广东省揭阳市普宁市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4}，B={1,3，5}，则(?U A)∩B=()
A. {1}
B. {3,5}
C. {1,6}
D. {1,3，5，6}
2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是()
A. y=1
x
B. y=e?x
C. y=?x2+1
D.
3.直线y=?x+1的倾斜角为()
A. 30°
B. 45°
C. 135°
D. 150°
4.若m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是()
A. α//β,m?α,n?β?m//n
B. α⊥γ,β⊥γ?α//β
C. α//β,m//n,m⊥α?n⊥β
D. α∩β=m,β∩γ=n,m//n?α//β
5.已知函数f(x)=x3+2x?8的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如表所示：
x12 1.5 1.75 1.625 1.6875
f(x)?5.00 4.00?1.630.86?0.460.18
则方程x3+2x?8=0的近似解可取为(精确度0.1)()
A. 1.50
B. 1.66
C. 1.70
D. 1.75
6.已知长方体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高AA1=3，则BC1与
对角面BB1D1D所成角的正弦值等于()
A. 4
5B. 3
5
C. 2√2
5
D. 3√2
5
7.圆x2+y2=1与圆(x+1)2+(y+4)2=16的位置关系是()
A. 相外切
B. 相内切
C. 相交
D. 相离
8.已知a=1.50.2，b=log0.21.5，c=0.21.5，则()
A. a>b>c
B. b>c>a
C. a>c>b
D. c>a>b
9.已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=()
A. ?1
2B. 0 C. 1
2
D. 1
10.一元二次方程x2?5x+1?m=0的两根均大于2，则实数m的取值范围是()
A. [?21
4,+∞) B. (?∞,?5) C. [?21
4
,?5) D. (?21
4
,?5)
11.设球O是正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O
的半径为()
A. 3
2B. 3 C. √3
2
D. √3
12.对于函数y=f(x)，如果存在区间[m,n]，同时满足下列条件：
①f(x)在[m,n]内是单调的；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]，则称[m,n]是该函
数的“和谐区间”.若函数f(x)=a+1
a ?1
x
(a>0)存在“和谐区间”，则a的取值范围是()
A. (0,1)
B. (0,2)
C. (1
2,5
2
) D. (1,3)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知f(x)的定义域为[?2,4]，则f(3x?4)的定义域为__________
14.已知直线l的方程为：kx?y+1?3k=0，则当k变化时，直线恒过定点_______．
15.若函数f(x)=log a2?1(2x+1)在(?1
2
,0)上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．16.若点P是直线l：x?y?2=0上的动点，点A，B分别是圆C1：(x+3)2+(y?1)2=4和圆C2：
x2+(y?3)2=1上的两个动点，则PA+PB的最小值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my?1=0互相平行，且l1，l2之间的距离为√5，求
直线l1的方程．
18.设函数f(x)=x+x?13，求满足f(a?2)+f(1+a)≤0的实数a的取值范围．
19.如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD的边长为4的菱形，PD=PB=4，∠BAD=60°，E为
PA中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA=PC，求三棱锥E?ABC的体积．
20.已知函数f1(x)=e|x?2a+1|，f2(x)=e|x?a|+1,x∈R．
(1)若a=2，求f(x)=f1(x)+f2(x)在x∈[2,3]上的最小值；
(2)若x∈[a,+∞)时，f2(x)≥f1(x)，求a的取值范围；
(3)求函数g(x)=f1(x)+f2(x)
2?|f1(x)?f2(x)|
2
在x∈[1,6]上的最小值．
21.已知g(x)=x2?2ax+1在区间[1,3]上的值域[0,4]．
(1)求a的值；
(2)若不等式g(2x)?k?4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数k的取值范围；
(3)若函数y=g(|2x?1|)
|2x?1|+k?2
|2x?1|
?3k有三个零点，求实数k的取值范围．
22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C2过点M(1
2,3)，且与圆C1：(x?9
