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离散时间信号与离散时间系统..

§7-1 概述

一、离散时间信号与离散时间系统

离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的

信号。

离散时间系统：处理离散时间信号的系统。混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。

二、连续信号与离散信号

连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：

三、离散信号的表示方法：

1、时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。例如：)1.0sin()(k k f =

2、（有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。例如：

f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}

时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。四、典型的离散时间信号 1、单位样值函数：

?==其它001)(k k δ

下图表示了)(n k -δ的波形。

这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着

与其相似的性质。例如：

)()0()()(k f k k f δδ=，

)()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。

2、单位阶跃函数：

?≥=其它001)(k k ε

这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)

(t ε相似。用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。

3、单边指数序列：

)(k a k

比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t

a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。

4、单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+

双边正弦序列：)cos(0φω+k A

(a) 0.9a = (d) 0.9a =-

(b) 1a = (e) 1a =-

五、离散信号的运算

1、加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。

2、乘法：)()()(21k f k f k f ?=

3、标量乘法：)()(1k f a k f ?=

4、移序：)()(1n k f k f -=

当n>0时，信号向右移（后移）——>称为减序；当n<0时，信号向左移（前移）——>称为增序。

离散信号的移序计算相当于连续时间信号的时间平移计算。

六、线性移不变离散时间系统

1、线性离散时间系统

系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系统。

)()()()(22112211k r a k r a k e a k e a +?+

2、移不变离散时间系统

系统的激励和响应之间满足移不变关系的离散时间系统。 )()(n k r n k e -?-

3、线性移不变离散时间系统

同时满足线性和移不变性的系统。七、

离散时间系统的描述方法：见§7-3。

§7-2 抽样信号与抽样定理

离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连续信号可以通过抽样转化为离散信号，从而可以用离散时间系统进行处理。但是，这牵涉到两个问题：

1）怎样进行抽样？

2）如何抽样才能不损失原来信号中的信息？

一、抽样器及其数学模型

抽样是通过一定的装置（等间隔地）抽取原来连续信号中的很小的一段。其等效电路

它也可以用一个开关信号相乘的数学模型来表示，其中的开关函数为：

∑+∞

-∞

=-=

k kT t G t s )

()(τ

当0→τ时，开关函数近似为：

∑+∞

-∞

=→→→?=-=k T t kT t t s )

(lim )(lim )(lim 0

τδτ

τττ

可见，开关函数近似成为一个幅度为无穷小的周期性冲激序列。这个“无穷小”会给我们分析带来不便，所以一般直接用幅度为1的周期性冲激序列代替它，即： ∑+∞

-∞

==-=

k T t kT t t s )

()()(δ

这样，抽样以后的信号为：

∑∑∑∞

+-∞

=∞

+-∞

=+∞

-∞=-=-=

-=?=k k k s kT t kT f kT t t f kT t t f t s t f t f )

()()()()

()

()()()(δδδ

显然，抽样以后的信号只与原来的信号在某些离散的时间点上的值有关。

二、抽样定理

显然，利用原来的信号在某些离散的时间点上的值构成的信号，是否会损失信息？或者，在何条件下，可以用抽样后的信号，不失真地还原出原来的信号？ 1、抽样信号的频谱：

∑+∞

-∞

=-=k s kT t t f t f )

()

()(δ

∑∑∑∞

+-∞

=∞

+-∞

=+∞-∞=-=-=?

???-=k s k s

s k s s s k j F T k j F k j F j F )(*)(1)

(*)(2)(*)(21)(ωωδωωωδωπ

ωωδωωπω

其中

T s π

ω2=

，称为抽样（角）频率；T 称为抽样（取样）周期。可见，抽样后信号的谱是抽样以前的谱按抽样（角）频率周期化

的结果。如果原来信号最大频率分量为的谱m ω

，抽样频率m s ωω2>，则周期化后的各个频谱不会相互重叠。将抽样信号通过一个截止频率为2/s ω、增益为T 的ILPF ，可以不失真地还原原来的信号。此低通滤波器的冲激响应:

??? ??=??? ??=222)(t Sa t Sa T

t h c c s ωωπω

则

∑

+∞

-∞

=???

???-=

n s nT t Sa nT f t f 2)()()(ω

这个定理称为Nyquist 抽样定理，或Shannon 抽样定理。它说明

模拟信号可以有条件地由其无数个离散点上的数值恢复出，也就是说在m s ωω2>时，用信号的一些离散的时间点上的数值来代替这个信号可以不损失任何信息。

能够完全不失真地还原信号所需要的最小的抽样频率m s ωω2=称为Nyquist 抽样频率，或Shannon 抽样频率。

● 在实际工程中的做法与取样中的过程正好相反：首先测量得到

f(kT),然后再构成抽样信号。工程上的采样就是指测量到kT 时刻f(t)的值。

● 在构成抽样信号时，不可能产生冲激信号，这时候可以用任意的周

期性脉冲信号代替，其结果不变。

● 恢复信号时，ILPF 是不可能实现的，只能用其它的LPF ，所以抽

m ω

● 如果原来的信号是一个带限信号，则Nyquist 抽样定理还可以做适

当修改。

● 抽样也是一个线性处理过程，它满足齐次性和叠加性。这是我们通

过它达到用离散时间系统处理连续信号的基础。 ● 通过抽样可以将连续信号转化为离散数字信号，从而可以用数字信

（a ）原信号()f t (b) 原信号的频谱()F j ω）单位冲激序列()T t δ ）单位冲激序列的频谱()s s ωωδω（

s ω=

(e)1

()()()s T f t f t f t δδτ=

= (f) ()f t δ的频谱

抽样信号经过非理想低通滤波器

号处理系统进行处理，达到模拟信号处理无法达到的效果。

§7-3 离散时间系统的描述

离散时间系统的描述方法有三种： 1）数学模型——>差分方程 2）物理模型——>框图

3）系统函数——>Z.T.，在第八章中介绍。

一、数学模型

离散时间系统处理的信号是离散信号，信号只在某些不连续的时间点上存在，不存在微分，也就不可能用微分方程描述，只能用差分方程描述离散信号相邻的几个时间点之间的关系。例7－3－1

