不等关系与不等式的性质及一元二次不等式教学讲义
1．两个实数比较大小的依据
2．不等式的基本性质
3．必记结论 (1)a >b ，ab >0?1a <1
b . (2)a <0
b . (3)a >b >0,0<
c <
d ?a c >b
d .
(4)0 a . (5)若a > b >0，m >0，则b a a ＋m ； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b b －m (b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式 (1)一般式： y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式： y ＝a ? ? ? ??x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 5．三个二次之间的关系 1．概念辨析 (1)a＞b?ac2＞bc2.() (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx ＋c＝0的两个根是x1和x2.() (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．小题热身 (1)设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[－1,0) D ．(－1,0] 答案 B 解析 因为M ＝{x |－1 答案 A 解析 因为c 0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立． (3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M 解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－4,0] 解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对?x ∈R ，f (x )≤0， 须有????? a 2－4×a ×(－1)≤0，a <0， 解得－4≤a ＜0. 综上知，实数a 的取值范围是[－4,0]． 题型 一 不等式性质的应用 1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c 答案 D 解析 解法一： ? ??? ?c ＜d ＜0?cd ＞0 c ＜d ＜0? ? ????c cd ＜d cd ＜0?1d ＜1 c ＜0?－1 d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0? －a d ＞－b c ?a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D. 2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3 与S 5 a 5 的大小关系 为________． 答案 S 3a 3 a 5 解析 当q ＝1时，S 3a 3 ＝3，S 5a 5 ＝5，所以S 3a 3 a 5 . 当q >0且q ≠1时， S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5 )a 1q 4(1－q ) ＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4 (1－q )＝－q －1q 4<0， 所以S 3a 3 . 综上可知S 3a 3 a 5 . 3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ， 所以????? x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得????? x ＝1，y ＝3， 所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， 所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值范围是[6,10]． 1．判断不等式是否成立的方法 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 2．比较两个数(式)大小的两种方法 3．求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一 次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．如举例说明3. 1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 答案 C 解析 因为1a <1 b <0，所以b |a |，所以|a |＋b <0，ln a 2 <0<1ab ，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a <7a a 7 B ．77a a ＝7a a 7 C ．77a a >7a a 7 D ．77a a 与7a a 7的大小不确定 答案 C 解析 显然77a a >0,7a a 7>0， 因为77a a 7a a 7＝? ????7a 7· ? ????a 7a ＝? ????7a 7·? ????7a －a ＝? ?? ??7a 7－a . 《不等式的基本性质》教案 教学目标 1、经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同． 2、掌握不等式的基本性质． 教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用． 教学过程 一、比较归纳，产生新知 我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变． 