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(完整)初中数学相似三角形练习题_-

1．如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC

；④2

AC AD AB =g ．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（） A ．

AD BC DF CE = B ．BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD

EF AF

第2题第3题第6题第11题第12题第13题第14题 3. 如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：（） 4. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

4.若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（） A ．1∶4

B ．1∶2

C ．2∶1

D ．１∶2

5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（） A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个

6.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形

C ．四边形AMON 与四边形ABC

D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形

11．如图一，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 的面积比是（）（A ）3︰2；（B ）3︰5；（C ）9︰16；（D ）9︰4． 3、已知：

).0(,52

≠+==d b d c b a 则

=++d b c a 。 4、已知356

x y z ==，且3y ＝2z ＋6，则x ＝、y ＝。 5、把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长边和短边之比为。

6、、在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，如果AC ＝10，AE ＝4，那么BC ＝．

7、点G 是△ABC 的两条中线BD 、CE 的交点，如果△GDE 的面积为6平方厘米，那么△ABC 的面积为平方厘米．

8、在△ABC 中，AB ＝8厘米，AC ＝6厘米，点D 、E 分别在边AB 、AC 边上，且以点A 、D 、E 为顶点的三角形和以点A 、

B 、

C 为顶点的三角形相似．如果A

D ＝2厘米，那么A

E ＝厘米． 9、两个相似三角形的周长之比为3：4，则这两个三角形的面积之比为：。

10、在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝8，DB ＝6，EC ＝9那么AE ＝． 11、在△ABC 中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，则点G 到BC 边的距为．

12、在同一时刻，某人身高1.6米影长1米，一塔的影长25米，则这个塔高米．

13、已知线段AB 是线段CD 、EF 的比例中项，CD = 2，EF = 8，那么AB = 。 14、两相似三角形的相似比为3:1，面积和为80，则较大的三角形面积为 17、如图，点D 在AC 上，且AD CD AB C ABD 则,2,==∠=∠=______ .

18、锐角△ABC 中，BC ＝6,,12=?ABC S 两动点M 、N 分别在边AB 、AC 上滑动，且MN ∥BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y （y ＞0）,当x ＝，公共部分面积y 最大，y 最大值＝ ,

19、在平面直角坐标系中，ABC △顶点A 的坐标为(23)，，若以原点O 为位似中心，画ABC △的位似图形A B C '''△，使ABC △与A B C '''△的相似比等于

，则点A '的坐标为． D B

A N

M O

C D 9题图B

C A

D B

那么OE 的长为．

交EF 于D ．给出下

22、如图，ABC △与AEF △中，AB AE BC EF B E AB ==∠=∠，，，列结论：

①AFC C ∠=∠；②DF CF =；

③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠．

其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．

23、如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是．

24、（2009年广西南宁）三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子（如图示现测得20cm 50cm OA OA '==，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．

25、如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则 △ABC 的面积是．

26、如图(1)，在平行四边形ABCD 中，R 在BC 的延长线上，AR 交BD 于P ，交 CD 于Q ，若DQ ∶CQ ＝4∶3，则AP ∶PR ＝

图(1) 图(3) 图(4)

27、如图(2)，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，AC 、BD 交于点O ，过点O 作AB 的平行线交AD 于点E ，交BC 于点F ，则图中有对相似形三角形；若DC ＝9，AB ＝15，则OD ∶OB ＝，EF ＝。

28、如图(3)，在△ABC 中，∠BAC ＝900

，CE 平分∠ACB ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD 、CE 相交于点F ，则△AFC ∽△ 。 29、如图(4)，要使△AEF ∽△ABC ，已具备的条件是，还需补充的条件是或或。

30、如图(5)，点D 是△ABC 内一点，连结BD 并延长到E ，连结AD 、AE ，若∠BAD ＝200

，AB BC AC AD DE AE ==，则∠EAC ＝

图

(5) 图(6) 31、在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，则有AD 2＝，ED 2＝，BD 2

＝。若DF ⊥AC ，则还有线段是比例中项。

32、把一个三角形变成和它相似的三角形，而面积扩大为原来的100倍，则边长扩大为 F O A B

C D E

图(2)

Q R P D

C B A A B C

F A B C E F

A B

E A

D E F

33、在△ABC 中DE ∥BC ，2

AB AD ，且S △ABC ＝8cm 2，那么S △ADE ＝ cm 2

34.如图(2)，C 为线段AB 上的一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，若AC ＝3， BC ＝2，则△MCD 与△BND 的面积比为。

35、如图(3)，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与四边形DECB 的面积之比为。三、解答题

1、已知，如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AC 三分之一处，即AE = 3

AC ，DE 的延长线交AB 于F ，求证：AF = FB

2、如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C (1)求证：△ABF ∽△EAD ;(2)若AB ＝4，∠BAE ＝30°，求AE 的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD ＝3，求BF 长.