2
)2+y2=10外切于点N(3
2
,1)．
(1)求圆C2的方程；
(2)设斜率为2的直线l分别交x轴负半轴和y轴正半轴于A，B两点，交圆C2在第二象限的部分于E，F两点，且AE=FB．
①求直线l的方程；
②若P是圆C1上的动点，求△PEF的面积的最大值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：?U A={3,5，6}；
∴(?U A)∩B={3,5}．
故选：B．
进行交集、补集的运算即可．
考查列举法表示集合的概念，以及交集和补集的运算．
2.答案：C
解析：
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，属于中档题．
根据偶函数的定义判断各个选项中的函数是否为偶函数，再看函数是否在区间(0,+∞)上单调递减，从而得出结论．
解：y=1
为奇函数；
x
y=e?x为非奇非偶函数；
y=?x2+1符合条件，
y=lg|x|在定义域(0,+∞)上为增函数．
故选C．
3.答案：C
解析：解：可得直线y=?x+1的斜率为?1，
设倾斜角为α，则tanα=?1，
∴α=135°
故选：C．
由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角．
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．
4.答案：C
解析：
本题考查空间线面位置关系的判断；利用线面平行、线面垂直以及面面垂直对选项分别判断，得到线线，线面，面面的位置关系．
解：对于A，α//β,m?α,n?β,，则m,n有可能异面，故A排除．
对于B，α⊥γ,β⊥γ，则α,β有可能相交，故B排除．
对于D，α∩β=m,β∩γ=n,m//n，则α,β有可能相交，故D排除．
故选C.
5.答案：B
解析：
本题考查零点存在性定理的应用，利用二分法求方程的近似解，根据表格中各函数值的正负性来加以判断，从而得到结果．
解：∵由零点存在性定理，结合表格中函数值，
f(1)·f(2)<0，
f(1.5)·f(2)<0，
f(1.5)·f(1.75)<0，
f(1.625)·f(1.75)<0，
f(1.625)·f(1.6875)<0，
∴函数f(x)=x3+2x?8的零点在(1.625,1.6875)之间，
∵近似解的精确度0.1，|1.625?1.6875|=0.0625<0.1，
∴结合选项可知，方程的近似解可取1.66．
故选B．
6.答案：C
解析：
本题考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题．
在长方体ABCD?A1B1C1D1中，连接A1C1交B1D1于点O1，连接BO1，证明C1O1⊥平面BB1D1D，则∠C1BO1就是BC1与对角面BB1D1D所成角，解直角三角形BC1O1即可．
解：连接A1C1交B1D1于点O1，连接BO1，
因为底面ABCD为正方形，即A1B1C1D1为正方形，A1C1和B1D1为其两条对角线，
故A?1C1⊥B1D1，
而在长方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1⊥底面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，
故A?1C1⊥BB1，而B1D1∩BB1=B1，且B1D1，BB1?平面BB1D1D，
故A?1C1⊥平面BB1D1D，
即C1O1⊥平面BB1D1D.
所以∠C1BO1为BC1与对角面BB1D1D所成的角，C1O1=2√2，BC1=5，
于是sin∠C1BO1=2√2
．
5
故选C．
7.答案：C
解析：
本题考查圆的位置关系的应用，考查计算能力．属于基础题．
求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可．
解：圆x2+y2=1的圆心(0,0)，半径为1；
圆(x+1)2+(y+4)2=16的圆心(?1,?4)，半径为4，
圆心距为：√1+16=√17，半径和为5，半径差为：3；
√17∈(3,5)，
所以两个圆的位置关系是相交．
故选C．
8.答案：C
解析：
本题主要考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题.根据指数函数和对数函数的性质进行计算即可；
解：依题意有，因此a>c>b．
故选C．
9.答案：A
解析：解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，
∴圆心C(a,0)在直线y=2x+1上，
∴2a+1=0，解之得a=?1
2
故选：A．
根据题意，圆心C(a,0)在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．
本题给圆C关于已知直线对称，求参数a的值．着重考查了圆的标准方程、圆的性质和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
10.答案：C
解析：
本题考查了方程的根与系数的关系，根据韦达定理和判别式列出关于m的不等式，解不等式即可，属于基础题．
解：设方程的两根为x1,x2，
方程x 2?5x +1?m =0的两根均大于2， 则x 1?2>0,x 2?2>0， ∴{Δ≥0
x 1+x 2?4>0(x 1?2)(x 2?2)>0， 即{25?4(1?m )≥05?4>01?m ?2×5+4>0， 解得?