例7－3-1 著名的斐波纳奇（Fibonacci ）数列问题。假设每对大兔子每个月生一对小兔子，而每对小兔子一个月后长成大兔子，而且不会发生死亡。在最初一个月内有一对大兔子，问第n 个月时一共有几对兔子。这里，每一个月中兔子的对数就构成了一个离散的时间信号。列出描述该问题的差分方程。

解：这里，我们用)(k y 表示第k 个月兔子的对数。显然，第k 个月兔子无论大小，在第1+k 个月都会是大兔子，从而在第2+k 个月中生出)(k y 个小兔子；同时，因为假设兔子不会死亡，第1+k 月的)1(+k y 对兔子在第2+k 月中依然存在，使第2+k 月中大兔子的个数为

)1(+k y 。而第2+k 月中兔子的总个数)1(+k y 等于大兔子对数)1(+k y 与小兔子对数)(k y 之

和，由此可以得到方程：

)()1()2(k y k y k y ++=+

这就是斐波纳奇（Fibonacci ）数列问题的差分方程。与微分方程一样，对于差分方程，我们一般将其中的未知的函数或序列放在方程等式的左边，而将激励函数或数列等放在等式的右边。所以，可以将上式表示成：

0)()1()2(=-+-+k y k y k y ● 差分方程与微分方程一样，也必须有初始条件。

如果已知y(0),则可以得到差分方程的解：

)0()1()1(y a y +=,

)1()1()1()1()2(2y a y a y +=+=, )0()1()2()1()3(3y a y a y +=+=,

)0()1()(y a k y k +=

● 差分方程也可以加激励：假设k 年从外地引入x(k)个人，则：

)()()1()1(k x k y a k y ++=+。

例7－3－2

例7－3－2 一个空运控制系统，它用一台计算机每隔一秒钟计算一次某一飞机应有的高度)(k x ，另外用一雷达于以上计算同时对此飞机实测一次高度)(k y ，把应有高度)(k x 与一秒钟前的实测高度)1(-k y 相比较得一差值，飞机的高度将根据此差值为正或为负来改变。设飞机改变高度的垂直速度正比于此差值，即

e(t)

)]1()([--=k y k x K v 米／秒。求该问题的差分方程。

解：从第k-1秒到第k 秒这1秒钟内飞机升高为 )1()()]1()([--=--k y k y k y k x K 经整理即得

)()1()1()(k Kx k y K k y =--+

这就是表示控制信号)(k x 与响应信号)(k y 之间关系的差分方程，它描写了这个离散时

间（每隔1秒钟计算和实测一次）的空运控制系统的工作。

差分方程的一般形式：

)()1(...)1()()

()1(...)1()(011011k e b k e b m k e b m k e b k r a k r a n k r a n k r m m n ++++-+++=++++-+++--

● 差分方程在形式上与微分方程相似，只不过微分计算变成了移序计

算；

● 差分方程也有阶，差分方程的阶定义为其中最大移序与最小移序之

差；

● 求解差分方程也必须有初始条件，初始条件的个数必须等于差分方

程的阶数；

● 与连续时间系统中的结论相似，线性移不变系统可以用一个常系数

差分方程描述。

● 因为差分方程可以很方便地用计算机求其数值解，所以很多微分方

程可以近似为差分方程求近似数值解。

例7－3－3

例7－3－3 一RC 电路如图a)所示，若于输入端加一离散的抽样信号e(t)，如图 b)所示，现在要求写出描写此系统工作时每隔时间T 输出电压)(k u 与输入信号间的关系的差分方程。

a) b)

解：图 (b)所示的抽样信号是一有始函数，它可以表示为如下冲激序列之和

∑∞

=-=

()()(k kT t kT e t e δτ

现在来考察该电路在kT t ≥时的输出响应。当t 由小于kT 趋于kT 而该时刻的冲激尚未施加时，输出电压为u(k)。

由该时刻开始即t ＞kT 时的电容电压零输入分量显然应为

kT t zi e k u t u )()()(--= 又可知此电路的冲激响应是 RC

RC t h 1

1)(-=

用在这里，则可得：当t=kT 第k 个冲激)()(kT t kT e -δτ加于电路后即kT t >时，电容电压的零状态分量应为

kT t zs e RC kT e t u )()

()(--=

于是得t>kT 后总输出电压为

t zs zi e RC kT e k u t u t u t u --??????

+=+=)()()()()(τ

当t=kT 时，上式成为

RC T

e RC kT e k u k u -??????

+=+)()()1(τ

经整理，并将)(kT e 记为一般形式)(k e ，即得

)()

()1(k e RC e

k u e k

u RC

T RC T -

-+τ

这就是描述输出离散电压与输入抽样电压间关系的差分方程。

例7－3－4

例7－3－4 图所示一电阻的梯形网络，其中每一串臂电阻值同为R ，每一并臂电阻值同为另一值aR ，a 为某一正实数。所以这网络是一重复的梯形结构。该网络各个节点对公共节点的电压为)(k u ，k 分别为0、l 、2、…、n 。试写出这个系统的差分方程，电阻的重复T 形网络

解：把系统中第1+k 个节点的电流关系特别画出如图所示。

由图显然可见，c b a i i i +=；同时，根据图中电压电流的简单关系，此式即可写成

aR k u R k u k u R k u k u )

