反比例函数
一. 教学要求
1、理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
2、会画反比例函数的图像，掌握反比例函数的性质
3、会用反比例函数的图像、性质解决实际问题
二. 重点及难点
重点：
1、示范反比例函数的概念，
2、反比例函数的性质
3、反比例函数的定义、图像的应用 难点：
1、试用待定系数法求反比例函数的表达式。
2、反比例函数的性质应用。
三. 课堂教学 ［知识要点］
知识点1、反比例函数的概念
定义：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成x k
y =
（k 为常数，k ≠0）的
形式，那么称y 是x 的反比例函数。
说明：（1）等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k （也叫做
比例系数k ），分母中含有自变量x ，且x 的指数是1，若写成1-=kx y ，则x 的指数是－1。
（2）比例系数k ≠0时反比例函数定义的一个重要组成部分。 （3）自变量ｘ的取值范围是ｘ≠0的一切实数。 （4）函数ｙ的取值范围也是一切非零实数。
知识点2、用待定系数法求反比例函数的表达式 由于在反比例函数
x k
y =
中，只有一个待定系数，因此只需要一组对应值，即可求出ｋ
的值，从而确定其表达式。
知识点3、反比例函数的图像和画法
1、反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量ｘ≠0，函数ｙ≠0，所以它们的图像与ｘ轴，ｙ轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴。
2、反比例函数的图像的画法：（描点法） （1）列表： （2）描点： （3）连线：
知识点4、反比例函数的性质
1、关于反比例函数的性质主要研究它的图像的位置和函数值随ｘ的变化而变化的情况： 反比例函数 0,
≠=
k x k
y
ｋ的符号
ｋ＞0
ｋ＜0
图像
性质
（1）ｘ的取值范围是ｘ≠0，ｙ的取值范围是ｙ≠0
（2）当ｋ＞0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小
（1）ｘ的取值范围是ｘ≠0，ｙ的取值范围是ｙ≠0
（2）当ｋ＜0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而增大 探究交流：已知一次函数42+=x y 和反比例函数
)0(≠=
k x k
y ，若这两个函数的图像在
同一坐标系中有两个交点A ，B ，试求k 的取值范围，并判断∠AOB 与90°的大小关系。
由题意得：??
???=+=x k
y x y 42，该方程可变形为0422
=-+k x x ∵42+=x y 与
x k
y =
的图像有两个交点A ，B ，∴△=16+8k>0，∴k>－2 当－2 的图像在第二，四象限，此时∠AOB<90° 当k>0时， x k y = 的图像在第一，三象限，此时∠AOB>90° 2、反比例函数的表达式中的k 的几何意义：反比例函数 x k y = 的本质特征是两个变量y 与x 的乘积是一个常数k ，由此可以推得反比例函数的一个重要性质。 若点A 是反比例函数 x k y = 图像上任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 垂直 于y 轴，垂足为C ，则k S ABOC =矩形，如图所示 由反比例函数图像与矩形面积的关系可以得出反比例函数图像与三角形面积的关系： ABOC AOC AOB S S S 矩形21 = =?? 知识点6、利用反比例函数解决实际问题 反比例函数是反映现实世界中两个变量之间关系的一种重要数学模型，它在现实生活中有着广泛的应用，利用反比例函数的图像与性质，能比较清晰、直观、简捷地解决一些实际问题。 在生活中有许许多多成反比例关系的实例，如当路程s 一定时，时间t 与速度v 成反比 例关系，写成 v s t = ，（s 是常数），当矩形面积S 一定时，长a 与宽b 成反比例关系，写成 b S a = ，（S 是常数），当面积S 一定时，三角形的底y 与高x 成反比例关系，写成 x S y 2= （S 是常数），当功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的位移s 成反比例关系，写成S W F = （W 是常数），当压力F 一定时，压强p 与受力面积S 之间成反比例关系，写成 S F p = （F 是常数），在某一电路中，保持电压U 不变，电流I 与电阻R 成反比例关系，写成 R U I = （U 是常数）等等。 在利用反比例函数解决实际问题时，一定要注意 x k y = （k 为常数，k ≠0）这一条件， 结合图像说出性质，根据性质大致画出图像，求函数的表达式是必须掌握的，实际问题中的数量关系一般都具有实际意义，所以在建立数学模型解答问题时注意实际问题对数学答案的要求与限制，如一些数量非负（时间、速度、长度一定是正数，人数是正数等），在解答过程中要注意问题中的要求。 