214
≤m
∴实数m 的取值范围是[?214
,?5)．
故选C ．
11.答案：C
解析：
本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想，属于中档题．
易知B 1D 过球心O ，且B 1D ⊥平面ACD 1，不妨设垂足为M ，正方体棱长为a ，平面ACD 1截球O 所得的截面面积为6π，建立方程，求出正方体的棱长，即可求出球O 的半径． 解：如图，易知B 1D 过球心O ，且B 1D ⊥平面ACD 1，
不妨设垂足为M ，正方体棱长为a ，
则球半径为R =a
2R =a
2，易知DM =1
3DB′DM =1
3DB 1 ∴OM =1
6DB 1=
√3
6
a ， ∴截面圆半径r =√(a
2
)2?OM 2=
√6
6
a ， 所以截面圆面积S =πr 2=6π，
得r=√6
6
a=√6，a=6，
∴球O的半径为R=a
2
=3.
故答案B．
12.答案：A
解析：
本题考查函数单调性的判断和一元二次方程的根的分布，属于中档题．
易得函数在区间[m,n]是单调的，由f(m)=m，f(n)=n可得故m、n是方程ax2?(a+1)x+a=0的两个同号的实数根，由Δ=(a+1)2?4a2>0，解不等式即可．
解：由题意可得若函数f(x)=a+1
a ?1
x
(a>0)在区间[m,n]是单调的，
所以[m,n]?(?∞，0)或[m,n]?(0，+∞)，则f(m)=m，f(n)=n，
故m、n是方程a+1
a ?1
x
=x的两个同号的实数根，
即方程ax2?(a+1)x+a=0有两个同号的实数根，注意到mn=a
a
=1>0，故只需Δ=(a+1)2?4a2>0，
解得?1
3
结合a>0，可得0 故选A． 13.答案：[2 3?,?8 3 ] 解析： 本题考查抽象函数的定义域的求解．解：∵函数f(x)的定义域为[?2?,?4]， ∴由?2≤3x?4≤4得2 3≤x≤8 3 ， ∴函数f(3x?4)的定义域为[2 3?,?8 3 ]． 故答案为[2 3?,?8 3 ]． 14.答案：(3,1) 解析： 本题考查直线恒过定点的问题，属于基础题． 将直线方程整理成：k (x ?3)+(?y +1)=0，即可得到恒过的定点． 解：直线l 的方程为：kx ?y +1?3k =0， 即：k (x ?3)+(?y +1)=0， 令{x ?3=0?y +1=0，解得{x =3y =1． 故答案为(3,1)． 15.答案：(?√2,?1)∪(1,√2) 解析： 本题考查用复合函数的单调性求单调区间，将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围是解决本题的关键． 解：因为x ∈(?1 2,0)， 所以2x +1∈(0,1)，且log a 2?1(2x +1)>0， 所以0 16.答案：√73?3 解析： 【分析】本题考查点与圆的位置关系及和圆有关的最值问题.依题意点A ，B 在圆的同侧，由对称性求解． 【解答】因为点P 是直线l ：x ?y ?2=0上的动点，点A ，B 分别是圆C 1：(x +3)2+(y ?1)2=4和 圆C 2：x 2+(y ?3)2=1上的两个动点，且两圆在直线的同侧，作出圆C 2关于直线l 对称的圆，记为圆C′2，则PA +PB 的最小值即为|C 1C′2|?3=√73?3． 17.答案：解：因为l 1//l 2，所以m 2=8m ≠n ?1． 解得{m =4n ≠?2或{m =?4n ≠2 ． 当m =4时，直线l 1的方程是4x +8y +n =0，l 2的方程为4x +8y ?2=0． 两平行线间的距离为√16+64=√5，解得n =?22，或n =18． 所以，所求直线l 1的方程为2x +4y ?11=0，或2x +4y +9=0． 当m =?4时，直线l 1的方程为4x ?8y ?n =0，把l 2的方程写成4x ?8y ?2=0． 两平行线距离为√16+64=√5.