(计算结果含根号).

3、如图(3)，在△ABC 中，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，AF 与BE 交于点O ，ED ∥AF ，交BC 于点D ，求BO ∶OE 的值。

4、如图，AE 2

＝AD ·AB ，且∠ABE ＝∠C ，试说明△BCE ∽△EBD 。

C A

D M

图(2)

图(3)

E 1

5、如图五，在△ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 上，点G 、F 分别在

AB 、AC 上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 相交于K ，已知 S △AGF ︰S △ABC ＝9︰64，EF ＝10，求AH 的长．

6、如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在对角线BD 上，

且DCE ADB ∠=∠，如果9BC =，CD ∶BD = 2∶3，求CE 的长．

7、在九年级数学课本练习册上有这样一道题：

已知：如图七，点O 为四边形ABCD 内一点，连接OA 、OB 、OC 、OD ，点E 、F 、G 、H 分别在OA 、OB 、OC 、OD 上，且有OA ＝OB ，EH ∥AD ，

HG ∥CD ，FG ∥BC ，求证：EA ＝FB ．

8.若将这题目中的点O 移至四边形ABCD 外，其它条件不变，题中要求证的

结论还成立吗？

（1）请在图八中画出相应的图形，观察并回答：（填成立或不成立）；（2）证明你（1）中观察到的结论．

（图五）

A D

G F K H A B

E （

图八）

D C F

H G （图七）

、

一、填空题：

1、如图,在△ABC 中,DE ∥BC , AD ：AC=2：1，则△ADE ∽△ ，∠C=∠ △ABC 的面积：△ADE 的面积= .

A A E

D 1

E D G E

A D

B B

C B F C

(第1题图) (第2题图) (第3题图) 2、已知:如图,直线DE 交△ABC 的两边AB 、AC 于点D 、E,且∠1=∠B 则

)

(

)()(

)(==. 3、如图,DE ∥BC,则△ ∽△ ,若AD=3,BD=2,AF ⊥BC,交DE 于 G ,则AG:AF= ： , △AGE ∽△AFC,且它们的相似比为 . 4、如图,平行四边形ABCD 中,P 是CD 上的一点,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边形ABCD 的面积= ,S △BCP ：S △APD ：S △APB = ：：

5、已知：如图,梯形ABCD 的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高为12cm,点M 为腰AD 、BC 的交点,则点M 到上底CD 的距离为 cm,点M 到下底AB 的距离为 cm. D P C M D C A B A B （第4题图）（第5题图）

6、如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥AB ，BD ⊥AD ，CD ∥AB ，且BD=3，CD=2，则下底AB 的长是 .

7、如图，在△ABC 中，DE ∥BC,且△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为是3:7，若DE=15cm,则BC= cm, AD:BD= .

D E (第7题图) （第8题图）

B C B

8、如图，在△ABC 中，AB=12，AC=15，D 为AB 上一点，且AD=AB 3

，在AC 上取一点E ，使以A 、D 、

E 为顶点的三角形和△ABC 相似，则AE 等于 .

9、若△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB=3，A 1B 1=4.5，且S △ABC +S △111C B A =78，则S △111C B A = . 10、如图，CD 是直角三角形ABC 斜边上的高，已知AB=25cm ，BC=15cm ，则BD= .

二、选择题：

11、下列命题中，不正确的是（）

A 、如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等；

B 、等腰直角三角形都是相似三角形；

C 、有一个角为600的两个等腰三角形相似；

D 、有一个锐角相等的两个等腰三角形相似。 12、下列结论中，不正确的是（）

A 、有一个角相等，有两条边对应成比例的两个三角形相似

B 、顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似

C 、如果三角形两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形

D 、两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似

13、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（）

A 、 AE BC AD A

B = B 、AD B

C AE AC = C 、AE BC DE AB =

D 、AD

AE AC =

A C E B

D C

E A D B （第13题图）（第14题图） 14、如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则下列说法中正确的有（）① 图中有4个三角形与△ACB 相似； ② ;2EC AE DE ?= ③∠A=∠BCD=∠CDE ； ④

BD CE AC AD =； ⑤ 若AC=4，BC=3，则CD=316 ； ⑥DB

EC AE =。

A 、6个

B 、5个

C 、4个

D 、3个

15、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（）

A 、3100

B 、20

C 、54

D 、25

108

16、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（）

A 、 51

B 、61

C 、7

D 、91

D C ＡＤ

O Ｐ

A B ＢＣ（第16题图）（第１８题图）

17、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16

18、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是（）

三、解答题与证明题：

19、已知：如图，在正方形ABCD 中，Ｐ是ＢＣ上的点，且BP=3PC,Q 是CD 的中点。求证：△ＡDQ ∽△QCP

20、已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD=CE,AD 、BE 相交于点M 求证：(1)△AME ∽△BAE; (2)BD 2=AD ?DM.

