直线与圆锥曲线的综合应用
1. (选修11P 44习题4改编)以双曲线x 24－y 2
5
＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为
焦点的拋物线方程是__________．
2. 以双曲线－3x 2＋y 2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________．
3. 若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22
＝1的右焦点重合，则p ＝________．
4. 已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x
2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．
5. 已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为______________．
1. 圆锥曲线的统一定义
平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的轨迹． 当0
当e ＝1时，它表示抛物线． 2. 曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C 上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．
3. 平面解析几何研究的两个主要问题
(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程；
(2) 通过曲线的方程研究曲线的性质． 4. 求曲线方程的一般方法(五步法)
求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：
(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M|p(M)}； (3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)＝0；
(4) 化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
题型1 最值问题
例1 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)、B(0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx(k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
(1) 若ED →＝6DF →
，求k 的值；
(2) 求四边形AEBF 面积的最大值．
变式训练
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．
(1) 求证：A 、C 、T 三点共线； (2) 如果BF →＝3FC →
，四边形APCB 的面积最大值为6＋23
，求此时椭圆的方程和P 点坐
标．
题型2 定值问题
例2 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，右准线方程为x ＝3
3
.
(1) 求双曲线C 的方程；
(2) 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P(x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，求证：∠AOB 的大小为定值．
题型3 定点问题
例3 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.
(1) 若直线l 过点A(4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；
(2) 设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．
(提示：本题模拟高考评分标准，满分14分)
备选变式（教师专享）
已知椭圆x 24
＋y 2
＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N
两点．
(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；
(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
(理)题型4 轨迹问题
例4 如图，已知梯形ABCD 中|AB|＝2|CD|，点E 满足AE →＝λEC →
，双曲线过C 、D 、
E 三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤3
4
时，求双曲线离心率e 的取值范围．
备选变式（教师专享）
在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P 与A 、B 连线的斜
率之积为－1
4
.
(1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.
(ⅰ) 求圆M 的方程； (ⅱ) 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由．
、
1. 已知椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点P 22，1
2
，记椭圆的左顶点为A.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B 、C 两点，试求△ABC 面积的最大值；
(3) 过点A 作两条斜率分别为k 1、k 2的直线交椭圆于D 、E 两点，且k 1k 2＝2，求证：直线DE 恒过一个定点．
(1) 解：由?????c a ＝2
2
，12a 2
＋1
4b
2
＝1，a 2
＝b 2
＋c 2
，解得?????a ＝1，
b ＝22，
c ＝2
2，
所以椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝1.
(2) 解：设B(m ，n)，C(－m ，n)，则S △ABC ＝1
2
×2|m|×|n|＝|m|·|n|，又1＝m 2＋2n 2≥22m 2n 2
＝22|m|·|n|，所以|m|·|n|≤24，当且仅当|m|＝2|n|时取等号，从而S △ABC ≤2
4
，即△ABC
面积的最大值为2
4
.
(3) 证明：因为A(－1，0)，所以AB ：y ＝k 1(x ＋1)，AC ：y ＝k 2(x ＋1)，由?????y ＝k 1（x ＋1），
x 2＋2y 2
＝1，
消去y ，得(1＋2k 21)x 2＋4k 21x ＋2k 2
1－1＝0，解得x ＝－1或x ＝1－2k 2
11＋2k 2
1
， ∴ 点B ? ????1－2k 211＋2k 21，2k 11＋2k 21.同理，有C ?
????
1－2k 221＋2k 22，2k 21＋2k 22，而k 1k 2＝2， ∴ C ? ??
??k 21－88＋k 21，4k 18＋4k 21∴ 直线BC 的方程为y －2k 1
1＋2k 21＝4k 1
8＋k 2
1－2k 1
1＋2k 21k 21－88＋k 2
1－1－2k 211＋2k 21
·? ????x －1－2k 211＋2k 21，即y －2k 1
1＋2k 21＝3k 1
2（k 21＋2）·? ??
??x －1－2k 211＋2k 21，即y ＝3k 12（k 21＋2）x ＋5k 12（k 2
1＋2），所以2yk 2
1＋(3x ＋5)k 1＋y ＝0，则由?????y ＝0，3x ＋5＝0，
得直线BC 恒过定点???
?－5
3，0. (注：第(3)小题也可采用设而不求的做法，即设D(x 1，y 1)，E(x 2，y 2)，然后代入找关系)
2. 已知椭圆E ：x 2a
2＋y 2
＝1(a ＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M 的动弦MA 、MB 满足
MA ⊥MB.
