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方差和标准差 教学设计(一)

方差和标准差教学设计(一)

教学设计思想

本节内容一共需要二个课时来学习,第一课时通过观察与思考使学生直观感受甲、乙两人的射击平均成绩不分高低,但射击成绩波动大小不同,从而引出方差和标准差的概念。在教师引导下学生探究出如何刻画每个数据与平均数的偏差,如何表示所有数据的总偏差。第二课时提供了三个实际情景,通过对问题的分析和探究,使学生进一步理解方差的意义。

教学目标

知识与技能

说出刻画数据离散程度的三个量——极差、方差、标准差——的概念,能借助计算器求出相应方差和标准差。

能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小,并能解决相应的实际问题。

过程与方法

经历数据的收集与整理的过程,根据公式求一组数据的方差和标准差。

情感、态度、价值观

体会方差、标准差是反映一组数据波动大小的量,在数据的整理与计算的过程中养成耐心、细致、认真的习惯,学会把知识应用于生活。

教学重难点

重点:计算一组数据的方差概念的理解。

难点:对方差的意义理解不透,有些问题弄不清该用方差衡量,还是该用平均数衡量。

解决办法:通过学习明白对于一组数据来说,我们要衡量这组数据的集中趋势,可以通过平均数、众数和中位数这三个统计量来分析。如果要衡量这组数据中的离散趋势,也就要研究它的波动情况,就需要利用方差或标准差这两个统计量来衡量。

教学方法

合作探究,小组讨论

教学用具

多媒体

课时安排

2课时

教学过程设计

第一课时

我们常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”。但在评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的日走时误差时,只用平均数是不够的,有时还需要用一个新的数来

刻画一组数据的波动情况。

(一)观察与思考

甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛,每人各射10发子弹,成绩如下表:

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将数据用散点图表示,如图26—3。

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1.观察图形,从图中能估计甲和乙射击成绩的平均水平吗?

2.哪组数据围绕其平均值的波动较大?波动大小反映了什么?

3.谁的射击成绩比较稳定?

注:观察两名业余射击选手比赛的成绩的散点图,直观感受两人成绩水平的高低及稳定性

1.大约都是7环左右。

2.甲选手的波动较大。波动大意味着成绩不稳定。

3.从图上观察,乙选手的成绩波动较小,比甲选手的成绩更稳定。

要比较甲和乙的射击水平,自然想到比较其射击成绩的平均数或中位数,但是,甲和乙射击成绩的平均数和中位数都是7(环)。两人相比,乙的成绩大多集中在7环附近,而甲的成绩相对于平均数的波动较大。

如果一组数据与其平均数的偏差(偏离平均数的大小)较小,我们就说这组数据比较稳定。

事实上,我们在研究问题时,仅考虑数据的“平均水平”是不够的,还需要关注数据的离散程度,即它们与平均数的偏差大小。

设x是n个数据x1,…,x n的平均数,各个数据与平均数之差的平方的平均数,叫做这

n 个数据的方差(variance),用“s 2

”表示。即

222212n 1

s [(x x)(x x)...(x x)]n

=-+-++-

称方差的算术平方根

s =

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为这组数据的标准差(standard deviation)。

方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量。对平均数相等的两组数据,一般方差较小的这组数据相对于平均数的离散程度较小。

注:这里应强调,比较两组数据的波动大小时,以两组数据的平均数相等或比较接近为前提。

例如,甲和乙射击成绩的平均数都是7,方差分别为

2222222

1s [4757267377872107] 3.410

=

-+-+-+-+-+-=甲()()()()()() 2222221s [5726747728797]1.210

=

-+-+-+-+-=乙()()()()() 由于22s s <乙甲

,说明乙的射击成绩比甲稳定。 一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。极差也是刻画数据离散程度的一个统计量。如:

甲射击成绩的极差为10-4=6(环)。 乙射击成绩的极差为9-5=4(环)。

极差反映数据的波动范围,它只用到数据的两个极端值,没有利用数据的全部信息。因此,在数学上常用方差刻画数据的离散程度。

(二)例题

例 在某场女排比赛的一个时段里,甲、乙两队场上各自6名球员的身高分别如下;(单位,cm)

