河北省2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一．选择题：共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合2
{|230}A x x x =--≥，{|22}B x x =-≤<，则A B ?=
A. [2,1]--
B. [1,2)-
C. [1,1]-
D. [1,2)
2、3
2
(1)(1)
i i +=- A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --
3、设函数()f x 、()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数。则下列结论中正确的是 A. ()f x ()g x 是偶函数 B. |()|()f x g x 是奇函数 C. ()|()|f x g x 是奇函数 D. |()()|f x g x 是奇函数
4、已知F 为双曲线C: 2
2
3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为
A. B. 3 C. D. 3m
5、4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六周日都有同学参加公益活动的概率为
A.
18 B. 38 C. 58 D. 78
6、如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的 始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足 为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则
()y f x =在[0,]π的图像大致为
7、执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3， 则输出的M = A. 203 B. 165 C.
72 D. 158
8、设(0,
)2π
α∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos βαβ+=
，则
A. 32
π
αβ-= B. 32
π
αβ+=
C. 22
π
αβ-=
D. 22
π
αβ+=
9、不等式组1
24x y x y +≥??-≤?
的解集记为D, 有下面四个命题：
1p ：(,)x y D ?∈, 22x y +≥- 2p ：(,)x y D ?∈，22x y +≥ 3p ：(,)x y D ?∈，23x y +≤ 4p ：(,)x y D ?∈，21x y +≤- 其中的真命题是
A. 23,p p
B. 12,p p
C. 14,p p
D. 13,p p
10、已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若
4FP FQ =, 则||QF =
A.
72 B. 3 C. 5
2
D. 2
11、已知函数3
2
()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是
A. (2,)+∞
B. (1,)+∞
C. (,2)-∞-
D. (,1)-∞-
12、如图网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体
的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 A. 62 B. 6 C. 42 D. 4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13、8
()()x y x y -+的展开式中2
7
x y 的系数为_______. (用数字填写答案)
14、甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为_______.
15、已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1
()2
AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
16、已知a 、b 、
c 分别为ABC ?三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ?面积的最大值为_______. 答案： 一、选择题
1—5 ADCAD 6—10 CDCBB 11. C 12. B
二、填空题
13. 20- 14. A 15. 2
π
16. 3
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分)
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由。 解：
（Ⅰ）由题设，11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-
两式相减得121()n n n n a a a a λ+++-=，而10n a +≠， ∴ 2n n a a λ+-= （Ⅱ）112111a a S a λλ=-=-，而1a =1，解得21a λ=- ，又 311a a λλ=+=+ 令2132a a a =+，解得4λ=。此时1a =1，23a =，35a =，24n n a a +-= ∴ {n a }是首项为1，公差为2的等差数列。 即存在4λ=，使得{n a }为等差数列。
18. (本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ) 求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2
s （同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表）；
（Ⅱ） 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数
x ，2σ近似为样本方差2s .
（ⅰ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；
（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间
（187.8,212.2）的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求EX .
附：150≈12.2.
若Z ～2
(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544.
解：
(Ⅰ) 1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02x =?+?+?+?+?+?+? 200=
2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-?+-?+-?+?+?+?+?
150=
（Ⅱ）（ⅰ）~(200,150)Z N , 15012.2σ==
(187.8212.2)P Z <<(200200)0.6826P Z σσ=-<<+=
（ⅱ）~(100,0.6826)X B , ∴ 1000.682668.26EX =?=
19. (本小题满分12分)
如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；
（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o
160CBB ∠=，AB=BC ，
求二面角111A A B C --的余弦值. 解：
(Ⅰ) 连接1BC , 交1B C 于点O, 连接AO 。
侧面
11
BB C C为菱形
∴11
BC B C
⊥，O为1
BC、1B C的中点
而
1
AB B C
⊥，
∴1B C ABO
⊥平面, 而AO ABO
?平面
∴1B C AO
⊥, 又O为1B C的中点∴
1
AC AB
=
（Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
1
AC AB
⊥∴1
AO OC OB
==
o
1
60
CBB
∠=, ∴1
CBB
?为等边三角形，
A, (1,0,0)
B
, 1B,
(0,
C
, 1(0,
AB=
, 11(1,0,
A B AB
==
, 11(1,
B C BC
==-
设n(,,)
x y z
=为平面11
AA B的法向量，则1
11
n AB
n A B
??=
?
?
?=
?
?
即
33
y z
x z
-=
?
?
?-=
?
?
，
取n=
设m(,,)
x y z
=为平面111
A B C的法向量，则11
11
n B C
n A B
??=
?
?
?=
?
?
即
3
x y
x z
?
--=
??
?
?=
?
?
，
取m(1,
=
1
cos,
||||7
m n
m n
m n
?
<>==∴二面角
111
A A
B C
--的余弦值为
1
7
。
20. (本小题满分12分)
已知点A（0，-2），椭圆E：22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=
>>F是椭圆E的右焦点，
直线AF的，O为坐标原点.
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于,P Q两点，当OPQ
?的面积最大时，求l的方程.
解：
（Ⅰ）
0(2)223
03
3
AF
k
c c
c
a
?--
===
??
-
?
?=
??
，解得2
a=，3
c=，故1
b=，E的方程为：221
4
x
y
+=
21. (本小题满分12分)
设函数
1
(0ln
x
x
be
f x ae x
x
-
=+，曲线()
y f x
=在点（1，(1)
f处的切线为(1)2
y e x
=-+.
f x .
(Ⅰ) 求,a b；（Ⅱ）证明：()1
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线
交于点E，且CB=CE
.(Ⅰ) 证明：∠D=∠E；学科网
（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ， 证明：△ADE 为等边三角形.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?
（t 为参数）. (Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o
30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
解：(Ⅰ) C: 2cos 3sin x y θ
θ=??=?
l ：260x y +-=
（Ⅱ）P 到直线l 的距离为 |4cos 3sin 6|5
d θθ=
+-，
||PA 2|4cos 3sin 6|sin 305d θθ==+-，从而，||PA 的最大值为5，最小值为5
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若0,0a b >>，且
11
a b
+=. （Ⅰ） 求3
3
a b +的最小值；
（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
解：11
a b =
+≥，得2ab ≥，33a b +≥，33
a b +最小值为
（Ⅱ）236a b +≥≥>，故不存在,a b ，使得236a b +=。