九年级上册数学 期末试卷培优测试卷

九年级上册数学 期末试卷培优测试卷

一、选择题

1．sin 30°的值为（ ） A ．3

B ．

32

C ．

12

D ．

22

2．当函数2

(1)y a x bx c =-++是二次函数时，a 的取值为（ ） A ．1a =

B ．1a =-

C ．1a ≠-

D ．1a ≠

3．在九年级体育中考中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）测试成绩如下（单位：次/分）：46,44,45,42,48,46,47,46.则这组数据的中位数为（ ） A ．42 B ．45 C ．46

D ．48

4．方程(1)(2)0x x --=的解是（ ） A ．1x = B ．2x = C ．1x =或2x = D ．1x =-或2x =- 5．下列方程有两个相等的实数根是（ ）

A ．x 2﹣x +3＝0

B ．x 2﹣3x +2＝0

C ．x 2﹣2x +1＝0

D ．x 2﹣4＝0

6．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）

A ．3：4

B ．9：16

C ．9：1

D ．3：1

7．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10

B ．10，9

C ．8，9

D ．9，10

8．如图，点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠AOC ＝80°，则∠ABC 的大小是（ ）

A ．30°

B ．35°

C ．40°

D ．50°

9．将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，再沿x 轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ） A ．y ＝（x +3）2+2

B ．y ＝（x ﹣3）2+2

C ．y ＝（x +2）2+3

D ．y ＝（x ﹣2）2+3

10．如图，点P （x ，y ）（x ＞0）是反比例函数y=

k

x

（k ＞0）的图象上的一个动点，以点P 为圆心，OP 为半径的圆与x 轴的正半轴交于点A ，若△OPA 的面积为S ，则当x 增大时，S 的变化情况是（ ）

A ．S 的值增大

B ．S 的值减小

C ．S 的值先增大，后减小

D ．S 的值不变

11．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝130°，则∠AOB 的度数为（ ）

A ．50°

B ．80°

C ．100°

D ．110°

12．已知抛物线与二次函数2

3y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ） A ．2

3(1)

3y x =--+ B ．23(1)3y x =-+ C ．23(1)3y x =+-

D ．23(1)3y x =-++

二、填空题

13．已知小明身高1.8m ，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m .若当他把手臂竖直举起时，测得影长为0.78m ，则小明举起的手臂超出头顶______m .

14．将二次函数y ＝2x 2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为____． 15．数据2，3，5，5，4的众数是____．

16．当a≤x≤a+1时，函数y=x 2﹣2x+1的最小值为1，则a 的值为_____．

17．抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与y 轴交于点A ．过点B(0,3)作y 轴的垂线l ，若抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与直线l 有两个交点，设其中靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且│m│<1，则a 的取值范围是______．

18．如图，在ABCD 中，1

3

BE DF BC ==

，若1BEG S ?=，则ABF S ?=__________．

19．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，A 、B 、C 分别为直线l 1，l 2，l 3上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线

段AC 交直线l 2于点D ．设直线l 1，l 2之间的距离为m ，直线l 2，l 3之间的距离为n ，若∠ABC ＝90°，BD ＝3，且

1

2

m n =，则m ＋n 的最大值为___________．

20．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是 ．

21．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是__________________________．

22．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线

OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为

__________．

23．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，

，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的1

2

，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.

24．如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝3：4：5，⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈，若⊙O 的半径为1，且圆心O 运动的路径长为18，则△ABC 的周长为_____．

三、解答题

25．某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t （件）与每件的销

售价x （元）之间的函数关系为t=204-3x.

（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y （元）与每件售价x （元）之间的函数关系式（毛利润=销售价-进货价）；

（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 26．如图，二次函数2

y x bx c =-++的图像经过()0,3M ，()2,5N --两点.