(1) 当坐标原点到椭圆E 的准线距离最短时，求椭圆E 的方程；
(2) 若Rt △MAB 面积的最大值为27
8
，求a ；
(3) 对于给定的实数a(a ＞1)，动直线AB 是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a 表示)；反之，说明理由．
解：(1) 由题，a 2＝c 2＋1，d ＝a 2c ＝c 2＋1c ＝c ＋1
c
≥2，当c ＝1时取等号，此时a 2＝1＋1
＝2，故椭圆E 的方程为x
22
＋y 2＝1.
(2) 不妨设直线MA 的斜率k>0，直线MA 方程为y ＝kx ＋1，由?????y ＝kx ＋1，①
x 2a 2＋y 21＝1，②
① 代入②整理得(a 2k 2＋1)x 2＋2a 2
kx ＝0，解得x A ＝－2a 2k a 2k 2＋1，故A ? ??
??－2a 2k a 2k 2＋1，1－a 2k 2a 2k 2＋1，
由MA ⊥MB 知直线MB 的斜率为－1k ，可得B ? ??
??2a 2k a 2＋k 2，k 2－a 2a 2＋k 2，则MA ＝1＋k 2·2a 2k a 2k 2＋1，MB ＝
1＋1k 22a 2k
a 2＋k
2＝k 2
＋1
2a 2
a 2＋k 2
.则S △MAB
＝1
2MA ·MB ＝12(1＋k 2
)4a 2k （a 2k 2＋1）（a 2＋k 2） ＝????k ＋1k 2a 4
a 2????k 2＋1k 2＋（a 4
＋1） ＝????k ＋1k 2a 4a 2????k ＋1k 2＋（a 4－2a 2
＋1）
.
令k ＋1
k
＝t(t ≥2)，
则S △MAB ＝2a 4t a 2t 2＋（a 2－1）2＝2a 4a 2t ＋
（a 2－1）2t
≤2a 42a （a 2
－1）＝a 3
a 2－1
. 当t ＝a 2－1a 时取“＝”，∵ t ＝a 2－1a ≥2，得a>2＋1.而(S △MAB )max ＝a 3a 2－1＝278，故a ＝
3或a ＝3±297
16
(舍)．综上a ＝3.
(3) 由对称性，若存在定点，则必在y 轴上．
当k ＝1时，A ? ??
??
－2a 2a 2＋1，1－a 2a 2＋1，直线AB 过定点
Q ? ??
??0，1－a 2a 2＋1.下面证明A 、Q 、B 三点共线：
∵ k AQ ＝1－a 2k 21＋a 2k 2
－1－a 2
1＋a 2
－
2a 2k 1＋a 2k 2
＝（1－a 2k 2）（1＋a 2）－（1－a 2）（1＋a 2k 2）－2a 2k （1＋a 2）
＝
k 2－1
k （1＋a 2）
，
k BQ ＝k 2－a 2a 2＋k 2－
1－a 2
1＋a 2
2a 2k
k 2＋a 2
＝（k 2－a 2）（1＋a 2）－（1－a 2）（a 2＋k 2）2a 2k （1＋a 2
） ＝
k 2－1
k （1＋a 2
）
.
由k AQ ＝k BQ 知A 、Q 、B 三点共线，即直线AB 过定点Q ? ??
??
0，1－a 2a 2＋1.
3. (2012·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点
分别为F 1(－c ，0)、F 2(c ，0)．已知(1，e)和?
???e ，3
2都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设A 、B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1
交于点P.
(ⅰ) 若AF 1－BF 2＝6
2
，求直线AF 1的斜率；
(ⅱ)
求证：PF 1＋PF 2是定值．
(1) 解：由题设知a 2
＝b 2
＋c 2
，e ＝c a ，由点(1，e)在椭圆上，得12a 2＋e 2
b 2＝1
1a 2＋c 2a 2b 2
＝1b 2＋c 2＝a 2b 2
a 2＝a 2
b 2
b 2＝1，∴
c 2＝a 2－1. 由点????e ，32在椭圆上，得e 2a 2＋????322b 2＝1c 2a 4＋????322
1＝1a 2－1a 4＋3
4
＝1a 4－4a 2＋4＝
a 2＝2.
∴ 椭圆的方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2) 由(1)得F 1(－1，0)、F 2(1，0)，∵ AF 1∥BF 2，∴ 设AF 1、BF 2的方程分别为my ＝x
＋1，my ＝x －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，y 1>0，y 2>0.∴ ?????x 212＋y 21＝1，
my 1＝x 1＋1(m 2＋2)y 21－2my 1－1
＝0
y 1＝
m ＋
2m 2＋2m 2＋2
.