请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流． 类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变．试举几例验证猜想． 如3＜7，3+1=4，7+1=8，4＜8，所以3+1＜7+1；3-5=-2，7-5=2，-2＜2，所以3-5＜7-5；3+a＜7+a；3＜7，3-a＜7-a等．都能说明猜想的正确性． 二、探索交流，概括性质 完成下列填空． 2＜3，2×5______3×5； 2＜3，2×(-1)______3×(-1)； 2＜3，2×(-5)______3×(-5)； 你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流． 通过计算结果不难发现：第一个空填“＜”，后三个空填“＞”． 得出不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变．不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象) 三、例题解析 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： (1)x-5＞-1；(2)-2x＞3. 解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加5，得 x＞-1+5 即 x ＞4 (2)根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得 32 ＜-x 四、练习巩固，促进迁移 1、用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由． ① 6+2 ______ -3+2； ② 6×(-2)______ -3×(-2)； ③ 6÷2______ -3÷2； ④ 6÷(-2)______ -3÷(-2) 2、利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”． (1)若a ＞b ，则2a +1 _____ 2b +1； (2)若a ＜b ，且c ＞0，则ac +c ______ bc +c ； (3)若a ＞0，b ＜0， c ＜0，(a -b )c ______ 0． 3、巩固应用，拓展研究． 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据． (1)a ＞b 两边都加上-4； (2)-3a ＜b 两边都除以-3； (3)a ≥3b 两边都乘以2； (4)a ≤2b 两边都加上c ． 五、课堂小结 不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变． 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 9.2一元一次不等式（1）教学反思 安阳市第十一中学陈丽娜 本节课的设计思路：复习不等式的基本性质，掌握一元一次不等式的概念，解一元一次不等式，找满足不等式的正整数解及带有字母的不等式的解法等内容，以上几个环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动脑思考、层层递进，对知识的理解逐步深入，使课堂效益达到最佳状态。对培养学生分析问题，解决问题的能力，体会数学的价值都有较大的作用。 教学中我采用类比（对比一元一次方程的解法），让学生非常清楚地看到不等式的解法与方程的解法只是最后系数化为1不同，其它的步骤是相同的，强调最后一步“负变，正不变”，学生掌握得很好。并强调在数轴上表示不等式的解集时，可以画简易数轴，“<”是向左拐，“>”是向右拐，空心是不包含，实心是包含。让学生在易错点上引起足够重视。 通过探究新知的环节鼓励学生自己探究，让学生真正去思考、去尝试，；真正体现了学生是数学学习的主体，教师是学生数学学习的引导者和帮助者。讲练结合的教学方法，倡导学生主动参与教学实践活动，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。肯定成绩，使其具有成就感，提高学生学习的兴趣和学习的积极性。 新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，在课堂的整体把握上，能做到游刃有余，学生整体回答时，都非常认真、投 入，整个班的班风、班貌非常好。课堂巡视时特别关注与学生的交流，能及时肯定、鼓励、帮助学生，更好地调动学生的学习积极性。让学生自己板书，自己讲题，既锻炼了学生的口头表达能力，又增加了学生的自信心，起到事半功倍的效果。 以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。 本节课的几点遗憾： 1、在例1的处理上有点稍快，虽然强调了易错点，大部分学生能正确求解一元一次不等式，但是部分学困生可能还存在一定的困难。今后应加强跟踪训练员，及时发现问题，解决问题，有针对性的进行学法指导。 2、在列不等式的时候很多学生不懂如何用不等式表示“负数”、“正数”、“非正数”、“非负数”，“不大于”、“不小于”，应该加强训练，让学生理解其实质内涵，为后面的应用题作准备， 3、部分学生虽然会做题，但是由于粗心导致出错，说明细心不够，重视程度不够，掌握还是不踏实，在以后的学习中，让学生养成细致、耐心的习惯，潜移默化中渗透到解题中。 如何让学生真正成为课堂的主人，让他们在学习数学中体验到成功的快乐， 从而增加学习数学的积极性，这是我们当前急需解决的问题。这就要求我们精心设计好每一节课的教学环节，换位思考，在不断的反思中提高自己，尽力做到每一次都是精彩的课堂！ 第五讲 不等式的解法、性质与证明 一、不等式的性质： ⑴(对称性或反身性⑵(传递性)a b b c a c >>?>，; ⑶(可加性)a b a >?;(同向可相加)a b c d a c b d ?>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ?>>>，； 0a b c ac bc ?><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ?>>>>>， ⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈?>>（）⑹(开方法则)0,20n n a b n N n a b >>∈>（≥） ⑺(倒数法则)11 0a b ab a b ? >><， 1、判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若a>b ，则ac 2>bc 2 ； （2）若 a c 2>b c 2 ，则a>b ； （3）若a>b ，且ab ≠0，则1a <1b ； （4）若a>b ，c>d ，则ac>bd ； （5）若a>b ，且k ∈N +，则a k >b k ； （6）若a>b>0，则a a >a b ；（7）若a>b>0，则b 2 +1a 2 +1 > b 2a 2 2、比较下列各组数的大小，其中x ∈R 。（1）x 2+3与3x ；（2）x 6+1与x 4+x 2 ；3）11+x 与1-x 。 3、已知a,b 为正数，试比较a b +b a 与 a +b 的大小。 4、已知a>b ，则不等式(1)a 2>b 2,(2)1a < 1b ,(3)1a -b >1 a 中不能成立的个数是（ D ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 5、已知12 学习目标 1、掌握不等式的基本性质。 2、会应用不等式的基本性质对不等式进行化简。 3、知道等式与不等式性质的联系与区别。 重点难点 重难点：不等式的性质及其应用。 学习过程 一、课前预习 1、不等式的性质1： 字母表示为：如果a＞b，那么 2、不等式的性质2： 字母表示为：如果a＞0,c＞0,那么 3、不等式的性质3： 字母表示为：如果a＞0,c＜0,那么 二、课堂研讨 （一）重点研讨 4、将下列不等式化成“χ＞a”或“χ＜a”的形式。 （1）χ+12＞6 （2）2χ＜-2 （3）χ-2＞0.9 （4）-3χ＜-6 5、思考：等式的性质和不等式的性质有什么异同？ 相同点：不同点： （二）拓展训练 6、解不等式2x—1﹤5x-5并在数轴上表示解集。 7、已知a﹥b,ac一定大于bc吗？ （三）达标测试 8、填写不等号或变形依据。 （1）∵0<1∴a a+1，依据； （2）若2x>-6，两边同除以2，得，依据；（3）若-12 x f，两边同乘以-3，得，依据。 3 9、若x>y，判断下列不等式变形是否正确，并说出你的理由。（1）x-6 （3）-2x<-2y （4）2x+1>2y+1 （5）ax>ay 三、课后巩固 10、填空 （1）∵ 2a > 3a ∴ a 是 数 （2）∵ 32 a a p ∴ a 是 数 （3）∵ax < a 且 x > 1 ∴ a 是 数 11、根据下列已知条件，说出a 与b 的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。 （1）a －3 > b －3 （2） 33a b f （3）－4a > －4b 12、设m ＞n ，用“＜”或“＞”填空 ⑴m －5 n －5 ⑵m+4 n+4 ⑶6m 6n ⑷－31 m － 31 n 13、利用不等式的性质解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来。 ⑴ x －7＞26 ⑵ 3x ＜2x+1 不等式的基本性质教学 反思 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 《不等式的基本性质》教学反思 房县城关四中黄小妹 本节课我采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。力求在整个探究学习的过程充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。 课堂开始通过回顾旧知识，抓住新知识的切入点，使他们有兴趣进入数学课堂，为学习新知识做好准备。接下来出示的问题1从学生的学习经验出发，让学生感受生活中数学的存在，不仅激发学生学习兴趣，而且可以让学生直观地体会到在不等关系中存在的一些性质。问题2、3的设计是为了类比等式的基本性质，研究不等式的性质，让学生体会数学思想方法中类比的应用，并训练学生从类比到猜想到验证的研究问题的方法，让学生在合作交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。在这个环节上，在体现学生主体上把握得不是很好，在引导学生探究的过程中时间控制得不紧凑，有点浪费时间。还有就是给他们时间先记一下不等式的基本性质，便于后 面的练习。让学生比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，这样不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握、发展学生的辩证思维。 在运用符号评议的过程中，学生会出现各种各样的问题与错误，因此在课堂上，我特别重视对学生的表现及时做出评价，给予。这样既调动了学生的学习兴趣，也培养了学生的符号评议表达能力。 练习，给学生一个充分展示自我的舞台，在情感和一般能力方面都得到充分发展，并从中了解数学的价值，增进了对数学的理解。在这一环节，为了照顾学困生，让学生起来回答时候有点耽误时间。 让学生通过总结反思，一是有利于培养归纳，总结的习惯，让学生自主构建知识体系；二也是为了激起学生感受成功的喜悦，力争用蕴育自信，学生以更大的热情投入学习中去。 本节课，我觉得基本上达到了教学目标，在重点的把握，难点的突破上也基本上把握得不错。在教学过程中，学生参与的积极性较高，课堂气氛活跃。其中不存在不少问题，我会在以后的教学中，努力提高教学技巧，逐步完善自己的课堂教学。 