三角形中位线定理-巩固练习

八下数学每日一练：三角形中位线定理练习题及答案_2020年填空题版答案答案答案答案答案答案2020年八下数学：图形的性质_三角形_三角形中位线定理练习题~~第1题~~(2019吴兴.八下期末) 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边上的中点，连结BE ，D F ，已知BE=5，则DF=________。

考点： 直角三角形斜边上的中线;三角形中位线定理;~~第2题~~(2019诸暨.八下期末) 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是边CD 的中点，连结OE ．若∠ABC ＝60，∠BAC ＝80°，则∠1的度数为________．考点： 三角形中位线定理;平行四边形的性质;~~第3题~~(2019西湖.八下期末) 在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 的中点，若DE ＝5，则AB ＝________．考点： 三角形中位线定理;~~第4题~~(2019苍南.八下期末) 如图，在正方形ABCD 中，G 是对角线BD 上的点，GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，连结EF ，设M ，N 分别是AB ，BG 的中点，EF=5，则MN 的长为________。

考点： 全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理;矩形的性质;正方形的性质;~~第5题~~(2019南浔.八下期末) 如图，A 、B 两处被池塘隔开，为了测量A 、B 两处的距离，在AB 外选适当的点C ，连结AC、BC ，并分别取线段AC 、BC 的中点E 、F ，测得EF=22m ，则AB=________m ．考点： 三角形中位线定理;~~第6题~~(2019桂林.八下期末) 已知△ABC 中，AB ＝12，AC ＝13，BC ＝15，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，则△D EF 的周长是________．考点： 三角形中位线定理;答案答案答案答案~~第7题~~(2019嘉兴.八下期末) 如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ， AB=5，AC=2，则DF 的长为________.考点： 三角形中位线定理;~~第8题~~(2019许昌.八下期中) 如图，在图（1）中，A 、B 、C 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，在图（2）中，A 、B 、C 分别是△A B C 的边B C 、C A 、A B 的中点，…，按此规律，则第n 个图形中平行四边形的个数共有________个考点： 三角形中位线定理;平行四边形的判定;~~第9题~~(2019江苏.八下期中) 若三角形各边长分别为8cm 、10cm 、16cm ，则以各边中点为顶点的三角形的周长是________.考点： 三角形中位线定理;~~第10题~~(2019湖南.八下期中) 如图，在▱ABCD 中，AD ＝8，点E 、F 分别是BD 、CD的中点，则EF ＝________．考点： 三角形中位线定理;平行四边形的性质;2020年八下数学：图形的性质_三角形_三角形中位线定理练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：111222*********7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：。

6.4三角形的中位线定理1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________________________________．2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．4．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．5．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD 于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．6．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．7．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．8．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC ＝7，求ED．9．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?参考答案1．(1)中点的线段；(2)平行于三角形的，第三边的一半．2．16，64×(21)n －1 ． 3．18． 4．提示：可连结BD (或AC )．5．连结BE ，CEAB ⇒□ABEC ⇒BF ＝FC ．□ABCD ⇒AO ＝OC ，∴AB ＝2OF ． 6．提示：取BE 的中点P ，证明四边形EFPC 是平行四边形．7．提示：连结AC ，取AC 的中点M ，再分别连结ME 、MF ，可得EM ＝FM ．8．ED ＝1，提示：延长BE ，交AC 于F 点．9．提示：AP ＝AQ ，取BC 的中点H ，连接MH ，NH ．证明△MHN 是等腰三角形，进而证明∠APQ ＝∠AQP ．初中数学试卷。

专题11 三角形中位线定理【考点归纳】（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：【好题必练】一、选择题1．（2020秋•罗湖区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C．【解析】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠F AC，∴∠F AC＝2∠F AE，∵∠F AC＝∠B+∠ACB，∴∠F AE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，∴DG＝AG＝CG＝EG，在Rt△AED中，AD2+AE2＝DE2＝AC2＝(2AG)2＝4AG2，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．2．（2020秋•安丘市期末）如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．【答案】B．【解析】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴＝＝＝，∴△DEF∽△CAB，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积＝2，∴△DEF的面积＝，故选：B．3．（2020秋•长春期末）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，DE为△ABC的中位线，则四边形BCED 的面积为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B．【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F．∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝60°，又∵DE为中位线，∴DE＝BC＝2，BD＝AB＝2，DE∥BC，∴DF＝BD•sin∠B＝2×，∴四边形BCED的面积为：DF×（DE+BC）＝××（2+4）＝3．故选：B．4．（2020秋•长春期末）△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF 的周长为（）A．4.5B．9C．10D．12【答案】B．【解析】解：∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．5．（2020秋•绿园区期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（）A．5m B．10m C．20m D．40m【答案】C．【解析】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，∴AB＝2CD＝20（m），故选：C．6．（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】D．【解析】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．二、填空题7．（2020春•兴化市期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．若BC＝6，则DE的长为．【答案】3【解析】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×6＝3，故答案为：3．8．（2020春•姜堰区期中）已知以三角形各边中点为顶点的三角形的周长为6cm，则原三角形的周长为cm．【答案】12【解析】解：∵△DEF的周长为6cm，∴DE+DF+EF＝6，∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点∴DE、DF、EF是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，AB＝2EF，AC＝2DF，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（DE+DF+EF）＝12（cm），故答案为：12．9．（2020春•建湖县期中）如图，AB∥CD，AB＝7，CD＝3，M、N分别是AC和BD的中点，则MN的长度．【答案】2【解析】解：延长DM交AB于E，∵AB∥CD，∴∠C＝∠A，在△AME和△CMD中，，∴△AME≌△CMD（ASA）∴AE＝CD＝3，DM＝ME，∴BE＝AB﹣AE＝4，∵DM＝ME，DN＝NB，∴MN是△DEB的中位线，∴MN＝BE＝2，故答案为：2．10．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，BC＝14，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上一点，连接AF、CF，若DF＝12，∠AFC＝90°，则AC＝．【答案】10【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝7，∴EF＝DF﹣DE＝5，在Rt△AFC中，AE＝EC，∴AC＝2EF＝10，故答案为：10．11．（2020•凤山县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点．若BC＝2，则EF的长度为．【答案】1【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝2，∵E，F分别为AC，AD的中点，∴EF为△ACD的中位线，∴EF＝CD＝1，故答案为：1．三、解答题12．（2020•房山区二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点．求证：EF平分∠BED．【答案】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠CBD，∴EB＝ED，∵EB＝ED，F是BD中点，∴EF平分∠BED．【解析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，证明EB＝ED，根据等腰三角形的三线合一证明结论．13．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，对角线BD平分∠ABC，E，F分别是BD，CD的中点．求证：AD∥EF．【答案】证明：∵E，F分别是BD，CD的中点，∴EF∥BC，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC，∴AD∥EF．【解析】根据三角形中位线定理得到EF∥BC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理得到AD∥BC，根据平行公理的推论证明结论．14．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AC的中点，AB＝6，求DE的长．【答案】解：∵D为BC的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝3．【解析】根据三角形中位线定理解答．15．如图，在△Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．【答案】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，∴CD＝EF．【解析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DF∥AC，证明四边形DECF是矩形，根据矩形的性质证明．16．如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，求△ABC的周长【答案】解：∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴AB＝2EF，AC＝2DE，BC＝2DF，∵△DEF的周长为10，即EF+DE+DF＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（EF+DE+DF）＝20．【解析】根据三角形中位线定理得到AB＝2EF，AC＝2DE，BC＝2DF，根据三角形周长公式计算，得到答案．。