1()2()1()1()(++

+-+=+- 再经整理，即得该系统的差分方程

)()1(1

2)2(=+++-+k u k u a a k u

二、物理模型

与连续时间系统一样，离散时间系统也可以用框图的形式描述。

1、基本运算单元

离散时间系统框图的基本运算单元有加法器、标量乘法器和延时

离散时间系统框图构成与连续时间系统很相似，只不过将其中的积分器变成延时（移序）器。

离散时间系统的初始状态可以包含在延时（移序）器中。

()(y k x k =- ()(1)(0)y k x k y =-+

(a)初始条件为零 (b)初始条件不为零

)1()()1()2(01+=++++k e k y a k y a k y 试作出此系统的模拟框图。解辅助函数)(k q ，就可看出

)()()1()2(01k e k q a k q a k q =++++ )1()(+=k q k y

由此两式，读者可以很容易地自行证明，它们合起来等效于所给的差分方程。对于本题的简单方程，可令k ＝n-1，于是原方程成为

)()1()()1(01n e n y a n y a n y =-+++

如y(k)为无限序列，k 和n 均为由-∞到∞的自然数，把此式中的n 改为k ，此式仍可成立。如y(k)为有限序列，则只要考虑到序列的起迄处有序数1的差别，上式中把n 改成k 亦可成立。于是有

)()1()()1(01k e k y a k y a k y =-+++

如果另有一个系统的方程为

)1()1()()1(10111+=-+++k e k y a k y a k y

则读者可以自行证明，与此式相对应的模拟框图的结构仍同上图，但是)(1k y 要由第一个延时器之前引出,如图中虚线所示。

§7-4 离散时间系统的零输入响应

离散差分方程的解法：

1）时域经典法

与微分方程一样，将解分为通解（齐次解）和特解两部分。首先确定形式解，再代入初始条件（或边界条件），确定其中的待定系数。

优点：物理概念清晰，可以一次得到全部解；缺点：特解有时很难求，不实用。

n 阶离散时间系统模拟框图

2）近代时域法：

将解分为零输入响应)(k r zi 和零状态响应)(k r zs 两部分。对零

输入响应)(k r zi 仍然用时域经典法；零状态响应)(k r zs 用卷积和求解。

这种方法是求解差分方程的主要方法；

3）变换域解法：Z 变换（ Z.T.），相当于连续时间系统中的L.T.

变换法。在第八章中介绍。

4）数值解法：利用前向预测形式的差分方程，通过迭代计算的方

法，得到数值解。这种方法用计算机求解比较方便，但是无法得到通式。

例如：对于Fibonacci 问题，有差分方程： y(k+2)- y(k+1)-y(k)=0； → y(k+2)= y(k+1)+y(k)； → y(k)= y(k-1)+y(k-2)；

现在已知：y(0)=0,y(1)=1,则可以得到： y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5,y(6)=8,…… 本章重点介绍近代时域法。

首先，在本节中介绍近代时域法中零输入响应)(k r zi 的求法，或齐次差分方程的求解方法。

一、差分方程的算子表示法

为了记录方便，引入移位算子S ： )1()(+=?k y k y S

则可以将一般的差分方程

)()1(...)1()()

()1(...)1()(011011k e b k e b m k e b m k e b k r a k r a n k r a n k r m m n ++++-+++=++++-+++--记为：

)()(...)()()

()(...)()(01110111k e b k e S b k e S b k e S b k r a k r S a k r S a k r S m m m m n n n +?++?+?=+?++?+?---- 或：

)()()(k e S H k r =

其中：

0122110

12211......)(a S a S a S a S b S b S b S b S b S H n n n n n m m m m m m ++++++++++=

--------

二、零输入响应)(k r zi 的求法

零输入响应)(k r zi 对应于齐次差分方程：

)

(1 (1)

)(012211S D a S a S a S a S S H n n n n n =

+++++=

----

或：

0)()1(...)1()(011=++++-+++-k r a k r a n k r a n k r zi zi zi n zi 1、一阶系统

0)()1(0=++k r a k r zi zi

—>)()1(0k r a k r zi zi -=+

假设：)0(zi r 已知，则：

)0()1(0zi zi r a r -=；)0()()2(20zi zi r a r -=；

)0()()3(30zi zi r a r -=；…

)0()()(0zi k zi r a k r -=∴

分析上面的结论，其中的)(0a -可以定义为系统的特征方程的特征

根，相应的解中就有了k

a )(0-。结合在求解微分方程中的一些结论，

可以分析出求解差分方程的零输入响应的基本思路，猜想它应该有

下面的形式：

......)(332211+++=k

k k zi v C v C v C k r 其中i v 为差分方程的特征根。

2、n 阶系统

与微分方程求解方法相似，也分为以下几部：

（1）求特征方程——即H(S)的分母多项式——D(S)=0根（特征根）1ν、2ν、…、n

ν；

（2）根据D(S)=0的根，确定r(k)的形式解：

a 、假设D(S)=0没有重根，则其形式解为：

[]

)()(...

)()()(2211k C C C k r k n n k

k zi εννν+++= b 、假设D(S)=0有重根，假设1ν是一个m 重根，则形式解为：

[]

)()(...)())(...()

(111121k C C k C k C C k r k N n k m m k m m zi εννν++++++=++- 其余情

况以此类推。

（3）带入初始条件，确定待定系数。

对于一般差分方程，初始条件为)0(zi r ~)1(-n r zi 。将它带入形式解中，可以得到n 元一次线性方程组：

n zi C C C r +++=...)0(21

)(...)()()1(2211n n zi C C C r ννν+++=

2222211)(...)()()2(n n zi C C C r ννν+++= ……

1122111)(...)()()1(---+++=-n n n n n zi C C C n r ννν 由此不难确定待定系数。例7－4－1

例7－4－1 试求斐波纳奇数列的解。解：斐波纳奇数列所满足的差分方程

0)()1()2(=-+-+k y k y k y

在这个方程中，不存在激励，所以它的解中只有零输入响应部分。利用移序算子，将上面的方程记为：

0)()()(2=--k y k Sy k y S 从而得到特征方程

012=--S S

其特征根为

12,1±=

ν。由此得到

k c c k y ????

