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magH);grid;xlabel('');ylabel('|X|'); title('DTFT的幅度') subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi*180);grid; xlabel('以pi为单位的频率');label('度'); title('DTFT的相角')
N=4;w1=2*pi/N;k=0:N-1; X=fft(x,N); magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi; subplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,'--');axis([-0.1,4.1,0,5]);hold on; stem(k,magX);ylabel('|X(k)|');title('DFT的幅度:N=4');text(4.3,-1,'k'); hold off; subplot(2,1,2);plot(w*N/(2*pi),phaH*180/pi,'--');axis([-0.1,4.1,-200,200]); hold on; stem(k,phaX);ylabel('度');title('DFT的相角:N=4');text(4.3,-200,'k')
n=(0:1:9);x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); w=[0:1:500]*2*pi/500; X=x*exp(-1i*n'*w); magx=abs(X); x1=fft(x);magx1=abs(x1(1:1:10)); k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1; subplot(3,1,1);stem(n,x);title('signalx(n),0<=n<=9'); axis([0,10,-2.5,2.5]);line([0,10],[0,0]); subplot(3,1,2);plot(w/pi,magx);title('DTFT幅度');xlabel('w');axis([0,1,0,10]); subplot(3,1,3);stem(w1/pi,magx1);title('DFT幅度'); xlabel('频率（单位：pi)');axis([0,1,0,10]) 实验总结：补零运算提供了一个较密的频谱和较好的图示形式，但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何新的信息，因此不能提供高分辨率的频谱。
第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换
对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反
实验四离散傅里叶变换的性质 一、实验目的 1. 熟悉matlab软件中离散傅里叶变换的实现方法及FFT函数的使用方法； 2. 通过软件仿真，加深对离散傅里叶变换性质的理解。 二、实验内容 1. 验证离散傅里叶变换的线性性质； 2. 掌握用matlab实现圆周移位的方法； 3. 验证圆周卷积与线性卷积的关系。 三、实验步骤 1. 验证线性性质 设两个有限长序列分别为xn1=[3,1,-2,2,3,4]，xn2=[1,1,1,1]，做4DFT[xn1]+2DFT[xn2],及DFT[4xn1+2xn2]的运算，比较它们的结果。 代码如下： clear,N=20;n=[0:1:N-1]; xn1=[3,1,-2,2,3,4];n1=0:length(xn1)-1; %定义序列xn1 xn2=[1,1,1,1];n2=0:length(xn2)-1; %定义序列xn2 yn1=4*xn1;yn2=2*xn2;[yn,ny]=seqadd(yn1,n1,yn2,n2); %计算4xn1+2xn2 xk1=fft(xn1,N);xk2=fft(xn2,N); %分别求DFT[xn1] 和DFT[xn2] yk0=4*xk1+2*xk2; %计算4DFT[xn1]+2DFT[xn2] yk=fft(yn,N); %计算DFT[4xn1+2xn2] subplot(2,1,1);stem(n,yk0);title('傅里叶变换之和') %显示4DFT[xn1]+2DFT[xn2] subplot(2,1,2);stem(n,yk);title('序列和之傅里叶变换') %显示DFT[4xn1+2xn2] 运行结果如图1所示，从图中可知，用两种方法计算的DFT完全相等，所以离散傅里叶变换的线性性质得到验证。
傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种
电 子 科 技 大 学 实 验 报 告 学生姓名：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建 一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换 二、实验目的： 熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。 三、实验内容： 1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换 (a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n = 2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。 3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。 4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。 5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求： (a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ； (b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论； (c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。 四、实验原理：
1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义： 2．周期性：()j X e ?是周期为2π的函数 (2)()()j j X e X e ??π+= 3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ?是共轭对称函数。 *()() Re[()]Re[()] Im[()]Im[()]()() ()() j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ??????????-----===-=∠=-∠ 4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有 1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+ 5．时移 [()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---== 6．频移 00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-= 7．反转（翻褶） [()]()j F x n X e ω--= 五、实验器材（设备、元器件）： PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1 六、实验步骤： 本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学内容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。 [()]()()(), ()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为：
傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变； 频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化
实验二离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换 一．实验目的 1.深刻理解离散时间信号傅里叶变换的定义，与连续傅里叶变换之间的关系； 2.深刻理解序列频谱的性质（连续的、周期的等）； 3.能用MATLAB编程实现序列的DTFT，并能显示频谱幅频、相频曲线； 4.深刻理解DFT的定义、DFT谱的物理意义、DFT与DTFT之间的关系； 5.能用MATLAB编程实现有限长序列的DFT； 6.熟悉循环卷积的过程，能用MA TLAB编程实现循环卷积运算。 二．实验原理 1.离散时间信号的频谱和图示化 2.离散傅里叶变换的定义和图示化 三．实验结果 w=[0:2:500]*pi*2/500; h=(1+0.9*exp(-j*w))./(1-0.9*exp(-j*w)); magh=abs(h); plot(w/pi,magh);grid;xlabel('f');ylabel('|H(w)|'); n=[0:127]; m=[0:127]; x=exp(j*2*pi/128*m.*n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk');
n=[0:127]; m=[0:127]; x=cos(2*pi/128*m.*n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127]; m=[0:127]; [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127];m=[0,127]; x=sin(n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk');
一、概述 FFT（Fast Fourier Transformation），即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。DFT对于X（K）的每个K值，需要进行4N次实数相乘和（4N-2）次相加，对于N个k值，共需N*N乘和N（4N-2）次实数相加。改进DFT算法，减小它的运算量，利用DFT中的周期性和对称性，使整个DFT的计算变成一系列迭代运算，可大幅度提高运算过程和运算量，这就是FFT的基本思想。虽然它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。 虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量，但对于一般的单片机而言，处理FFT运算还是力不从心。主要原冈是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算，要分开实部和虚部分别计算。在这里利用LabVIEW来实现快速傅立叶变化。LabVIEW是一种程序开发环境，类似于BASIC开发环境；但LabVIEW与其它计算机语言相比，有一个特别重要的不同点：其它计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码行；而LabVIEW使用图形化编程语言G编写程序，产生.的程序是框图的形式。像C或BASIC一样，LabVIEW也是通用的编程系统，有一个可完成任何编程任务的庞大的函数库。LabVIEW的函数库包括数据采集、GPIB、串口控制、数据分析、数据显示及数据存储等。LabVIEW也有传统的程序调试工具，如设置断点、以动画方式显示数据及其通过程序(子V1)的结果、单步执行等，便于程序的调试。 二、方案论证 1：单一频率正弦信号的FFT 采用Labview的信号产生模板提供的常用的信号发生器，从中找到正弦信号发生器，使其产生一个正弦信号。将此正弦信号输入到实数FFT.vi中的X端进行快速傅里叶变换处理，使时域信号转换为频域信号。然后经过复数至极坐标转换后将其显示出来。其结构如图1所示。 图1 单一频率正弦信号的FFT结构图