2012年初中数学能力训练参考答案
练习1 实数（1）
【本课知识点】正数与负数；数轴；相反数；绝对值；科学记数法 一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．D
二、填空题
5．2，－12 ，2 6．1.823107
千瓦 7．＞，＞，0 8．4 9、①③
三、解答题
10．（1）1；（2）－1006；（3）3＋2010
11．（1）64 8 15 （2）（n －1）2＋1 n 2 2n －1 (3)2n 3－3n 2＋3n －1 12、（1）26.7元； （2）28元，26.4元
13．表示形式分别为224
，236
，235
；末位数字分别是6，6，8.
12．（1）由已知可得 全程参考价总里程数＝180
1500＝0.12． A 站至F 站实际里程数为1500－219＝
1281．所以A 站至F 站的火车票价为 0.1231281＝153.72≈154(元)
（2）设王大妈实际乘车里程数为x 千米根据題意得180x
1500＝66解得x ＝550 (千米)．
对照表格可知， D 站与G 站距离为550千米，所以王大妈是D 站或G 站下的车．
练习2 实数（2）
【本课知识点】有理数的大小比较，有理数的运算，零指数及负整指数幂 一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．D 5、A
二、填空题 6．（1）－ 2 、－ 3 等 （2）π 7、．9.9310－11 8．100 9．3 10、3 三、解答题
11．（1）1；（2）5
12．x ＝±2，y ＝3，x －y ＝－1或－5
13．（1）10－3＋4＋2－8＋13－2＋12＋8＋5＝41，在出发地东41千米. （2）0.23（10＋3＋4＋2＋8＋13＋2＋12＋8＋5）＝13.4升 14．43－1 a －1 15．p ＝1，q ＝－2.
练习3 实数（3）
【本课知识点】开平方，近似数与有效数字；二次根式 一、选择题
1．A 2．A 3．D 4．C 二、填空题
5．x ≥2 6、1 7．±8 8 4 2 8．0.3； 5 －2 9．2 三、解答题
10．（1）－1； （2）2－ 2 ；（3）3
2
2 －2 （4）3
11．1 12．3 13．－1
16 14．43 15．－30.06
练习4 整式
【本课知识点】单项式、多项式；列代数式，代数式的值；整式的运算；因式分解 一、选择题
1．A 2．D 3．D 4．B 二、填空题
5．2π，2 6．五、四，－12x 3y 2 －79 7．（1）－6； （2）67 ，4
7
8．6
9．5 10．2 2 11．1
8
三、解答题
12．（1）2a 2＋3a －5； （2）－3x ＋y ； （3）m 3－3m 2－9m ＋27； （4）2a 4
＋18a 2
； （5）－x 10
； （6）0 13．（1）x （x －y ）2； （2）（a ＋b －1）（a －b ＋1）
14．（1）当x ＝3时，原式＝2x ＋5＝11 （2）当a ＝2，b ＝1时，原式＝a 2－2ab ＝0. 15．等边三角形
16、n 2—6n ＝n （n —6），只有当0＜n ＜6且n 为整数时值为负.
17．（1）4，2＋3＋4＋5 （2）S n －S n －1＝n （3）S ＝2＋3＋4＋…＋n ＝
(n ＋2)(n －1)
2
练习5 分式
【本课知识点】分式的概念，基本性质；分式的运算 一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．B 二、填空题
5．－14mn ，x 2y 4
9m 2n 2，xy
y －x 6．x 2－y 2x －y
等 7． 1 8．1
三、解答题
9．（1）y 2x ＋y ；（2）4x 10a 2y 4；（3）3m ＋3；（4）1；（5）8x 7
a 8－x 8.
10．（1）x ＋1x －2 当x ＝0时，原式＝－1
2 （2）原式＝x ＋1x 2＝1
11．3
5
12．（1）A ＝65 B ＝－45 （2）(A －B )÷C ＝1x －2＝1 或A －B ÷C ＝1x ＝1
3
13．M ＝N
14．x ＝―5，―2，―1，0，2，3，4，7 15．（1）n n ＋1 ； （2）2012
x 2＋2012x
练习6 方程（1）
【本课知识点】一元一次方程、二元一次方程组 一、选择题
1．C 2． C 3．B 4．C 二、填空题
5．2 6．12x －20；16 7．5 8．29
3
三、解答题
9． (1) x ＝－12 (2)x ＝2 (3) x ＝3 (4) x ＝14
17 10． (1)???x ＝－1，y ＝－4； (2)???a ＝－1，b ＝－3；
(2)???a ＝13
，b ＝12； (2)???a ＝5，b ＝1． 11．略 12．D 13．a ＝4，b ＝5，c ＝－2
练习7 方程（2）
【本课知识点】一元一次方程、二元一次方程组及其应用 一、选择题
1．A 2． A 3．B 4．C
二、填空题
5．15(x ＋2)＝330 6．如果每人做6个，那么比计划多8个 7．120 8．30 三、解答题
9． 2或3 10． (1)A 型洗衣机1100元，B 型洗衣机1600元； (2) 小李957元，小王1392元 11．(1) S ＝360． (2) a ＝0.4 12． x ＝4，y ＝3
练习8 方程（3）
【本课知识点】分式方程、一元二次方程 一、选择题
1．D 2．A 3．D 4．C
二、填空题
5． (1) x 1＝0，x 2＝2 (2) x 1＝－1＋2；x 2＝－1－ 2
(3) x 1＝x 2＝－2 (4) x 1＝2；x 2＝3 6．m ＞－6且m ≠－4 7．－2，－1 8．4＋2 2 三、解答题
9． (1)x ＝6 (2)x ＝1 (3)x 1＝3，x 2＝－3 (4) x 1＝－2＋2；x 2＝－2－ 2
(5)x 1＝1，x 2＝12 (6)x 1＝17，x 2＝－15 10．k ＞－1且k ≠0 11． (1)m ≤14 (2)m ＝1
4
12．(1)原式＝a 2＋3a 2＝－12(2) 原式＝b 2－a 2b a ＝－1 13．(1)略 (2) x 1＝a ，x 2＝a
a －1
练习9 方程（4）
【本课知识点】一元二次方程及其应用 一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．A 二、填空题
5．72(1－x )2＝56 6．2400x －2400
(1＋20%)x ＝8 7．5 8．2
三、解答题
9．6元或4元 10． (1)5元 (2)4160元 11．5米 12．2米
练习10 不等式（1）
【本课知识点】一元一次不等式（组）及其解法 一、选择题
1．B 2．C 3．C 4．C
二、填空题
5．k ＞2 6．m ＜2 7．－3＜a ≤－2 8．a ＜4 三、解答题
9．（1）x ≤2 （2）x ＞17 10．x ＜－4，数轴略 11．－3＜x ≤1，x ＝3
2
满足该不等式 12．0≤x ≤3 13．－2＜x ≤3 14．a ＞－1 15．x ＜－3
练习11 不等式（2）
【本课知识点】不等式及其应用 一、选择题
1．B 2．B 3．D 4．B 二、填空题
5．x ＞1 6．x 1.1＞400
5
7．8 8．50＋0.3x ≤1200
三、解答题
9．158名学生，20个交通路口安排执勤 10．（1）31 （2）①当x ≤10时，y ＝1.5x ；②当10＜x ≤m 时，y ＝2x －5； ③当x ＞m 时，y ＝1031.5＋2(m －10)＋ 3 (x －m )＝ 3x －m －5 (3) ①当40≤m ≤50时， 2340－5＝75，符合题意；②20≤m ＜40时，70≤3x －m －5≤90， 25 ≤m ≤45，综上25≤m ≤50. 11．（1）20≤x ≤40，有21种方案；（2）y ＝－0.2x ＋280， x ＝40时，成本总额最低 12．5个
练习12 函数（1）
【本课知识点】直角坐标系、点的坐标，以及函数的有关概念 一、选择题
1.D
2. C
3. C
4. C 二、填空题
5. 二；(?2，?3)
6. x ≠1；x ≥?1， 3 ；x ≥?1且x ≠2
7. ?2＜m ＜1
2
，(1，2)(不唯一)
8.(?7
6 ，4)，(?2，4)，(?3，4)，(8，4)；12
三、解答题
9. y ＝80?2x ，20＜x ＜40.
10.(4，0)；(4，4)；(0，4)；(0，0)；图略 11.图略，(3，?1)
12. (?4，4)，15
4
13.略
练习13 函数（2）
【本课知识点】一次函数的图像与性质 一、选择题：
1．B 2．C 3．A 4．C 二、填空题：
5．y ＝x ＋3（不唯一） 6．1
2 ≤m ＜2 7．?
3 8．y ＜?2
三、解答题： 9．解：（1）S ＝40?5x ，x 的取值范围是0＜x ＜8
（2）画图略．
10．解：（1）甲厂的收费y （元）与印刷数量x （份）之间的函数关系式为y ＝x ＋100
乙厂的收费y (元)与印刷数量x （份）之间的函数关系式为y ＝2x （2）根据题意可得x ＋1000＜2x 解得x ＞1000
∴当印制数量大于1000份时，在甲厂印刷合算.
11．解：(1) ∵ 直线y ＝?3
4
x ＋3与x 轴的交点坐标为（4，0），与y 轴交点坐标为（0，3），
∴函数y ＝?3
4
x ＋3的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5.
(2) 直线y ＝?34 x ＋b 与x 轴的交点坐标为（4
3
b ，0），与y 轴交点坐标为（0，b ），
当b ＞0时，b ＋43b ＋53 b ＝16，得b ＝4，此时，坐标三角形面积为32
3 ；
当b ＜0时，?b ?43 b ?53 b ＝16，得b ＝?4，此时，坐标三角形面积为32
3 .