甲队:166 178 181 175 186 182 乙队:175 176 172 183 185 177

用计算器计算此时每队场上6名球员身高的平均数和方差,并说明这一时段里哪个队场上球员的身高更整齐些。

解:(1)进入统计状态,选择一元统计。 (2)输入球员的身高数据。

注:输人数据的方式与计算平均数时输入数据的方式相同。

(3)显示结果。按STATVAR 键后屏幕显示n x Sx x δ。n 表示数据的个数,x 表

示平均数,x δ表示标准差,利用→或←选择x δ,再按键2

x ENTER ,屏幕自动

显示方差的值。

计算结果见下表:(方差精确到0.01)

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这一时段里,两队场上球员平均身高相同,但22

s s >乙

甲,所以乙队场上球员的身高比较整齐。

(三)练 习

两个小组各5名同学目测同一本画册的宽度,目测误差的数据如下:(单位:cm) 第一组:-2 -1 0 1 2 第二组:-3 -2 0 2 3

(1)从直观上看,哪组同学目测得较准确?

(2)分别计算两组数据的极差和方差,进行比较,验证第(1)题的结论。 答案

(1)第一组同学目测较准确。

(2)两组数据的极差分别是4cm 和6cm ,方差分别为2212s 2,s 5.2

==

第一组的极差和方差都较小。 (四)小结

引导学生总结本节的主要知识点。 (五)板书设计

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第二课时

张老师乘公交车上班,从家到学校有A ,B 两条路线可选择。他做了一番实验。第一周,星期一、星期三、星期五选A 路线,星期二、星期四选B 路线,每天两趟;第二周交换。记录所用时间如下表:

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(一)一起探究

根据两条路线所花时间绘制的折线统计图如图26—4所示。

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1.观察图26—4,请说明选择哪条路线乘车平均用时较少,选择哪条路线乘车用时的波动较大。

2.用计算器分别计算选择A ,B 两条路线乘车所用时间的平均数和方差。

3.如果上班路上的可用时间只有40min ,乘车应选择哪条路线?

4.如果路上可用时间为50min ,乘车应选择哪条路线? 注:这是一个非常现实的问题,综合性较强。

1.从图26—4看出,选择A 路线平均用时较少,且所用时间的波动性也大。

2.2

2

A A

B B x 42(min),s 74,x 46(min),s 7.8==== 3.应选择A 路线。 4.应选择B 路线。

经计算和分析得到:选择路线A 乘车平均用时较少,但数据的离散程度大,有三次用时超过50min ,说明时常有堵车现象发生;选择路线B 乘车平均用时较多,但用时比较稳定,

可能路线B较长,但很少有堵车现象。

(二)做一做

画一个长和宽分别为3cm和2cm的长方形,用最小刻度为1mm的直尺测量长方形对角线的长度。6名同学一组,将测得的数据填入下表。

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(1)计算6个数据的平均数和方差。

(2)计算对角线的实际长度(精确到0.1)。

(3)用测量数据的平均数作为实际长度的近似值,记录估计的误差。

(4)和其他小组比较你们估计的误差及测量数据的一致性。

注:设置该问题的目的,是让学生再次经历数据的收集和处理的过程,进一步体会方差的大小在实际问题中的意义。

(1)略。

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3.6

-的值。

(3)计算x 3.6

(4)应交流讨论估计误差和测量结果,体会误差越小,测得数据越接近实际长度,且方差也应越小。

(三)练习

测试甲、乙两种品牌的手表各100只,表示日走时误差数据的统计图如图26—5所示。

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(1)甲、乙两种手表平均日走时误差分别是多少?

(2)甲、乙两种手表日走时误差的极差、方差分别是多少?

(3)如何评价这两种手表的质量?

(4)在价格、性能相同的条件下,你愿意购买哪种手表?

答案

(1)两种手表的平均误差都是0。

(2)两种手表的日走时误差的极差分别是4和6,方差分别是1.04和1.62。(3)甲种手表质量好些

(4)购买甲种手表。

(四)小结

引导学生总结本节的主要知识点。

(五)板书设计

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