（1）求该函数的解析式；

（2）若该二次函数图像与x 轴交于A 、B 两点，求ABM ?的面积；

（3）若点P 在二次函数图像的对称轴上，当MNP ?周长最短时，求点P 的坐标. 27．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是BD ，AD 上的点，取EF 中点G ，连接DG 并延长交AB 于点M ，延长EF 交AC 于点N 。 （1）求证：∠FAB 和∠B 互余；

（2）若N 为AC 的中点，DE=2BE ，MB=3，求AM 的长.

28．从甲、乙两台包装机包装的质量为300g 的袋装食品中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g ）

甲：301，300，305，302，303，302，300，300，298，299 乙：305，302，300，300，300，300，298，299，301，305 （1）分别计算甲、乙这两个样本的平均数和方差； （2）比较这两台包装机包装质量的稳定性．

29．从﹣1，﹣3，2，4四个数字中任取一个，作为点的横坐标，不放回，再从中取一个数作为点的纵坐标，组成一个点的坐标．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，

并求该点在第二象限的概率． 30．先化简，再求值：

2

21a a -÷（1﹣1

1

a +），其中a 是方程x 2+x ﹣2＝0的解． 31．如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O ，点D 为⊙O 上一点，且CD=CB 、连接DO 并延长交CB 的延长线于点E

（1）判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若BE=4，DE=8，求AC 的长．

32．甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情． (1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；

(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】

直接利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】 解：sin 30°＝12

故选C 【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．

2．D

解析：D 【解析】 【分析】

由函数是二次函数得到a-1≠0即可解题. 【详解】

解：∵2

(1)y a x bx c =-++是二次函数,

∴a-1≠0, 解得：a≠1, 故选你D. 【点睛】

本题考查了二次函数的概念,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键.

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据中位数的定义，把8个数据从小到大的顺序依次排列后，求第4，第5位两数的平均数即为本组数据的中位数. 【详解】

解：把数据由小到大排列为：42,44,45,46,46,46,47,48

∴中位数为

4646

462

+=. 故答案为：46. 【点睛】

找中位数的时候一定要先排好大小顺序，再根据奇数个数和偶数个数来确定中位数.如果是奇数个，则正中间的数字即为中位数；如果是偶数个，则找中间两个数的平均数为中位数.先将数据按从小到大顺序排列是求中位数的关键.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案. 【详解】

解：∵(1)(2)0x x --=， ∴x －1=0或x －2=0， 解得：1x =或2x =. 故选：C. 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.

5．C

解析：C 【解析】

【分析】

先根据方程求出△的值，再根据根的判别式的意义判断即可．

【详解】

A、x2﹣x+3＝0，

△＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，

所以方程没有实数根，故本选项不符合题意；

B、x2﹣3x+2＝0，

△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，

所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；

C、x2﹣2x+1＝0，

△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，

所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；

D、x2﹣4＝0，

△＝02﹣4×1×（﹣4）＝16＞0，

所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的意义是解此题的关键．

6．B

解析：B

【解析】

【分析】

可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DC∥AB，

∴△DFE∽△BFA，

∵DE：EC=3：1，

∴DE：DC=3：4，

∴DE：AB=3：4，

∴S△DFE：S△BFA=9：16．

故选B．

7．D

解析：D

【解析】

试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，

最中间的数是9，则中位数是9；

10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；

故选D．

考点：众数；中位数．

8．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据圆周角与圆心角的关键即可解答.【详解】

∵∠AOC＝80°，

∴

1

2

ABC AOC4.

故选：C.

【点睛】

此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

9．A

解析：A

【解析】

【分析】

直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．

【详解】

解：将二次函数y＝x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到：y＝x2+2，

再沿x轴向左平移3个单位长度得到：y＝（x+3）2+2．

故选：A．

【点睛】

解决本题的关键是得到平移函数解析式的一般规律：上下平移，直接在函数解析式的后面上加，下减平移的单位；左右平移，比例系数不变，在自变量后左加右减平移的单位．10．D