【典型例题】 例1、已知121,y y y y +=与x 成正比例函数，2y 与x 成反比例函数，当x=1时，y=4，当x=2时，y=5，求当x=10时，y 的值。 分析：本题考查待定系数法、方程组的解法、一次函数、反比例函数等知识。 用待定系数法和正、反比例函数的表达式，求出y 的表达式。 解：设 x k y x k y 2 211,= =， ∴ x x y 22+ = 当x=10时，y=20.2 例2、已知k ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=k （x+1）与x k y = 的图像大致为如图的 （ ） 分析：本题考查一次函数，反比例函数的图像和性质，在同一直角坐标系中同时确定一次函数与反比例函数的图像，可分为k>0，k<0两种情况讨论。 答案：D 例3、（2006，上海）如图所示，在直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，它的纵 坐标是横坐标的3倍，反比例函数 x y 12= 的图像经过点A 。 （1）求点A 的坐标 （2）如果经过点A 的一次函数图像与y 轴的正半轴交于点B ，且OB=AB ，求这个一次函数的表达式。 y A O x 分析：本题综合考查反比例函数、一次函数、方程、勾股定理等知识，可先确定点A （在第一象限）的坐标，然后由OB=AB 求出点B 的坐标，从而确定一次函数的表达式。 解：（1）根据题意，设点A 坐标为（a ，3a ），a>0 因为点A 在反比例函数 x y 12= 的图像上。 所以 a a 12 3= ，解得2,221-==a a 经检验，2,221-==a a 都是原方程的根，但22-=a 不符合题意，故舍去。 所以点A 的坐标为（2，6） （2）根据题意，设点B 的坐标为（0，m ） 由m>0，过点A 作x 轴的垂线AH ，垂足为H ，过点B 作BG ⊥AH 于G. 则在Rt △ABG 中， AG=6－m ，BG=2 因为OB=AB ，所以2 2AB OB = 所以2 222)6(+-=m m ，解得 310= m 所以点B 的坐标为（0，310 ） 设一次函数的表达式为y=kx+310 因为一次函数的图像经过点A （2，6），所以6=2k+310，解得 34 = k 所以一次函数的表达式为 31034+ =x y 例4、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （千帕）（千帕是一种压强单位）是气体体积V （3 米）的反比例函数，其图像如图所示， （1）试写出这个函数的表达式 （2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 分析：本题考查反比例函数、不等式等知识，首先应根据图像信息结合题中条件确定反比例函数的表达式，然后再利用不等式的知识确定气球的体积。 解：（1）设所求的函数的表达式为 V k p = 把A （1.5，64）代入，得64=5.1k ，解得k=96 所以所求的函数表达式为 V 96p = （2）当V=0.8米3时，p=120千帕 （3）解法1：由p=144千帕得，V= 32 14496=米3 因为气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸 所以p ≤144，由图像知，p 随V 的增大而减小。所以 V ≥32 立方米 解法2：因为当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸 所以p ≤144千帕，即144 96 ≤V 千帕 解得V ≥32 立方米 【模拟试题】（答题时间：60分钟） 一、填空题 1. 已知函数y =（k +1）x 1 2-+k k （k 为整数），当k 为_________时，y 是x 的反比例函数。 2. 函数y =－x 65 的图像位于_________象限，且在每个象限内y 随x 的增大而_________。 3. 已知y 与2x 成反比例，且当x =3时，y =61 ，那么当x =2时，y =_________，当y =2时， x =_________。 4. 如果函数y =（m +1）x 3 2-+m m 表示反比例函数，且这个函数的图像与直线y =－x 有两个交点，则m 的值为_________。 5. 如图1为反比例函数的图像，则它的解析式为_________。 图1 6. 已知双曲线经过直线y =3x －2与y =23 x +1的交点，则它的解析式为_________。 7. 下列函数中_________是反比例函数。 ①y =x +x 1 ②y = x x 132+ ③y =21x - ④y =x 23 8. 对于函数y =x 2 ，当x ＞0时，y _________0，这部分图像在第_________象限。 对于函数y =－x 2 ，当x ＜0时，y _________0，这部分图像在第_________象限。 9. 