三角形中位线课后作业1．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是（）A．9°B．18°C．27°D．36°1题2题3题4题2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，若CE＝2，则四边形ADFE的周长为（）A．2B．4C．6D．83．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（）A．8 B．9C．10D．124．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、AC的中点．若AD＝10，BD＝8，CD＝6，则四边形EFGH的周长是（）A．24B．20C．12D．105．如图，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO．若要使得四边形DEFG是正方形，则需要满足条作（）A．AO＝BC B．AB⊥ACC．AB＝AC且AB⊥AC D．AO＝BC且AO⊥BC5题6题6.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AM平分∠BAC，CM⊥AM于点M，N为BC的中点，连结MN，则MN的长为．7.△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．8.如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）AB＝6，AC＝4，求四边形AEDF的周长；（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．9.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？。

三角形中位线定理专练1．如图，在△ ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥ CD，垂足是E，F 是CB的中点．求证：BD=2EF．2．如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：△ EFG是等腰三角形．3．在△ ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．4．如图，BE，CF是△ ABC的角平分线，AN⊥ BE于N，AM⊥ CF于M，求证：MN∥ BC．5．如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ ABD、∠ ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．求证：MN=（AB+BC+AC）6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠ DHF=∠ DEF．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD 的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．8．如图，M是△ ABC的边BC的中点，AN平分∠ BAC，BN⊥ AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ ABC的周长．三角形中位线定理专练参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（2014?山东模拟）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有【专题】常规题型．【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD 的中点，再求证EF为△BCD的中位线．【解答】证明：在△ACD中，因为AD=AC 且AE⊥CD，所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明：E为CD的中点，又因为F是CB的中点，所以，EF∥BD，且EF为△BCD的中位线，因此EF=BD，即BD=2EF．【点评】此题主要是中位线定理在三角形中的应用，考查在三角形中位线为对应边长的的定理．2．（2015春?天津校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：△EFG是等腰三角形．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】由于E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，利用中位线定理，GF=AD，GE=BC，又因为AD=BC，所以GF=GE．【解答】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．∴GF=AD，GE=BC．又∵AD=BC，∴GF=GE，即△EFG是等腰三角形．【点评】本题通过给出的中点，利用中位线定理，证得边相等，从而证明等腰三角形，是一道基础题．3．（2015秋?青岛校级月考）在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定．菁优网版权所有【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，MN∥BC且MN=BC，从而得到EF∥MN且EF=MN，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断．【解答】解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．4．（2015春?泗洪县校级期中）如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE 于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】延长AN、AM分别交BC于点D、G，根据BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG可知∠BAN=∠BGN故△ABG为等腰三角形，所以BN也为等腰三角形的中线，即AM=GN．同理AM=DM，根据三角形中位线定理即可得出结论．【解答】证明：延长AN、AM分别交BC于点D、G．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．5．（2015春?富顺县校级月考）如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．求证：MN=（AB+BC+AC）【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】首先通过△ABM≌△DBM，得到AB=DB，AM=DM，同理：AN=EN，AC=CE，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．【解答】证明：∵AM⊥BM，∴∠AMB=∠DMB=90°，∵BM平分∠ABD，∴∠ABM=∠DBM，在△ABM与△DBM中，，∴△ABM≌△DBM（asa），∴AB=DB，AM=DM，同理：AN=EN，AC=CE，∴MN=DE=（DB+BC+CE）=（AB+BC+AC）．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．6．（2014?宿迁）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=∠DEF．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定．菁优网版权所有【专题】证明题；几何综合题．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BA C，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．7．（2014?丹阳市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．【考点】三角形中位线定理；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】取AD的中点G，连接EG，FG，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．【解答】证明：取AD的中点G，连接EG，FG，∵G、F分别为AD、CD的中点，∴GF是△ACD的中位线，∴GF=AC，同理可得，GE=BD，∵AC=BD，∴GF=GE=AC=BD．∴∠GFN=∠GEM，又∵EG∥OM，FG∥ON，∴∠OMN=∠GEM=∠GFN=∠ONM，∴OM=ON．【点评】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明．8．（2013?永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN 于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．【解答】（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．。