21、已知：如图，AD 是RT △ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线EF 交CB 的延长线于点F, 求证：FC FB FD ?=2 A

22、已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。

求证：DA

CD?

B C

(完整版)初中数学竞赛相似三角形专题

初二竞赛专题：相似三角形 1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明： 111 AB CD EF += ． 2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长． 3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长．两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，则 BD EG DC FG = ． O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C

4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证： 5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 6.如图，边长为1的等边ABC △，BC边上有一点D，1 3 BD=，AC上有一点E ，60 ADE ∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠． E D C B A D E B C A

8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长． 9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2， 22DE =，求点B 到AC 的距离． 10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠． 11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证： 2FD FB FC =?． E D C A B P C B A H G B A

八年级数学相似三角形练习题2

相似三角形2 A卷窗体顶端 1、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k (k≠1)，则k的值是（） A．∠A：∠A′B．A′B′：AB C．∠B：∠B′D．BC：B′C′ 2、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（） A．30°B．50°C．40°D．70° 3、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（） A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm 4、如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（） A．1对B．2对C．3对D．4对 5、△ABC∽△A1B1C1，相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（） A．B．C．D． 6、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（） A．200cm B．200dm C．200m D．200km 7、已知线段a=10，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（） A．B．C．D． 8、若则下列各式中不正确的是（） A．B．C．D． 9、已知△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（） A．B．C．D． 10、如图：在△ABC中，DE∥AC，则DE：AC=（）

A．8：3B．3：8 C．8：5D．5：8 B卷 1、计算（1）若求的值. （2）已知：且2a－b＋3c=21，求a，b，c的值. 2、如图：AD∥BC∥EF，则图中有多少对相似的三角形并写出来. 3、在等边△ABC中，P是BC上一点，AP的垂直平分线分别交AB、AC于M、N，求证：△MBP∽△PCN. 4、如图：某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，以给人一种和谐的感觉，这样的四个矩形怎样画出来？窗体底端

相似三角形全讲义(教师版)

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相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

上海市初三数学相似三角形经典题型

相似三角形的判定练习例题分析：例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC = 例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， (1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD (2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB === 例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE 例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。

两个三角形相似的六种图形： 1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F．求证：△ABC∽△FCD； A E F B D C 2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF 3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． 4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。

5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF ． 7.已知如图，在平行四边形ABCD中，,求证：△AOB∽△ABC 8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB

相似三角形试卷及答案

相似三角形单元测试卷一、选择题（每题3分，共24分） 1. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若 1 3 AD AB =，DE ＝4，则BC =（） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．12 2.鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105公里，在一张比例尺为1:2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于（） A ．一根火柴的长度 B ．一支钢笔的长度 C ．一支铅笔的长度 D ．一根筷子的长度 4. 如图，用放大镜将图形放大，应该属于（）Ａ．相似变换Ｂ．平移变换Ｃ．对称变换Ｄ．旋转变换 6. 如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定ABC △∽ADE △的是（） A ．AE AC AD AB = B ．DE BC AD AB = C ． D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠ 7. 如图，已知 ABCD Y 中，45 DBC =o ∠，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ， DE BF ，相交于H ，BF AD ，的延长线相交于G ，下面结论： ①2DB BE = ②A BHE =∠∠③AB BH =④BHD BDG △∽△ 其中正确的结论是（） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．②③④ 8. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD =12 m ，塔影长DE =18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（） A ．24m B ．22m C ．20 m D ．18 m 二、填空题（每题4分，共40分） 11.如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，如果要使ABC DCA △∽△，那么还要补充的一个条件是（只要求写出一个条件即可）． 12. 如图，已知DE BC ∥，5AD =，3DB =，9.9BC =，则ADE ABC S S =△△ ． 14.如图，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交边CD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：． 15. 如图是一盏圆锥形灯罩AOB ，两母线的夹角90AOB ∠=?，若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时，则光束照射到地面的面积是米2． C B A E 1 2 D M C A N A B C D E F H G A D C B A B C D E A B O O