综上，当函数y ＝?34 x ＋b 的坐标三角形周长为16时，面积为32
3
．
12．解：（1）设乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式为y ＝k 1x ＋b 1，把（2，0）和
（10，480）代入，得???2k 1＋b 1＝0，10k 1＋b 1＝480． 解得???k 1＝60，
b 1＝?120．
∴y 与x 的函数关系式为y ＝60x ?120．
（2）由图可得，交点F 表示第二次相遇，F 点横坐标为6，此时y ＝6036?120＝240， ∴F 点坐标为（6，240），
∴两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程为240千米． （3）设线段BC 对应的函数关系式为y ＝k 2x ＋b 2，把（6，240）、（8，480）代入，得
???6k 2＋b 2＝240，8k 2＋b 2＝480． 解得???k 2＝120，b 2＝?480．
∴y 与x 的函数关系式为y ＝120x ?480．
∴当x ＝4.5时，y ＝12034.5?480＝60． ∴点B 的纵坐标为60， ∵AB 表示因故停车检修，
∴交点P 的纵坐标为60．
把y ＝60代入y ＝60x ?120中，有60＝60x ?120，解得x ＝3， ∴交点P 的坐标为（3，60）．
∴交点P 表示第一次相遇，
∴乙车出发3?2＝1小时，两车在途中第一次相遇．
练习14 函数（3）
【本课知识点】一次函数与反比例函数
一、选择题
1．C 2．A 3．A 4．B 二、填空题
5．y ＝
40
x
； 6．m ＞3； 7．?3 8．4 三、解答题 9．解：（1）m ＝?1，k ＝2；（2）(?1，?2)；（3）x ＜?1或0＜x ＜2 10．解：（1）△P 1OA 1的面积将逐渐减小．
（2）作P 1C ⊥OA 1，垂足为C ，因为△P 1O A 1为等边三角形， 所以OC ＝1，P 1C ＝ 3 ，所以P 1(1， 3 )．
代入y ＝k x ，得k ＝ 3 ，所以反比例函数的解析式为y ＝3
x
．
作P 2D ⊥A 1 A 2，垂足为D 、设A 1D ＝a ，则OD ＝2＋a ，P 2D ＝ 3 a ， 所以P 2(2＋a ， 3 a )．
代入y ＝3
x
，得(2＋a )2 3 a ＝ 3 ，化简得a 2＋2a －1＝0；
解得：a ＝?1± 2 ， ∵a ＞0 ∴a ＝?1＋ 2 ，
所以点A 2的坐标为(2 2 ，0)．
11．①②④ 12．解：（1）如图；M 1 的坐标为(?1，2)； （2）k ＝?1，b ＝m ；
（3）由（2）知，直线M 1 M 的解析式为y ＝?x ＋6
则M (x ，y )满足x ·(?x ＋6)＝?2， 解得x 1＝3＋11 ，x 2＝3?11 ， ∴ y 1＝3?11 ，y 2＝3＋11 ，
∴M 1，M 的坐标分别为（3?11 ，3＋11 ），（3＋11 ，3?11 ）．
练习15 函数（4）
【本课知识点】二次函数
一、选择题
1．A 2．C 3．D 4．D 二、填空题
5．?2 ； 6．(6，2)或(?6，2)； 7．(2，?6) 三、解答题 8．（1）y ＝ x 2－4 x －6． （2）对称轴为x ＝2；顶点坐标为(2，－10)．
（3）点Q 到x 轴的距离为6． 9．（1）网球不能落入桶内．
（2）当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内． 10．（1）y ＝?14
x 2＋2x ＋1．
（2）当t ＝ 1时，P 点坐标为(1，1)，∴Q 点坐标为(2，0)； 当t ＝ 4时，P 点坐标为(2，3)，∴Q 点坐标为(5，0)．
（3）当0＜t ≤2时， s ＝?18t 2＋t ；当2＜t ≤5时， s ＝?12t 2＋3t ?5
2
当t ＝3时，S 的最大值为2．
练习16 函数（5）
【本课知识点】函数及其应用 一、选择题：
1．A 2．A 3．A 4．C 二、填空题：
5．y 随x 值的增大而增大； 6．右，1，上，5
2 ； 7．y 1＝0.58x (x ≥0)， y 2＝0.28x ＋
600 (x ≥0) ； 8．16 三、解答题：
9．200；5；y ＝200x ?1000． 10．解：（1）由题意得y 与x 之间的函数关系式为
y ＝(10＋0.5x )(2000-6x )＝ ?3x 2＋940x ＋20000 (1≤x ≤110，且x 为整数) （2）由题意得：?3x 2＋940x ＋20000?1032000?340x ＝22500 解方程得：x 1＝50 x 2＝150（不合题意，舍去）
李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售． （2）设最大利润为W ，由题意得
W ＝ ?3x 2
＋940x ＋20000?10 32000?340x ＝ ?3(x -100)2
＋ 30000 ∴当x ＝100时，W 最大＝30000
100天＜110天
∴100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元． 11. 解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得 ??
?3b ＋c ＝0，c ＝?3．
解得：??
?b ＝ - 2，c ＝ -3．
所以二次函数的表达式为：y ＝x 2-2x -3
（2）存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形．设P
2PP ′交CO 于
E
若四边形POP ′C 是菱形，则有PC ＝PO ．
连结PP ′ 则PE ⊥CO 于E ，
∴OE ＝EC ＝32，∴y ＝ -32 ∴x 2
-2x -3＝?32
解得x 1＝
2＋102，x 2＝2-102
(不合题意，舍去) ∴P 点的坐标为(2＋102，?3
2
)
（3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB
交于点F ，设P (x ，x 2
-2x -3)，
易得，直线BC 的解析式为y ＝x - 3. 则Q 点的坐标为(x ，x ?3).
S
四边形
ABPC ＝S △ABC ＋S △BPQ ＋S △CPQ
＝12 AB ·OC ＋1
2
QP ·OE ＋1
2
QP ·EB
＝ 12 3433＋12 (-x 2＋3x )33 ＝ - 32 (x -32 )2＋75
8
当x ＝3
2
时，四边形ABPC 的面积最大.
此时P 点的坐标为(32 ，?154)，四边形ABPC 的面积的最大值为75
8 .
练习17 代数综合练习
一、选择题：
1．C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．D 7．A 8．B
二、填空题：
9． 5.995793107 人次 10．ax (x -1) ；（3x ＋y ＋2）·（3x -y -2） 11．y ＝-6
x
12．k ＞1 13．4 14． 12 15．(2，4) 16．（9
2 ，0）；12
三、解答题：
17．（1）11- 3 （2） ???x ＝12 y ＝1
（3）化简为1
a ＋b
，当a ＝2时，值为1
18．乙车出发后1．5小时追上甲车
19．（1）m ＝ -x ＋100（0≤x ≤100）（2）每件商品的利润为x ?50，所以每天的利润为：
y ＝(x ?50)(?x ＋100) ∴函数解析式为y ＝?x 2＋150x ?5000 （3）∵x ＝?
150
23(-1)
＝75
在50＜x ＜75元时，每天的销售利润随着x 的增大而增大
20． 解：（1）(150?150x ) 千米．
（2）相遇之后，两车的距离是(150 x ?150)千米，
依题意可得不等式组：???150?150x ≤15，
150x ?150≤15．
解得0.9≤x ≤1.1 ； 1.1-0．9＝0.2
答：两部对讲机可以保持通话的时间最长是0.2小时．
21． ∴直线AD 的函数表达式为．y ＝3x ＋2 3
∴当t ＝2、6、10、14时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切． 22．（1）提示：∵PQ ∥FN ，PW ∥MN ∴∠QPW ＝∠PWF ，∠PWF ＝∠MNF ∴∠QPW ＝∠MNF
同理可得：∠PQW ＝∠NFM 或∠PWQ ＝∠NFM ∴△FMN ∽△QWP
（2）当x ＝4
3
或x ＝4时，△PQW 为直角三角形；
当0≤x ＜43 ，4
3 ＜x ＜4时，△PQW 不为直角三角形．
（3）当x ＝5时，MN 最短，此时MN ＝ 2.
练习十八 相交线与平行线
【本课知识点】相交线与平行线 一、选择题
1．B ； 2．B ； 3．B ； 4. C ． 二、填空题
5．70°； 6．30°； 7．30°； 8．80°
三、解答题
9．BD ∥AC ．理由略． 10．110°． 11．略 【拓展与延伸】
12．过点A 作AE ⊥l 3于点E ，过点C 作CF ⊥l 3于点F ，可得△AEB
≌△BFC ，AE ＝BF ＝3，EB ＝FC ＝5，在Rt △AEB 中，得AB 2
＝BC 2＝34，∴AC ＝217． 13．（1）不成立，结论是∠BPD ＝∠B ＋∠D .
延长BP 交CD 于点E ，
∵AB ∥CD . ∴∠B ＝∠BED . 又∠BPD ＝∠BED ＋∠D ，∴∠BPD ＝∠B ＋∠D . （2）结论： ∠BPD ＝∠BQD ＋∠B ＋∠D .
（3）由（2）的结论得：∠AGB ＝∠A ＋∠B ＋∠E . 又∵∠AGB ＝∠CGF .
∠CGF ＋∠C ＋∠D ＋∠F ＝360°∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ∠E ＋∠F ＝360°.
练习十九 三角形
【本课知识点】三角形的边角关系、全等三角形的判定与性质 一、选择题
1．B ； 2．D ； 3．A ； 4．C ． 二、填空题 5．270°； 6．3； 7．75°； 8．82°． 三、解答题
9．中线．证明△BED ≌△CFD 即可． 10．（1）△ADC ≌△ABE ，△CDF ≌△EBF ．
（2）证法不唯一：连接CE ∵Rt △ABC ≌Rt △ADE ∴AC ＝AE ∴∠ACE ＝∠AEC 又∵Rt △ABC ≌Rt △ADE ∴∠ACB ＝∠AED ∴∠ACE －∠ACB ＝∠AEC －∠AED ， 即∠BCE ＝∠DEC . ∴CF ＝EF
11．（1）∵△ABD 是等边三角形，AB ＝10，∴∠ADB ＝60°，AD ＝AB ＝10
∵DH ⊥AB ∴AH ＝1
2
AB ＝5 ∴DH ＝AD 2－AH 2＝102－52＝5 3
（第10题）
E
F
C
B
A
l 1l 2
l 3
（第12题）
∵△ABC 是等腰直角三角形 ∴∠CAB ＝45° ∴∠AEH ＝45°
∴EH ＝AH ＝5 ∴DE ＝DH －EH ＝53－5
（2）∵DH ⊥AB 且tan ∠HDB ＝3
4
∴可设BH ＝3k ，则DH ＝4k k 4，DB ＝5k
∵BD ＝AB ＝10 ∴5k ＝10 解得：k ＝2 ∴DH ＝8，BH ＝6，AH ＝4 又∵EH ＝AH ＝4 ∴DE ＝DH －EH ＝4
【拓展与延伸】
12．201．
13．图（2）成立，图（3）不成立． 证明图（2）．
延长DC 至点K ，使CK ＝AE ，连结BK ，则△BAE ≌△BCK ，
∴BE ＝BK ，∠ABE ＝∠KBC ， ∵∠FBE ＝60°，∠ABC ＝120°，
∴∠FBC ＋∠ABE ＝60°， ∴∠FBC ＋∠KBC ＝60°，
∴∠KBF ＝∠FBE ＝60°， ∴△KBF ≌△EBF ， ∴KF ＝EF ， ∴KC ＋CF ＝EF ， 即AE ＋CF ＝EF ．
图（3）不成立， AE ，CF ，EF 的关系是AE －CF ＝EF ．
练习二十 特殊三角形
【本课知识点】等腰三角形、直角三角形 一、选择题
1．A ； 2．B ； 3．C ； 4. D ． 二、填空题
5．60°； 6．7
4 cm ； 7．5； 8．27．
三、解答题
9．（1）略． （2）13．
10．（1）∵AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点， ∴AE ＝BE ＝ED ＝12BD ， ∴∠B ＝∠BAE ，
∵∠AED ＝∠B ＋∠BAE ， ∴∠AED ＝2∠B ，
∵∠C ＝2∠B ， ∴∠C ＝∠AED ， ∴AC ＝AE ， ∴BD ＝2AC ． （2）25． 11．（1）∵△ABC 为等腰直角三角形，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，
∴∠DAB ＝∠DBA ＝30°，∴∠BDE ＝60°
再证△ADC ≌△BDC ，得∠ADC ＝∠BDC ＝45°，∴∠EDC ＝60°，∴DE 平分∠BDC （2）连结MC ，可证△BDC ≌△EMC 即可 【拓展与延伸】 12．27＋133．
13．(1) ∵ BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上， ∴ ∠DBA ＝ ∠CAE ，
又∵AB AC ＝BD
AE ＝3 ， ∴ △ABD ∽△CAE .