∴ AF 1＝（x 1＋1）2＋（y 1－0）2
＝
（my 1）2＋y 21＝
m 2
＋1·m ＋2m 2
＋2m 2＋2
＝
2（m 2＋1）＋m
m 2＋1
m 2＋2
.①
同理，BF 2＝
2（m 2＋1）－m
m 2＋1
m 2＋2
.②
(ⅰ) 解：由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2.由2m m 2＋1m 2＋2＝6
2，解得m 2＝2.∵ 注意到m>0，∴ m ＝ 2.∴ 直线AF 1的斜率为1m ＝22
.
(ⅱ) 证明：∵ AF 1∥BF 2，∴ PB PF 1＝BF 2AF 1，即PB PF 1＋1＝BF 2
AF 1＋1PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1
.∴ PF 1
＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1.由点B 在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22，∴ PF 1＝AF 1
AF 1＋BF 2
(22－BF 2)．同理，PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)．∴ PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2
AF 1＋BF 2(22－AF 1)＝
22－2AF·BF 2
AF 1＋BF 2.由①②得AF 1＋BF ＝22（m 2＋1）m 2
＋2，AF·BF ＝m 2＋1m 2＋2
，∴ PF 1＋PF 2＝22－22＝3
2
2.∴ PF 1＋PF 2是定值． 4. 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)、F 2(c ，0)，A 1、A 2、
B 1、B 2分别为长轴和短轴的端点(如图)，以F 2为圆心过A 2的圆与直线A 2B 2相交，弦长为
14
7
a.
(1) 求该椭圆的离心率；
(2) 已知c ＝2，P 在椭圆上且在x 轴上方，若△PF 1F 2为等腰三角形，求△PF 1F 2的面积及对应的P 点的坐标．
解：(1) 解法1：由题意知圆F 2的圆心为(c ，0)，半径为a －c.直线A 2B 2的方程为x a ＋y
b
＝
1，即bx ＋ay －ab ＝0.点F 2到直线A 2B 2的距离d ＝|bc －ab|
a 2＋
b 2.由垂径定理得(a －c)2
＝? ??
??
?
|bc －ab|a 2＋b 22＋???
?12×147a 2
，化简得12a 2－28ac ＋15c 2＝0，两边同除以a 2得15e 2－28e ＋12＝0，解得e ＝23或e ＝6
5
(舍)． 解法2：直线A 2B 2的方程为x a ＋y
b
＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.点F 2到直线A 2B 2的距离d ＝
|bc －ab|a 2＋b 2.弦长l ＝147a ，由三角形相似得d OB 2＝F 2A 2A 2B 2＝12l OA 2，即|bc －ab|a 2＋b
2
a ＝12×14
7ab ，化简
得12a 2－28ac ＋15c 2＝0，两边同除以a 2得15e 2－28e ＋12＝0，解得e ＝23或e ＝6
5
(舍)．
(2) 因为c ＝2，所以a ＝3，b ＝5，椭圆的方程为x 29＋y
25
＝1.若PF 1＝PF 2，此时P 点的
坐标为(0，5)，S △PF 1F 2＝1
2×4×5＝2 5.若PF 1＝F 1F 2，则PF 1＝F 1F 2＝4，设P(x ，y)，由
?????（x ＋2）2＋y 2
＝16，x 29＋y 25＝1，得???
x ＝32，y ＝152或?
??x ＝32，y ＝－152
(舍)，此时P 点的坐标为????
32，152，S △PF 1F 2
＝12×4×152＝15.若PF 2＝F 1F 2，由对称性得P 点的坐标为????－32，152，S △PF 1F 2＝12×4×152
＝15.
5. 设A 1、A 2与B 分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A 2B
与圆C ：x 2＋y 2
＝1相切．
(1) 求证：1a 2＋1
b
2＝1；
(2) P 是椭圆E 上异于A 1、A 2的一点，直线PA 1、PA 2的斜率之积为－1
3
，求椭圆E 的方
程；
(3) 直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，且OM →·ON →
＝0，试判断直线l 与圆C 的位置关系，并说明理由．
(1) 证明：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a>b>0)，A 1、A 2与B 分别为椭圆E 的左、右顶点与
上顶点，所以A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B(0，b)，直线A 2B 的方程是x a ＋y
b
＝1.因为A 2B 与圆C ：
x 2＋y 2＝1相切，所以11a 2＋1
b
2＝1，即1a 2＋1
b 2＝1.
