第一章
1.设P （A ）=31
，P （A ∪B ）=21，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6
1_______.
2. 设P （A ）=31
，P （A ∪B ）=21，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4
1_____.
3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____.
4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. A 与B 相互独立
5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________.
6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______．
7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________．
8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同
颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于
____12/55____.
9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____.
10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35
18
第二章
1.设随机变量X~N （2，22），则P {X ≤0}=___0.1587____.（附：Φ（1）=0.8413） 设随机变量X~N （2，22），则P{X ≤0}=（P{(X-2)/2≤-1} =Φ（-1）=1-Φ（1）=0.1587
2.设连续型随机变量X 的分布函数为???≤>-=-,0,
0;
0,1)(3x x e x F x
则当x >0时，X 的概率密度f (x )=___ x
e 33-_____.
3．设随机变量X 的分布函数为F （x ）=?
??≤>--,0,0;
0,2x x e a x 则常数a =____1____.
4．设随机变量X~N （1，4），已知标准正态分布函数值Φ（1）=0.8413，为使P{X 5．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X ，则P{X ≥1}=_____ 32 31 _______. 6.X 表示4次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.5，则X~ _B(4, 0.5)____ 7.设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，则P {}3≤X = ____0.6_______. 8.设随机变量X 的分布律为 ，且Y =X 2，记随机 变量Y 的分布函数为F Y （y ），则F Y （3）=_____9/16____________. 9.设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 1 10.已知随机变量X 的密度函数为 f (x )=A e |x | , ∞ 求：（1）A 值；（2）P {0 21 2 1 (1-e ) ?? ?? ?≤>-=-0 210 211)(x e x e x F x x 11.设随机变量X 分布函数为 F （x ）=e ,0, (0),00.xt A B x , x λ-?+≥>? （1） 求常数A ，B ； （2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）. A=1 B=-1 P {X ≤2}=λ 21--e P {X ＞3}=λ 3-e ?? ?≤>=-0 )(x x e x f x λλ 12.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??<≤-<≤. ,0,21, 2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ）. X -1 0 1 2 P 81 8 3 161 167 ???? ??? ?? ≥≤<-+-≤<≤=21211221102100)(2 2x x x x x x x x F X 2 1 0 1 3 P k 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求（1）X 的分布函数，（2）Y =X 2的分布律. ?????????? ?≥<≤<≤<≤--<≤--<=31 3130/191030 /170 130/11125/120 )(x x x x x x x F 14.设随机变量X ~U （0,1），试求： （1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =2ln X 的分布函数及密度函数. ?????<<=others e y y y f Y 0 11)( ??? ??>=-others z e z f z Z 0021)(2 第三章 1．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ?????>>=+-,, 0;0,0,),()(其他y x e y x f y x （1）求边缘概率密度f X (x)和f Y (y )，（2）问X 与Y 是否相互独立，并说明理由. ?? ?≤>=-000 )(x x e x f x X ???≤>=-0 )(y y e y f y Y 因为 )()(),(y f x f y x f Y X = ，所以X 与Y 相互独立 2．设二维随机变量22 1212(,)~(,, ,,)X Y N μμσσρ，且X 与Y 相互独立，则 Y 1 4 9 P k 1/5 7/30 1/5 11/30 ρ=____0______. 3.设X~N （-1，4），Y~N （1，9）且X 与Y 相互独立，则2X-Y~___ N （-3，25）____. 4.设随机变量X 和Y 相互独立，它们的分布律分别为 ， 则{}==+1Y X P _____ 5 16 _______. 5．设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中区域D 是直线y=x ，x=1和x 轴所围 成的三角形区域，则(X,Y)的概率密度101()2 y x f x y others ?≤<≤? =???，． 6X ，Y ）的分布律；（2）随机变量Z=XY 的分布律. 7 求：和Y 的边缘分布列；（3）X 与Y 是否独立？为 什么？（4）X+Y 的分布列. 因为{0,1}{0}{1}P X Y P X P Y ==≠==，所以X 与Y 不相互独立。 8.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=???>>+-., 0, 0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） P {0≤X <1，0≤Y <2}. A=12 P {0≤X <1，0≤Y <2}=3 8 (1)(1)e e ---- 9.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=?? ?<<<<--., 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ；（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}；（3） 求P {X +Y ≤4}. 18 38 2 3 10.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为 f Y （y ）=???