1.设随机变量X的概率分布为
X 1234
p1/81/41/21/8求E(X),E(X2),E(X+2)2. 解.由离散型随机变量的数学期望公式可知
E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8;
E(X2)= 12×1/8+22×1/4+32×1/2+42×
1/8=61/8;
E(X+2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8.
2.某种产品共有10件,其中有次品3件.现从中任取3件,求取出的3件产品中次品数X 的数学期望和方差. 解.由题意可知,随机变量X的取值范围是0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为
;
;
;
.
因此E(X)=0×7/24+1×
21/40+2×7/40+3×1/120=9/10;
E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10;
∴
D (X )=
E (X 2)-(E (X ))2=13/10-(9/10)2=49/100.
3.一批零件中有9个合格品与3个废品
,
在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.
解. 随机变量X 表示在取得合格品之前,已经取出的废品数.
所以 X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为
P (X =0)=9/12=3/4 ;
;
;
.
所以由数学期望公式得到
E (X )=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3 ;
E (X 2)= 02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22 ;
∴
D (X )=
E (X 2)-(E (X ))2=9/22-0.32=0.319.
4.射击比赛,每人射
四次(每次一发),约定全部不中得0分,
只中一弹的得20分,中两弹得40分,中三弹得70分,中
解. 随机变量X 表示此人的得分. 根据题意,可得
四弹得100分.某人每次射击的命中率均为3/5,求他得分的数学期望.
,
,
,
,
.所以
=54.05.
5.设随机变量X的概率分布密度函数为
,
求X的数学期望和方
差. 解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知
; 又因为
;
∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=π2/12-1/2 .
6.设随机变量X的概率分布密度函数为
.
求X的数学期望和方差. 解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知
, 又根据密度函数的性质得到
∴A=15/16 即E(X)=1.
又∵
;
∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=8/7-1=1/7.
7.设随机变量X的概率分布密度函数为
,
且已知方差D(X)=1, 求常数a和b. 解.显然常数a＞0.
由密度函数的性质可知
①
根据数学期望公式得到
;
;
∴由已知D(X)=E(X2)-(E(X))2=a3b/6=1②
解方程①②得到 .
解.根据连续型随机变量的数学
期望和方差公式可知
8.设随机变量X的概率分布密度函数为
,
求X的方差.
∴
D(X)=E(X2)-(E(X))2=1/6-0=1/6.
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