解析：D

【解析】

【分析】

作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的

几何意义得到S△POB=1

2

|k|，所以S=2k，为定值．

【详解】

作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．

∵S△POB=1

2

|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．

故选D．

【点睛】

本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y =

k

x

图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论． 【详解】

在优弧AB 上任意找一点D ，连接AD ，BD ．

∵∠D =180°﹣∠ACB =50°， ∴∠AOB =2∠D =100°， 故选：C ． 【点睛】

本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

12．D

解析：D 【解析】 【分析】

先根据抛物线与二次函数2

3y x =-的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a 的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式． 【详解】

∵抛物线与二次函数2

3y x =-的图像相同，开口方向相同，

3a ∴=-

∵顶点坐标为(1,3)-

∴抛物线的表达式为2

3(1)3y x =-++ 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．

二、填空题 13．54 【解析】 【分析】

在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解. 【详解】

解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得， ， 解得x=0.54

即举起的手臂超出头顶0.54m

解析：54 【解析】 【分析】

在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解. 【详解】

解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得，

1.8 1.80.60.78x

，

解得x=0.54

即举起的手臂超出头顶0.54m. 故答案为：0.54. 【点睛】

本题考查同一时刻物体的高度和影长成比例的投影规律，根据规律列比例式求解是解答此题的关键.，

14．y ＝2(x －2)2＋3 【解析】 【分析】

根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式． 【详解】

解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得

到的抛物线的表达式为

解析：y＝2(x－2)2＋3

【解析】

【分析】

根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．

【详解】

解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x-2）2+3，

故答案为：y＝2(x－2)2＋3.

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．

15．5

【解析】

【分析】

由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．

【详解】

解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，

∴这组数据的众数为5．

故答案

解析：5

【解析】

【分析】

由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．

【详解】

解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，

∴这组数据的众数为5．

故答案为：5．

【点睛】

本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．

16．2或﹣1

【解析】

【分析】

利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

当y=1时，有x

解析：2或﹣1

【解析】

【分析】

利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

当y=1时，有x2﹣2x+1=1，

解得：x1=0，x2=2．

∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，

∴a=2或a+1=0，

∴a=2或a=﹣1，

故答案为：2或﹣1．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．

17．a>或a<.

【解析】

【分析】

先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围. 【详解】

解：如

解析：a>1

3或a<

1

5

-.

【解析】

【分析】

先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围.

【详解】

解：如图，观察图形

抛物线y=ax2-4ax+4的对称轴为直线

4

2

2

a

x

a

-

=-= ,

设抛物线与直线l交点（靠近y轴）为(m,3)，

∵│m│<1，

∴-1

当a>0时，若抛物线经过点（1，3）时，开口最大，此时a值最小，

将点（1，3）代入y=ax2-4ax+4，得，3=a-4a+4

解得a=1 3 ,

∴a>1 3 ;

当a<0时，若抛物线经过点（-1，3）时，开口最大，此时a值最大，将点（-1，3）代入y=ax2-4ax+4，

得，3=a+4a+4

解得a=

1 5 - ,

∴a<

1 5 -.

a的取值范围是a>1

3

或a<

1

5

-.

故答案为：a>1

3

或a<

1

5

-.

【点睛】

本题考查抛物线的性质，首先明确a值与开口的大小关系，观察图形，即数形结合的思想是解答此题的关键.

18．6

【解析】

【分析】

先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案. 【详解】 解：∵四

解析：6 【解析】 【分析】

先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得ABG S ?，根据相似三角形的性质可求得AFG S ?，进而可得答案. 【详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∴△BEG ∽△FAG ， ∵1

3

BE DF BC ==， ∴

1

2

EG BE AG AF ==， ∴2

11,24

BEG BEG ABG AFG S S EG BE S AG S AF ??????==== ???， ∵1BEG S ?=，

∴2ABG S ?=，4AFG S ?=， ∴6ABF ABG AFG S S S ???=+=. 故答案为：6. 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.