相似三角形的性质与判定讲义)

相似三角形的性质与判定讲义) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方． (5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． (2)对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． (3)传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽ C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?．三、三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式 Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下：（1）（AD ）2=BD ·DC ，（2）（AB ）2=BD ·BC ，（3）（AC ）2=CD ·BC 。【例题精讲】： E D C B A

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ；其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ，语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义知识点一：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。（2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

初中数学《相似三角形》优秀教案

相似三角形一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比．温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．

①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

相似三角形单元测试卷(含答案)

相似三角形单元测试卷（共100分）一、填空题:（每题5分，共35分） 1、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝． 2、一本书的长与宽之比为黄金比，若它的长为20cm ，则它的宽是 cm （保留根号）． 3、如图1，在ΔABC 中，DE ∥BC ，且AD ∶BD ＝1∶2，则 S S ADE ?=四边形DBCE : ．图1 图2 图3 4、如图2，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是．（只要写出一种） 5、如图3，点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作条．图4 图5 图6 6、如图4，四边形BDEF 是RtΔABC 的内接正方形，若AB ＝6，BC ＝4，则DE ＝． 7、如图5，ΔABC 与ΔDEF 是位似三角形，且AC ＝2DF ，则OE ∶OB ＝．二、选择题: （每题5分，共35分） 8、若 k b a c a c b c b a =+=+=+，则k 的值为（） A 、2 B 、-1 C 、2或-1 D 、不存在 9、如图6，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC= （） A 、 21 B 、3 1 C 、3 2 D 、4 1 图7 图8 图9 10、如图7，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 将△ABC 的面积三等分，若BC=12cm ，则FG 的长为（） A 、8cm B 、6cm C 、64cm D 、26cm 11、下列说法中不正确的是（） A ．有一个角是30°的两个等腰三角形相似； B ．有一个角是60°的两个等腰三角形相似； C ．有一个角是90°的两个等腰三角形相似； D ．有一个角是120°的两个等腰三角形相似. 12、如图9, D 、E 是AB 的三等分点, DF∥EG∥BC , 图中三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3( ) A.1:2:3 B.1:2:4 C.1:3:5 D.2:3:4 13、两个相似多边形的面积之比为1∶3 ，则它们周长之比为（） A ．1∶3 B ．1∶9 C ．1 D ．2∶3

相似三角形的存在性(讲义及答案).

相似三角形的存在性（讲义）知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征． ②分类、画图结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解．

精讲精练 1.如图，将长为8cm，宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的点E处，压平后得到折痕MN，点A的对称点为点F，CE=4cm．若点G是矩形边上任意一点，则当△ABG与△CEN相似时，线段AG的长为． 2.如图，抛物线y=-1x2+10x-8经过A，B，C三点，BC⊥OB， 33 AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD 相似，则点M的坐标为．

3.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三 4 点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线y=3 4t x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．（1）点C的坐标是，b=，c=．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．

相似三角形中考试题选编(含答案)

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 年级：九年级授课时间：授课主题：第次课学生姓名：授课科目：数学教学内容《相似三角形的识别、性质》第1题. 某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为（）Ａ．5.3米Ｂ．4.8米Ｃ．4.0米Ｄ．2.7米答案：Ｂ第2题. 如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD AB CD ，∥，2m AB =，5m CD =，点P 到CD 的距离是3m ，则点P 到AB 的距离是（）Ａ． 5 6 m Ｂ．6m 7 Ｃ．6m 5 Ｄ．10m 3 答案：C 第3题. 如图，D E ，分别是ABC △的边AB AC ，上的点，请你添加一个条件，使 ABC △与AED △相似，你添加的条件是．答案：AED B =∠∠或ADE C =∠∠或AD AE AC AB = 第4题. 如图，已知ABC DBE △∽△，68AB DB ==，，则:ABC DBE S S =△△ ．答案：9:16 第5题.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点 F ，下列各式中错误的是（） A ．AE EF A B CF = B ．CD CF BE E C = C ．AE AF AB DF = D ．A E A F AB BC = 答案：D 第6题. 如图，90C E ∠=∠=，3AC =，4BC =，2AE =，则AD = ．答案： 103 第7题.如图，A B C D E G H M N ，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使DEF △与ABC △相似，则点F 应是G H M N ，，，四点中的（） A ．H 或N B ．G 或H C ．M 或N D ．G 或M 答案：Ｃ第8题. 图中_______x =．答案：2