(2) ∵AB ＝3AC ＝3BD ，AD ＝22BD ，
（第13题图⑵）
A
B
C D
E F
M
N
K A
B C
D E （第10题）
（第13题）
E
D
C
B A
∴ AD 2 ＋ BD 2 ＝ 8BD 2 ＋ BD 2 ＝ 9BD 2 ＝AB 2
， ∴∠D ＝90°， 由（1）得 ∠E ＝∠D ＝ 90°，∵ AE ＝13 ，EC ＝13AD ＝232BD ，AB ＝ 3BD ，
∴在Rt △BCE 中，BC 2 ＝ (AB ＋ AE )2 ＋ EC 2
＝ (3BD ＋13BD )2 ＋ (223BD )2 ＝ 1089
BD 2
＝12a 2 ，
∴ BC ＝23a .
练习21 四边形（1）
【本课知识点】四边形的边、角关系；平行四边形性质与判定 一、选择题
1. A ．
2. C ．
3. D ．
4. D ． 二、填空题
5. 6. 6. 65°. 7. 10. 8. 12. 三、解答题
9. 证明： 四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠GBC ＝∠BGA ，∠BCE ＝∠CED .
∵BG 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，∴∠ABG ＝∠GBC ，∠BCE ＝∠ECD . ∴∠ABG ＝∠GBA ，∠ECD ＝∠CED ，∴AB ＝AG ，CE ＝DE .
∴AG ＝DE ，∴AG －EG ＝DE －EG . 即AE ＝DG . 10. ∵∠AEB ＝∠EBC ，DF ∥BE ， ∴∠DFC ＝∠AEB . ∵∠DAB ＝∠BCD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF ， ∴AE ＝FC . ∴ED ＝CF . ∵AB ＝CD ， 又∵∠ABC ＝∠CDA ，∴△ABF ≌△CDE .， ∴∠BAF ＝∠ECD . ∴∠F AD ＝∠ECB ， ∴△AEM ≌△CFN ∴FN ＝EM . 又∵DF ∥BE ∴四边形MFNE 是平行四边形 11.（1）提示：AC ＝
32AB ，EF ＝32AE ＝3
2
AB ，AC ＝AE . （2）提示：∠DAF ＝60°＋30°＝90°＝∠EFA ，AD ∥EF 且AD ＝EF .
12. 解：（1）（选证－）△BDE ≌FEC ．
证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠ACB ＝60°．
∵CD ＝CE ，∴BD ＝AF ＝AE ，△EDC 是等边三角形．
∴DE ＝EC ，∠CDE ＝∠DEC ＝60°，∴∠BDE ＝∠FEC ＝120°． 又EF ＝AE ，∴BD ＝FE ．∴△BDE ≌△FEC ． （选证二）△BCE ≌△FDC ．
证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠ACB ＝60°．
又∵CD ＝CE ，∴△EDC 是等边三角形．∴∠BCE ＝∠FDC ＝60°，DE ＝CE ． ∵EF ＝AE ，∴EF ＋DE ＝AE ＋CE ． ∴FD ＝AC ＝BC ．∴△BCE ≌△FDC ． （选证三）△ABE ≌△ACF ．
证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠ACB ＝∠BAC ＝60°． ∵CD ＝CE ，∴△EDC 是等边三角形．∴∠AEF ＝∠CED ＝60°． ∵EF ＝AE ，△AEF 是等边三角形．∴AE ＝AF ，∠EAF ＝60°．
∴△ABE ≌△ACF ．
（2）解：四边形ABDF 是平行四边形．
理由：由（1）知，△ABC 、△EDC 、△AEF 都是等边三角形． ∴∠CDE ＝∠ABC ＝∠EF A ＝60度． ∴AB ∥DF ，BD ∥AF ．
∴四边形ABDF 是平行四边形．
（3）解：由（2）知，四边形ABDF 是平行四边形． ∴EF ∥AB ，EF ≠AB ． ∴四边形ABEF 是梯形．
过E 作EG ⊥AB 于G ，则EG ＝2 3 ．
∴S 四边形ABEF ＝12EG ?（AB ＋EF ）＝1
23233（6＋4）＝103．
练习22 四边形（2）
【本课知识点】矩形、菱形的概念、性质、判定 一、选择题
1. C ．
2. D ．
3. A ．
4.B. 二、填空题
5.
258 . 6. 54. 7. 24. 8. 125
. 三、解答题 9．（1）∵AB ∥CD ，即AE ∥CD ，∵CE ∥AD ，∴四边形AECD 是平行四边形.
∵AC 平分∠BAD ，∴∠CAE ＝∠CAD ，∵AD ∥CE ，∠ACE ＝∠CAD ， ∴∠ACE ＝∠CAE ，∴AE ＝CE ，∴四边形AECD 是菱形. （2）连DE ，则DE ⊥AC ，且平分AC ，设DE 交AC 于F ． ∵E 是AB 的中点，∴EF ∥BC ．∴BC ⊥AC ，∴△ABC 是直角三角形． 10. 解：（1）证明：∵DE ∥OC ，CE ∥OD ，∴四边形OCED 是平行四边形．
∵四边形ABCD 是矩形， ∴ AO ＝OC ＝BO ＝OD . ∴四边形OCED 是菱形．
（2）∵∠ACB ＝30° ∴∠DCO ＝ 90°— 30°＝ 60°
又∵OD ＝ OC ， ∴△OCD 是等边三角形
过D 作DF ⊥OC 于F ，则CF ＝12OC ，设CF ＝x ，则OC ＝2x ，AC ＝4x .
在Rt △DFC 中，tan 60°＝DF
FC
. ∴DF ＝FC tan 60°＝3x .
由已知菱形OCED 的面积为83得OC 2DF ＝83，即2x 23x ＝83， 解得 x ＝2， ∴ AC ＝432＝8.
11．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝DC ，DE ＝
DE ，对角线BD 平分∠ADC ，
∴△ADE ≌△
CDE ，∴∠DAE ＝∠DCE .
∵AD ‖GC ，∴∠DAE ＝∠G .
B
C E
12. (1) 假设当m ＝10时，存在点P 使得点Q 与点C 重合（如下图），
∵PQ ⊥PD ∴∠DPC ＝90°，∴∠APD ＋∠BPC ＝90°， 又∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠BPC ＝∠ADP ， 又∠B ＝∠A ＝90°，∴△PBC ∽△DAP ，∴PB DA ＝BC
AP ，
∴
10－AP 4＝4
AP
，∴AP ＝2或8. ∴存在点P 使得点Q 与点C 重合，出此时AP 的长2 或8.
(2) 如下图，∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ ＝∠BAC ，∵∠BPQ ＝∠ADP ，∴∠BAC ＝∠ADP ，又∠B ＝∠DAP ＝90°，∴△ABC ∽△DAP ，∴AB DA ＝BC AP ，即m 4＝4AP ，∴AP ＝16m ．
∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ ＝∠BAC ，∵∠B ＝∠B ，
∴△PBQ ∽△ABC ，PB AB BQ
BC ，即m －
16
m
m
＝
BQ 4
， ∴BQ ＝4－
16m 2
． (3)由已知 PQ ⊥PD ，所以只有当DP ＝PQ 时，△PQD 为等
腰三角形（如图），
∴∠BPQ ＝∠ADP ，又∠B ＝∠A ＝90°，∴△PBQ ≌△DAP ， ∴PB ＝DA ＝4，AP ＝BQ ＝m －4，
∴以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形的面积S 与m 之间的函数关系式为：S 四边形PQCD ＝ S
矩形ABCD
－S △DAP －S △QBP ＝DA 2AB －123DA 2AP －1
2
3PB 2BQ
＝4m －12343（m －4）－1
2343(m －4)＝16（4＜m ≤8）．
练习23 四边形（3）
【本课知识点】正方形的性质与判定 一、选择题
1. D ．
2. A ．
3. C ．
4. A ．
二、填空题
5. 32
6. 22.5°.
7. 2 5.
8. 3 三、解答题 9．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45°. 又EC ＝EC ，∴△ABE ≌△ADE . （2）∵△ABE ≌△ADE ，∴∠BEC ＝∠DEC ＝12
∠BED .
∵∠BED ＝120°∴∠BEC ＝60°＝∠AEF ，∴∠EFD ＝60°＋45°＝105° . 10. （1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠A ＝∠PBC ＝90°，AB ＝AD ，∴∠ADP ＋∠APD ＝90°. ∵∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠EPB ＝90°.∴∠ADP ＝∠EPB . （2）过点E 作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ， 则∠EGP ＝∠A ＝90°
又∵∠ADP ＝∠EPB ，PD ＝PE ，∴△PAD ≌△EGP . ∴EG ＝AP ，AD ＝AB ＝PG ，
∴AP ＝EG ＝BG . ∴∠CBE ＝∠EBG ＝45°.
11. 提示：连接PC ，过M 点作MH ⊥DC 于点H .
证明△MNH ≌△CPD ，则MN ＝PC ＝13.
12. (1) 答：AE ⊥GC ．
证明：延长GC 交AE 于点H ．在正方形ABCD 与正方形
DEFG 中，AD ＝DC ，∠ADE ＝∠CDG ＝90?，DE ＝DG ，
∴△ADE ?△CDG ，∴∠1＝∠2，∵∠2+∠3＝90?， ∴∠1+∠3＝90?，∴∠AHG ＝180?-(∠1+∠3)＝180?-90?
＝90?，∴AE ⊥GC ． (2) 答：成立．
证明：延长AE 和GC 相交于点H ．在正方形ABCD 与 正方形DEFG 中，AD ＝DC ，DE ＝DG ，
∠ADC ＝∠DCB ＝∠B ＝∠BAD ＝∠EDG ＝90?，
∴∠1＝∠2＝90?-∠3，∴△ADE ?△CDG ，
∴∠5＝∠4，又∵∠5+∠6＝90?， ∠4+∠7＝180?-∠DCE ＝180?-90?＝90?，∠6＝∠7， 又∵∠6+∠AEB ＝90?∴∠AEB ＝∠CEH ，
∴∠CEH +∠7＝90?，∴∠EHC ＝90?，∴AE ⊥GC ．
练习24 四边形（4）
【本课知识点】梯形的相关概念，等腰梯形的性质与判定，梯形的中位线 一、选择题
1. C ．
2. A ．
3. C ．
4. D ． 二、填空题
5. 3.
6. 3.
7. 20.
8. 433
cm 2
，. 三、解答题
9. 如图，分别过点A ，D 作AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．
∴AE ∥DF ． 又AD ∥BC ，∴四边形AEFD 是矩形．∴EF ＝AD ＝ 2 ．
A
B
C
D
F
E
G
P
F E D
C
B
A
B C
D
E
F
G
H 1 A 2
3
B C
D
E F
G
A 1 2 3
4
5 6 7
H
∵AB ⊥AC ，∠B ＝45°，BC ＝4 2 ，∴AB ＝AC .∴AE ＝EC ＝1
2
BC ＝2 2 ．
∴DF ＝AE ＝2 2 ，CF ＝EC －EF ＝ 2 . 在Rt △DFC 中，∠DFC ＝90°，∴DC ＝10 . 10. ⑴证明：
∵AE ∥BD ， ∴∠E ＝∠BDC ∵DB 平分∠ADC ∴∠ADC ＝2∠BDC
又∵∠C ＝2∠E ， ∴∠ADC ＝∠BCD ∴梯形ABCD 是等腰梯形 ⑵由第⑴问，得∠C ＝2∠E ＝2∠BDC ＝60°，且BC ＝AD ＝5 ∵ 在△BCD 中，∠C ＝60°， ∠BDC ＝30°，∴∠DBC ＝90° ∴DC ＝2BC ＝10
11. ⑴如图，延长AD 交FE 的延长线于N ，
∵∠NDE ＝∠FCE ＝90°，∠DEN ＝∠FEC ，DE ＝EC ， ∴△NDE ≌△FCE ， ∴DN ＝CF .
