2015高考数学专题复习：数列
2015.4. 6
数列求和
1.公式求和
1.)12)(1(613212
2
2
2
++=++++n n n n 2.2
33332)1(321??
?
???+=++++n n n 3.数列{}n a 中，3
1
,21==q a （Ⅰ）求n n S a ,
（Ⅱ）n n a a a a b 3332313log log log log +++=，求n b 4.已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足(1)1
n n q
S a q =--（q 是常数且0,1,q q >≠） （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a （Ⅱ）当13q =
时，试证明2
121<+++n a a a 2.错位相减法求和
1.()n n n a 312?+=，求n S
2.n n n
a 3
2= ,求n S 3.()22213-?-=n n n a ,求n S
4. 已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a n =+-，数列{}n b 满足n n n n na a n b -+=?++11)1(3，且11=b ． （Ⅰ）求n a ，n b
(Ⅱ)设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ．
5.设等比数列{}n a 的前项和为n S ，已知221+=+n n S a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式
（Ⅱ）在n a 和1+n a 之间插入n 个数，使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列，求数列?
??
???n d 1前n 项和n T 6.已知数列满足：，其中为数列的前项和. （Ⅰ）试求的通项公式 （Ⅱ）若数列满足：，求的前n 项和公式 7.正项等比数列的前
项和为,,且的等差中项为.
(Ⅰ)求数列的通项公式
}{n a )(1*N n a S n n ∈-=n S }{n a n }{n a }{n b )(*N n a n
b n
n ∈=
}{n b n T }{n a n n S 164=a 32,a a 2S }{n a
(Ⅱ)设,求的前n 项和公式
3.裂项法求和
（1）{}n a 为等差数列，
d a a a a n n n n 111111????? ??-=++ （2）=++=n
n a n 11
已知{}n a 通项公式，求前n 项和n S 10.=++=
n
n a n 21
=n S
11.()()
1
21221
-?-=+n n n
n a =n S 11.()()
3
43441-?-=+n n n
n a = =n S
3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12
1
+=n n S a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）若n n a b 2log =，且2
1
+?=
n n n b b c ，求数列{}n c 的前n 项和n T
4.已知数列{}n a 满足()
*1211,2.1,1N n n a a a a a n n ∈≥-=-+++=- （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a （Ⅱ）设()()
1111
++=
++n n n n a a a b ，求数列{}n b 的前项和n T
4.分组法求和
1.求数列的前n 项和：()232
1
,,721,421,
1112-+???+++-n n 3.已知{}n a 是首项为19，公差为2-的等差数列 （Ⅰ）求通项n a
（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n S . 4.求和：等差数列{}n a 中，225,5153==S a （Ⅰ）求通项n a 及n S
（Ⅱ）设322-+=n b n a n ，求数列{}n b 的前n 项和n S
2015高考数学专题复习：分类讨论
5.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且.62,546-=-=S a
1
2-=
n n a n b }{n b n T
（Ⅰ）求}{n a 通项公式
（Ⅱ）求数列|}{|n a 的前n 项和n T
6.数列}{n a 中，()3,2,4,1221≥+===-n a a a a n n （Ⅰ）求}{n a 通项公式
（Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和n S
8.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且()++∈?==N n a a S a n n n ,4,211 （Ⅰ）求}{n a 通项公式 （Ⅱ）设数列??
?
??????
?21n a 的前n 项和n T ，求证：2144<<+n T n n 9.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2322--+=n n a S n n （Ⅰ）求证：数列{}n a n 2-为等比数列
（Ⅱ）设πn a b n n cos ?=，求数列{}n b 的前n 项和.n T
2015高考数学专题复习：等差等比证明
1.等差数列证明： 1n n a a d +-=(常数)
2.等比数列的证明方法：1
n n
a q a +=(常数) 练习：
1.在数列中，已知31=a ，451+=+n n a a （Ⅰ）求证：数列{}1+n a 是等比数列
（Ⅱ）求数列的通项公式n a 及前n 项和n S 2.数列满足：2
,2,11
221+++===n n n a a a a a . （Ⅰ）求证：{}n n a a -+1是等比数列 （Ⅱ）求数列的通项公式n a
3.已知数列{}n a 满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）证明数列?
??
??
?n n a 2是等差数列 （Ⅱ）求数列的通项公式n a 及前n 项之和n S
4.设数列的前项和为 已知 （Ⅰ）设，证明数列是等比数列 （Ⅱ）求n a
{}n a {}n a {}n a {}n a {}n a {}n a n ,n S 11,a =142n n S a +=+12n n n b a a +=-{}n b
5.数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1,)1(2≥-+=n a S n n n ．
（Ⅰ）求证数列?
?????-+n n
a )1(32为等比数列 （Ⅱ）求n a 及前n 项和n S
6.数列的前项和满足，其中，求证：是首项为1的等比数列
7.已知数列{}n a 中，51=a 且(21221≥-+=-n a a n n n 且)
.*
N n ∈
（Ⅰ）证明：数列?
?
?
??