相似三角形详细讲义

知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：

BC DE // ， ADE ∽ABC ．相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ．三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下：（1）（AD ）2=BD ·DC ，（2）（AB ）2=BD ·BC ，（3）（AC ）2=CD ·BC 。证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即（AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2，即（AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。这就是勾股定理的结论。判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若

初三数学的相似三角形的常见模型

相似三角形常见模型一【知识清单】【典例剖析】知识点一：A字型的相似三角形 A字型、反A字型（斜A字型） B（平行） B （不平行）

（1）如图，若BC DE ∥，则ABC ADE ∽△△ （2）如图，如果B AED ∠=∠，或C ADE ∠=∠，则 ACB ADE ∽△△ 1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. 2、已知在ABC △中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，连接DE ，可得?=∠+∠180C BDE ，线段BC DE 21=，AE AD 3 2=，求AC AB 的值。变式练习： 1、如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则 111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 2、如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =， F E D C B A B M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F

::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN = 3、（2014?乌鲁木齐）如图，AD ∥BC ，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个知识点二：8字型相似三角形 J O A D B C A B C D （蝴蝶型）（平行）（不平行）（1）如图，若CD AB ∥，则DOC AOB ∽△△ （2）如图，若C A ∠=∠，则CDJ ABJ ∽△△ 1、已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点 P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证：PE PH PF PG = P H G F E D C B A

九上学生相似三角形讲义

第1讲相似图形与成比例线段【学习目标】 1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。 2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。【学习难点】成比例线段概念。【学习过程】知识点一：比例线段定义：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比，如果 a c b d = ，那么就说这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。例：如四条线段的长度分别是4cm 、8cm 、3cm 、6cm 判断这四条线段是否成比例？解：练习一： 1、如图所示：（1）求线段比AB BC 、CD DE 、AC BE 、AC CD （2）试指出图中成比例线段 2、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是30mm 、2cm 、0.8cm 、12mm 判断这四条线段是否成比例？ 3、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是 2 4、已知A 、B 两地的实际距离是250m 若画在图上的距离是5cm ，则图上距离与实际距离的比是___________ 5、已知线段a= 12、 b =2+、c=2-a c b x =，则x =_________若()0b y y y c =>，则 y =__________ 6、下列四组线段中，不成比例的是（） A a=3 b=6 c=2 d=4 d= C a=4 b=6 c=5 d=10 D 知识点二：比例线段的性质比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下：（1）基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠）在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形 b d a c =、a b c d =、c d a b = （2）合比性质：如果 a c b d =，那么a b c d b d ±±=

人教版九年级下册数学《相似三角形》练习题及答案

27.2 相似三角形一、选择题 1..下列语句正确的是( ) A.△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°, 则⊿ABC 和⊿A′B′C′不相似; B.在⊿ABC 和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B ′=10,则⊿ABC ∽⊿A′B′C′; C.两个全等三角形不一定相似; D.所有的菱形都相似 2.根据图中尺寸（AB ∥A 1B 1）,那么物象长（A 1B 1的长）与物长（AB 的长）之间函数关系的图像大致是（） 3.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则有（）（A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD （C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD ( 3题 ) (4题)

4．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（）（A ）1对（B ）2对（C ）3对（D ）4对 5.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( ) A.32cm B.24cm C.18cm D.16cm 6. 已知⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′，且BC ：B ′C ′= AC ：A ′C ′，若AC=3，A ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是（）。 A. 2:3 B. 3:2 C. 5:3 D. 3:5 7.可以判定?ABC ∽'''C B A ?，的条件是（） A 、∠A=∠'C =∠' B B 、'''' C A B A AC AB =，且∠A=∠'C C 、''''C A AC B A AB =且∠A=∠'B D 、以上条件都不对 8. 已知一次函数y=2x+2与x 轴y 轴交于A 、B 两点，另一直线y=kx+3交x 轴正半轴于E 、交y 轴于F 点，如⊿AOB 与E 、F 、O 三点组成的三角形相似，那么k 值为（） A 1.5 B 6 C 1.5或6 D 以上都不对二、填空题 9. 已知一个三角形三边长是6cm ，7.5cm ，9cm ，另一个三角形的三边是8cm ，10cm ，12cm ，则这两个三角形（填相似或不相似） 10. 在1:25000000的中国政区图上，量得福州到北京的距离为6cm ，则福州到北京的实际距离为 km 。 11. 如图，平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_____________ 12.四边形ABCD ∽四边形A ,B ,C ,D , ∠A=70度，∠B ,=108度，∠C , =92度则∠D=_______ 13.在平行四边形ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使⊿CBF ∽⊿CDE ，则BF 的长为________

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