??-+????

??+=251251)(21

将初始条件y(1)=1,y(2)=1代入，可以得到：

1251251)1(21=????

??-+????

??+=c c y

1251251)2(2

221=???? ??-+???? ??+=c c y

解此联立方程，可以得到

511=c ，512-

=c ，于是斐波纳奇数列的解的通式为： ???????????? ??--???? ??+=

k k c k y 25125151)(2

三、特征根与系统稳定性

在离散系统信号处理中，同样需要满足稳定性条件。系统的响应不应该随着∞→k 而趋向无穷大，而应该是一个有限的值。所以，对于系统的零输入响应中的各个分量，都应该随∞→k 而有限。

1、当1<ν时，0

lim =∞→k

k ν，0

lim =∞

→k

m k k ν（有重根时），系统稳定。

2、当1=ν时， 1）如果没有重根，1

lim ≡∞→k

k ν

，系统临界稳定；

2）有重根时，

∞

=∞

→k

k k νlim ，系统不稳定。

3、

当1>ν时，∞=∞→k

k νlim

，系统不稳定。

ν是一个复数，可以在复平面上表示为一个点。复平面上每一个

点都对应一个信号模式。

系统稳定性要求特征根全部在一个以原点为圆心、半径为1的圆——单位圆——的内部，在单位圆上最多只能有单根。

比较：连续时间系统的稳定条件。例7－4－2

例7－4－2 有一离散时间系统，用下列差分方程描写 )(2)1()(2)1(3)2(k e k e k y k y k y -+=++-+

系统的初始条件为0)0(=zi y ,1)1(=zi y 。求该系统的零输入响应。

解该系统的差分方程的齐次式为 0)(2)1(3)2(=++-+k y k y k y 应用移序算子，此式可写成

0)(2)(3)(2

=+-k y k Sy k y S

或 0)()23(2

=+-k y S S

算子方程 0)2)(1(232

=--=+-S S S S

具有两个根，11=ν，22=ν。故此系统的零输入响应为 k

k zi c c y 2211νν+=

把初始条件代入)(k y zi 求系数1c 、2c ，有

0)0(21=+=c c y 12)1(21=+=c c y

解此联立式，得11-=c ，12=c 。于是系统的零输入响应为 k

zi y 21+-=

0≥k 此解包含有一常数项和一底数大于1的乘幂，故系统是不稳定的。

§7-5 离散时间系统的零状态响应

)(k r zs 的解法：

1）

经典法：分通解和特解两部分分别求解。

2）

时域卷积和法：类似于连续时间系统中的卷积积分方法。

3）变换域法：Z.T. ，类似于L.T. 本节介绍卷积和法。

一、离散信号的时域分解

选用子信号——单位函数)(k δ，可以将离散时间信号分解为很多个单位函数)(i k -δ之和：

∑+∞

-∞

=-=

i i k i e k e )

()()(δ

引入卷积和计算：

∑+∞

-∞

=-=

i i k y i x k y k x )

()()(*)(

则可以将上式简记为： )(*)()(k k e k e δ=

二、 )(k r zs 的求解

假设线性移不变系统对)(k δ的响应（单位函数响应）是)(k h ，则：对)(i k -δ的响应是)(i k h -，<—移不变对)()(i k i e -δ的响应是)()(i k h i e -，<—齐次性

∑+∞

-∞

=-i i k i e )

()(δ响应是∑+∞

-∞

=-i i k h i e )

()(，<—叠加性

即：系统对激励信号)(k e 的响应)(k r 为：

∑+∞

-∞

==-=

i k h k e i k h i e k r )

(*)()()()(

所以，如果知道系统的单位函数响应，通过卷积和计算，就可以得到系统对任意信号的响应。

● 假设激励信号是一个有始信号，则上面的卷积和公式中的求和上下

限可以简化为：

∑+∞

=-=

)

()()(*)()(i i k h i e k h k e k r

● 如果系统是因果系统，则

)(k h 也是一个有始信号，则可以进一步

简化：

∑+=-=

i i k h i e k h k e k r 0

)

()()(*)()(

三、卷积和

1、卷积和可以通过其定义求得。例：

)(1)(1)()()(*)

(*)()(*)(1

11010k ab ab b k ab b k b a i k b

i a k b k a k k

i i

k k i i k i i i

k i

k εεεεεεε-+-=-=-+∞

-∞

=---==??

? ??=-=

∑∑∑

P30，表7-1：常用卷积和公式。

2、卷积和的数值解法

1）图解法：反褶、平移、相乘、叠加例：e(k)={2,1,5}, h(k)={1,2,3} e(k): 2 1 5 h(k): 1 2 3 h(-k): 3 2 1 —>r(0)=2 h(1-k): 3 2 1 —>r(1)=5 h(2-k): 3 2 1 —>r(2)=13 h(3-k): 3 2 1 —>r(3)=13 h(4-k): 3 2 1 —>r(4)=15 h(5-k): 3 2 1 —>r(5)=0 h(6-k): 3 2 1 —>r(6)=0 ……………

所以，r(k)={2,5,13,13,15}

从此例可见，有限长序列的卷积和仍然是有限长序列。 2）多项式乘法 e(k): 2， 1， 5 * h(k): 1， 2， 3 6， 3，15 4， 2，10 2， 1， 5

2， 5， 13，13，15 ——>r(k)