?-n n a 21为等差数列 （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S
8.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知n n n n n n S b S a a 3,3,411-=+==+ （Ⅰ）求证：数列}{n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式 （Ⅱ）令2log 22+-=n n n nb b C ，求数列{}n c 的前n 项和n T 9.在数列}{n a 中，),2()1(2,1*11N n n n a a a n n ∈≥+-==- （Ⅰ）证明：数列}{n a n +是等比数列
（Ⅱ）求数列的通项公式n a 及前n 项之和n S 10.已知3
3,21
11+=
=
+n n n a a a a （Ⅰ）证明：数列?
??
???n a 1是等差数列
（Ⅱ）设(),n a n f =求()n f 的最大值
11.若数列{}n a 的前n 项之和为n S n n n n b a b a 2,421+=-=+，且21=b （Ⅰ）求n a
（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和n T
12.数列{}n a 中，11=a ，2≥n 时，2
1
,,-
n n n S S a 成等比数列 求的前n 项之和n S 及通项公式n a （Ⅰ）求证：?
??
???n S 1是等差数列
（Ⅱ）求n a
13.设实数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()12,11--==n n na S a n n （Ⅰ）求证{}n a 为等差数列，并求n a 和n S
{}n a n n S 121n n S a S a +=+20a ≠{}n a {}n a {}n a
（Ⅱ）设数列?
??
??
?
?+11n n a a 的前项和为n T ，试求n T 的取值范围
2015高考数列复习测试题
一．选择题：
1.公比为等比数列的各项都是正数，且，则
（ ）
2.等差数列中，，则数列的公差为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，
则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：
①； ②； ③； ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为 （ ）
A ．① ②
B ．③ ④
C ．① ③
D ．② ④
4.已知为等比数列，，，则
（ ）
5.在等差数列中，已知，则该数列前11项和
（ ）
A ．58 B.176 C ．143 D ．88
6.已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7.数列的首项为3，{}n b 为等差数列且n n n a a b -=+1．若则12,2103=-=b b ，则=8a （ ）
A ．3
B ．0
C ．8
D ．11
8.已知数列的前n 项和n S 满足：m n m n S S S +=+，且11=a ．那么=10a ( )
A ．1
B ．9
C ．10
D ．55
9.已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，+∈N n ，则10
S 的值为 （ ）
A ．110-
B ．90-
C ．110
D ．90
10.有一个奇数组成的数阵排列如下：
2{}n a 31116a a =210log a =
}{n a 7,10451==+a a a }{n a (,0)
(0,)-∞+∞()f x {}n a {()}n f a ()f x (,0)
(0,)-∞+∞2()f x x =()2x f x
=()f x =()ln ||f x x =()f x {}
n a 472a a +=568a a =-110a a +={}n a 48+=16a a 11=
S {}n a n 55,5,15n S a S ==11n n a a +??
?
???
99101
10010199100101100{}n a {}n a
则第30行从左到右第3个数是 （ ）
A ．1125
B ．3215
C ．1310
D ．1051
二．填空题：
11. 设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________
12.已知递增的等差数列满足，则
15.已知数列满足2
24,31111++==++n n n n
a a a a a ，求的通项公式 三．解答题：
16. 已知数列{}n a 的首项123a =，121
n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1
{1}n
a -是等比数列 （Ⅱ）数列{
}n
n
a 的前n 项和n S ． 17.已知数列的前n 项和,且n S 的最大值为8 （Ⅰ）确定常数k ，求n a （Ⅱ）求数列的前n 项和n T 18.已知成等差数列．
又数列此数列的前n 项的和n S 对所有大于 1的正整数n 都有． （Ⅰ）求数列的第1+n 项 （Ⅱ）若的等比中项,且n T 为{}n b 的前n 项和,求n T
19.已知是等差数列，其前项和为，{}n b 是等比数列,且=，，. (Ⅰ)求数列与{}n b 的通项公式 (Ⅱ)记，求n T
20.等差数列{}n a 为递增数列，且25,a a 是方程2
12270x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和11;2
n n T b =-
{}n a 2
1321,4a a a ==-_____
n a ={}n a {}n a {}n a 2
1()2
n S n kn k N *=-+∈92{
}2
n
n
a -)0(3,2
)
(,
≥x x f x ,3,)0}({1=>a a a n n 中)(1-=n n S f S }{n a n
n n a a b 1
,11+是
{}n a n n S 1a 1=2b 44+=27a b 44=10S b -{}n a 112231n n n n n T a b a b a b a b --=+++
+
（Ⅰ）求数列{}{}n n a b 和的通项公式
（Ⅱ）若1
3n n
n n n b c a a +?=?，求数列{}n c 的前n 项和.n S
21.设数列的前项和为，满足，且成等差数列。 （Ⅰ）求的值
（Ⅱ）求数列的通项公式 （Ⅲ）证明：对一切正整数，有
{}n a n n S 1*1221()n n n S a n N ++=-+∈123,5,a a a +1a {}n a n 12
11132n a a a +++
<