∴AB ∥FN ，AN ∥BF ，∴四边形ABFN 是平行四边形． ∴BF ＝AD ＋DN ＝AD ＋FC ． ⑵解：∵AB ∥EF ，∴∠1＝∠BEF .
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BEF ．∴EF ＝BF . ∴EF ＝AD ＋CF ＝AD ＋BC 2 ＝1＋72
＝4.
12. 解：（1）过点C 作CF ⊥AB 于F ，则四边形AFCD 为矩形．
∴CF ＝4，AF ＝2．
此时，Rt △AQM ∽Rt △ACF ． ∴QM AM ＝CF AF ．即QM 0.5＝42，∴QM ＝1． （2）∵∠DCA 为锐角，故有两种情况： ①当∠CPQ ＝90°时，点P 与点E 重合． 此时DE ＋CP ＝CD ，即t ＋t ＝2，∴t ＝1．
②当∠PQC ＝90°时，如备用图，
此时Rt △PEQ ∽Rt △QMA ，∴EQ PE ＝MA
QM
.
由（1）知，EQ ＝EM －QM ＝4－2t ，
而PE ＝PC －CE ＝PC －(DC －DE )＝t －(2－t )＝2t －2， ∴4－2t 2t －2＝12． ∴t ＝53
． 综上所述，t ＝1或5
3．
练习二十五 圆的有关概念
【本课知识点】圆的有关概念及圆的侧面展开 一、选择题
1．D ； 2．D ； 3．B ； 4. D ．
二、填空题
5．5； 6．1 cm 或5 cm ； 7．8； 8．100°． 三、解答题 9．（1）PD 是⊙O 的切线．
连接OD ，∵OB ＝OD ， ∴∠ODB ＝∠PBD . 又∵∠PDA ＝∠PBD ，∴∠PDA ＝∠ODB ， 又∵AB 是半圆的直径， ∴∠ADB ＝90°，即∠ODA ＋∠ODB ＝90°.
B
E F
A
D
C
N
1 2
A
B
C
D （备用图）
Q
P E l M
Q A B
C D l M P
E
F
∴∠ODA ＋∠PDA ＝90°，即OD ⊥PD ，∴PD 是⊙O 的切线．
（2）∵∠BDE ＝60°，∠ODE ＝60°，∠ADB ＝90°， ∴∠2＝30°， ∠1＝60°，
∵OA ＝OD ， ∴△AOD 是等边三角形，∴∠POD ＝60°，
∴∠P ＝∠PDA ＝30°． 在直角△PDO 中，设OD ＝x ，∴x 2＋(3)2＝(2x )2， ∴x 1＝1，x 2＝－1（不合题意，舍去） ∴PA ＝1． 10．（1）解：（1）如图①．过D 点作DF ⊥AE 于F 点．
在Rt △ADP 中，AP ＝AD 2＋DP 2
＝52
又∵S △ADP ＝12AD 2DP ＝12 AP 2DF ，∴DF ＝5
5
.
∵ ⌒AD 的度数为90° ∴∠DEA ＝45° ∴DE ＝2DF ＝105
. （2）如图②．当Rt △ADP ∽Rt △QCP 时有AD QC ＝DP
CP
，得：QC ＝1．
即点Q 与点B 重合，∴BQ ＝0
如图③，当Rt △ADP ∽Rt △PCQ 时，有AD PC ＝PD
QC
得QC ＝14BQ ＝BC －CQ ＝3
4
∴当BQ ＝0或BQ ＝3
4
时，三角形ADP 与以点Q 、C 、P 为顶点的三角形相似．
11．（1）证明：连接OD ，则OA ＝OD ，∴∠1＝∠3；
∵BC 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥BC .
∵AC ⊥BC ， ∴OD ∥AC ， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD 平分∠BAC . （2）①连结ED .
∵AE 为直径，∴∠ADE ＝∠C ＝90°，
又由（1）知∠1＝∠2，∴△ADE ∽△ACD ， ∴AD AE ＝AC
AD
，
∵AC ＝3，AE ＝4， ∴AD 2
＝AE 2AC ＝334＝12， ∴AD ＝12＝2 3.
②在Rt △ADE 中，cos ∠1＝AD AE ＝234＝3
2，∴∠1＝30°，∴∠AOD ＝120°，DE ＝2.
∴S △AOD ＝12S △ADE ＝1231
2AD 2DE ＝3， S 扇形AOD ＝120π322360＝43.
∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △AOD ＝4
3
π－ 3.
【拓展与延伸】
12．2－ 22
． 13．（1）（1）直线CE 与⊙O 相切． 证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD ∥AD ，∠ACB ＝∠DAC ， 又 ∵∠ACB ＝∠DCE
∴∠DAC ＝∠DCE ，连接OE ，则∠DAC ＝∠AEO ＝∠DCE ，∵∠DCE ＋∠DEC ＝900
B
C D
第10题图① F
E
D C
B
A
P 第10题图③ Q E
D C
B
A
P
第10题图②
(Q )
E
D
C
B A P
∴∠AE 0＋∠DEC ＝90° ∴∠OEC ＝90° ∴直线CE 与⊙O 相切．
（2）∵tan ∠ACB ＝AB BC ＝22
，BC ＝2 ∴AB ＝BC 2tan ∠ACB ＝ 2 ，AC ＝ 6
又∵∠ACB ＝∠DCE ∴tan ∠DCE ＝2
2
∴DE ＝DC ?tan ∠DCE ＝1
在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2＋DE 2＝3，连接OE ，设⊙O 的半径为r ，则在Rt △COE 中，
CO 2＝OE 2＋CE 2即(6－r )2＝r 2＋3 解得：r ＝6
4
．
练习二十六 正多边形与圆
【本课知识点】正多边形与圆及镶嵌、正多边形展开等问题 一、选择题
1．C ； 2．D ； 3．C ； 4. C ． 二、填空题
5．9； 6．83π3； 7．2； 8．58π－3
2
．
三、解答题
9．五边形AEBCF 是⊙O 的内接正五边形．理由略． 10．线段CP 与AC 相等． 证明△CDP ≌△ABC 即可． 11．70
3
㎝ 12．420 13．11＋6 2
练习27 图形的轴对称、中心对称
【本课知识点】图形的轴对称、中心对称（含基本作图、投影与视图） 一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．C 5．C 6．C 二、填空题 7．14，
154 8．61° 9．3 3 10．12a 2 11．75
16
三、解答题
12．略 13．解：（1）2次； （2）略；（3）略．
14．解：(1)略；(2)略 15．（1）图略；（2）288
5
16．B 17． (1)0＜x ＜27
5 (2) y ＝27－x 2
练习28 平移与旋转
【本课知识点】平移与旋转 一．选择题
1． B 2． B 3．A 4． C 二．填空题
5．6－2 3 6．5 7．2 8．2－ 2 三．解答题
9．（1）5 （2）5
2
3 （3）略
10． （1）当x ＝2时， y ＝8 ；当x ＝5时， y ＝50 ； （2）当0＜x ≤5时，y ＝2t 2
．
当5＜x ≤7.5时，y ＝50．
当7.5＜x ≤10时，y ＝(23－2)t 2－(203－20)t ＝503． 当10＜x ≤12.5时，y ＝
32
(25－2t )2． 11．（1）AN ＝BM ；
（2）在转动的过程中四边形AMPN 的面积不变，定值为1； （3）△PMN 的面积：y ＝1－x ＋1
2x 2．
练习29 图形的相似
【本课知识点】图形的相似 一、选择题
1． B 2． B 3． D 4． C
二、填空题
5．±4 2 6．32500 7．2
5， 4∶21 8．C
三、解答题
9．如图，有三个 10．（1）略；（2）略；（3）边长为6，面积.为9 3
11．（1）△ADF 、△ABE 、△CDE 、△ABC ；（2）当t ＝3时，使得△ADF ∽△EDB ．
12． 作出示意图，连接AB ，同时连结OC 并延长交AB 于E ， 因为夹子是轴对称图形，故OE 是对称轴，求得AB 两点间的距离为30mm ．
13．（1）证明略；（2）y 与x 之间的函数关系式为y ＝10－12
(x －2)2
；当M 点运动到BC 中点
时，四边形ABCN 面积最大，最大面积为10；（3）当M 点运动到BC 中点时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，此时 x 的值为2．
练习30 锐角三角函数
【本课知识点】锐角三角函数（含解直角三角形） 一、选择题
1．A 2．A 3．
B 4．
A
A
B
C
(第9题)
二、填空题
5．1－
33 6．5 7．150 8．（－35，45
） 三、解答题 9．6.4m 10．（1）55.4 （2）2.3 （3）2.3
11．（1）53－5 （2）①6、8 ②4
12.（1）观测点B 到航线l 的距离为3km （2）该轮船航行的速度约为40.6 km/h
练习31 几何综合练习
一、选择题
1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．C 二、填空题
7．6 8．132，6 9．4 10．50° 11．2π 12．1
2π
三、解答题：
13．（1）略；（2）略 14．（1）∠BDA ′＝2∠A ；（2）∠BDA ′＋∠CEA ′＝2∠A ；（3）∠BDA ′－∠CEA ′＝2∠A ，理由略；（4）2(∠A ＋∠B )＝360°＋∠1＋∠2 15．503－50
16．（1）∠A ＝30°，（2）阴影部分的面积为83
π－2 3
17．解：（1）略 （2）（1）中结论仍然成立，即EG ＝CG ．如连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点．在△DAG
与△DCG 中，∵ AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴ △DAG ≌△DCG ．∴ AG ＝CG ．在△DMG 与△FNG 中，∵ ∠DGM ＝∠FGN ，FG ＝DG ，∠MDG ＝∠NFG ，∴ △DMG ≌△FNG ．∴ MG ＝NG ，在矩形AENM 中，AM ＝EN ．在Rt △AMG 与Rt △ENG 中，∵ AM ＝EN ， MG ＝NG ，∴ △AMG ≌△ENG ．∴ AG ＝EG ．∴ EG ＝CG ． （3）（1）中的结论仍然成立，即EG ＝CG ．其他的结论还有：EG ⊥CG ． 18．解：（1）∠CQP ＝∠CDB ＝30°． （2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ ≌△CPQ ， ∴∠RPQ ＝∠CPQ ，RP ＝CP ．由（1）知∠CQP ＝30°， ∴∠RPQ ＝∠CPQ ＝60°，∴∠RPB ＝60°，RP ＝2BP ． ∵CP ＝x ，∴PR ＝x ，PB ＝33－x ．
在△RPB 中，根据题意得：2(33－x )＝x ，解这个方程得：x ＝23． （3）①当点R 在矩形ABCD 的内部或AB 边上时，0＜x ≤23，S △CPQ ＝12CP 2CQ ＝32x 2，∵△RPQ ≌△CPQ ，∴当0＜x ≤23时，y ＝32
x 2；当R 在矩形ABCD 的外部时（如图2），23＜x ≤33，在Rt △PFB 中，∵∠RPB ＝60°，∴PF ＝2BP ＝(33－x )，又∵RP ＝CP ＝x ，∴RF ＝RP ＝PF ＝3x －63，在Rt △ERF 中，∵∠EFR ＝∠PFB ＝30°，∴ER
D
Q
C B
P
R A （图1） D Q
C B
P R A （图2）
F
E D
图②
初中数学计算能力训练 计算就是一种能力,亦就是提高成绩的关键 数学就是一门严谨的学科,魅力又在于“活”,数学处处都与计算密切相关, 计算不就是枯燥的代名词,充满了观察、推理、判断,培养学生思考问题的灵活性 以及周密严谨的思维能力等。 中考数学满分120分,与计算相关的题目约占100分,准确、快速地得出计 算结果,能有效提高学生理科成绩,帮助学生直达名校！ 学生常见的计算问题有哪些？ 学生在分析计算错误时,不知道如何分析,往往归因于“粗心马虎”,告诉 自己“下次注意”就可以,可事实却总就是事与愿违。在计算方面学生容易出现哪 些问题呢？ 1. 瞧到题目,不仔细审题,就慌忙答题,要求解周长,仅求出边长,做到一半发现遗漏隐 含条件或有其她简单方法,思路大乱。 2. 在大脑停止思考时,容易疏忽大意,抄错数。 3． 没有严格依据法则与运算律来运算。准确记忆法则与运算律就是前提,关键就是无论何 时何地都能正确地运用。比如两式相减求绝对值,如果前面有负号,容易错;乘法满足分配律,不少学生也误认为除法也满足分配律等。 4． 没有按照计算流程来走,认为一步一步写计算很麻烦,计算时跳步太大。 5． 越就是成功在望,越容易大意,不少同学在倒数计算第二步时放松警惕,结果导致结果错误。 6． 缺乏检查意识,不知道怎么检查。误以为检查就就是把题目再做一遍,对异常结果不敏感,不知道 积累自己的易错点,不善于结合题目背景进行检查,比如价格不可能就是负数等。 初中数学计算能力训练目录 <1>()11002510133 ÷-+÷? <2>3021220093026π-????-++-? ? ???? ?<3> cos 45cos 60sin 45cos30?-??-? <4>2cos30sin120tan 45sin 135cos120tan 60?-?-??+?+?