三角形的中位线定理1．三角形中位线的定义：2．三角形中位线定理的证明：1如图，在△ABC中，D、E是AB和AC的中点，求证：DE∥BC，DE=BC．2方法一：B 方法二：B3．归纳：（1）几何语言：（2）条中位线，对全等，个平行四边形（3）面积14．拓展：如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，求证：DE=BC．2B【巩固练习】，AE=EB，求证：OE∥BC．1．如图所示，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O2．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=BD ．123．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．4．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．5．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．求证：四边形DEFG 是平行四边形．6．已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ．7．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点．求证：△EFG 是等腰三角形。

A B8．如图，在四边形中，点是线段上的任意一点（与不重合），分别是ABCD E AD E AD ，G F H ，，BE BC CE ，，的中点．求证：四边形是平行四边形；EGFH 9．如图，点E ，F，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．10．已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线，求证：DE 与AF互相平分11．如图所示，在四边形ABCD 中，DC∥AB，以AD ，AC 为边作□ACED ，延长DC 交EB 于．求证：EF=FB ．(多种方法)。

初二数学三角形的中位线定理试题1.如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．4【答案】C【解析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．2.在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（）A．9.5B．10.5C．11D．15.5【答案】D【解析】根据折叠图形的对称性，易得△EDF≌△EAF，运用中位线定理可知△AEF的周长等于△ABC周长的一半，进而△DEF的周长可求解．3.如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．12【答案】B【解析】根据平行四边形的判定以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可得EF∥AO，FG∥BC，且都等于边长BC的一半，由此可得问题答案．4.如图，在△ABC中，E是中线AD的中点，则AF：FC=（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5【答案】A【解析】解：如图，在FC取一点G，使FG=GC，∵D为BC的中点，BF∥DG，∴DG=BF，又∵E是AD的中点，BF∥DG，∴EF是△ADG的中位线，∴F是AG的中点，∴AF=FG=GC.∴AF：FC=1：2.5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= __________cm．【答案】9【解析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．6.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1，DF交CE于点G，且EG=CG，则BC=_______．【答案】2【解析】通过全等三角形△DEG和△FCG，可得出CF=DE=1；根据DE是△ABC的中位线，可求出DE：BC=1：2．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= _______cm．【答案】5【解析】首先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD=10cm，再根据中位线的性质可得EF=AB=5cm．8.如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为________°．【答案】64【解析】由点D，E分别是AB，AC的中点可EF是三角形ABC的中位线，所以EF∥BC，再有平行线的性质和在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半的性质可证明三角形EFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出∠ECF的度数，进而求出∠FAE的度数．9.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．若AD=4cm，AB=8cm，则CF的长是_______cm．【答案】【解析】作CG⊥OB于G，构造直角三角形CFG求解．根据勾股定理求得BD的长，再根据直角三角形的面积公式结合矩形的性质求得CG的长，再根据勾股定理求得BG的长，根据矩形的性质求得OB的长，从而求得FG的长，根据勾股定理即可求解．10.已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，BD=2BO．由已知BD=2AD，∴BO=BC．又E是OC中点，∴BE⊥AC．（2）由（1）BE⊥AC，又G是AB中点，∴EG是Rt△ABE斜边上的中线．∴EG=AB．又∵EF是△OCD的中位线，∴EF=CD．又AB=CD，∴EG=EF．【解析】（1）由已知条件易证△OBC是等腰三角形，E是OC的中点，根据等腰三角形中底边上的高与中线合一的性质知BE⊥AC．（2）利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及中位线定理可证EG=EF．。

《三角形的中位线定理》练习一、选择——基础知识运用1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．142．如图，在△ABC中，AC=8，BC=12，AF交BC于F，E为AB的中点，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，则DE的长为（）A．2 B．C．3 D．43．如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论不正确的是（）A．点G是△ABC的重心B．DE∥BCC．△ABC的面积=2△ADE的面积D．BG=2GE4．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A．线段EF的长逐渐增长B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长始终不变D．线段EF的长与点P的位置有关5．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A．AB=12m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2二、解答——知识提高运用6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN= AC。

7．如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H．求证：∠AHF=∠BGF。

8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．则四边形AEFD是什么特殊的四边形？请说明理由。

9．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，BC边上的中点，G，H是AC的三等分点，EG，FH 的延长线交于点D．求证：①DG：EG=2：1；②四边形ABCD是平行四边形。