解得n =?18，或n =22． 所以，所求直线l 1的方程为2x ?4y +9=0，或2x ?4y ?11=0． 综上可得所求直线l 1的方程为2x +4y ?11=0，或2x +4y +9=0，或2x ?4y +9=0，或2x ?4y ?11=0． 解析：本题考查直线的一般式方程，以及平行线间的距离，涉及分类讨论的思想，属中档题． 由直线平行可得{m =4n ≠?2或{m =?4 n ≠2，分别代入可得直线的方程，由l 1，l 2之间的距离为√5可得关于 n 的方程，解之可得． 18.答案：解：因为f(x)=x +x 1 3的定义域为R ， 且f(?x)=?x +(?x)1 3=?(x +x 1 3)=?f(x)， 所以f(x)为奇函数， 又f(x)单调递增， 所以f(a ?2)+f(1+a)≤0变形为f(a ?2)≤?f(1+a)=f(?a ?1)， 得a ?2≤?a ?1， 解得a ≤1 2． 所以a 的取值范围是(?∞,1 2]． 解析：本题考查函数的奇偶性与单调性． 由已知得f(x)为单调递增的奇函数，利用性质求解即可． 19.答案：证明：(1)设AC∩BD=O，连结PO， ∵四棱锥P?ABCD中，底面ABCD的边长为4 的菱形， ∴AC⊥BD， ∵PD=PB=4，∴PO⊥BD， ∵AC∩PO=O，PO?平面PAC，AC?平面PAC． ∴BD⊥平面PAC． 解：(2)∵PA=PC，∴PO⊥AC， 又PO⊥BD，AC∩BD=O，AC?平面ABCD，BD?平面ABCD．∴PO⊥平面ABCD， ∵底面ABCD的边长为4的菱形，PD=PB=4，∠BAD=60°， ∴BO=1 2BD=1 2 AB=2，AC=2AO=2√AB2?BO2=2√16?4=4√3， ∴S△ABC=1 2×AC×BO=1 2 ×4√3×2=4√3， PO=√PB2?BO2=√42?22=2√3，取AO中点F，连结EF， ∵E是PA中点，∴EF是△PAO中位线，∴EF//PO，且EF=1 2 PO=√3， ∴三棱锥E?ABC的体积V E?ABC=1 3×S△ABC×EF=1 3 ×4√3×√3=4． 解析：本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用． (1)设AC∩BD=O，连结PO，推导出AC⊥BD，PO⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC． (2)推导出PO⊥平面ABCD，求出S△ABC和PO，取AO中点F，连结EF，EF是△PAO中位线，从而EF⊥平面ABC，由此能求出三棱锥E?ABC的体积． 20.答案：解：(1)因为a=2，且x∈[2,3]，所以f(x)=e|x?3|+e|x?2|+1=e3?x+e x?1=e3 e x +e x e ≥ 2√e3 e x ×e x e =2e， 当且仅当x=2时取等号，所以f(x)在x∈[2,3]上的最小值为2e…4分 (2)由题意知，当x∈[a,+∞)时，e|x?2a+1|≤e|x?a|+1，即|x?2a+1|≤|x?a|+1恒成立…6分 所以|x ?2a +1|≤x ?a +1，即2ax ≥3a 2?2a 对x ∈[a,+∞)恒成立， 则由{2a ≥02a 2≥3a 2?2a ，得所求a 的取值范围是0≤a ≤2…9分 (3)记?1(x)=|x ?(2a ?1)|，?2(x)=|x ?a|+1，则?1(x)，?2(x)的图象分别是以(2a ?1,0)和(a,1)为顶点开口向上的V 型线，且射线的斜率均为±1． ①当1≤2a ?1≤6，即1≤a ≤7 2时，∴g(x)在x ∈[1,6]上的最小值为f 1(2a ?1)=e 0=1…10分 ②当a <1时，可知2a ?1 (ⅰ)当?1(a)≤?2(a)，得|a ?(2a ?1)|≤1，即?2≤a ≤0时，在x ∈[1,6]上，?1(x)f 2(x)，所以g(x)=f 2(x)的最小值为f 2(1)=e 2?a ；