初中生如何培养阅读能力（一） 就个人知识的获得来说，一般来自两个方面。一方面通过亲自实践获得大量感性知识，然后通过思考上升为理性知识，这些构成了个人知识的一小部分来源。另一方面则是直接把人类在长期实践中积累起来的知识继承过来，把社会的知识转化为个人的知识，这是中学生知识的主要来源或大部分来源，正如恩格斯所说：“每一个体都必须亲自去体验，这不再是必要的了；他的个体的经验，在某种程度上可以由他的历代祖先的经验的结果来代替。”在继承知识的各条途径中，可以说阅读是一条主要途径。 实际上，在校学习时，仅仅依靠上课是无法理解全部知识的。可以说，学生时代的学习一天也离不开阅读，老师的教和学生的学都要用书，离开书，离开阅读，学习就会十分困难。要知道，老师上完课就走了，而书籍却始终伴随着我们。 中学阶段是人生的黄金时代，要珍惜这无忧无虑、精力充沛的宝贵时光。要充分利用这一阶段多读点书，多继承点人类的宝贵知识财富，为一生的事业打下雄厚的基础。同时在阅读活动中增长起来的阅读能力，将为一生中不断地自学打下坚实的基础。 一）要不断改进阅读的基本条件 阅读需要哪些条件呢？ （1）要掌握常用的字、词、句、段、篇的基本知识 阅读就是要通过与字、词、句、段、篇打交道，从中获取知识，如果不掌握这些知识，那么，阅读就变成看“天书”了。 中学生如能掌握5000 个字，阅读一般文章就问题不大了。有的学生之所以阅读能力差，就是因为没掌握足够数量的字、词（主要是实词）和词组的表达概念，而概念是思维的“细胞”。句是用词按一定的语法规律联结而成的语言单位，一般用来表达判断，表达相对完整的思想。对句的理解不单要求掌握词义，还要求掌握语法。没有语言，思维就不存在了，由此可见，阅读的重重困难，往往是由不识字词，看不懂句子的意思带来的。因此认真学好语文，在阅读中有意识地丰富自己的语言知识是十分重要的。 科学家用他们的亲身体会，明确地指出了学好语文的重要性。 有一位数学家说：“很难想象一个文理不通、错字连篇的人，能把逻辑严谨的数学内涵表达出来。”著名数学家苏步青说：“我从小打好的语文基础，对我学习其他学科提供了很大的方便。我还觉得学好语文对训练一个人的思维很有帮助，可以使思想更有条理。这些，对我后来学好数学都有很大好处。”人们赞誉苏步青为“数学诗人” 。 2）要掌握基本的科学知识 不掌握自然科学和社会科学的基本概念和基础知识，就会给阅读带来很多不方便，甚至困难重重。有
计算能力训练（有理数的计算） 1、 111117(113)(2)92844 ?-+?- 2、4 19932(4)(14 16)4 1313??--?-÷-??? ? 3、3322 1121(5533)22??????--÷+?+?? ? ????????? 4、2 3 3 5(2)(10.8)114??---+-?÷--??? ? 5、（—3 15 ）÷（—16）÷（—2） 6、 –4 + 2 ×(-3) –6÷0.25 7、（—5）÷［1.85—（2—4 3 1 ）×7］ 8、 18÷{1-[0.4+ (1-0.4)]×0.4 9、1÷( 61-31)×6 1 10、 –3-[4-(4-3.5×3 1 )]×[-2+(-3) ] 11、 8+(-41 )- 5- (- 0.25) 15、13 6 11754136227231++-; 16、2001 2002 2003 3 63 53 ?+?- 17、()5.5-+()2.3-()5.2--－4.8 18、()8-)02.0()25(-?-? 19、21+()23-?? ? ??-?21 20、81 )4(2833- -÷- 21、100() ()222 ---÷?? ? ??-÷32 22、(－3 71)÷(461－122 1)÷(－2511)×(－143 ) 23、(－2)14×(－3)15×(－6 1 )14 24、－42＋5×(－4)2－(－1)51×(－61 )＋(－22 1)÷(－ 24 1) 25、－1 1312×3152－11513×41312－3×(－11513) 26、4 1+3265+2131-- 27、()()4+×7 3 3×250)-(.- 55、)61 (41)31()412(213 +---+-- 56、2111943+-+-- 60、=?(-4)3 57、3 1 211+- 62、=?0(-6) 58、)]18()21(26[13-+--- 69、)8(4 5 )201(-??- 59、2 1 11)43(412 --+--- 70、5 3)8()92()4()52(8?-+-?---? 66、)25()7()4(-?-?- 67、)3 4(8)5 3(-??- 68、)15 14 348(43--? 71、)8(12)11(9-?-+?- 78、)4 12()21()43(-÷-?- 79、24 11 )25.0(6? -÷- 81、)2(48-÷+- 80、)2 1 (31)3 2(-÷÷ - 82、)5 1 (250-?÷- 83、)3(4)2(817-?+-÷- 84、1)10 1 ( 25032 2 -?÷+ 85、9 1 1)325.0(321÷-?-
-- 初中生应具备的数学能力 一、数学运算能力是从小学就开始培养的，包括计算能力和几何运算能力。其中计算能力仅指数据计算包括加、减、乘、除、乘方、开方，几何运算能力包括平移，旋转、对称、压伸、相似、位似等变换.在初中阶段需达到的目标为：①运算正确：包括运算结果无误，明确运算的理论依据，明确运算过程；②运算迅速：包括熟练速度快；③运算简洁合理的过程. 二、数学语言与符号表达能力是初中与小学一个明显的区别，初中阶段重视用字母表示数、图形规律、进行推理等，注重利用数学语言表达，主要体现在代数式、方程、函数及其几何中的说理等.在初中阶段需达到的目标为：准确的利用数学语言表示量之间的关系，有条理性的进行推理证明. 三、数学建模能力是将实际问题转化为数学问题的一个必备过程，要求学生从实际问题中找出数学信息，建立起数学模型，从而从数学的角度解决问题. 四、数据处理与数值计算能力主要体现的数据的收集与整理中，初中数学中统计知识占有了一定的比例，这就要求学生具备数据的收集与整理的能力，通过这些过程，从而更加直观的解决问题. 五、逻辑推理与判断能力是指包含概念判断推理等基本思维形式和运用比较、类比、归纳、演绎、概括与抽象，分析与综合等常用的思维方法.在初中阶段需达到的目标为：使学生具有一定的思维能力能遵循思维规律，运用逻辑思维形式、思维方法，明确使用数学概念，正确的恰当运用数学判断，作出合乎逻辑的思维论证，运用数学知识技能作到，不管是对概念的理解，数和式以及变式的运算，图形的划法、做法、变形，命题的论证，必须作到因果分明，严谨推理，思维清晰，有理有据. 六、空间想象能力是：大脑通过观察、触摸，以及实践经验得到的一种能思考物体形状、结构、大小、轻重、质地、位置关系的思维能力.包括：画图、读图，看图表达、语言翻译成图；从复杂的图形中找出所需要的图形，从函数图象中找出或者想象出函数的基本性质、以及方程的性质。 七、抽象思维能力 数学的最大特点是其抽象性，因而通过数学培养抽象思维能力是重要途径，数学思维是数学学习活动的核心，而要培养和发展学生的数学抽象思维能力.初中阶段以函数为主导的抽象思维能力的培养，是重中之重.让学生经历概念体系的形成、隐含条件的挖掘以及分析与综合的应用的过程，不仅使学生获得对数学的理解，而且在思维能力、情感态度与价值观等诸多方面得到进步和发展。 --
计算能力在初中数学中重要吗 从孩子本身的心理因素讲：计算问题很容易影响孩子的学习自信心和积极性。初一成绩比较集中，计算马虎丢分很容易拉开档次，特别是初一上学期期中考试，计算占有60%的分数，计算不过关会影响对新知识的学习和信心，形成厌学的恶性循环。 学生遇到的计算问题 一、计算思路误区 很多孩子遇到计算题，遇到多符号的混合运算，往往如同站在了多叉路口，不知该往哪个方向走。先算什么再算什么呢?搞清楚了运算顺序，却忽略了乘法分配律或其他运算律，从头死算到结尾。 我每轮给初一的孩子上课时，遇到有理数加减混合运算时，先讲明白计算的三大原则，“从高到低，从左到右，括号从内到外”;再给孩子一个口诀，叫“五凑一拆”，具体讲“五凑”指的是“凑整、凑零、凑分母、凑倒数、凑符号”，“一拆”指的是“拆带分数”。把握这几个基本的计算方法，再针对性的进行强化练习时，孩子不再是盲目的计算训练，而是再训练方法。这个很重要!因为孩子是有目的，而不是在盲无目的的刷题的感觉。 二、计算技巧的缺失 计算题目有一些常用的高端方法，能够简化计算的过程，并
且提高计算的精准度。例如计算等比数列求和的问题上，死记结果公式是没有意义的。一旦提醒变换，不再单纯是等比数列，孩子可能就会丢分。但孩子如果理解深层次推导方法是错位相减，并加以灵活运算，或许思路就通了。对于中考要冲刺满分的学员，这一部分的学习是相当重要的。 三、解题步骤不规范 以孩子初一面临最常见的考试题型：解方程为例进行分析，解方程分五步：去分母--去括号--移项--合并同类项--化系数为一。每一步都有15%-25%的失误可能性。 为何会频繁出现问题 一、从客观因素分析，中学负号的加入，深化了加减混合运算，高等计算符号比如绝对值和乘方等符号的加入，要求孩子对计算逻辑有更深的理解和运用。计算的严谨性和技巧性也是孩子面临的一大难题。 二、从主观上分析，孩子从小学带上来的坏习惯也很多：只注意结果不写过程，所谓的虎头蛇尾; 字迹潦草，-1看起来像7，做完作业一问，自己都支支吾吾看不清楚写的什么，等号不对应写，写着往右歪，空白都没了，就想着跳步赶紧给出答案;辅助线不用铅笔，签字笔画错了用涂改带一抹，结果图看不清了要求换试卷，怎么可能呢?自己的图都看不到了还如何做题呢! 不复习，不预习，概念理解不牢，边做题看看书，甚至不理
