2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（三）
理科数学
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项
只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x|x-2＜0}，B={x|log2(x-1)＜1}，则A∩B=（）
A.（-∞，2）
B.（1,3）
C.（-∞，3）
D.（1,2）
2、已知复数i
i Z 212017
-=，则复数Z 的虚部为（ ）
A.52-
B. 51-
C. i 51
D. 5
1
3、n x
a x )(-展开式中所有二项式系数之和是512，
常数项为-84，则实数a 的值是（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2
4、设a=4.05.0,4.0log ,3.0log 84.0==c b ,则a,b,c 的大小关系是（ ） A. a 5、运行如图所示的程序框图，若输出的S=－46， 则①处应填（ ） A. k<4？ B. k>4？ C. k<5？ D. k>5？ 6、已知ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为A,b,c ， 若4,2 22=-+=bc bc c b a ，则ΔABC 的面积（ ） A. 2 1 B. 1 C. 3 D. 2 7、已知圆9:2 2 =+y x c ，一个直径为1的小圆E 与 是 圆C 相内切且在圆C 内滚动，若在圆C 内任取一点P ， 否 则P 能被小圆E 覆盖的概率为（ ） A.31 B.32 C.9 4 D. 9 5 开 始 K=1，S=2 K=k+1 S=2S -3k ① 输出S 结束 8、已知实数x,y 满足?? ???≥++≥+-≤--012230 420 2y x y x y x ， 直线(2+λ)x+(λ-1)y+λ+8=0（λ?R ）过定点A （00,y x ），则0 x x y y Z --= 的取值范围为（ ） A. ??????2,114 B. [)+∞,2 C. ??? ? ?∞-114, D. [)+∞???? ? ? ∞-,2114, 9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 10、已知焦点为F 的抛物线)0(22＞p px y =上有一点A （m,22）, 以A 为圆心，|AF|为半径的圆被y 轴截得的弦长为52， 则m=（ ） A. 2或-2 B. 2 C. 1 D. 1或-1 11、已知数列{}n a 的首项1a =3，对任意m, n ?*N ，都有n m n m a a a +=.，则当n ≥1时， =+++-1233313log log log n a a a （ ） A. n(2n -1) B. 2)1(+n C. 2n D. 2)1(-n 12、已知函数?? ?? ?≤≤=102),4sin(2 x 0,log )(2x x x x f π＜＜，若存在实数4321,,,x x x x ，满足4321x x x x ＜＜＜，且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则 2 143) 2()2(x x x x ?-?-的取值范围是（ ） A. （0,12） B. （4,16） C. （9,21） D. （15,25） 1 3 2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、已知=+-===a c b a c b x a 则若（,//)2),5,1(),2,1(),1,( 14、=-+-? dx x x )41(222π 15、已知函数)2 2 sin()(ππ-=x A x f ，)0(),7()(＞k x k x g -=，已知A=1时，函数 )()()(x g x f x h -=的所有零点和为21，则当A=2时，函数)()()(x g x f x h -= 的所有零点的和为 16、我国古代数学名著《九章算术》的轮割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程。比如在表达式 ++ + 11 111中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过 方程 )0(1 1＞x x x =+ 求得 2 51+= x ，类似上述过程，则 =++ 2017201820172018 。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选做题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分 17、（12分）在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等 比中项为16. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋ 1S 2＋1S 3＋…＋1S n 9 8 16 1 2 4 5 8 男 女 18、（12分）第24届冬季奥林匹克运动会将 于2022年在北京--张家口举行，为了搞好接 待工作，组委会在某学院招募了12名男志 愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的 身高变成如右所示的茎叶图（单位：cm）： 若身高在175cm以上（包括175cm）定 义为“高个子”，身高在175cm以下（不包 括175cm）定义为“非高个子”，且只有 “女高个子”才能担任“礼仪小姐”。 （1）如果分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，在从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？ （2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼 仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。 19、（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点， 底面ABCD是直角梯形，AB⊥CD，⊥ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2． （1）求证：BE⊥平面PAD； （2）求证：BC⊥平面PBD； （3）设Q为侧棱PC上一点，， 试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°． 20、（12分）过抛物线)0(22 ＞p px y =的对称轴上的定点 M （m ，0）（m ＞0），作直 线AB 与抛物线相交于A 、B 两点。 （1）证明：A 、B 两点的纵坐标之积为定值； （2）若点N 是定直线m x l -=:上的任一点，设三条直线AN,MN,BN 的斜率分别为 BN MN AN k k k ,,，证明MN BN AN k k k 2=+ 21、（12分）设函数b ex ax e x f x +--=2)(，其中e 为自然对数的底数。 （1）若曲线)(x f 在y 轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线x y 2 1 = ，求实数a,b 的值； （2）记)(x f 的导函数为)(x g ，求)(x g 在区间[]1,0的最小值)(a h 。 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选一题作答。 22、（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为（a ＞b ＞0，φ为参数），以Ο为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点M （2， ）对应的参数φ= ．θ= 与曲线C 2交于点D （ ， ）． （1）求曲线C 1，C 2的直角坐标方程； （2）A （ρ1，θ），B （ρ2，θ+）是曲线C 1上的两点，求+的值． 23、（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲） 已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|. (1)若当g (x )≤5时，恒有f (x )≤6，求a 的最大值； (2)若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围 高考冲刺卷（数学） 答案 一，选择题 1-6 D D A C B C 7-12 D D B B C A 二，填空题 13、10 14、2 15、 35 16、2018 三，解答题 17，(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16. 又a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1. (2)∵b n ＝log 42 n ＋1 ＝ n ＋12 ，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝ n n ＋3 4 . ∵1S n ＝ 4n n ＋3 ＝43? ????1n － 1n ＋3，∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝43? ????11－14＋12－15＋13－1 6＋…＋1n － 1n ＋3＝43? ????1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<229， ∴正整数k 的最小值为3. 18、解：（I ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 6 1 305=，所以选中的“高个子” 有12×=2人，“非高个子”有18×6 1 =3人．用事件A 表示“至少有一名 高个子”被选中”，则它的对立事件A ˉ表示“没有一名“高个子”被选中”， 则P （A ）=107 1252 3=-c c ， 因此，至少有一人是“高个子”的概率是107． （Ⅱ）依题意，ξ的取值为0，1，2，3． 5514)0(31238= ==c c P ξ，P （ξ=1）=5528 3122 814=c c c ， P （ξ=2）=55123122824=c c c ，P （ξ=3）=55 1 31234=c c ． 因此，ξ的分布列如下： ∴E ξ=0×+1×+2×+3×=1． 19，解：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，AF ， ∵E 为PC 中点，∴EF ∥CD ，且， 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=1， ∴EF ∥AB ，EF=AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形， ∴BE ∥AF ，∵BE ?平面PAD ，AF ?平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD ． （2）∵平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，∴PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ．（5分）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D ﹣xyz ． 则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，2，0），P （0，0，1）． ， ，∴ ，BC ⊥DB ， 又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ，∴BC ⊥平面PBD ． （3）由（Ⅱ）知，平面PBD 的法向量为 ， ξ ∵，，且λ∈（0，1） ∴Q （0，2λ，1﹣λ），设平面QBD 的法向量为=（a ，b ，c ）， ， ，由 ， ，得 ， ∴， ∴， 因λ∈（0，1），解得． 20、（1）证明：由题意设直线AB 的方程为x=ty+m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） ?? ?=+=px y m ty x 2消x 得：y 2-2pty-2pm=0 ∴y 1y 2=-2pm 为定值． （2）解：三条直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列，下证之： 设点N （-m ，n ），则直线AN 的斜率为，直线BN 的斜率为， ∴= = = 又∵直线MN 的斜率为， ∴k AN +k BN =2k MN 21、（Ⅰ）曲线f （x ）在y 轴上的截距为-1，则过点（0，-1），代入 f （x ）=ex-ax2-ex+b ， 则1+b=-1，则b=-2，求导f ′（x ）=ex-2ax-e ， 由f ′（1）=-2，即e-2a-e=-2，则a=1， ∴实数a ，b 的值分别为1，-2； （Ⅱ）f （x ）=ex-ax2-ex+b ，g （x ）=f ′（x ）=ex-2ax-e ，g ′（x ）=ex-2a ， （1）当a ≤2 1 时，∵x ∈[0，1]，1≤ex ≤e ，∴2a ≤ex 恒成立， 即g ′（x ）=ex-2a ≥0，g （x ）在[0，1]上单调递增， ∴g （x ）≥g （0）=1-e ． （2）当a>2 e 时，∵x ∈[0，1]，1≤ex ≤e ，∴2a>ex 恒成立， 即g ′（x ）=ex-2a<0，g （x ）在[0，1]上单调递减， ∴g （x ）≥g （1）=-2a （3）当21 e 时，g ′（x ）=ex-2a=0，得x=ln （2a ）， g （x ）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a ，1]上单调递增， 所以g （x ）≥g （ln2a ）=2a-2aln2a-e ， ∴h （a ）=??? ?? ???? -≤≤-≤-222212ln 22211e a a e a a a a a e ＞ ， ∴当a ≤21 时，h （a ）=1-e ，