(2) 解：设P(x 0，y 0)，则直线PA 1、PA 2的斜率之积为kPA 1·kPA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20
x 20－a
2＝
－13，x 20a 2＋3y 20a 2＝1，而x 20a 2＋y 2
b 2＝1，所以b 2＝13a 2.结合1a 2＋1b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝43
.所以椭圆E 的方程为x 24＋3y
24
＝1.
(3) 解：设点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．
① 若直线l 的斜率存在，设直线l 为y ＝kx ＋m ，由y ＝kx ＋m 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2
a 2＋
（kx ＋m ）2b 2
＝1.化简得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2
＝0(Δ>0)．∴ x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2
b 2＋a 2k 2，y 1y 2
＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝a 2k 2m 2－a 2b 2k 2
b 2＋a 2k 2＋km ? ??
??
－2a 2
km b 2＋a 2k 2＋m 2＝
b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2
.因为OM →·ON →
＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.代入得(a 2＋b 2)m 2－a 2b 2(1＋k 2)＝0.结合(1)
的1a 2＋1
b
2＝1，得m 2＝1＋k 2.圆心到直线l 的距离为d ＝|m|1＋k
2
＝1，所以直线l 与圆C 相切．
② 若直线l 的斜率不存在，设直线l 为x ＝n.代入x 2a 2＋y 2
b
2＝1，得y ＝±b
1－n 2
a
2.∴ |n|＝
b
1－n 2
a
2，∴ a 2n 2＝b 2(a 2－n 2)．解得n
＝±1，所以直线l 与圆C 相切．
1. 在△PMN 中，tan ∠PMN ＝1
2
，tan ∠MNP ＝－2，且△PMN 的面积为1
，建立适当的
坐标系，求以M 、N
为焦点，且过点P 的椭圆的方程．
解：解法1：如上图，过P 作PQ ⊥MN ，垂足为Q ， 令|PQ|＝m ，于是可得|MQ|＝|PQ|cot ∠PMQ ＝2m ，
|QN|＝|PQ|cot ∠PNQ ＝1
2
m.
∴|MN|＝|MQ|－|NQ|＝2m －12m ＝3
2
m.
于是S △PMN ＝12|MN|·|PQ|＝12·3
2m ·m ＝1.
因而m ＝43，|MQ|＝243，|NQ|＝1
3
，|MN|＝ 3.
|MP|＝|MQ|2＋|PQ|2＝163＋43＝215
3，
|NP|＝|NQ|2＋|PQ|2＝13＋43＝15
3
.
以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a
＞b ＞0)．
则2a ＝|MP|＋|NP|＝15，2c ＝|MN|＝3，
故所求椭圆方程为4x 215＋y 2
3＝1.
解法2：设M(－c ，0)、N(c ，0)、P(x ，y)，y ＞0，
则?????y x ＋c ＝12
，y
x －c ＝2，y·c ＝1，
解得x ＝536，y ＝233，c ＝3
2.
设椭圆方程为b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，
则
???b 2
·????5362＋a 2???
?
2332
＝a 2b 2，a 2
－b 2
＝34
，解得a 2＝15
4
，b 2＝3.
故所求椭圆方程为4x 215＋y 2
3
＝1.
2. 如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)、A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)均在抛物线上．
(1) 写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2) 当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．
解：(1) 由已知条件，可设抛物线的方程为y 2
＝2px.
∵点P(1，2)在抛物线上，∴22＝2p·1，得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2) 设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1
(x 2≠1)．
∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)在抛物线上，得 y 21＝4x 1， ① y 22＝4x 2， ② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－2
14y 22
－1. ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4. 由①－②，得直线AB 的斜率
k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2
＝－44＝－1(x 1≠x 2)．
3. 已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的两条渐近线为l 1、l 2，过
椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1.又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B(如图)．
(1) 当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程；
(2) 当FA →＝λAP →
，求λ的最大值．
解：(1) ∵双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，两渐近线夹角为60°，又b
a
<1，∴∠POx ＝30°，
即b a ＝tan30°＝33
. ∴a ＝3b.又a 2＋b 2＝4，∴a 2＝3，b 2＝1.
故椭圆C 的方程为x 23
＋y 2
＝1.
(2) 由已知l ：y ＝a b (x －c)，与y ＝b a
x 解得P ????a 2c ，ab c .
由FA →＝λAP →，得A ? ???