3、卷积和的性质：

卷积和有很多与卷积积分相似的性质。其中最重要的是移序特性（相当与卷积积分中的时移或微积分特性）：

如果)()(*)(21k y k x k x =，

则：)()(*)(21

n m k y n k x m k x ++=++

四、 h(k)的求解方法：

有四种：1)递推法（数值解法） 2）祘子法

3）初始条件法 4）系统函数法（ZT ）这里仅介绍祘子法。

1、祘子法（部分分式分解）

在离散系统中，同样可以利用转移祘子，通过部分分式分解的方法，将高阶系统分解为多个低阶系统之和，解出单位函数响应。其分解方法与连续时间系统中的部分分式分解法相似。

122110

12211......)(a S a S a S a S b S b S b S b S b S H n n n n n m m m m m m ++++++++++=

--------

这里同样要分几种情况讨论： 1）如果m

a 、如果特征方程没有重根，则：

)

(...)()(...)(212211S H S H S H S A S A S A S H n n

+++=-++-+-=

ννν

b 、如果特征方程有重根，假设1ν是l 重根，则：

)

(...)()(...)(...)()(2111121211S H S H S H S A S A S A S A S A S H n n

l l l l

+++=-+

+-+

-++-+-=

++ννννν

2）如果m=n ，可以先通过长除，变成一个常数和真分式之和，然后

再求解

)(...)()(...)(21022110S H S H S H A S A S A S A A S H n n

++++=-+

+-+-+=ννν

3）当m>n 时，系统为非因果系统。这里不予考虑。

如果能够得到各个低阶子系统的单位函数响应，将其相加，就可以得到系统的单位函数响应。 2、子系统的单位函数响应

1）一阶离散系统：

ν-=

S S H 1

)( 对应的差分方程：)()()1(k k r k r δν=?-+。 a 、 k<0时，r(k)=0 (因果系统，零状态) b 、 k=0时，0)1()1()0(=-?+-=r r νδ c 、 k=1时，1)0()0()1(=?+=r r νδ d 、 k=2时，ννδ=?+=)1()1()2(r r e 、 k=3时，2

)2()2()3(ννδ=?+=r r f 、 k=4时，3)3()3()4(ννδ=?+=r r g 、 ……….

通过数学归纳法，可以证明：

)1()(1

-=-k k r k εν

或记成：)

1()(1

1-=--k k S k ενδν

同样可以证明：)

()(k k S S

k ενδν=-。这个结果似乎比上面的结果规范，但是它在做部分分式分解时必须在分子上凑S 。

2） )1()!()!1()!

1()()(1----=--k n k n k k S n k n

ενδν

或：)()!1()!1()!1()()(1k n k n k k S S n k n

ενδν+-+---=-

3） 0)(A S H =的单位函数响应为)(0k A δ，或)()(00k A k A δδ=

有了上面的结论就可以得到任意系统的单位函数响应。例解的最终形式应该是： 1）形式上最简单；

2）有理分式的分子、分母多项式按降幂排列；

3）分母上不能有复数或无理数；

4）在实际系统中，激励、系统函数都为实数信号或函数，在响应中不

可能有虚部。

如果出现共扼复根，如何计算？ P35，表7-2。

例7－5－1

例7－5－1：已知差分方程： r(k+2)-5r(k+1)+6r(k)=e(k+2)-3e(k) 求h(k)。

解：根据差分方程，可以用移序算子表示为：

21361659

51653)(2--

-+=+--+=+--=S S S S S S S S S H

)1(2)1(36)()(11---?+=∴--k k k k h k k εεδ

例7－5－2

例7－5－2：一离散时间系统用以下差分方程描写 )(3)2()(6)1(5)2(k e k e k y k y k y -+=++-+ 试求此系统的单位函数响应。

解将所给差分方程用移序算子写成

)()3()()65(2

2k e S k y S S -=+- 此式的转移算子为

653

)(2+--=

S S S S H 先用长除法再用部分分式展开法，上述转移算子可写成

361659

51)(2--

=+--+

=S S S S S S H

由公式，可得系统单位函数响应为

()

)

1(232)()

1(2)1(36)()(111--?+=---?+=---k k k k k k h k k k k εδεεδ

五、离散时间系统全响应的求解

综合前面的§7-4的内容，可以求出离散时间系统全响应。例：系统转移函数：

)2.0)(5.0()

27()(---=

S S S S S H ，激励)()(k k e ε=，

初始条件为：r(0)=2,r(1)=4。求全响应。关于初始条件r(0)、r(1)的讨论：

初始条件r(0)、r(1)到底是什么？有多种解释：

1）它是系统在0、1时刻的值。这种解释符合实际应用条件。但是，

其中r(0)和r(1)中必然包含零状态响应部分，所以不能直接用它求零输入响应。——>应该将其中的零状态响应部分减去后再带入零输入响应。

2）直接是系统零输入响应部分的值，即)0(zi r 和)1(zi r 。这样求解简单

了，但是在实际情况下很难得到。

3）有的资料上给出的初始条件是r(-1),r(-2)等。这时候它一定属于零

输入响应。

例7－5－3：一离散时间系统的转移算子为

)2.0)(5.0()

27()(---=

S S S S S H

此系统的初始条件是y(0)＝9，y(1)＝13.9。当系统输入为单位阶跃序列)(k ε时，试求系统的响应。

解: 如果这里系统的初始状态仅仅是指零输入响应部分在0、1时刻的值，可以按以前的方法分别求得系统的零输入和零状态响应，然后相加就可以得到全响应。但是，这里的初始状态是系统全响应的初始状态，其中也有零状态响应所产生的部分，所以无法用它直接求解系统的零输入响应。这时，只有先求出系统的零状态响应，然后将零状态响应在初始状态时的值从系统初始条件中减去，得到零输入条件下的初始状态，由此求出系统的零输入响应。先求系统的零状态响应。为此，要先求系统的单位函数响应。因分式)(s H 分子分母次数相等，将它进行长除并展开成部分分式，得 2.04