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 不等式的性质教学反思 这次公开课准备的比较充分，使得我这次的转正课能够顺利完成。第一次当着这么多前辈老师讲课，我显得紧张。特别是我们初一数学科组的各位老师建言献策，给了我充分的鼓励与帮助，充分展示了集体智慧的力量。 上课前我做了一些准备工作。比如，设计“不等式的性质”学习卷。在集备组的多次建议修改下，我把不等式的概念、不等式的性质、运用不等式性质解简单不等式这三个内容整合到本节课；基本思路是：用比较数的大小引进不等式的概念；利用表格对不等式两边进行运算来探索不等式的性质并展开小组讨论加深对不等式性质3的认识；运用不等式的性质把不等式转化为()x a a >是常数的形式（其实就是解简单不等式，但本节课还没出现“方程的解”这个概念）。 本节课用的是平行班，强调的是实用性。从新课到练习都充分调动了学生的思考能力。小组讨论又锻炼了学生的创造性和合作性；为后续学习解一元一次不等式打下了一定的基础。 自己在这节公开课吸取的经验是： 1、 充分准备是保证。从怎么引入怎么引导学生填写表格及探索性质都进行充分的准备，写了份大概的讲话稿，在脑海里反复演练，以帮助克服紧张情绪。 2、 专业术语阐述不够清楚，需要加强。部分学生会对数量关系中的“不大于”、“是负数”、“是非负数”等数学术语理解不清，我只是从字面上给予解释，并没有对学生为什么出错进行深究，导致学生在复习回顾环节出错又在新课后的巩固练习出错。 3、 对性质3这个难度的教学不够。学生以小组讨论的形式展开了对性质3的探索，但由于我对设计意图没有说清楚，导致有几个小组在不等式两边乘了不同的两个数来进行比较；对于不等式两边同时除以同一个负数的教学完全回避了（我以为除法都可以化作乘法来做，所以讲乘法就够了），结果学生在遇到250>－化作25x <-之类的题目都卡住了。 “不等式的性质”的教学设计 07990201 侯志静 综合理科072班 一、课标分析 数学新课程标准提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上，在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法，以取得更好的教学效果。二、教材分析 （1）本节内容是七年级下第九章《不等式和不等式组》中的重点部分，是不等式的第一节课，由于学生是第一次接触不等式，故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上，着重探究不等式的性质，了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念。 （2）不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。教材中列举了不等式的三条基本性质定理,这三条性质不等式的最基本、也是最重要的性质，不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 （3）不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材，学习不等式，要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 （4）本章的知识定位与传统教材有些不同，在这套教材中，前面已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容，现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了，但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同，相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大，并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程，让学生体会 不等式的性质教学反思 本节课我采用类比等式性质的方法引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，鼓励学生大胆积极参与，使学生在自主探究和合作交流中理解和掌握本节课的内容。力求在整个探究学习的过程中充满师生交流、生生交流以及互动。本节课，我觉得基本上达到了教学目标。难点的突破上也基本上把握得不错。在整个教学过程中学生的参与积极性也还不错。课堂气氛比较活跃。 一、成功之处： 1、复习引入让学生更易接受 课堂开始通过回顾旧知识，抓住新知识的切入点，使学生进入一种“心求通而示得，口欲言而示能”的境界，使他们有兴趣进入数学课堂，为学习新知识做好准备。 2、类比探究新知让学生更易把握 类比等式的基本性质，研究不等式的性质，让学生体会数学思想方法中类比思想的应用，并训练学生从类比到猜想到验证的研究问题的方法，让学生在合作交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。 3、分析等式性质和不等式性质的异同发展学生思维 让学生比较不等式基本性质与等式基本性质的异同，这样不仅有利于学生认识不等式，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握、发展学生的辩证思维。 4、现代信息技术的使用让学习事半功倍 电子白板的交互使用，在白板上及时书写，修改错误之处，都给学生的学习、老师的教学带来了极大的便利，节省了时间。 二、不足之处 1、在体现学生主体上把握得不是很好，在引导学生探究的过程中时间控制得不紧凑，有点浪费时间。导致后面的目标检测部分课上没有时间完成。 2、应用不等式的性质时，语言规范不到位，学生没有掌握整体回答问题的思路脉络，在这里花费了很多时间。 3、整节课在时间的分配上把握的不是很恰当，主要是由于课前预设不到位。 4、自己的语言表达不是很好，表扬性语言很单一而且生涩。 三、改进措施 针对本节课课堂上出现的问题，我在今后的教学中应该加强备课，抓住重点，详略得当，充分相信学生，把课堂还给学生。