>-., 0, 0,e 55其他y y 求 X 与Y 的联合分布密度. f （x, y ）=525e ,0,0, 0,.y x y -?>>?? 其他 11.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）= 4.8(2),01,0, 0, .y x x y x -≤≤≤≤?? ?其他 求边缘概率密度. 12.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=???<<-., 0, 0,其他e y x y 求边缘概率密度. 13.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=???≤≤., 0, 1,22其他y x y cx （1） 试确定常数c ； （2） 求边缘概率密度. 14.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=?? ?<<<. , 0, 10,,1其他x x y 求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）. （2） X 与Y 是否相互独立？ 第四章 1.设X ~B （4， 2 1），则E （X 2）=____5_______. 2.设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则Cov （X ，Y ）=____1_______. 3．随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3，E （X ）=1，则 x =____10/7________. 4．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则E （2X+1）=__5/3__, D （2X+1）=___4/9___. 5． X 的分布律为则{}=<)(X E X P __ 0.8 __. 6．设X 1，X 2，Y 均为随机变量，已知Cov(X 1,Y )=-1，Cov(X 2,Y )=3,则Cov(X 1+2X 2, Y )=__7_____. 7．设X~N （0，1），Y~B （16，2 1 ），且两随机变量相互独立，则D(2X+Y)= ____8____． 8．设二维随机向量（X ，Y ）的概率密度为? ??<<<<=，y x xy y x f 其他,0;20,10,),(试求： （1）E （X ），E （Y ）；（2）D （X ），D （Y ）；（3）ρXY . 2/3 4/3 1/18 2/9 0 9 , 且已知E （Y ）=1，试求：（1）常数α，β；（2）E （X ）；（3）E （XY ）. 0.2 0.2 0.6 0.6 10.设随机变量X 的分布律为 1 0 1 2 求E （X ），E （X 2），E （2X +3）. 11.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 12.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ 4X . 13.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X 2Y ），D （2X 3Y ）. 14.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=? ??<<<<.,0, 0,10,其他x y x k 试确定常数k ，并求XY ρ. 15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= 1, 计算：Cov （3X 2Y +1，X +4Y 3）. 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=22 1,1, π0, .x y ?+≤????其他 试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 17. 1 0 1 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 第六章 1.设总体~(0, 1)X N ，X 1, X 2,…,X n 为样本，则统计量 2 1 n i i X =∑的抽样分布为___)(2 n χ___. 2. 设X 1，X 2…，X n 是来自总体2 ~(, )X N μσ的样本，则∑ =σ μ-n 1 i i )X ( 2 ～__)(2 n χ__（需标出参数）． X Y 3. 设X 1，X 2，…，X n （n>5） 是来自总体~(0, 1)X N 的样本，则∑∑==-= n i i i i X X n Y 6 251 2)55( ～ __)5,5(-n F __（需标出参数）． 4.设总体2 ~(1, )X N σ，X 1, X 2,…,X n 为来自该总体的样本，则1 1n i i X X n ==∑，则 ()E X =____1____， ()D X =__n 2 σ___。 5．设总体2 ~(, )X N μσ，X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本，令U= σ μ) (-X n ， 则D （U ）=____1_______. 6.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体 均值之差的绝对值大于3的概率.（用标准正态分布函数()Φ?表示） ))2(1(2Φ- 7．设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机 样本，S 2为其样本方差，则统计量___2 16 9S ___～2(9)χ. 第七章 1. 设总体X 的概率密度为(1),01; (;)0, ,x x f x θθθ-+?<<=??其他 其中θ是未知参数，x 1,x 2,…,x n 是来自该总体的样本，试求θ的矩估计和极大似然估计. X X += 1矩θ) ∑==n i i L x n 1 ln θ) 2. 设总体X 服从（0，θ）上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.2, 0.3, 0.5, 0.1, 0.6, 0.3, 0.2, 0.2，求求θ的矩估计值和极大似然估计值. 0.6 0.6 3. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其中λ为未知参数，X 1，X 2，…，X n 为来自该总体 的一个样本，求参数λ的矩估计量和极大似然估计量. X =矩λ) X L =λ) 4. 设总体~(, 1)X N μ，123,,X X X 为其样本，若估计量12311 ?23 X X kX μ =++为μ的无偏估计量，则k = ___1/6_____. 5. 设总体是~(, 2)X N μ，123,,X X X 是总体的简单随机样本，1?μ, 2?μ是总体参数μ的两个估计量，且1?μ =123111244X X X ++，2?μ =123111 333 X X X ++，其中较有效的估计量是__2?μ ____. 6. 设某种砖头的抗压强度2 ~(, )X N μσ，今随机抽取20块砖头，测得抗压强度数据（单位：kg ·cm -2）的均值76.6x =，和标准差18.14s =： （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. （其中0.0250.025(19) 2.093, (20) 2.086,t t == 22 0.0250.975(19)32.852, (19)8.907, χχ== 220.0250.975(20)34.170, (20)9.591χχ==） (68.11, 85.09) (190.33, 702.01)
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