??
c ＋λ·a 2
c 1＋λ，λ·ab c 1＋λ. 将A 点坐标代入椭圆方程， 得(c 2＋λa 2)2＋λ2a 4＝(1＋λ)2a 2c 2. ∴(e 2＋λ)2＋λ2＝e 2(1＋λ)2.
∴λ2
＝e 4－e 2e 2－2
＝－??????（2－e 2）＋22－e 2＋3≤3－2 2.
∴λ的最大值为2－1.
4. 已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝4a, O 为AB 的中点，点E 、F 、G
分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE BC ＝CF CD ＝DG
DA
，P 为GE 与OF 的交点(如图)．问是否存在
两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．
解：据题意，有A(－2，0)、B(2，0)、C(2，4a)、D(－2，4a)． 设BE BC ＝CF CD ＝DG
DA ＝k(0≤k ≤1)， 由此有E(2，4ak)，F(2－4k ，4a)，G(－2，4a －4ak)． 直线OF 的方程为2ax ＋(2k －1)y ＝0.① 直线GE 的方程为－a(2k －1)x ＋y －2a ＝0.②
由①②消去参数k ，得点P(x ，y)满足方程2a 2x 2
＋y 2
－2ay ＝0.整理得x 212
＋（y －a ）
2
a 2＝1.
当a 2＝1
2时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点．
当a 2≠1
2时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长．
当a 2＜12时，点P 到椭圆两个焦点????－12－a 2，a ，???
?12－a 2，a 的距离之和为定值 2. 当a 2＞12时，点P 到椭圆两个焦点?
???0，a －a 2－12，????0，a ＋a 2－1
2的距离之和为定
值2a.
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
第六节 圆锥曲线的应用 一、基本知识概要： 解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用常用方法。本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。 二、例题： 例1、 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨 道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32π π和，求该慧星与地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。作m FA FB Ox AB 3 221B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(3 4)(22 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .32.32m c c a m c ==-∴=∴
答：彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。 思考讨论:椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？ 例2：A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6Km ，C 在B 正北偏西ο30，相距4Km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1s Km /，A 若炮击P 地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2） 解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则)32,5(),0,3(),0,3(--C A B ，因为PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上。 因为3-=BC k ，BC 中点)3,4(-D ，所以直线PD 的方程为)4(31 3+=-x y （1） 又,4=-PA PB 故P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上。设),(y x P ，则
第三讲圆锥曲线的综合问题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0 时，直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦的问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点 弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝1＋1 k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2， |y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2. ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 3．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F1、F2为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有
专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为 '2222 ( ,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： 若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. 若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线 y kx b =+上取点后得其伴随点2222 ( ,)y x x y x y -++消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③. 2．【2016高考山东文数】已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2 . （I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率 002m m m k x x -= = ，直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-，所以' k k 为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142 y kx m x y =+???+ =?? ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()212 02221m x k x -=+ ，所以() ()2112 02221k m y kx m m k x -=+= ++，同理() ()() ()22222 2 2262,181181m k m x y m k x k x ---= = +++.所以 () ()() ()() ()()2222212 2 2 2 00 22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----= - = ++++， ()()()()()()()() 2 2 2 2 21 2 2 2 2 622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+??===+ ?-?? 由00,0m x >>，可知0k >，所以1626k k +≥，等号当且仅
专题二 直线与圆锥曲线的综合问题 第一课时 一.知识体系小结 22 2222222222 222222 cos 1(0)()sin 11(0)1(00)1(00)2(0)2(0213x a x y x a b y b a b y x y a b a b x y y x x a b y a b a b a b y px p y px p 圆锥曲线的标准方程 椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数； 焦点在轴上时． 双曲线：焦点在轴上：，；焦点在轴上：，． 抛物线：开口向右时，，开口向左时，．22)2(0)2(0)x py p x py p ，开口向上时，开口向下时． 2222 2222 2222 222222 222222 221111 1(0)123142x y x y a b a b x y x y a b a b x y x y a b a b mx ny 常用曲线方程设法技巧 共焦点的设法：与椭圆有公共焦点的椭圆方程为；与双曲线有公共焦点的双曲线方程为；与双曲线共渐近线的双曲线方程为；中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为；不清楚开口方向的抛．物线设法：焦22(0)(0)x y mx m y x my m 点在轴上，； 焦点在轴上，． 3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标； (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式； (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 1212|||| |.AB AB x x y y (5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 222 0002220 222 0002220 2000 1()1()2(0)(). b x x y P x y k a b a y b x x y P x y k a b a y p y px p P x y k y 圆锥曲线中点弦斜率公式 在椭圆中，以，为中点的弦所在直线的斜率； 在双曲线中，以，为中点的弦所在直线的斜率； 在抛物线中，以，为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4．差法可得．
高考达标检测（三十八） 圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线 的位置关系 一、选择题 1．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且点A 在第一象限，若|AF |＝3，则直线l 的斜率为( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．22 解析：选D 由题意可知焦点F (1,0)，设A (x A ，y A )， 由|AF |＝3＝x A ＋1，得x A ＝2，又点A 在第一象限， 故A (2,22)，故直线l 的斜率为2 2. 2．若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝x 有一个公共点，则实数k 的值为( ) A. 1 8 B ．0 C. 1 8 或0 D ．8或0 解析：选C 由??? y ＝kx ＋2， y 2＝x ， 得ky 2－y ＋2＝0， 若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，则y ＝2， 若k ≠0，则Δ＝1－8k ＝0，∴k ＝1 8， 综上可知k ＝0或 1 8 . 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B.32 C.355 D.52 解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AB 的中点为N (12,15)，得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，
由????? x 21a 2－y 21 b 2＝1，x 2 2 a 2 －y 22b 2 ＝1， 两式相减得： x 1＋x 2 x 1－x 2 a 2 ＝ y 1＋y 2 y 1－y 2 b 2 ， 则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝4b 2 5a 2.