第二十三讲三角形中位线定理【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线例1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P 在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．例2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．【答案解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点∴DE∥AB∴∠EDC＝∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC＝2∠FBD在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD∴∠DBF＝∠DFB∴FD＝BD＝12BC＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．例3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC ＝18，求MD的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】（2015春•泗洪县校级期中）如图，BE ，CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M ，求证：MN ∥BC ．【答案】证明：延长AN 、AM 分别交BC 于点D 、G ．∵BE 为∠ABC 的角平分线，BE ⊥AG ，∴∠BAG=∠BGA ，∴△ABG 为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．例4、（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE 作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA 的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．【思路点拨】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=．【答案与解析】（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．∵E、F分别是BC、AD的中点，∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，∵∠BME=∠CNE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB=CD，∴HO=HE，∴∠HOE=∠HEO，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=．【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形例5、如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．【答案与解析】解：（1）四边形DEFG是平行四边形，理由是：∵线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，∴EF∥BC，EF=BC，DG=BC，DG∥BC，∴EF∥DG，EF=DG，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=180°﹣90°=90°，∵M为EF的中点，OM=2，∴EF=2OA=4，∵EF=DG，∴DG=4．【总结升华】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.【巩固练习】一.选择题1.已知△ABC 的各边长度分别为3cm ，4cm ，5cm ，则连结各边中点的三角形的周长为（ ）A ．2cmB ．7cmC ．5cmD ．6cm2. 如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为（ ）A ．5B ．10C ．20D ．403. 在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，连接DF 、FE ，则四边形DBEF 的周长是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．114．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．185. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12cmB ．1.52cmC ．22cmD ．32cm（第5题） （第6题）6. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12二.填空题7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.8. 如图, E 、F 分别是口ABCD 的两边AB 、CD 的中点, AF 交DE 于P, BF 交CE 于Q,则PQ 与AB 的关系是 .9. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，对角线AC 、BD 的长分别为7和9，则四边形EFGH 的周长是______.第8题第9题 第10题 10.如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ．11.如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长 ．第11题 第12题12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列三个结论：①∠BOC ＝90°＋12∠A ；②设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则AEF S mn △；③EF 不能成为△ABC 的中位线．其中正确的结论是_______.三.解答题13.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点．求证：MN 和PQ 互相平分．14.已知：在△ABC 中，BC ＞AC ，动点D 绕△ABC 的顶点A 逆时针旋转，且AD ＝BC ，连接DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连接HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF ＝∠BNE （不需证明）；（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF 与∠BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．15.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D ；【解析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．2.【答案】C ；【解析】根据中位线定理可得BC ＝2DF ，AC ＝2DE ，AB ＝2EF ，继而结合△DEF 的周长为10，可得出△ABC 的周长．3.【答案】B ；【解析】∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，∴DF=12BC=2，DF ∥BC ，EF=12AB=32，EF ∥AB ， ∴四边形DBEF 为平行四边形， ∴四边形DBEF 的周长=2（DF+EF ）=2×（2+32）=7． 故选B ．4.【答案】B ；【解析】解：∵BD ，CE 是△ABC 的中线，∴ED ∥BC 且ED=BC ，∵F 是BO 的中点，G 是CO 的中点，∴FG ∥BC 且FG=BC ，∴ED=FG=BC=4，同理GD=EF=AO=3，∴四边形DEFG 的周长为3+4+3+4=14．故选B ．5.【答案】B ；【解析】连接MN ，作AF ⊥BC 于F ．∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝12×8＝4，在Rt △ABF 中，AF ＝22AB BF -＝2254-＝3，∵M 、N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN 是中位线，即平分三角形的高且MN ＝8÷2＝4，∴NM ＝12BC ＝DE ，∴△MNO ≌△EDO ，O 也是ME ，ND 的中点，∴阴影三角形的高是12AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴S 阴影＝4×0.75÷2＝1.5．6.【答案】B；【解析】连接AE，延长交CD于H，可证AB＝DH，CH＝两底的差，EF是△AHC的中位线，EF＝1 2两底的差，EG＋FG＝12两腰的和，故△EFG的周长是9.二.填空题7.【答案】平行四边形；8.【答案】PQ∥AB，PQ＝12 AB；【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.9.【答案】16；【解析】根据三角形中位线的性质得出HG 12AC，EF12AC，HE12DB，GF12BD，进而得出HE＝GF＝12BD，HG＝FE＝12AC，即可得出答案．10.【答案】3；【解析】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．11.【答案】3；【解析】∵△ABC的周长是26，BC=10，∴AB+AC=26﹣10=16，∵∠ABC的平分线垂直于AE，∴在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ，∴AQ=EQ，AB=BE，同理，AP=DP，AC=CD，∴DE=BE+CD﹣BC=AB+AC﹣BC=16﹣10=6，∵AQ=DP，AP=DP，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ=12DE=3．故答案是：3．12.【答案】①，③；【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF的面积＝△AOE的面积＋△AOF的面积求解；③若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．三.解答题13.【解析】证明：连接MP，PN，NQ，QM，∵AM＝MD，BP＝PD，∴PM是△ABD的中位线，∴PM∥AB，PM＝12 AB；同理NQ＝12AB，NQ∥AB，∴PM＝NQ，且PM∥NQ．∴四边形MPNQ是平行四边形．∴MN与PQ互相平分．14.【解析】解：图1：∠AMF＝∠ENB；图2：∠AMF＝∠ENB；图3：∠AMF＋∠ENB＝180°．证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＝∠HFE，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠ENB＝∠AMF．如图3：取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180°，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠AMF＋∠ENB＝180°．15.【解析】证明：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，∴CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD=BD=AB．又EF∥AB，∴=，∴==1，∴EF=CF；（2）如图，延长EF交BC于点M，连接GM．∵EF∥AB，∴∠CMF=∠CBD．又∵AD=BD=AB，∴∠DCM=∠CBD，即∠FCM=∠CBD，∴∠CMF=∠FCM，∴CF=MF．又由（1）知，EF=CF，∴EF=FM，即点F是EM的中点，又∵EF∥AB，则FM∥AB∴EM是△ABC的中位线，则点M是BC的中点，∵点G是BE的中点，∴DG是△AEB的中位线，GM是△BEC的中位线，∴GD∥AE，GM∥EC，∴点D、G、M三点共线，∴FG是△CDM的中位线，∴FG∥CM．又∵MC⊥EC，∴FG⊥DG．。