19．【解析】 【分析】

过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】

解：过作于，延长交于，过作于，过 解析：

274

【解析】 【分析】

过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于

M ，设AE BN x ==，CF BM y ==，得到3DM y =-，4DN x =-，根据相似三

角形的性质得到xy mn =，29y x =-+，由

1

2

m n =，得到2n m =，于是得到()3m n m +=最大，然后根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】

解：过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于

M ，

设AE BN x ==，CF BM y ==， 3BD =，

3DM y ∴=-，3DN x =-，

90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=?， 90EAB ABE ABE CBF ∴∠+∠=∠+∠=?，

EAB CBF ∴∠=∠， ABE BFC ∴??∽，

∴

AE BE

BF CF

=，即x m n y =，

xy mn ∴=，

ADN CDM ∠=∠， CMD AND ∴??∽，

∴

AN DN

CM DM

=，即3132m x n y -=

=-， 29y x ∴=-+，

1

2m n =， 2n m ∴=，

()3m n m ∴+=最大，

∴当m 最大时，()3m n m +=最大，

22(29)292mn xy x x x x m ==-+=-+=，

∴当92(29)4x =-

=?-时，281

28

mn m ==最大，

94

m ∴=

最大， m n ∴+的最大值为927

344

?=．

故答案为：27

4

．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线，利用相似三角形转化线段关系，得出关于m 的函数解析式是解题的关键．

20．【解析】

试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为. 考点：概率公式． 解析：

【解析】

试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为

42=147

. 考点：概率公式．

21．50（1﹣x ）2=32． 【解析】 由题意可得， 50(1?x)2=32， 故答案为50(1?x)2=32.

解析：50（1﹣x ）2=32． 【解析】 由题意可得， 50(1?x)2=32， 故答案为50(1?x)2=32.

22．【解析】 【分析】

圆C 过点P 、Q ，且与相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再 解析：23【解析】 【分析】

圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ． 【详解】

解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D

∵2OP =，6OQ =， ∴PQ=OQ －OP=4 根据垂径定理，PN=1

22

PQ = ∴ON=PN ＋OP=4 在Rt △OND 中，∠O=45°

∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，242ON =设圆C 的半径为r ，即CM=CP=r ∵圆C 与OB 相切于点M ， ∴∠CMD=90°

∴△CMD 为等腰直角三角形 ∴CM=DM=r ，22CM r =

∴NC=ND －CD=42r 根据勾股定理可得：NC 2＋PN 2=CP 2 即()

2

22422r

r -+=

解得：124223,4223r r +==DM ＞OD ，点M 不在射线OB 上，故舍去）

故答案为：23． 【点睛】

此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．

23．（1，2） 【解析】

解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原

来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）．

解析：（1，2） 【解析】

解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12

，∴点A ′的坐标是（2×

12，4×1

2

），即（1，2）．故答案为（1，2）． 24．30 【解析】 【分析】

如图，首先利用勾股定理判定△ABC 是直角三角形，由题意得圆心O 所能达到的区域是△DEG ，且与△ABC 三边相切，设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，连接DH 、DG 、EP 、EQ

解析：30 【解析】 【分析】

如图，首先利用勾股定理判定△ABC 是直角三角形，由题意得圆心O 所能达到的区域是△DEG ，且与△ABC 三边相切，设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ，连接DH 、DG 、EP 、EQ 、FM 、FN ，根据切线性质可得：AG ＝AH ，PC ＝CQ ，BN ＝BM ，DG 、EP 分别垂直于AC ，EQ 、FN 分别垂直于BC ，FM 、DH 分别垂直于AB ，继而则有矩形DEPG 、矩形EQNF 、矩形DFMH ，从而可知DE ＝GP ，EF ＝QN ，DF ＝HM ，DE ∥GP ，DF ∥HM ，EF ∥QN ，∠PEF ＝90°,根据题意可知四边形CPEQ 是边长为1的正方形，根据相似三角形的判定可得

△DEF ∽△ACB ，根据相似三角形的性质可知：DE ∶EF ∶FD ＝AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5，进而