思维能力的培养是初中数学教学的核心 广西合山市实验初级中学黄士滔 ［摘要］在初中数学教学中，培养学生数学能力的核心是思维能力的培养。加里宁指出：“数学是锻炼思维的体操”。可见学生思维水平是要通过数学教学活动去培养和发展的。全日制义务教育数学课程目标第四点提到：通过义务教育阶段的数学学习使学生具有初步的创新精神和实践能力。由此可见，创新教育已成为数学教学的一个重点，创新能力不是与生俱来的，是以课堂教学为载体培养出来的，数学的课堂教学有着不可替代的作用。 关键词：数学教学；实践教学模式；思维能力的培养 在初中数学教学中，培养学生数学能力的核心是思维能力的培养。加里宁指出：“数学是锻炼思维的体操”。可见学生思维水平是要通过活动去培养和发展的。全日制义务教育数学课程目标第四点提到：通过义务教育阶段的数学学习使学生具有初步的创新精神和实践能力。由此可见，创新教育已成为数学教学的一个重点，创新能力不是与生俱来的，是以课堂教学为载体培养出来的，数学的课堂教学有着不可替代的作用。本文对学生初中数学的创新思维浅谈自己的看法。 一、问题的提出 初中数学是打开人脑智慧之门的重要途径之一。要学好数学需要多种能力的综合，其中思维能力尤为重要。笔者在实际教学中常常会看到这样一种现象：不少同学整天忙着做作业，什么“课后练习”、“单元测试”、“升学练兵”，手头资料一大堆，习题做了好几本，但学习成绩就是提不高，考试成绩不理想，这是为什么？究其原因，就是没有吃透教材的基本原理，没有掌握解题的科学方法。吃透原理，是学好功课的根本保证；掌握方法，是攻克难题的有力武器。只有弄清原理，才能思路清晰，从容对答；只有掌握方法，才能触类旁通，举一反三。不管遇到什么难题，都能得心应手，迎刃而解；不管参加何种考试，都能超水平发挥，一举夺标！而“数学思维能力的研究”就是较好的途径，通过开展课题研究，能达到：（1）能力的培养。（2）模式的创新。（3）课堂教学中数学创新思维培养。（4）注重“变式”练习，减轻作业负担，让学生在一题多解、一题多变中开阔思路、提高能力。 二、问题研究的理论依据和基本原理 本课题研究的理论依据：在我们研究新一轮教育发展的今天，培养学生主动参与、乐于探究、勤于动手、搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力，是每一位教师探索的方向，也是课改的主题。大量的调查研究表明，学生对于教学的希望是：让课堂活起来，让我们动起来，让学习有趣味，给我们以学法，充分发挥我们的智慧。而初中数学教材的特点：在简单中渐进发展；在基础中蕴涵能力；在探索中要求创新。这样的特点决定了机械、被动、死记硬背、模仿式的学习方法已经难以发展学生的能力。我认为，我们教师应该拓宽思路，把精力放在微观的教学操作上，促进学生智慧的发展。如采取优化“结构”教学，强化“思维”训练，注重“变式”练习和实行“弹性”考试等方法。为此，我选择了这样一个课题，数学教学以发挥学生智慧潜能的形式开展，探究最优培养学生可持续发展的方式。 三、课题研究的目标、内容和方法： （一）课题研究目标：
如何培养初中学生的数学阅读能力 内容摘要：阅读是人类获取知识的重要手段和认识世界的重要途径。而数学阅读是学生依据自己已有的知识经验，通过阅读数学材料，主动获取数学知识、发展数学思维、学习数学语言的重要途径。在信息技术飞速发展的今天，要求人们不仅需要具有语文和外语的阅读能力，而且还应该具有一定的数学阅读能力。因此数学阅读能力的培养尤为重要。本文重点探讨了如何培养学生的阅读能力 关键词：数学阅读数学阅读能力培养 在实际教学过程中我们数学教师经常会听到学生说这样两句话：“题目没看清楚”，“意思理解错了”。那么为什么会出现这样的问题呢？究其原因还是因为学生的数学阅读能力差所造成的。著名的数学教育学家斯托利亚也曾经说过：“数学教学也就是数学语言的教学”。因此不仅我们数学教师要重视数学阅读教学，培养学生用数学语言的意识，还要让学生重视数学阅读，认识到数学阅读是提高数学知识的重要途径之一。如果连题目意思都看不懂，你即使有再过硬的计算能力也不行。因此我们数学教师在向学生传授数学知识的同时，更要重视学生数学阅读能力的培养。那么如何培养和提高学生的数学阅读能力呢？我认为应该从以下几个方面入手： 一、激发阅读兴趣，培养阅读能力 兴趣是使人乐于接触、认识某事物，并力求参与相应的活动的一种积极的意愿倾向，是学习的内在动力。有了兴趣学生就能产生强烈
的求知欲望，主动进行学习。而数学课本是严谨演绎的面貌出现的，学生阅读时不会像读小说、故事之类书那样轻松、感兴趣。因此千万不能强硬的要求学生去读，在实际教学中要结合数学课的特点，创造有利于学生阅读的情境，使学生对其产生兴趣我们在教学中可以采取适当向学生介绍一些数学典故、趣事、名题、趣题等，还可以向学生提供有关数学方面的科普读物和科学著作。用这些课本以外的知识来激发起学生的阅读兴趣。另外，在学生阅读之前创设一些难度适当的问题情境，也可以激发和保持学生的阅读兴趣。只有产生了浓厚的兴趣，学生才会去主动阅读、认真地思考，较好地掌握所学知识，才能有利于学生阅读能力的培养。 二、做好阅读示范，训练阅读技巧，养成良好的阅读习惯 产生了阅读兴趣是阅读的头一步，但究竟如何去阅读数学课本，对学生来说还是很茫然的。为此我们教师应该教会他们怎样去阅读，教给其阅读要领，先读通句子，再由表及里，读透读懂，养成“阅读加思维”的读书方式。教师指导学生阅读教材要循序渐进，要让学生养成良好的阅读习惯 1、在阅读过程中引导学生养成“问题”的习惯。 古人说：“学贵有疑”，问题是数学的心脏，数学知识、数学方法、观念都是在解决问题的过程中形成和发展起来的。没有问题就没有数学。因此要培养学生在阅读数学教材时的问题意识。要求学生在阅读数学教材的同时逐渐养成发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的习惯。例如：在阅读“切割线定理”这一节内容时，除了掌握主要
1.化简：b b a a 3)43(4---. 2.求比多项式22325b ab a a +--少ab a -25的多项式. 3.先化简、再求值 )432()12(3)34(222a a a a a a --+-+-- (其中2-=a ) 4、先化简、再求值 )]23()5[(42222y xy x y xy x xy -+--+- (其中2 1 ,41-=-=y x ) 5、计算a a a ?+2 433)(2)(3 6、（1）计算1092)2 1(?-= （2）计算5 32)(x x ÷ （3）下列计算正确的是 ( ). (A)3 232a a a =+ (B)a a 2121= - (C)6 23)(a a a -=?- (D)a a 221=-
计算： (1))3()3 2 ()23(32232b a ab c b a -?-?-； (2))3)(532(22a a a -+-； （3）)8(25.12 3x x -? ； （4）)532()3(2 +-?-x x x ; （5）())2(32y x y x +-； （6）利用乘法公式计算:()()n m n m 234234+--+ （7） ()()x y y x 5225--- （8）已知6,5-==+ab b a ,试求2 2b ab a +-的值 （9）计算:2011200920102 ?- （10）已知多项式3223-++x ax x 能被122 +x 整除，商式为3-x ，试求a 的值
1、 b a c b a 232232÷- 2、 )2(2 3 )2(433y x y x +÷+ 3、22222335121 )43322 1(y x y x y x y x ÷+- 4、当5=x 时,试求整式() ()1315232 2 +--+-x x x x 的值 5、已知4=+y x ，1=xy ，试求代数式)1)(1(2 2++y x 的值 6、计算:)()532(222223m m n n m n m a a b a a -÷-+-++ 7、 一个矩形的面积为ab a 322+,其宽为a ,试求其周长 8、试确定20112010 75?的个位数字
“初中学生数学阅读能力的培养”课题研究 开题报告 尊敬的各位领导各位老师： 大家好！ 今天我们在这里隆重举行《初中学生数学阅读能力的培养》开题会议，本课题的设定一方面是领会数学阅读的重要性，另一方面是我校五环模式的具体需要。下面我就本课题的选定及后期工作安排作如下报告： 一、课题背景 自2011三月份开始，我校全体教师积极参与教学教改，努力探索课堂教学的新思路，学习洋思教学模式，先后进行了多次模仿与研究，最终确定‘‘五环’’教学模式，各组的模式不尽相同，数学组的模式有以下环节○1情境创设，目标引领；○2检查预习，整体感知；○3指导自学，自主探究；○4点拨更正，解疑答惑；○5课堂检测，拓展延伸。改革后的课堂数学中明显存在着以下问题： 1、数学阅读能力较差，主要表现在抓不住关键词意，对题意理解不当、语言表述紊乱及语言间的转换困难上。 2、学生在预习当中对一些概念、定理的理解流于表面，对它们的来龙去脉未弄清楚。 3、部分学生对预习不重视，流于形式，经过预习，仅仅只知道学习的课题，对具体的内容根本就不知道。 4、教师在教学中，重视学习任务的落实，教学过程教条化；学生
在课堂中只是简单的回答老师设计的问题，未真正地理解知识，应用起来感到无从下手。 5、缺乏切实可行合理有效的预习指导方法。 6、在数学新课程实施中，自主、合作、探究，流于形式，没有达到“内化”的效果，不能真正调动学生学习的积极性； 7、学生的自主探究的积极性很高，但学生缺乏有效的阅读指导方法。 在此背景下，数学组以创建高效课堂为契机，申报以“初中学生数学阅读能力的培养”这一主课题。希望在我校进一步探索构建数学高效课堂的成功模式，为本校教育教学质量的提升增光添彩。 二、课题研究目标 1通过数学阅读，使学生熟悉有关数学语言，掌握数学知识，并运用数学知识去解决生活中的问题 2、教学中不断加强，开展数学阅读研究，深入指导，具体到个人、明确到课堂。在学生的主观意识中播下数学阅读的种子，使数学阅读成为学生的自觉行为。 3、培养他们敏锐的观察力，在阅读中提高学生的数学表达能力，数学分析、推理能力，提高数学学习的效率，促进学生解决问题能力的提高，真正让不同的学生在数学上都获得不同的发展。 4、通过数学阅读能力的培养增强学生的智力水平，发展创造能力，增进学生对数学文化、数学美的感悟、提高欣赏与创造的能力。
小学升初中数学综合能力训练 一、填空题。 1．把下面的“成数”改写成百分数。 五成( )、七成( )、三成五( )、十成( ) 2．把下面的百分数改写成“成数” 30％( ) 45％( ) 10％( ) 95％( ) 3．利息=( )×( )×( ) 4．30千克是50千克的(％)，50千克是30千克的( ％) 5．5吨比8吨少(％)，8吨比5吨多(％)。 6．540米是( )米的20％。 7．( )公顷的25％是20公顷。 二、判断题。(对的画“√”，错的画“×”)