专题12三角形中位线定理★知识归纳●三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点梳理：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.★实操夯实一．选择题（共18小题）1．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为（）A．1.5B．2C．3D．4【解答】解：∵点D，E分别是边AB，CB的中点，∴DE＝AC＝2，故选：B．2．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED＝90°+∠C，则BC+2AE等于（）A．AB B．AC C．AB D．AC【解答】解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC＝∠DEF．又∵点D是AB的中点，∴EF＝AE．∵∠DEF＝∠BFC＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+∠C）＝90°﹣∠C，∴∠FBC＝∠BFC，∴BC＝FC，∴BC+2AE＝AC．故选：B．3．如图，在△ABC中，E，F分别为AC，BC中点，若AB＝6，BC＝7，AC＝8，则EF＝（）A．3B．3.5C．4D．4.5【解答】解：∵E，F分别为AC，BC中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝×6＝3，故选：A．4．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，测量得MN ＝8米，则A、B两点间的距离为（）A．4米B．24米C．16米D．48米【解答】解：∵点M、N分别为AC和BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴AB＝2MN＝16（米），故选：C．5．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EP于D，BE＝3，DF＝1，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠EDB，∴ED＝EB＝3，∴EF＝ED+DF＝4，∴BC＝2EF＝8，故选：D．6．一个三角形的三条中位线的长为6、7、8，则此三角形的周长为（）A．10.5B．21C．42D．63【解答】解：∵三角形的三条中位线的长为6、7、8，∴三角形的三边长分别为12、14、16，∴此三角形的周长＝12+14+16＝42，故选：C．7．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（）A．保持不变B．逐渐变小C．先变大，再变小D．逐渐变大【解答】解：连接AQ，∵点Q是边BC上的定点，∴AQ的大小不变，∵E，F分别是AP，PQ的中点，∴EF＝AQ，∴线段EF的长度保持不变，故选：A．8．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，∴∠BFD＝∠ABF，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABF，∴∠BFD＝∠DBF，∴DF＝DB＝BC＝3，故选：A．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．10．△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（）A．22°B．68°C．96°D．112°【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵∠C＝68°，∴∠AED＝∠C＝68°．故选：B．11．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，延长DE至F，使EF＝DF，若BC＝8，则DF的长为（）A．6B．8C．4D．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE＝BC＝4，∵EF＝DF，∴EF＝2，∴DF＝6，故选：A．12．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点E、F分别为AC和AB的中点，AF＝5，AE＝4，则BC＝（）A．3B．6C．8D．10【解答】解：∵点E、F分别为AC和AB的中点，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴∠AEF＝∠C＝90°，∴EF＝＝＝3，∴BC＝6，故选：B．13．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，∴PQ＝DE＝4．故选：B．14．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）A．B．2C．D．3【解答】解：延长BC到E使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝DE＝AB，∵AC⊥BC，∴AB＝＝＝5，∴CM＝，故选：C．15．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（）A．50°B．25°C．15°D．20°【解答】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB＝CD，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝70°，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝20°+（180﹣70）°＝130°，∴∠PMN＝＝25°．故选：B．16．如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论：①AE＝2AC；②CE ＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【解答】解：①∵CB是三角形ACE的中线，∴AE＝2AB，又AB＝AC，∴AE＝2AC．故此选项正确；②取CE的中点F，连接BF．∵AB＝BE，CF＝EF，∴BF∥AC，BF＝AC．∴∠CBF＝∠ACB．∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC．∴∠CBF＝∠DBC．又∵CD是三角形ABC的中线，∴AC＝AB＝2BD．∴BD＝BF．又∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCF，∴CF＝CD．∴CE＝2CD．故此选项正确．③若要∠ACD＝∠BCE，则需∠ACB＝∠DCE，又∠ACB＝∠ABC＝∠BCE+∠E＝∠DCE，则需∠E＝∠BCD．根据②中的全等，得∠BCD＝∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC＝BE，显然不成立，故此选项错误；④根据②中的全等，知此选项正确．故选：A．17．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠F AC，∴∠F AC＝2∠F AE，∵∠F AC＝∠B+∠ACB，∴∠F AE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，∴DG＝AG＝CG＝EG，在Rt△AED中，AD2+AE2＝DE2＝AC2＝(2AG)2＝4AG2，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．18．如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG＝（∠ACB﹣∠ABC）；③EF＝（AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC）．其中正确的是（）A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC＝90°，在△AFG和△AFC中∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝CF，∵AE为△ABC的中线，∴BE＝CE，∴EF∥AB，故①正确；∵△AFG≌△AFC，∴∠AGC＝∠ACG，∠AGF＝∠ACF，∵∠AGC＝∠B+∠BCG，∴∠ACG＝∠B+∠BCG，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠ACG＝∠ACB﹣（∠B+∠BCG），∴2∠BCG＝∠ACB﹣∠B，∴∠BCG＝（∠ACB﹣∠B），故②正确；∵△AFG≌△AFC，∴AC＝AG，∴BG＝AB﹣AG＝AB﹣AC，∵F、E分别是CG、BC的中点，∴EF＝BG，∴EF＝（AB﹣AC），故③正确；∵∠AFG＝90°，∴∠EAF＜90°，∵∠AFE＝∠AFG+∠EFG＞90°，∴∠AFE＞∠EAF，∴AE＞EF，∵EF＝（AB﹣AC），∴（AB﹣AC）＜AE，延长AE到M，使AE＝EM，连接BM，∵在△ACE和△MBE中∴△ACE≌△MBE（SAS），∴AC＝MB，在△ABM中，AM＜AB+MB＝AB+AC，∵AE＝EM，∴2AE＜AB+AC，∴AE＜（AB+AC），即（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC），故④正确；故选：A．二．填空题（共6小题）19．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，且AB＝10cm，AC＝16cm，则四边形ADEF 的周长等于26cm．【解答】解：∵点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，∴DE，EF都是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝8cm，DE∥AC，EF＝AB＝5cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝2×13＝26（cm）．故答案为：26．20．如图，△ABC的面积为4，分别取AC，BC两边的中点A1，B1，记△A1B1C的面积为S1；再分别取A1C，B1C 的中点A2，B2，记△A2B2C的面积为S2，再分别取A2C，B2C的中点A3，B3，记△A3B3C的面积为S3；则S3的值等于．【解答】解：∵点A1，B1是AC，BC两边的中点，∴A1B1是△ABC的中位线，∴A1B1＝AB，A1B1∥AB，∴△CA1B1∽△CAB，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积为4，∴S1＝1，同理可得，S3＝，故答案为：．21．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝35°，则∠PFE的度数是35°．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝35°，∴∠PEF＝∠PFE＝35°，故答案为：35°．22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝13．【解答】解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，∴NF∥BE，MF∥AD，NF＝BE＝5，MF＝AD＝12，∵∠ACB＝90°，∴AD⊥BC，∵MF∥AD，∴MF⊥BC，∵NF∥BE，∴NF⊥MF，在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN＝＝＝13；故答案为：13．23．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是33．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3＝7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3＝10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）＝3n+1个；当3n+1＝100时，解得：n＝33，故答案为：33．24．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连接DE，DE ＝2.5cm，AB＝4cm，则BC的长为9cm．【解答】解：∵BF平分∠ABC，AG⊥BF，∴△ABG是等腰三角形，∴AB＝GB＝4cm，∵BF平分∠ABC，∴AD＝DG，∵E为AC的中点，∴DE是△AGB的中位线，∴DE＝CG，∴CG＝2DE＝5cm，∴BC＝BG+CG＝4+5＝9cm，故答案为：9三．解答题（共6小题）25．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC．（1）利用直尺与圆规先作∠ACB的平分线，交AD于F点，再作线段AB的垂直平分线，交AB于点E，最后连接EF．（2）若线段BD的长为6，求线段EF的长．【解答】解：（1）所作图形如下：（2）∵CF平分∠ACB∴∠ACF＝∠BCF又∵DC＝AC∴CF是△ACD的中线∴点F是AD的中点∵点E是AB的垂直平分线与AB的交点∴点E是AB的中点∴EF是△ABD中位线∴EF＝BD＝326．在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE垂直∠BAC的平分线于D点，点M为BC边的中点，连接DM．（1）求证：DM＝CE；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．【解答】（1）证明：在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（ASA）∴AE＝AB，BD＝DE，∵BD＝DE，BM＝MC，∴DM＝CE；（2）解：在Rt△ADB中，AB＝＝10，∴AE＝10，由（1）得，CE＝2DM＝4，∴AC＝CE+AE＝14．27．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．【解答】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∵EF∥CD∴四边形DEFC是平行四边形，∴DE＝CF．（2）∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝．28．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF＝∠CQF．【解答】证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．∵点E是AD的中点，∴在△ABD中，EM∥AB，EM＝AB，∴∠MEF＝∠P同理可证：FM∥CD，FM＝CD．∴∠MFQ＝∠CQF，又∵AB＝CD，∴EM＝FM，∴∠MEF＝∠MFE，∴∠P＝∠CQF．．29．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE＝BC，同理：FG∥BC，FG＝BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．30．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF＝CF．【解答】证明：如图，过D作DG∥AC，则∠EAF＝∠EDG，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC中点，∴G为BF中点，∴DG＝CF，∵E为AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴DG＝AF，∴AF＝CF．。