根据圆心O 运动的路径长列出方程，求解算出DE 、EF 、FD 的长，根据矩形的性质可得：GP 、QN 、MH 的长，根据切线长定理可设：AG ＝AH ＝x ，BN ＝BM ＝y ，根据线段的和差表示出AC 、BC 、AB 的长，进而根据AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5列出比例式，继而求出x 、y 的值，进而即可求解△ABC 的周长． 【详解】

∵AC ∶CB ∶BA ＝3∶4∶5，

设AC ＝3a ，CB ＝4a ，BA ＝5a （a ＞0） ∴()()()2

2

2

222=345AC CB a a a BA ++== ∴△ABC 是直角三角形，

设⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈，如图所示， 连接DE 、EF 、DF ，

设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ， 连接DH 、DG 、EP 、EQ 、FM 、FN ， 根据切线性质可得： AG ＝AH ，PC ＝CQ ，BN ＝BM

DG、EP分别垂直于AC，EQ、FN分别垂直于BC，FM、DH分别垂直于AB，∴DG∥EP，EQ∥FN，FM∥DH,

∵⊙O的半径为1

∴DG＝DH＝PE＝QE＝FN＝FM＝1，

则有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH，

∴DE＝GP，EF＝QN，DF＝HM，DE∥GP，DF∥HM，EF∥QN,∠PEF＝90°

又∵∠CPE＝∠CQE＝90°, PE＝QE＝1

∴四边形CPEQ是正方形，

∴PC＝PE＝EQ＝CQ＝1，

∵⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，

∴DE+EF+DF＝18，

∵DE∥AC，DF∥AB，EF∥BC，

∴∠DEF＝∠ACB，∠DFE＝∠ABC，

∴△DEF∽△ABC，

∴DE：EF：DF＝AC：BC：AB＝3：4：5，

设DE＝3k（k＞0），则EF＝4k，DF＝5k，

∵DE+EF+DF＝18，

∴3k+4k+5k＝18，

解得k＝3

2

，

∴DE＝3k＝9

2

，EF＝4k＝6，DF＝5k＝

15

2

，

根据切线长定理，

设AG＝AH＝x，BN＝BM＝y，

则AC＝AG+GP+CP＝x+9

2

+1＝x+5．5，

BC＝CQ+QN+BN＝1+6+y＝y+7，

AB＝AH+HM+BM＝x+15

2

+y＝x+y+7．5，

∵AC：BC：AB＝3：4：5，

∴（x+5．5）：（y+7）：（x+y+7．5）＝3：4：5，解得x＝2，y＝3，

∴AC＝7．5，BC＝10，AB＝12．5，

∴AC+BC+AB＝30．

所以△ABC 的周长为30． 故答案为30． 【点睛】

本题是一道动图形问题，考查切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是确定圆心O 的轨迹，学会作辅助线构造相似三角形，综合运用上述知识点．

三、解答题

25．（1）y= -3x 2+330x-8568；（2）每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元. 【解析】 【分析】

（1）根据毛利润＝销售价?进货价可得y 关于x 的函数解析式； （2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况． 【详解】

（1）根据题意,y=(x-42)(204-3x)= -3x 2+330x-8568； （2）y=-3x 2+330x-8568= -3(x-55)2+507 因为-3<0，

所以x=55时，y 有最大值为507.

答：每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元. 【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

26．（1）2y x 2x 3=-++；（2）6；（3）()1,1P 【解析】 【分析】

（1）将M,N 两点代入2

y x bx c =-++求出b,c 值，即可确定表达式；

（2）令y=0求x 的值，即可确定A 、B 两点的坐标，求线段AB 长，由三角形面积公式求解.

（3）求出抛物线的对称轴，确定M 关于对称轴的对称点G 的坐标，直线NG 与对称轴的交点即为所求P 点，利用一次函数求出P 点坐标. 【详解】

解：将点()0,3M ，()2,5N --代入2

y x bx c =-++中得，

3

425

c b c =??

--+=-? ， 解得，2

3

b c =??

=?，