当m _________时，在函数y =x m 1 -的图像所在的象限内，y 随x 的增大而增大。 10. 如图2，反比例函数图像上有一点A ，过A 作AB ⊥x 轴于B ，若S △AOB =3，则反比例函数的解析式为_________。 图2 二、选择题 11. 对于反比例函数y =x 5 ，下列结论中正确的是（ ） A. y 取正值 B. y 随x 的增大而增大 C. y 随x 的增大而减小 D. y 取负值 12. 若点（1，2）同时在函数y =ax +b 和y =a b x -的图像上，则点（a ，b ）为（ ） A. （－3，－1） B. （－3，1） C. （1，3） D. （－1，3） 13. 已知y 与x 成正比例，z 与y 成反比例，则z 与x 之间的关系为（ ） A. 成正比例 B. 成反比例 C. 既成正比例又成反比例 D. 既不成正比例也不成反比例 14. 矩形面积为3 cm 2，则它的宽y （cm ）与x （cm ）长之间的函数图像位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第一象限 15. 已知函数y =k （x +1）和y =x k ，那么它们在同一坐标系中的图像的大致位置是（ ） 16. 函数y =mx 9 22 --m m 的图像是双曲线，且在每个象限内函数值y 随x 的增大而减小，则m 的值是（ ） A. －2 B. 4 C. 4或－2 D. －1 17. 如图3，过反比例函数y =x 2 （x ＞0）图像上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足 分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） 图3 A. S 1＞S 2 B. S 1＜S 2 C. S 1=S 2 D. S 1、S 2的大小关系不能确定 18. 已知一次函数y =kx +b 的图像经过第一、二、四象限，则函数y =x kb 的图像在（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 19. 函数y =kx －k ，与函数y =x k 在同一坐标系中的图像大致如图4，则有（ ） 图4 A. k ＜0 B. k ＞0 C. －1＜k ＜0 D. k ＜－1 20. 若在同一坐标系中，直线y =k 1x 与双曲线y =x k 2 无交点，则有（ ） A. k 1+k 2＞0 B. k 1+k 2＜0 C. k 1k 2＞0 D. k 1k 2＜0 三、解答题 21. 已知函数y =－4x 2－2mx +m 2与反比例函数y = x m 4 2 的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是－2，求此两个函数的解析式。 22. 如图5，Rt △AOB 的顶点A 是一次函数y =－x +m +3的图像与反比例函数y =x m 的图像 在第二象限的交点，且S △AOB =1，求点A 的坐标。 图5 23. 若反比例函数y =x m 与一次函数y =kx +b 的图像都经过点（－2，－1），且当x =3时， 这两个函数值相等，求反比例函数的解析式。 24. 已知一个三角形的面积是12cm 2，（1）写出一边y （cm ）与该边上的高x （cm ）间的函数关系式；（2）画出函数图像。 25. 某厂要制造能装250mL （1mL=1 cm 3）饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02 cm ，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设制造一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3。 用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y 与x 间的函数关系式。 *26. 已知直线y =－x +6和反比例函数y =x k （k ≠0） （1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy 中的图像有两个公共点？ （2）设（1）的两个公共点分别为A 、B ，∠AOB 是锐角还是钝角？ 【试题答案】 一、1. 0 2. 二、四 增大 3. 41 41 4. －2 5. y =－x 32 6. y =x 8 7. ④ 8. ＞ 一 ＞ 二 9. ＜1 10. y =x 6 二、11. C 12. D 13. B 14. D 15. B 16. B 17. C 18. C 19. A 20. D 三、21. y =－4x 2+14x +49 y =x 10 - 22. （－1，2） 23. y =x 2 24. （1）y =x 24 （2）略 25. y =252πx 2+02.010-x 26. （1）0＜k ＜9或k ＜0 （2）k ＜0时，∠AOB 为钝角 0＜k ＜9时，∠AOB 为锐角
相关主题
文本预览