1．利息和本金的比率叫利率。 ( ) 2．一块地的产量，今年比去年增长二成五，就是增长十分之二点五。 ( ) 3．一种药水，水和药的比是1∶20，水占药水的5％。 ( ) () 三、选择题。(把正确答案的序号填在括号里) 1．半成改写成百分数是 ( ) A．50％ B．0.5％ C．5％ 2．一块地原产小麦25吨，去年因水灾减产二成，今年又增产二成。这样今年产量和原产量比 ( ) A．增加了 B．减少了 C．没变
3．小英把 1000元按年利率2.45％存入银行。两年后计算她应得到的本金和利息，列式应是 ( ) A．1000×2.45％×2 B．(1000×2.45％+1000)×2 C．1000×2.45％×2+1000 四、计算题。 五、应用题。 1．一块小麦实验田，去年产小麦24.5吨，今年增产了二成。这块实验田今年产小麦多少吨？ 2．一块地，去年产水稻12吨，因水灾比前年减少二成五。这块地前年产水稻多少吨？
3．李英把5000元人民币存入银行，定期1年，年利率是2.25％。到期时，李英应得利息多少元？ 4．王钢把10000元人民币存入银行，定期3年，年利率是2.7％。到期时，王钢应得本金和利息一共多少元？ 5．一块棉花地，去年收皮棉30吨，比前年增产了5吨。这块棉花地皮棉产量增长了几成？ 6．一个养殖场，养鸭的只数比养鸡的只数少20％，养的鸡比鸭多1000只。这个养殖场养鸭多少只？ 相遇。甲车每小时的速度是85千米，乙车的速度是甲车的120％。A、B两地相距多少千米？ *8．张晶在银行存了30000元人民币，定期五年，年利率是2.88％。到期时交纳利息所得税20％后，银行应付给张晶本金和利息一共多少元？(选作) 参考答案 一、 1．50％ 70％ 35％ 100％ 2．三成四成五一成九成五 3．本金×利率×时间 4．60％ 167％
1.化简：4a (3a 4b ) 3b . 2.求比多项式5a 2 2a 3ab b2 少5a 2 ab的多项式. 3.先化简、再求值 ( a 2 a a 2 a a 2 a(其中a 2) 4 3 ) 3(2 1) (2 3 4 ) 4、先化简、再求值 4xy [(x 2 5xy y2 ) (x 2 3xy 2y2 )] (其中 1 1 x , y) 4 2 5、计算3(a3 )3 2(a4 )2 a 1 6、（1）计算()9 210 = 2 (x2 ) x 3 5 （2）计算 （3）下列计算正确的是( ). 1 (A) 2a 2 a 3a3 (B) 2a 1 (C)(a)3 a 2 a6 (D) 2a 2 1 a 2 a
计算： 3 2 (1) ) ( ) ( 3 ) (a2b3c ab2 2 a3b；(2) (2a2 3a5)(3 a2 ) ； 2 3 （3）1.25x3 (8x2 ) ；（4）(3x) (2x2 3x5) ; （5）2x3y(x2y) ；（6）利用乘法公式计算: 4m 3 2n4m 3 2n （7）5x2y2y5x（8）已知a b5,ab6,试求 a2 ab b2 的值（9）计算: 20102 2009 2011
（10）已知多项式2x3 ax2 x3能被2x2 1整除，商式为x3，试求a的值
2 3 3 3 1、a2b3c2a2b 2、(x2y) (x2y) 3 4 2 1 2 3 1 ( x y x y x y) x y 5 3 3 2 2 2 2 2 2 3 4 12 3、 4、当x5时,试求整式3 2 5 1 3 1 x的值 2 x2 x x 5、已知x y 4 ，xy1，试求代数式(x2 1)(y2 1) 的值 6、计算: (2a3m2n3a2m n b2n5a2m) (a2m) 7、一个矩形的面积为2a3ab 2 ,其宽为a,试求其周长 8、试确定52010 72011 的个位数字
初中数学计算能力训练 计算是一种能力，亦是提高成绩的关键 数学是一门严谨的学科，魅力又在于“活”，数学处处都与计算密切相关， 计算不是枯燥的代名词，充满了观察、推理、判断，培养学生思考问题的灵活性 以及周密严谨的思维能力等。 中考数学满分120分，与计算相关的题目约占100分，准确、快速地得出计 算结果，能有效提高学生理科成绩，帮助学生直达名校！ 学生常见的计算问题有哪些？ 学生在分析计算错误时，不知道如何分析，往往归因于“粗心马虎”，告诉 自己“下次注意”就可以，可事实却总是事与愿违。在计算方面学生容易出现哪 些问题呢？ 1. 看到题目，不仔细审题，就慌忙答题，要求解周长，仅求出边长，做到一半发现遗漏隐 含条件或有其他简单方法，思路大乱。 2. 在大脑停止思考时，容易疏忽大意，抄错数。 3． 没有严格依据法则和运算律来运算。准确记忆法则和运算律是前提，关键是无论何时 何地都能正确地运用。比如两式相减求绝对值，如果前面有负号，容易错；乘法满足分配律，不少学生也误认为除法也满足分配律等。 4． 没有按照计算流程来走，认为一步一步写计算很麻烦，计算时跳步太大。 5． 越是成功在望，越容易大意，不少同学在倒数计算第二步时放松警惕，结果导致结果错误。 6． 缺乏检查意识，不知道怎么检查。误以为检查就是把题目再做一遍，对异常结果不敏感，不知道 积累自己的易错点，不善于结合题目背景进行检查，比如价格不可能是负数等。 初中数学计算能力训练目录 <1>()11002510133 ÷-+÷? <2>30 21220093026π-????-++-? ? ?????<3>cos 45cos 60sin 45cos30?-??-?
初中学生数学思维能力的培养 发表时间：2012-10-18T11:22:57.403Z 来源：《少年智力开发报（数学专页）》2012-2013学年第一期作者：黄华梅 [导读] 现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。 黄华梅湖北省荆门市象山中学 现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。本人通过十多年的教学经验，谈谈初中学生数学思维培养的几点看法。 一、要善于调动学生内在的思维能力 培养兴趣，促进思维。兴趣是最好的老师，也是每个学生自觉求知的内动力。教师要精心设计每节课，要使每节课形象、生动，有意创造动人的情境，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，并使同学们认识到数学在四化建设中的重要地位和作用。经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。新教材中安排的“想一想”、“读一读”不仅能扩大知识面，还能提高同学的学习兴趣，是比较受欢迎的题材。适当分段，分散难点，创造条件让学生乐于思维。如列方程解应用题是学生普遍感到困难的内容之一，主要困难在于掌握不好用代数方法分析问题的思路，习惯用小学的算术解法，找不出等量关系，列不出方程。因此，我在教列代数式时有意识地为列方程的教学作一些准备工作，启发同学从错综复杂的数量关系中去寻找已知与未知之间的内在联系。通过画草图列表，配以一定数量的例题和习题，使同学们能逐步寻找出等量关系，列出方程。并在此基础进行提高，指出同一题目由于思路不一样，可列出不同的方程。这样大部分同学都能较顺利地列出方程，碰到难题也会进行积极的分析思维。 二、要教会学生思维的方法 孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。恰当地示明学思关系，才能取得良好的效果。在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式。 要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。数学概念、定理是推理论证和运算的基础，准确地理解概念、定理是学好数学的前提。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力。 在例题课中要把解（证）题思路的发现过程作为重要的教学环节。不仅要学生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样想的。这个发现过程可由教师引导学生完成，或由教师讲出自己的寻找过程。 在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力。学会从条件到结论或从结论到条件的正逆两种分析方法。对一个数学题，首先要能判断它是属于哪个范围的题目，涉及到哪些概念、定理、或计算公式。在解（证）题过程中尽量要学会数学语言、数学符号的运用。 初中数学研究对象大致可分为两类，一类是研究数量关系的，另一类是研究空间形式的，即“代数”、“几何”。要使同学们熟练地掌握一些重要的数学方法，主要有配方法、换之法、待定系数法、综合法、分析法及反证法等。 三、要培养学生良好的思维品质 在学生初步学会如何思维和掌握一定的思维方法后，应加强思维能力的训练及思维品质的培养。 要注意培养思维的条理性与敏捷性。根据解题目标，确定解题方向。要训练学生思维清晰，条理清楚，遇到问题能按一定顺序去分析、思考，对复杂问题应训练学生善于于局部到整体再从整体到局部的思维方法。学生在思维过程中，要能迅速发现问题和解决问题。 要注意培养思维的严密性和灵活性。每个公式，法则、定理都有它的来龙去脉，都有使它成立的前提条件，都有它特定的使用范围，要做到言必有据。选择一些习题让学生先做，再针对学生思维中的漏洞进行教学分析。例：Ｋ是什么数时，方程ＫＸ2－（2Ｋ＋1）Ｘ＋Ｋ＝0有两个不相等的实数根？很多同学只注意由△＝［－（2Ｋ＋1）］2－4Ｋ·Ｋ＝4Ｋ2＋4Ｋ＋1－4Ｋ2＝4Ｋ＋1＞0，推得Ｋ＞－14。而如果把Ｋ＞－14作为本题答案那就错了，因为当Ｋ＝0时，原方程不是二次方程，所以在Ｋ＞－14还得把Ｋ＝0这个值排除。正确的答案应是－14＜Ｋ＜0或Ｋ＞0时，原方程有两个不相等的实数根。 在复习时要精选一些有代表性、巩固性和灵活性的习题，从各种不同角度，寻求不同的解（证）法，进行“一题多解”的训练，还可改变条件进行“一题多变”和“多题一解”的训练。这是综合运用数学知识和方法提高解题能力的重要措施。培养学生思维能力的方法是多种多样的，要使学生思维活跃，最根本的一条，就是要调动学生学习数学的积极性，教师要善于启发、引导、点拨、解疑，使学生变学为思。 当然，良好的思维品质不是一朝一夕就能形成的，但只要根据学生实际情况，通过各种手段，坚持不懈，持之以恒，就必定会有所成效。