在课前，充分预判课堂上可能出现的各种问题以及处理方法，考虑学生的认知能力和已有的知识水平，设置问题要具有灵活性、针对性、可操作性，给学生更多的思维想象空间。 如果重新讲这节课，我会缩短探究不等式的性质的时间，因为类比等式的性质同学们很容易归纳出不等式的性质，要重点强调不等式的性质3，这样大量的课堂时间交给学生应用不等式的性质，易出错的问题比如不等式的性质3的应用 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1 9.1.2 不等式的性质 三维目标知识与技能 1、理解掌握不等式的性质； 2、会解决简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。 过程与方法 经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，初步体会 不等式与等式的异同，初步掌握类比的思想方法。 情感与态度通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的兴趣，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过 程中与他人交流合作的重要性。 教学重点：理解并掌握不等式的性质及运用； 教学难点：不等式性质3的探索及正确运用不等式的性质； 教学方法与手段：启发、讨论、探究 教学过程： 一、情境创设 复习回顾： 等式有哪些性质？ 导入新课： ①给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？ ②不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？ ③如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？ 二、自主探究 探究活动一 （一）探究不等式的性质 问题1 用“＞”或“＜”填空． ①－1 < 3 －1＋2 3＋2，－1－3 3－3 ②5 >3 5＋a 3+a ，5－a 3－a ③ 6 > 2 6×5 2×5 ，6×（－5） 2×（－5） ④－2 < 3 （－2）×6 3×6 （－2）×（－6） 3×（一6） ⑤－4 ＞－6 （－4）÷2 （－6）÷2 （－4）÷（－2）（－6）÷（－2） 问题2 从以上练习中，你发现了什么规律？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流． 问题3 你能用式子表示不等式的三条性质吗？ 【板书如下： （1）若a >b ，则a+c > b+c ,a-c >b-c ； （2）若a >b ，且c>0,则ac >bc ，a/c >b/c ； （3）若a >b ，且c<0,则ac 《2.2不等式的基本性质》教学反思 今天这一节，又是不如意的一节。关于不等式性质的内容，书上很少，用算式把不等式的后两个基本性质得出来，就是应用了。我觉得缺点什么，上课的效果也告诉我学生觉得很简单，都不用讲，居然还用了两节课。回想起以前看到的一篇文章，说“不教也会”，那么到底该教什么？内容是关于字母表示数。我这节的情况雷同。 课前定了目标：1.对比等式基本性质和不等式基本性质；2.利用不等式基本性质化简不等式；3.利用不等式基本性质比较大小。 后来看了些资料，又重新制定了目标：1.理解不等式的基本性质；2.用符号语言、图形语言描述任意实数a、b的大小关系；3.通过数形结合得到不等式公理：a>b←→a-b>0，a<0.（后来发现，时间仓促，我没理解这个不等式公理的作用。） 因为英语老师外出培训，调给我一节课，加上早自习就是三节，周五早自习是例行周考，发放了1.3-1.4的小试卷，后面两节中间隔着课间操。下面先回顾前一节的状况： 做了简单的课件，内容如下图： 怎么用数形结合的方式解决初步接触的不等式呢？我带着困惑打开了第一个问题，问学生们怎么看待这个问题的提法。大家明显也一头雾水，有人喊起我前面试翻页笔时看到的平面坐标系。 师：我承认是这么准备的，但是你知道为什么吗？ 生：（继续不解。） 我只好问大家会用什么办法解决，异口同声“不等式的基本性质”。师：咱们还没学呢，要用它先得…… 生：“证明！”（杨健和季全博一起说。） 师：对，还没有经过论证正确性的东西，要暂且放下不能用。我们能做的是什么？（我继续引导，）如果这里<的位置是=，咱们能解决吧？（我写下x+4=0。学生们大声说x=-4。） 师：嗯，你用的什么办法？ 生：等式的基本性质1。 师：嗯，这是用代数的方式来解决，那么可不可以数形结合，用图像法解方程呢？（有人回忆起了二元一次方程组，顺势回顾了图像法解二元一次方程组的整个过程，梳理出先将该方程当成函数值为零时的一次函数对待，在平面直角坐标系中会得到一条直线，然后找这条直线上纵坐标为零的点，写出它的横坐标，即可解得该方程。）梳理完之后，我板书展示了这一过程，就势追问： 师：可否用此图解决不等式x+4>0呢？ 生：应该可以。 （师继续展示，将横轴上-4的位置挖空并向右覆盖） 师：这便是能使函数值大于零的x的范围，可以表示为…… 生：x>-4。 （展示完毕，由学生来试一试，完成-x+4<0和3x-6>0的函数图象求解。） （张宁宁和李小伟分别进行了两道题目的解决，张完成下台，李画错 初二下册第二章一元一次不等式及不等式组 一元一次不等式的解法（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 2.能够熟练解一元一次不等式； 3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 【要点梳理】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2 x50 是一个一元一次不等式． 