中考数学每日一练：三角形中位线定理练习题及答案_2020年压轴题版答案答案2020年中考数学：图形的性质_三角形_三角形中位线定理练习题~~第1题~~(2020遵化.中考模拟) 如图，直线OA 与反比例函数的图像交于点A （3，3），向下平移直线OA ，与反比例函数的图像交于点B （6，m ）与y 轴交于点C ，（1） 求直线BC 的解析式；（2） 求经过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式；（3） 设经过A 、B 、C 三点的二次函数图像的顶点为D ，对称轴与x 轴的交点为E.问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P ，使以O 、E 、P 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.考点： 一次函数的定义;反比例函数的图象;反比例函数的性质;线段的长短比较与计算;勾股定理;三角形中位线定理;相似三角形的性质;~~第2题~~(2019哈尔滨.中考模拟) 如图，已知一次函数y ＝ x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，一次函数y ＝﹣x+b 经过点C 与x 轴交于点B ．（1） 求直线BC 的解析式；（2） 点P 为x 轴上方直线BC 上一点，点G 为线段BP 的中点，点F 为线段AB 的中点，连接GF ，取GF 的中点M ，射线PM 交x 轴于点H ，点D 为线段PH 的中点，点E 为线段AH 的中点，连接DE ，求证：DE ＝GF ；（3） 在（2）的条件下，延长PH 至Q ，使PM ＝MQ ，连接AQ 、BM ，若∠BAQ+∠BMQ ＝∠DEB ，求点P 的坐标．考点： 待定系数法求一次函数解析式;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理;~~第3题~~(2019永康.中考模拟) 如图，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（4，0），点D 在边AB 上，且tan ∠AOD ＝，点E 是射线OB 上一动点，EF ⊥x 轴于点F ，交射线OD 于点G ，过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H.答案答案答案（1） 求B ，D 两点的坐标；（2） 当点E 在线段OB 上运动时，求∠HDA 的大小；（3） 以点G 为圆心，GH 的长为半径画⊙G.是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E 的坐标.考点： 坐标与图形性质;三角形中位线定理;正方形的性质;切线的判定;锐角三角函数的定义;~~第4题~~(2019亳州.中考模拟) 已知如图1，在△ABC 中，∠ABC=90°，BC=AB ，点D 在AC 上，DF ⊥AC 交BC 于F ，点E 是AF的中点。