.05.05.271.07.07

.09.271

.07.027)2.0)(5.0()27()(2

22-+

-+=+--+=+--=

---=S S S S S S S S

S S S S S S H

由公式，可得系统的单位函数响应为

(

)

(

)

)()2.0(2)5.0(5)

1()2.0(2)5.0(5)(7)

1()2.0(4.0)1()5.0(5.2)(7)(11k k k k k k k h k k k k k k εεδεεδ+=-++=-+-?+=--

这结果也可由将)(S H 分解成

2.025.05)(-+

S S

S S S H

然后应用公式得到，而且这样计算更加方便。有了单位函数响应后，即可计算系统的零状态响应

[]

)(*)()2.0(2)(*)()5.0(5)

(*)()2.0(2)5.0(5)(*)()(k k k k k k k k h k y k k k k zs εεεεεεε+=+==

代入卷积公式进行计算，或直接用公式，可以得系统的零状态响应

[

][]

[

])

()2.0(5.0)5.0(55.12)

()2.0(2.015.2)()5.0(5.0110)

(]2.01[8

.02

)(])5.0(1[5.05)(11k k k k k k y k

k k k k zs εεεεε--=-+-=-+-=++

根据上式，可以得到零状态响应在0、1时刻的值

7)0(=zs y ,9.9)1(=zs y ,所以，零输入响应

在0、1时刻的初始值为

279)0()0()0(=-=-=zs zi y y y 49.99.13)1()1()1(=-=-=zs zi y y y

下面就可以求系统的零输入响应。由)(s H 的极点,可知零输入响应具有 [

]

)()2.0()5.0()(21k c c k y k

k zi ε+=

的形式。根据上面求的零输入条件下的初始条件1c 、2c ：

?=+=+42.05.022121c c c c

解之得121=c ，102-=c ，零输入响应为

[

]

)()2.0(10)5.0(12)(k k y k

k zi ε-=

系统的全响应是把零输入分量和零状态分量相加，即

[]

)()2.0(5.10)5.0(75.12)()()(k k y k y k y k k zs zi ε-+=+=

§7-6 离散时间系统与连续时间系统

时域分析方法比较

离散时间系统与连续时间系统时域分析方法非常相似，但是也有一些差异。其基本形式相同，但是含义或概念不同。

一、时域分析方法比较

1、系统描述方面： 1）数学模型：连：微分方程

)

()(...)()()()(...)()(0111101

11t e b t e dt d

b t e dt d b t e dt d b t r a t r dt d a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n ++++=++++-----

离：差分方程：

)()1(...)1()()

()1(...)1()(011011k e b k e b m k e b m k e b k r a k r a n k r a n k r m m n ++++-+++=++++-+++--

2）祘子表示：

连：引入微分祘子p

()

)(...)

( (0111011)

1t e b p b p b p

b t r a p a p a p m m m

n n n ++++=++++----

或：

0122110

12211......)(a p a p a p a p b p b p b p b p b p H n n n n n m m m m m m ++++++++++=

-------- 离：引入移序祘子S

)()(...)()()()(...)()(01110111k e b k e S b k e S b k e S b k r a k r S a k r S a k r S m m m m n n n +?++?+?=+?++?+?----0122110

12211......)(a S a S a S a S b S b S b S b S b S H n n n n n m m m m m m ++++++++++=

--------

3）物理模型： a 、基本运算单元：

连：加法器，标量乘法器，积分器

离：加法器，标量乘法器，移序（延时）器 b 、结构

两者类似，只要将积分器与移序（延时）器互换。 2、求解方法： 1）种类：

连：经典法，近代时域法，变换域法

离：经典法，近代时域法，变换域法，递推法

2）近代时域法：都是通过解零输入响应zi r 和零状态响应zs r 两部分

（1） zi r

求解

a 、列特征方程：

连：0 (011)

1=++++--a p a p a p n n n

离：0 (011)

1=++++--a S a S a S n n n b 、特征根：连：n λλλ,...,,21

离：n ννν,...,,21 c 、形式解：

实验1离散时间信号的产生与运算

数字信号处理实验报告班级：学号：姓名：word文档可自由复制编辑

实验1离散时间信号的产生与运算一、实验目的 (1)了解离散时间信号的特点。 (2)掌握在计算机中生成及绘制各种常用离散时间信号序列的方法。 (3)掌握序列的加、减、乘、除和平移、反转、尺度变换等基本运算及计算机的实现方法。二、实验原理信号是随时间变化的物理量，而计算机只能处理离散信号。离散信号是在某些不连续的时间上有信号值，而在其它时间点上没有定义的一类信号。离散信号一般可以由连续信号通过模数转换得到。常用的离散信号有单位脉冲序列、单位阶跃序列、复指数序列、正弦信号序列、随机序列等。离散信号的基本运算包括信号的加、减、乘、除。离散信号的时域变换包括信号的平移、反转、尺度变换等。三、实验内容与方法 1、编写程序，生成如下数字信号：sqrt(2*k)u(k错误！未找到引用源。3)， δ(k+5)。 (1) f(k)=sqrt(2*k)u(k错误！未找到引用源。3) 代码： k=(1:10); n=3; u=[(k-n)>=0]; a=sqrt(2*k); stem(k,a.*u); title('sqrt(2*k)u(k 3)的图像'); xlabel('时间(k)');ylabel('幅值f(k)'); 运行图： word文档可自由复制编辑