初中数学阅读能力培养初探 盐城市明达中学刘国成 数学是一种语言．美国著名心理学家布龙菲尔说：“数学不过是语言所能达到的最高境界”．而语言的学习是离不开阅读的．人们习惯性认为：阅读是语文，英语等文科类的行为，数学是不需要阅读的，总认为只要记住公式，法则就行。在数学的教与学的过程中，仅注意数式的演算步骤，而忽略对数学语言的理解.其实这种看法是不正确的，片面的。随着现代科技日益渗透到人们的生活，社会越来越数学化，仅具备语文阅读能力是不够的. 近年来，阅读理解题成了数学考试中的新题型，具有很强的选拔功能.很多学生解题能力不强，学习过分依赖于老师，很大程度上是由于阅读能力差导致的. 因此在我们的数学教学中，应该重视数学阅读的教学，充分利用阅读的形式，培养学生的阅读能力. 一、数学阅读的特殊性 许多学生自学能力差，认为数学阅读很难，许多老师也认为阅读教学很难把握，这是由数学阅读的特殊性决定的. （1）数学是一门语言. “数学教学就是数学语言的教学”，数学语言具有简洁、无歧义的特点，但数学符号往往内涵丰富，具一定的抽象性，尤其是符号语言和图式语言跟自然语言差别很大，而在阅读中语意转换频繁，要求灵活，这就给数学阅读带来一定难度. 阅读过程是一个转化的过程，是一个内部言语的转化过程，是新知识的同化和顺应的过程. 数学阅读常要求灵活转化阅读内容，如把一个抽象的内容转化为具体的或不那么抽象的内容；把用符号语言或图式语言表述的关系转化为文字语言的形式，及把文字语言表述的关系转化为符号或图式语言；用自己的语言来理解定义或定理等. （2）数学材料的呈现主要是归纳和演绎，具有一定的严谨性，加之数学语言的抽象性，使数学阅读需较强的逻辑思维能力. 在数学阅读过程中，记忆、理解、抽象、综合、分析、归纳、类比、联想等思维活动都需充分调动才能达到好的阅读效果. （3）数学阅读要求读写结合，认真细致. 数学阅读应是一种主动式的阅读，要求手脑结合，要求在适当的地方，通过思维或推演主动预测或概括下文将要给出的结论，而不是直接去阅读结论. 二、让数学阅读走进课堂 叶圣陶有一句名言：“教是为了不教. ”要想使数学素质教育目标得到落实，使学生最终能独立自主地学习，就必须重视数学阅读教学. 国内的一些较成功的教改充分地说明了这一点，如卢仲衡光生的“自学辅导教学法”，采用启、读、练、知的学与教模式；上海育才中学的“读读、议议、讲讲、练练”教学法等，都得益于课堂阅读教学环节，促进了学生自学习惯和自学自信心的养成. （1）数学教师应充分认识数学阅读的教育功能，将数学阅读纳入到数学课堂教学的基本环节中去.有些教师常在布置作业时才让学生打开课本，学生也只有在作业中碰到问题时才翻开数学课本，缺乏数学阅读的习惯. 这种状况减少了学生与数学教材接触的机会，有时代替了学生的思考，不利于学生自学能力的提高.学生“数学语言”的特点及其掌握数学术语的水平，是其智力发展和接受能力的重要指标. 重视数学阅读，丰富数学语言体系，提高数学语言水平有着重要而现实的教育意义. 重视数学阅读，有助于数学语言水平的提高和数学交流能力的培养；有利于培养学生独立获取知识的自学能力，符合现代教育思想；有助于个别
如何培养中学生的数学阅读能力-中学数学论文 如何培养中学生的数学阅读能力 明巧冰 广东省云浮市郁南县都城镇都城初级中学527100 【摘要】数学阅读不同于其他阅读，有其特殊性，不可跳阅式、浏览式阅读，需要“咬文嚼字”、“逐字推敲”，融阅读、思考、操作为一体，做好关键字、词的记录。数学阅读将作为一种教学方法走进课堂，教师应该激发中学生对数学阅读的兴趣，培养学生数学阅读能力。 关键词数学；阅读；重要性；特殊性 1数学阅读的重要性 前苏联数学教育家斯托利亚尔说：“数学教学也就是数学语言的教学。”而语言的学习离不开阅读，所以数学的学习不能离开阅读。 数学本身是一种简约的科学语言。对数学教育而言，语言活动是一项主要的数学活动。 谈到阅读，人们往往联想到的是语文阅读。然而，随着社会的发展、科学的进步及“社会的数学化”，仅具有语文阅读能力的人已明显地显露出能力的不足，现代及将来社会要求人们具有的阅读能力已不再只是语文阅读能力，而是一种以语文阅读能力为基础，包括外语阅读能力、数学阅读能力、科技阅读能力在内的综合阅读能力，数学阅读能力对数学的教学和数学的学习也是十分重要的。 2数学阅读的特殊性及数学阅读方法 数学阅读过程与其他阅读过程有着本质的区别。数学阅读要有对数学语言、符号(文字、数学符号、术语、公式、图表等)的感知和认读，新概念的同化和顺应及
对阅读材料的理解和记忆。 2.1在数学阅读中要精力集中，不可跳阅式阅读和浏览式阅读。 在数学的教学和数学的学习中，数学的预习过程实际上就是数学阅读过程，布置数学预习就是训练学生完成数学阅读。在阅读中由于数学语言的高度抽象性和精确性，数学阅读也需要较强的逻辑思维能力。从感知阅读材料中有关的数学术语、符号，理解每个术语和符号出发，阅读理解一段数学材料或一个概念、定理或其证明，必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。因此，要求在数学阅读中一定要精力集中，专心致志，采取“咬文嚼字”与“逐字推敲的方法”。由于数学教材编写具有严谨性、逻辑性强的特点，要求学生在阅读时对每个句子、每个名词术语、每个图表都应细致地阅读分析，领会其内容含义，对新出现的数学定义、定理要反复仔细阅读，并进行认真分析直至弄懂含义（不能忽视或忽略任何一个不理解的词汇），因此，阅读中不要贪多，应当求精，要循序渐进，慢中求快。 数学教科书是专家在充分考虑学生的生理、心理特征、教学原理、数学学科特点等诸多因素的基础上精心编写的，目前大多数数学教师上课仍然是耐心细致地讲解，讲完之后学生翻开课本和练习本做相应的练习，最后，总结布置作业。仅把教科书当成习题集，这正是老师讲得津津有味，学生学习成绩差的原因。新的课程理念强调，教师要合理地用数学教材而不是教教材，要把教科书作为学生学习的工具材料，必须重视数学教科书的阅读。 2.2在阅读中思考，在思考中阅读。 教师在指导学生阅读数学教材时，要求学生深入思考，课本是怎样提出问题的?怎样分析问题和解决问题?它们之中隐含着什么样的数学思想和方法?比如:学生
初中数学计算能力训练 计算是一种能力，亦是提高成绩的关键 数学是一门严谨的学科，魅力又在于“活”，数学处处都与计算密切相关， 计算不是枯燥的代名词，充满了观察、推理、判断，培养学生思考问题的灵活性 以及周密严谨的思维能力等。 中考数学满分120分，与计算相关的题目约占100分，准确、快速地得出计 算结果，能有效提高学生理科成绩，帮助学生直达名校！ 学生常见的计算问题有哪些？ 学生在分析计算错误时，不知道如何分析，往往归因于“粗心马虎”，告诉 自己“下次注意”就可以，可事实却总是事与愿违。在计算方面学生容易出现哪 些问题呢？ 1. 看到题目，不仔细审题，就慌忙答题，要求解周长，仅求出边长，做到一半发现遗漏隐 含条件或有其他简单方法，思路大乱。 2. 在大脑停止思考时，容易疏忽大意，抄错数。 3． 没有严格依据法则和运算律来运算。准确记忆法则和运算律是前提，关键是无论何时 何地都能正确地运用。比如两式相减求绝对值，如果前面有负号，容易错；乘法满足分配律，不少学生也误认为除法也满足分配律等。 4． 没有按照计算流程来走，认为一步一步写计算很麻烦，计算时跳步太大。 5． 越是成功在望，越容易大意，不少同学在倒数计算第二步时放松警惕，结果导致结果错误。 6． 缺乏检查意识，不知道怎么检查。误以为检查就是把题目再做一遍，对异常结果不敏感，不知道 积累自己的易错点，不善于结合题目背景进行检查，比如价格不可能是负数等。 初中数学计算能力训练目录 <1>()11002510133 ÷-+÷? <2>30 212200926π-????-++-? ? ?????<3>cos 45cos 60sin 45cos30?-??-?
浅谈初中数学思维能力的培养 ——从提问和解题培养学生的数学思维 数学教学的一个重要目标是教学生会思维，会数学思维。思维是人的理性认识过程。数学思维是指关于数学对象的理性认识过程，准确地说是应用数学工具解决各种实际问题的思考过程。 培养学生的思维能力必须要在具体的实际教学过程中实现。它体现在教学过程中的各个环节，需要教师精心备课、设计教案。下面就课堂教学中的提问与解题两个方面浅谈数学思维能力的培养。 一、从提问培养数学思维 提问是用疑问的形式提出问题，明知故问，以引起学生的思维，促进学生积极思考，提问要有逻辑性、启发性与诱导性。充分调动学生的学习积极性，使他们独立思考，深入钻研，透彻地理解知识，达到融会贯通，举一反三、触类旁通的目的。提问要从学生的认识规律出发，要找到新旧知识的“接触点”与“结合部”，新旧知识的联系增强启发性，它是促进数学思维的前提，而新旧知识的矛盾，也增强启发性，它是促进数学思维理解的核心。 例如：为了将x4＋6x2＋8，（a＋b）2－4(a＋b）＋3和x2－3xy ＋2y2分解因式，可设计如下提问：（1）y2＋6y＋8与x4＋6x2＋8的
因式分解有什么联系？又有什么区别？（2）y2＋6y＋8是y的二次三项式，x4＋6x2＋8是谁的二次三项式？其二次项系数，一次项系数与常数项分别是什么？（3）若将x2－3xy＋2y2分解因式，它是谁的二次三项式，是否有两种看问题的方法？指出每种看法的二次项系数，一次项系数及常数项。 二、从解题培养数学思维 学生思维能力的差异最终体现在解题的速度、技巧，综合分析问题的能力上。因此解题是培养数学思维能力的重要途径。下面举例说明： 1、综合分析，进行整体思考。 对问题要从全局整体着眼处理，观察分析数学材料的整体结构，理解和认识问题的实质，概括出数学关系，进而确定解题策略，培养整体思维能力。 例如：已知一次函数的图象如图所示，则函数的解析式是（）（A）y＝1/2x－3 （B）y＝1/2x＋3 （C）y＝－1/2x－3 （D）y＝－1/2x＋3 析解：本题一般思路是由直线经过点（0，3）和（6，0）两点，将坐标代入直线y＝kx＋b，解方程组得k＝－1/2，b＝3，得解析式y＝－1，若从整体上分析，用图象的性质，直线过二、四象限可判