中考数学每日一练：三角形中位线定理练习题及答案_2020年综合题版答案答案2020年中考数学：图形的性质_三角形_三角形中位线定理练习题~~第1题~~(2020武汉.中考模拟) 已知平行四边形ABCD.（1） 如图1，将▱ABCD 绕点D 逆时针旋转一定角度得到▱A B C D ，延长B C ，分别与BC 、AD 的延长线交于点M 、N.①求证：∠BMB ＝∠ADA ；②求证：B N ＝AN+C M ；（2） 如图2，将线段AD 绕点D 逆时针旋转，使点A 的对应点A 落在BC 上，将线段CD 绕点D 逆时针旋转到C D 的位置，AC 与A D 交于点H.若H 为AC 的中点，∠ADC +∠A DC ＝180°，A B ＝nA C ，试用含n 的式子表示的值.考点： 全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理;平行四边形的性质;旋转的性质;~~第2题~~(2020遵化.中考模拟) 如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝.（其中mk≠0）图像交于A （－4，2），B （2，n）两点.（1） 求一次函数和反比例函数的表达式；（2） 求△ABO 的面积；（3） 请写出当一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围.考点： 偶次幂的非负性;立方根及开立方;常量、变量;一次函数的定义;反比例函数与一次函数的交点问题;线段的长短比较与计算;三角形的面积;勾股定理;三角形中位线定理;切线的判定与性质;相似三角形的性质;扇形统计图;~~第3题~~(2020遵化.中考模拟) 现有甲、乙、丙等多家食品公司在某市开设蛋糕店，该市蛋糕店数量的扇形统计图如图所示，其中统计图中没有标注相应公司数量的百分比．已知乙公司经营150家蛋糕店，请根据该统计图回答下列问题：（1） 求甲公司经营的蛋糕店数量和该市蛋糕店的总数．（2） 甲公司为了扩大市场占有率，决定在该市增设蛋糕店，在其余蛋糕店数量不变的情况下，若要使甲公司经营的蛋糕店数量达到全市的20%，求甲公司需要增设的蛋糕店数量．考点： 偶次幂的非负性;立方根及开立方;分式的通分;根据数量关系列出方程;常量、变量;一次函数的定义;线段的长短比较与计111111111111111111答案答案答案算;勾股定理;三角形中位线定理;切线的判定与性质;相似三角形的性质;扇形统计图;~~第4题~~(2020遵化.中考模拟) 图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图.已知活动调节点B 可以上下调整高度，离地面CD 的距离BC ＝160cm.设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB ＝30cm.假设水柱AE 垂直AB 直线喷射，小华在离墙面距离CD ＝120cm 处淋浴.（1） 当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE.（2） 如果小华要洗脚，需要调整水柱AE ，使点E 与点D 重合，调整的方式有两种：①其他条件不变，只要把活动调节点B 向下移动即可，移动的距离BF 与小华的身高DE 有什么数量关系？直接写出你的结论；②活动调节点B 不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数.（参考数据： ≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）考点： 偶次幂的非负性;立方根及开立方;分式的通分;常量、变量;一次函数的定义;线段的长短比较与计算;勾股定理;三角形中位线定理;矩形的性质;切线的判定与性质;相似三角形的性质;特殊角的三角函数值;扇形统计图;~~第5题~~(2020遵化.中考模拟) 如图，直线OA 与反比例函数的图像交于点A （3，3），向下平移直线OA ，与反比例函数的图像交于点B （6，m ）与y 轴交于点C ，（1） 求直线BC 的解析式；（2） 求经过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式；（3） 设经过A 、B 、C 三点的二次函数图像的顶点为D ，对称轴与x 轴的交点为E.问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P ，使以O 、E 、P 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.考点： 一次函数的定义;反比例函数的图象;反比例函数的性质;线段的长短比较与计算;勾股定理;三角形中位线定理;相似三角形的性质;2020年中考数学：图形的性质_三角形_三角形中位线定理练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。

九上数学每日一练：三角形中位线定理练习题及答案_2020年综合题版
2020年 九 上 数 学 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _三 角 形 中 位 线 定 理 练 习 题
1. (2019东阳.九上期末) 在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，4），CD是△AOB的中位线.若将△COD绕点O旋 转，得到△C′OD′，射线AC′与射线BD′的交点为P.
以证明.
考点： 等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理;旋转的性质;相似三角形的判定与性质;
答案解析
5. (2019林州.九上期中) 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A ，B，D三点．
（1） 求证：AB是⊙O的直径； （2） 判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明； （3） 若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长． 考点： 等边三角形的性质;等边三角形的判定与性质;三角形中位线定理;圆周角定理;切线的判定与性质;
2020年 九 上 数 学 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _三 角 形 中 位 线 定 理 练 习 题 答 案
1.答案：
2.答案：
答案解析
3.答案： 4.答案：
5.答案：
（1） ∠APB的度数是°. （2） 在旋转过程中，记P点横坐标为m，则m的取值范围是. 考点： 全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理;切线的性质;旋转的性质;
2.
(2019婺城.九上期末) 如图1，在
中，
，
，
，
绕点B顺时针旋转 得到
答案解析
于点D，将
（1） 如图2，当
时，求点C、E之间的距离；
（2） 在旋转过程中，当点A、E、F三点共线时，求AF的长；

