为 . 知识点六:二次函数的平移
技法:只要两个函数的a 相同,就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x -h)2
+k ,平移规律:左加右减,对x ;上加下减,直接加减
6.抛物线y= -3
2 x 2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得到的抛物线的关系式为 。
7.抛物线y= 2x 2, ,可以得到y=2(x+4}2-3。
8.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为
。
知识点七:函数的交点
11.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
12.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。
知识点八:函数的的对称
13.抛物线y=2x2-4x关于y轴对称的抛物线的关系式为。
14.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2-4x+3,则
a= b= c=
知识点九:函数的图象特征与a、b、c的关系
①a的符号判别---开口向上? a 0;开口向下? a 0;
②c的符号判别---由抛物线的与Y轴的交点来确定:
若交点在y轴的正半轴?c 0;若交点在y轴的负半轴?c 0;
若交点在原点?c 0;
③b的符号由对称轴来确定:(左同右异)
对称轴在Y轴的左侧? a、b同号;对称轴在Y轴的右侧?a、b异号。
④a+b+c的符号由x=1时的点的位置决定;a-b+c的符号由x=-1时的点的位置决定
点(1,a+b+c)在x轴上方?a+b+c 0点(1,a+b+c)在x轴下方?a+b+c 0
点(-1,a-b+c)在x轴上方?a-b+c 0点(-1,a-b+c)在x轴下方?a-b+c 0
⑤b+2a的符号由对称轴与1的大小关系确定;b-2a或2a-b的符号由对称轴与-1的大小关系确定
⑥△的符号由抛物线与x轴的交点个数确定
?
?
?
?
?
△<
个交点
=
△
个交点
1
△>
个交点
2
轴有
抛物线与x
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示,则a、b、c的符号为()
A.a>0,b>0,c>0
B.a>0,b>0,c=0
C.a>0,b<0,c=0
D.a>0,b<0,c<0
2.抛物线y=ax2+bx+c中,b=4a,它的图象如图3,有以下结论:
①c>0;②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ;其中正确的为()A.①②B.①④C.①②③D.①③⑤
3.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是()
4、已知二次函数的图像如图所示,下列结论:
⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4
知识点十:二次函数与x 轴、y 轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系) 知识点:二次函数与x 轴有交点,y=0,;与y 轴有交点,x=0.
1. 如果二次函数y =x 2
+4x +c 图象与x 轴没有交点,其中c 为整数,则c = (写一个即可) 2. 二次函数y =x 2
-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为 3. 抛物线y =-3x 2+2x -1的图象与x 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点
4. 若二次函数y =(m+5)x 2
+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方,则m 的取值范围是 5. 二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,
(1)根据图象写出方程20ax bx c ++=的两个根.
(2) 根据图象写出不等式20ax bx c ++>的解集.
(3) 若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.
6. 已知二次函数2
2y x x m =-++的部分图象如图所示,则关于x 的一元二次方程
220x x m -++=的解为 .
7. 已知函数2
y ax bx c =++的图象如图所示,那么关于x 的方程
220ax bx c +++=的根的情况是( )
8. A .无实数根 B .有两个相等实数根 9. C .有两个异号实数根
D .有两个同号不等实数根
10. 已知二次函数y=x 2+x+m,当x 取任意实数时,都有y>0,则m 的取值范围是( ) 11. A.m≥
14; B.m>14; C.m ≤14; D.m<14
12. 已知关于x 的函数y =(m -1)x 2
+2x +m 图像与坐标轴有且只有2个交点,则m =
-1
1
y
x y
3
3 2
2 1
1 4 1- 1- 2-
O
13. 已知抛物线m mx x y 222--=的图象与x 轴有两个交点为),0,(1x )0,(2x ,且52
221=+x x ,m=
14. 已知抛物线y =-x 2+mx -m +2.
(1)若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧,并且AB m 的值;
(2)设C 为抛物线与y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ,并且 △MNC 的面积等于27,试求m 的值.
15. 如图,抛物线的对称轴是直线x=1,它与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,点A 、C 的坐标分别是(-1,0)
(0,1.5)
(1)求此抛物线的函数关系式。
(2)若点P 是此抛物线上位于x 轴上方的一个动点,求三角形ABP 面积的最大值。
(3)问:此抛物线位于x 轴的下方是否存在一点Q ,,使△ABQ 的面积与△ABP 的面积相等?如果有,求出该点坐标,如果没有请说明理由。
知识点十一:函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ax 2
+bx+c ,然后解三元方程组求解; 1.已知二次函数的图象经过A (0,3)、B (1,3)、C (-1,1)三点,求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=a(x -h)2
+k 求解。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8),求该二次函数的解析式。