(2) f(k)= δ(k+5) 代码： k1=-10;k2=0;k=k1:k2; n=-5; %单位脉冲出现的位置 f=[(k-n)==0]; stem(k,f,'filled');title('δ(k+5)序列的图像') xlabel('时间(k)');ylabel('幅值f(k)'); 运行图： word文档可自由复制编辑

matlab实现：常见的离散时间信号

1．单位抽样序列，或称为离散时间冲激，单位冲激： ? ??=01)(n δ 00≠=n n 如果)(n δ在时间轴上延迟了k 个单位，得到)(k n -δ即： ???=-01)(k n δ 0≠=n k n 2．单位阶跃序列 ? ??01)(n u 00<≥n n 在MATLAB 中可以利用ones( )函数实现。 );,1(N ones x = 3．正弦序列 )(cos )(0φω+=n A n x 这里， ,,0ωA 和φ都是实数，它们分别称为本正弦信号)(n x 的振幅，角频率和初始相位。 πω200=f 为频率。 4．复正弦序列 n j e n x ω=)( 5．实指数序列 n A n x α=)( 6. 随机序列长度为N 的随机序列基本数学函数参考教材P69页以及随后的使用说明。注意使用行向量，特别是冒号运算符。举例，长度为N 的实指数序列在MATLAB 中实现： n a x N n .^1 :0=-= 1. 单位采样长度为N 的单位采样序列u(n)可以通过下面的MATLAB 命令获得：

u=[1 )1,1(-N zeros ]；延迟M 个采样点的长度为N 的单位采样序列ud(n)(M

用MATL新编实现常用的离散时间信号及其时域运算

用M A T L新编实现常用的离散时间信号及其时域运算公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

实验四用MATLAB实现常用的离散时间信号及其时域运算 —— 摘要：在MATLAB中，只能用向量来表示离散时间信号。与连续信号不同，离散时间信号无法用符号运算来表示。用适当的MATLAB语句表示出信号后，就可以利用MATLAB的绘图命令stem来绘出直观的信号波形图，stem是专门用于绘制离散时间信号的。在MATLAB中离散序列的时域运算和变换不能用符号运算来实现，而必须用向量表示的方法，即在MATLAB中离散序列的相加、相乘需表示成两个向量的相加、相乘，因而参加运算的两序列向量必须有相同的维数。一、实验目的：（1）学习MATLAB语言及其常用指令；（2）学习和掌握用MATLAB语言产生离散时间信号的编程方法；（3）通过编程绘制出离散时间信号的波形，加深理解信号的时域运算。二、实验内容：（1）运用MATLAB的绘图指令绘制离散时间信号；（2）用MATLAB语言实现离散时间信号的时域运算。三、实验原理：（1）单位阶跃序列和单位样值序列。离散时间信号只在某些离散的瞬时给出信号的值，因此，它是时间上不连续的序列。单位阶跃序列和单位样值序列在离散时间信号与系统的分析中是两个非常典型的序列，分别记为u(n)和δ(n)。它们的定义分别如下： 1 n≥0 1 n≥0 u(n)= δ(n)= 0 n<0 0 n≠0

若单位阶跃序列的起始点为n0，单位样值序列出现在n0时刻，则表达式分别为： 1 n≥n0 1 n=n0 u(n-n0)= δ(n-n0)= 0 n

离散时间信号的表示及运算

第2章离散时间信号的表示及运算 2.1 实验目的 ● 学会运用MATLAB 表示的常用离散时间信号； ● 学会运用MATLAB 实现离散时间信号的基本运算。 2.2 实验原理及实例分析 2.2.1 离散时间信号在MATLAB 中的表示离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。离散序列通常用)(n x 来表示，自变量必须是整数。离散时间信号的波形绘制在MATLAB 中一般用stem 函数。stem 函数的基本用法和plot 函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。如果要实心，需使用参数“fill”、“filled”，或者参数“.”。由于MA TLAB 中矩阵元素的个数有限，所以MA TLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。 1. 单位取样序列单位取样序列)(n δ，也称为单位冲激序列，定义为 ) 0()0(0 1)(≠=?? ?=n n n δ （12-1）要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n =0处是取确定的值1。在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写以下的impDT .m 文件来实现，即 function y=impDT(n) y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0 调用该函数时n 必须为整数或整数向量。【实例2-1】利用MATLAB 的impDT 函数绘出单位冲激序列的波形图。解：MATLAB 源程序为 >>n=-3:3; >>x=impDT(n); >>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('单位冲激序列') >>axis([-3 3 -0.1 1.1])

离散时间信号处理-知识点总结

离散时间信号及系统的DTFT 离散时间信号及系统的z变换 DFT的表达式连续时间信号机系统的Fourier变换时域-系统的因果性及稳定性P21、P32、P48 z域-系统的因果性及稳定性P110 抽样时间信号的频域表示P142 抽样离散信号与原连续信号的时域关系P150 连续信号、采样时间信号与离散信号的频谱关系P157 DTFT的对称性质P56 DTFT的理论及性质P59 DTFT变换对P62 DTFT与原连续信号的频谱关系P147 离散Fourier级数DFS性质P550 DFT性质P576 线性循环卷积P576 重叠保留法、相加法P582 窗函数效应P698 时间依赖Fourier变换P714 Decimation in Time P640、P645 Decimation in Frequency P649、P651 z-Transform变换对P104 z-Transform性质P126

LTI的典型单位冲激响应P31 LTI的特征函数及特征根P40、P46 全通系统P274 最小相位系统P280 线性相位系统P291 线性相位系统与最小相位系统的关系P308 FIR滤波器窗函数P469 FIR滤波器最佳逼近P486 降采样频谱P168、P170 升采样频谱P172、P174 随机信号理论Appendix-A 随机信号的自协方差及自相关序列的时域频域性质P65 平稳随机信号的Fourier分析P723 AD噪声分析P193 数字滤波器中的舍入误差噪声P391 有限字长效应P370 系数量化误差P377 FFT有限寄存器长效应P661 极限循环P415