圆锥曲线的综合 【复习目标】 1、在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上，把握有关圆锥曲线的知识的内在联系，灵活运用解析几何的常用方法解决问题，培养运用各种知识解决问题的能力； 2、通过问题的解决，理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想。 【教学重点、难点】 1.灵活运用圆锥曲线的几何性质解决问题； 2.理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想，通过问题解决的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，同时培养运算能力。 【教学过程】 一、圆锥曲线的几何性质在高考中的地位 圆锥曲线的几何性质是在每年的高考中必考的一个知识点，这一类问题的考查大多数出现在填空题中，属于中低档题，有时也会出现在解答题的第一、第二问中，分值大约在4至8分。 【相关知识链接】 1.椭圆、双曲线第一、第二定义各是什么？ 2.圆锥曲线的标准方程形式反应了其怎样的特点？ 3.椭圆、双曲线中c b a ,,存在什么样的等量关系? 4.性质中的不等关系： 对于圆锥曲线标准方程中变量y x ,的范围、离心率的范围等，在求与圆锥曲线有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值，最小值时，经常用到这些不等关系。 5.求椭圆、双曲线的离心率问题的一般思路： 求椭圆、双曲线的离心率时，一般是依据题设得出一个关于c b a ,,的等式（或不等式），利用c b a ,,之间的等量关系消去b ，即可求得离心率（或离心率的范围）。 题型一 活用圆锥曲线的几何性质 1.若椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（, 以点2F 为圆心，半径为c 画圆，圆2F 交椭圆于点M ，直线1MF 与圆2F 相切，则该椭圆离心率为
第三讲圆锥曲线的综合问题 考点整合 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 直线与椭圆的位置关系的判定法： 将直线程与椭圆程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次程?若少0,则直线与椭圆相交；若A= 0,则直线与椭圆相切；若A<0,则直线与椭圆相离. (2) 直线与双曲线的位置关系的判定法： 将直线程与双曲线程联立，消去y或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①若a工0，当A>0时，直线与双曲线相交；当A= 0时，直线与双曲线相切；当A<0 时，直线与双曲线相离. ②若a= 0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点. (3) 直线与抛物线的位置关系的判定法： 将直线程与抛物线程联立，消去y(或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①当a z 0时，用△判定，法同上. ②当a= 0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点. 2. 有关弦的问题 (1) 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算. ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P i(x i,y i), P2(x2, y2)，则所得弦长|P i P2|=』1 + k2 |x2- X1或|P1P2= - , 1 +胡2—y1|,其中求|x2- X1|与|y2- y11时通常使用根与系数的关系, 即作如下变形： |x2 —X1 = \/ X1 + X2 2—4X1x2 , ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式). (2) 弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算. 3. 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: １. 直线方程的形式 （１）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式： 2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=－１ ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (３)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点Ｍ的轨迹是( ) Ａ、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） （6)、记住焦半径公式:(1） 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 （6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 １、点差法（中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有
教学过程 一、复习预习 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整. 二、知识讲解 考点1范围问题 求范围和最值的方法： 几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题 代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值． 考点2对称问题 要抓住对称包含的三个条件： (1)中点在对称轴上 (2)两个对称点的连线与轴垂直
(3)两点连线与曲线有两个交点(0>?),通过该不等式求范围 考点/易错点3定点、定值、最值等问题 定点与定值问题的处理一般有两种方法： （1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）． 三、例题精析 【例题1】 【题干】已知椭圆1:22221=+b y a x C （0>>b a ）与直线01=-+y x 相交于两点A 、B ．当 椭圆的离心率e 满足2 223≤≤e ，且0=?OB OA （O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围． 【答案】 []6,5 【解析】由???=-+=+0 12 22222y x b a y a x b ，得()()012222222=-+-+b a x a x b a 由( ) 0122222>-+=?b a b a ，得12 2 >+b a 此时222212b a a x x +=+，() 2 22 2211b a b a x x +-= 由0=?OB OA ，得02121=+y y x x ，∴()0122121=++-x x x x 即022 2 2 2 =-+b a b a ，故1 222 2 -=a a b 由2 22222 a b a a c e -==，得2 222e a a b -= ∴2 2 11 12e a -+ = 由 2 223≤≤e 得23452 ≤≤a ，∴625≤≤a 所以椭圆长轴长的取值范围为 []6,5 【例题2】
圆锥曲线在生活中的应用 班级：高2012级43班 姓名：叶容杉 指导老师：何志开