3 三角形的中位线知识点1 三角形中位线定理1．如图，点D ，E 分别是△ABC 边BA ，BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为（ ） A ．2B.43C ．3D.32第1题图 第2题图2．如图，M ，N 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点．若∠A ＝65°，∠ANM ＝45°，则∠B ＝（ ）A ．20°B ．45°C ．65°D ．70°3．已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为（ ）A ．8B ．2 2C ．16D ．44．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（ ）A ．∠B ＝∠F B ．∠B ＝∠BCFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF第4题图 第5题图5．如图，在▱ABCD 中，点M 为边AD 上一点，AM ＝2MD ，点E ，F 分别是BM ，CM 的中点．若EF ＝6，则AM 的长为 ．6．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，点E是AB的中点，连接DE.求线段DE的长．知识点2三角形中位线定理的应用8．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是m.第8题图第9题图9．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（）A．15米B．20米C．25米D．30米10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7B．8C．9D ．1011．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝7，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．24D ．21第11题图 第12题图12．如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝35°，则∠PFE 的度数是 ．13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，E ，F 分别是边BC ，AC 的中点．求证：DF ＝BE.14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．15．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交射线FE于P，Q两点．求证：∠P＝∠CQF.参考答案：3 三角形的中位线知识点1 三角形中位线定理1．如图，点D ，E 分别是△ABC 边BA ，BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为（D ） A ．2B.43C ．3D.32第1题图 第2题图2．如图，M ，N 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点．若∠A ＝65°，∠ANM ＝45°，则∠B ＝（D ）A ．20°B ．45°C ．65°D ．70°3．已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为（A ）A ．8B ．2 2C ．16D ．44．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（B ）A ．∠B ＝∠F B ．∠B ＝∠BCFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF第4题图 第5题图5．如图，在▱ABCD 中，点M 为边AD 上一点，AM ＝2MD ，点E ，F 分别是BM ，CM 的中点．若EF ＝6，则AM 的长为8．6．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．证明：∵D ，F 分别是边AB ，AC 的中点， ∴DF ∥BC.同理：DE ∥AC.∴四边形DECF 是平行四边形．7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点D ，点E 是AB 的中点，连接DE.求线段DE 的长．解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线． ∴点D 是BC 的中点． 又∵点E 是AB 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ＝12AC ＝4.知识点2 三角形中位线定理的应用8．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE ＝50 m ，则AB 的长是100m.第8题图 第9题图9．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（C ）A ．15米B ．20米C ．25米D ．30米10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（B ）A ．7B ．8C ．9D ．1011．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝7，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为（A ）A ．12B ．14C ．24D ．21第11题图 第12题图12．如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝35°，则∠PFE 的度数是35°．13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，E ，F 分别是边BC ，AC 的中点．求证：DF ＝BE.证明：∵E ，F 分别是边BC ，AC 的中点， ∴EF ＝12AB ，EF ∥AB ，AF ＝FC ，BE ＝EC.∵AD ＝12AB ，∴EF ＝AD.∵∠BAC ＝90°，EF ∥AB ， ∴∠DAF ＝∠EFC ＝90°. 又∵AF ＝FC ，AD ＝FE ， ∴△DAF ≌△EFC （SAS ）． ∴DF ＝EC.又∵BE ＝EC ，∴DF ＝BE.14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．解：∵AF 是△ABC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF. 又∵CG ⊥AD ，∴∠AFC ＝∠AFG ＝90°. 在△AGF 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠GAF ＝∠CAF ，AF ＝AF ，∠AFG ＝∠AFC ，∴△AGF ≌△ACF （ASA ）． ∴AG ＝AC ＝3，GF ＝CF. ∴BG ＝AB －AG ＝4－3＝1.又∵BE ＝CE ，∴EF 是△BCG 的中位线． ∴EF ＝12BG ＝12.15．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，延长BA ，CD ，分别交射线FE 于P ，Q 两点．求证：∠P ＝∠CQF.证明：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM. ∵点E 是AD 的中点， ∴EM ∥AB ，EM ＝12AB.∴∠MEF ＝∠P.同理可证：FM ∥CD ，FM ＝12CD.∴∠MFE ＝∠CQF. 又∵AB ＝CD ，∴EM ＝FM. ∴∠MEF ＝∠MFE.∴∠P ＝∠CQF.。

中考数学每日一练：三角形中位线定理练习题及答案_2020年解答题版答案答案答案2020年中考数学：图形的性质_三角形_三角形中位线定理练习题~~第1题~~(2020长春.中考模拟) 如图，在⊙O 中，点C 为OB 的中点，点D 为弦AB 的中点，连结CD 并延长，交过点A 的切线于点E.求证：AE ⊥CE.考点： 平行线的性质;三角形中位线定理;切线的性质;~~第2题~~(2019丹阳.中考模拟) 在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是BC 、AB 、AC 边的中点.求证：△BED ≌△DFC.考点： 三角形全等的判定;三角形中位线定理;~~第3题~~(2019乐陵.中考模拟) 如图，在⊙O 中，C ， D 分别为半径OB ， 弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的切线于点E ．（1） 求证：AE ⊥CE ．（2） 若AE = ，sin ∠ADE = ，求⊙O 半径的长．考点： 勾股定理;三角形中位线定理;~~第4题~~(2019中山.中考模拟) 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（0，8），点 B （b ，t ）在直线x=b 上运动，点D 、E 、F 分别为OB 、OA 、AB 的中点，其中b 是大于零的常数．答案答案（1） 判断四边形DEFB 的形状．并证明你的结论；（2） 试求四边形DEFB 的面积S 与b 的关系式；（3） 设直线x=b 与x 轴交于点C ，问：四边形DEFB 能不能是矩形？若能．求出t 的值；若不能，说明理由．考点： 三角形中位线定理;矩形的判定与性质;相似三角形的判定与性质;~~第5题~~(2018夷陵.中考模拟) 如图所示，PA 、PB 为⊙O 的切线，M 、N 是PA 、AB 的中点，连接MN 交⊙O 点C ，连接PC 交⊙O 于D，连接ND 交PB 于Q ，求证：MNQP 为菱形．考点： 三角形中位线定理;菱形的判定;切线的性质;相似三角形的判定与性质;2020年中考数学：图形的性质_三角形_三角形中位线定理练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。