离散时间信号表与运算

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

实验一离散时间信号的表示与运算一实验目的 1、熟悉MATLAB 的绘图函数； 2、掌握单位取样序列、单位阶跃序列、矩形序列和正余弦序列的产生方法； 3、掌握离散时间信号基本运算的MATLAB 实现； 4、掌握离散时间信号线性卷积和运算的MATLAB 实现。二实验设备 1、计算机 2、MA TLAB R2007a 仿真软件三实验原理 1）序列相加和相乘设有序列)(1n x 和)(2n x ，它们相加和相乘如下： ) ()()()()()(2121n x n x n x n x n x n x ?=+= 注意，序列相加（相乘）是对应序列值之间的相加（相乘），因此参加运算的两个序列必须具有相同的长度，并且保证位置相对应。如果不相同，在运算前应采用zeros 函数将序列左右补零使其长度相等并且位置相对应。在MATLAB 中，设序列用x1和x2表示，序列相加的语句为：x=x1+x2；然而要注意，序列相乘不能直接用x=x1*x2,该式表示两个矩阵的相乘，而不是对应项的相乘。对应项之间相乘的实现形式是点乘“.*”，实现语句为：x=x1.*x2。 2）序列翻转设有序列：)()(n x n y -=，在翻转运算中，序列的每个值以n=0为中心进行翻转，需要注意的是翻转过程中序列的样值向量翻转的同时，位置向量翻转并取反。MATLAB 中，翻转运算用fliplr 函数实现。设序列)(n x 用样值向量x 和位置向量nx 表述，翻转后的序列 )(n y 用样值向量y 和位置向量ny 描述。 3）序列的移位移位序列)(n x 的移位序列可表示为：)()(0n n x n y -=，其中，00>n 时代表序列右移 0n 个单位；00

用MATLAB实现常用的离散时间信号及其时域运算

单位样值序列与连续时间的单位冲激信号的异同。（2）离散时间信号的时域运算。与连续时间系统的研究类似，在离散系统分析中，经常遇到离散时间信号的运算，包括两信号的相加、相乘以及序列自身的移位、反褶、尺度等等，也需要了解在运算过程中序列的表达式以及对应的波形的变化。序列x(n)的移位：x(n-n0) 序列x(n)的反褶：x(-n) 序列x(n)的尺度变换：x(an) 两序列x1(n)与x2(n)的相加减：x1(n) ±x2(n) 两序列与的相乘：x1(n) ·x2(n) （3）学习如何使用MATLAB语言产生离散时间信号并对离散时间信号进行时域运算。四、实验任务：（1）编制用于产生下列信号的通用程序，要求对于任意给定的参数都能实现所要求的信号。调试并运行这些通用的程序。 ①x(n)=Aδ(n-n0) 程序：function un(t1,t2,t0) t=t1:t2; n=length(t); tt=t1:t2; n1=length(tt); f=zeros(1,n); f(1,t0-t1+1)=3; stem(t,f),grid on title('μ￥??3??÷D?o?') axis([t1,t2 -0.2 4])

离散时间信号分析

离散时间信号分析实验目的：利用MA TLAB进行离散时间序列的基本运算，掌握基本的MA TLAB函数的编写和调试方法。实验内容：（1）信号相加 x(n)=x1(n)+x2(n) 当两个相加的序列长度不同时或位置不对应时，首先必须调整二者的位置对齐，然后通过zeros函数左右补零使其长度相等后再相加。下面的参考代码利用函数sigadd说明了这些运算，其验证将在后续实验中进行。 MATLAB参考代码 function[y,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2) %implements y(n)=x1(n)+x2(n) %--------------------------------------------- %[y,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2) %y=sum sequence over n,which includes n1 and n2 %x1=first sequence over n1 %x2=second sequence over n2(n2 can be different from n1) % n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2));%duration of y(n) y1=zeros(1,length(n)); y2=y1; y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;%x1 with duration of y y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;%x2 with duration of y y=y1+y2;%sequence addition （2）信号相乘信号相乘，即两个序列的乘积（或称“点乘”），表达式为： x(n)=x1(n)?x2(n) 在MA TLAB中，用运算符“.*”实现。

《离散时间信号的表示及运算》

实验一离散时间信号的表示及运算一、实验目的 1．掌握离散时间信号的时域表示； 2．掌握离散时间信号的基本运算； 3．用MA TLAB 表示的常用离散时间信号及其运算； 4．掌握用MA TLAB 描绘二维图形的方法。二、实验原理离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。离散序列通常用)(n x 来表示，自变量必须是整数。离散时间信号的波形绘制在MATLAB 中一般用stem 函数。对离散时间序列实行基本运算可得到新的序列，这些基本运算主要包括加、减、乘、除、移位、反折等。两个序列的加减乘除是对应离散样点值的加减乘除，因此，可通过MATLAB 的点乘和点除、序列移位和反折来实现。一些常用序列 1．单位冲激序列（单位抽样）)(n δ ?? ?≠==0,00,1)(n n n δ (1) 2．单位阶跃序列)(n u ???=，，01)(n u 00<≥n n (2) 3．矩形序列)(n R N ???=，，01)(n R N 其他10-≤≤N n (3) 4．正弦序列和指数序列正弦序列 )s i n ()(0?ω+=n A n x (4) 式中：A 为幅度，0ω为数字域的频率，它反映了序列变化的速率，?为起始相位。实指数序列 )()(n u a n x n = (5)

式中，a 为实数。当1a 时，序列是发散的。a 为负数时，序列是摆动的。复指数序列 n j e n x )(0)(ωσ+= (6) 它具有实部和虚部，0ω是复正弦的数字域频率。三、实验内容 1．用Matlab 编制程序分别产生单位抽样序列)(n δ、单位阶跃序列)(n u 、矩形序列)()(5n R n x =、正弦序列)8 sin(2)(n n x π=、复指数序列n j e n x )641()(π+=，并画波形图；绘制)(n δ波形绘制n j e n x ][)()2.01.0(π+-=的实部和虚部的波形。