圆锥曲线在生活中的应用 高2012级43班 叶容杉 指导老师：何志开 摘要：在初等数学中，圆锥曲线主要指：椭圆、双曲线、抛物线，它是平面解析几何的核心内容，又是高中数学的重点和难点，因而成为高考中必不可少的考查内容。本文总结了三类圆锥曲线的基本概念，并将它在日常生活中的应用进行了简要说明。 关键词：圆锥曲线；基本概念；生活应用 正文： 一、基本概念 圆锥曲线是用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可得到的不同的截口的曲线，分别是： ①椭圆： 定义1：平面内与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数|)|2(221F F a a >的动点P 的轨迹叫做椭圆。即a PF PF 2||||21=+ 定义2：动点M 到定点)0,(c F 的距离和它到直线l ：c a x 2=的距离的比是常数a c ，)0(>>c a 时，M 点的轨迹即为椭圆。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值)10(< 等于常数2a |)|2(21F F a <的点的轨迹叫做双曲线，即a PF PF 2||||21=- 定义2：动点M 到定点)0,(c F 的距离和它到直线l ：c a x 2=的距离的比是常数a c ，)0(>>a c 时，M 点的轨迹即为椭圆。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值)1(>e e 的点的轨迹叫椭圆。我们把定值a c e =)1(>e ，叫做椭圆的离心率。 ③抛物线： 定义1：平面内与一个定点和一条直线（定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。 定义2：与椭圆、双曲线第2定义相似，仅比值e 不同，当1=e 时为抛物线。 二、在生活中的应用 随着新课程理念的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产实际中的应用为背景的应用问题已经进入了我们的教材，并且越来越受到重视．利用椭圆、双曲线、抛物线可以有效地解决数学、物理及生活实际中的许多问题．下面举例说明圆锥曲线在实际生活中的应用 1、生活中的椭圆：油罐车的横截面。 圆柱形的容器在同样容器的要求下，它的表面积最小也就是容器所用的材料最少，在装入物品后尤其是液体，对罐内壁各部分的受力大小情况也比较平均，而在高度和宽度（即车的允许高度和车的宽度）都有限制的情况下，其横截面作成椭圆形就可以达到既节省了罐体材料，也保证了容积，由利用了有限的“空间”和保证了罐体的稳定性。 2、双曲线的应用：火电厂及核电站的冷却塔 圆锥曲线的定义及其应用 一、教学目标： 1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题； 2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力； 3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题． 二、教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用． 三、教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合． 四、教学过程： （一）引入： 问题1：平面内到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离之和为8的点P 的轨迹是什么？ 121286PF PF F F +=>= ∴P 的轨迹是以12(3,0),(3,0)F F -为焦点的椭圆，方程是22 1167 x y + = 问：（1）若到两定点距离之和为改为6，则点P 的轨迹是什么？ （ 以12,F F 为端点的线段） （2）若改为到两定点距离之差为2，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为焦点的双曲线的一支） （3）若改为到两定点距离之差为6，则P 点的轨迹是什么？ （以12,F F 为端点的射线） （通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件） 由学生总结椭圆和双曲线的定义 问题2：已知定点F （1，0），定直线:1l x =-，设一动点P 到直线l 的距离为d ，若有PF d =，则P 点的轨迹是什么？ （F l ?，∴P 点的轨迹是以F （1，0）为焦点，以直线:1l x =-为准线的抛物线。） 问：（1）若点F 改为（－1，0），则点P 的轨迹是什么？ （2）当 PF d 为何值时，所求轨迹是椭圆？ （3）当PF d 为何值时，所求轨迹是双曲线？ (通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别) 由学生总结圆锥曲线的统一定义，。 课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量 x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. 【热身练习】 1．(教材习题改编)与椭圆 x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 2 3 ＝1 B. y 2 3 －x 2＝1 C.34x 2－38 y 2＝1 D. 34 y 2－ 38 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－ x 2 b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2， c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交． 3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 4．过椭圆x 2a 2＋ y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交 点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________． 解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐 标为? ?? ??－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝6 3. 5．已知双曲线方程是x 2－y 2 2＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2 的中点，则此直线方程是________________． 解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由 x 21－ y 21 2 ＝1，x 22－ y 22 2 ＝1，得k ＝ y 2－y 1x 2－x 1 ＝ 2x 2＋x 1y 2＋y 1 ＝ 2×4 2 ＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 【方法指导】 1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用． 2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】 圆锥曲线的综合应用及其求解策略 有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。 解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题： 这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。 ★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的 动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB 为常数；（II ）若动 点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． ◆解：由条件知(20)F ， ，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B 的坐标分别为(2 ，(2， ，此时则有 (12)(11CA CB =?=-，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有 2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根， 所以212241k x x k +=-，2122421 k x x k +=-，于是 212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2) CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2 2 2 1212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++22222 22 (1)(42)4(21)4111 k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-． ∴ 综上所述，CA CB 为常数1-． （II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由 CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-??=+?，即1212 2x x x y y y +=+??+=?，于是AB 的中点坐标为222x y +?? ???，． 第9节 圆锥曲线的综合问题 课标要求 运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题（尤其是椭圆与抛物线的简单应用），感悟平面解析几何中蕴含的数学思想. 知识衍化体验 知识梳理 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系，通常是联立直线l 与圆锥曲线C 的方程，判断其方程组解的个数.设直线:l y kx b =+（注：需讨论斜率k 不存在的情况；若设直线:l x my n =+，也需讨论y h =这种情况） ，圆锥曲线:(,)0C F x y =，即 (,)0 y kx b F x y =+?? =?，消去y ，得2 0ax bx c ++=， （1）当0a ≠时，设一元二次方程2 0ax bx c ++=的判别式为?，则： 0?>?直线l 与圆锥曲线C _______； 0?=?直线l 与圆锥曲线C _______； 0? 北京市北纬路中学徐学军 《直线与圆锥曲线的位置关系（一）》教学设计 一、教材分析及学生情况分析 本节课是平面解析几何的核心内容之一。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。所以是承上启下的一节课。这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。 数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。 学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。本班为理科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征和实际，制定如下教学目标： 知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系； ②会进行位置关系的判断，计算弦长。 过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法， 学会解决相关的问题。 情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。 三、教学重点、难点、关键 本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。如：解决圆锥 圆锥曲线光学性质的证明及应用初探 一、 圆锥曲线的光学性质 1．1 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另 一个焦点上； (见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在1F 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于2F 处，对2F 处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。 证明：由导数可得切线l 的斜率0 20 20x x b x k y a y =-' ==， 而1PF 的斜率010 y k x c =+，2PF 的斜率020y k x c =- ∴l 到1PF 所成的角α'满足()()200 2 2222 2000001222 2 001000 2 00 tan 11y b x x c a y a y b x b cx k k b x y kk a b x y a cy x c a y α++++-'===+-+-+， ()00,P x y 在椭圆上，∴20tan b cy α'=，同理，2PF 到l 所成的角β'满足2 220 tan 1k k b kk cy β-'==+， ∴tan tan αβ''=，而,0, 2παβ?? ''∈ ?? ? ，∴αβ''= 1．2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)． 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用． 1．3 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3） 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的． 图1.3 图1.2 图1.1 第52讲 圆锥曲线的综合应用——定点、定值问题 思维导图 知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程． 例：由????? Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0?直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0?直线与圆锥曲线C 相离． (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 或|AB |＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 3．定点问题 (1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点． (2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 4.定值问题圆锥曲线的定义及其应用
圆锥曲线的综合问题(含答案)
圆锥曲线的综合应用及其求解策略
第9节 圆锥曲线的综合问题(轻巧夺冠)
直线与圆锥曲线的位置关系一教学设计
圆锥曲线的光学性质
第52讲 圆锥曲线的综合应用-定点、定值问题(讲)(解析版)
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