3 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式( 单项式或多项式 ) ； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1. (2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜” 、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等 号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不 等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项； (4) 化为ax b（或ax b）的形式（其中a 0）； (5) 两边同除以未知数的系数，得到不等式的 解集 . 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变． 要点三、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义： 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= 《不等式的性质（2）》教学反思 大悟县实验中学李汉平 这节课的教学目标是：会根据“不等式的性质”解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；学会运用类比的思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力；在积极参与数学活动的过程中，培养学生大胆猜想、勇于发言与合作交流的意识和实事求是的态度以及独立思考的习惯。这节课的教学重点是：一元一次不等式的解法；其难点是：不等式性质3在解不等式中的运用。 为了达到这个教学目标，突破重点，解决难点，我运用引导发现法教学，并且运用多媒体课件进行教学。在整个教学过程中我设计了以下五个板块：一是:创设情境，引入新课。二是：引导探索，讲授新课。三是：运用新知，例题讲解。四是：知识反馈，巩固新知。五是：课堂小结，收获新知。课后我进行了认真反思。 本课我从学生身边的事情入手，创设问题情境，激发了学生的学习兴趣和求知欲望。以问题为中心，使每一位学生都能积极思考，发散思维。让学生在”做数学“的过程中，亲身体验问题的发生、发现、发展与解决的全过程，采取自主探索、合作交流、深入研讨、步步为营的措施，为学生营造了一个自主学习、主动发展的广阔空间，开辟了探究、研讨、解决问题的广阔天地，使学生快快乐乐地成了学习的主人。 教学要以实际生活为背景。通过让学生亲身经历现实问题数学化的过程，使他们获得富有生命力的数学知识，进一步认识数学，体验到数学的价值。让学生真切的体会到生活中处处有数学，并能在生活中处处用数学，以此培养学生的应用意识。 教师在教学中要敢于打破教材格局。本节课对教材做出了全新的调整，注意以问题为线索来探究不等式的解法，在用所学知识去解决问题。放开手脚从不同的角度、用不同的方法充分体现了”自我“，真正构建了学生是课堂主人的地位，使他们的思维能力、情感态度和价值观念等各个方面都迈上了一个新的台阶。 11.3不等式的性质 教学目标 知识性目标： 1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形； 2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别. 过程性目标 在积极参与探索、发现不等式基本性质的过程中，体会不等式的两条基本性质的作用和意义，培养学生探索数学问题的能力. 情感态度目标 1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力； 2．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神. 重点和难点 重点：掌握不等式的两条基本性质，尤其是不等式的基本性质2； 难点：正确应用不等式的两条基本性质进行不等式的变形. 一、创设情境 问：在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形，那么方程变形主要有哪些？ 答：去分母、移项、系数化为1. 问：这些解法具体步骤的主要依据是等式的两条基本性质. 等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式； 等式基本性质2：等式的两边都乘以或除以同一个数不等于0的数，所得的结果仍是等式 探索1： （1）请同学们观察：电梯里两人身高分别为：a米、b米，且a＞b，都升高6米后的高度后的不等式关系：a＋6＞b＋6；同理：a－3 b－3（填写“＜”、“＞”号) （2）实物演示：一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然有a＞b）,如果在两边盘内再分别加上等量的砝码c，那么盘子会出现什么情况？ 可让学生进行操作，并得出结论：盘子仍然像原来那样倾斜（即a+c＞b+c）. a＞b ?a+c＞b+c. 归纳1: 教师在学生得出结论的前提下总结： 不等式的性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 用数学式了表示： 如果a＞b,那么a+c＞b+c，a-c＞b-c. 探索2： 问题：如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数,不等号的方向是否也不变呢？ 将不等式7＞4两边都乘以同一个数，比较所得数的大小，用“＞”，“＜”或“＝”填空： 7×3 ______4×3， 7×2 ______4×2 ， 7×1______ 4×1， 不等式的性质教学反思 各位读友大家好！你有你的木棉，我有我的文章，为了你的木棉，应读我的文章！若为比翼双飞鸟，定是人间有情人！若读此篇优秀文，必成天上比翼鸟！ 篇一：《不等式的性质》教学反思《不等式的性质》教学反思沧州市第九中学罗福长不等式的性质是不等式变形的依据，也是探索解不等式方法的基础，学生掌握好本节内容是学好本章内容的关键；本节课的内容蕴含着丰富的数学思想，是培养学生类比、化归、数形结合等数学思想的良好素材。学生经历不等式性质的探索过程，体现了学生的主体性地位，充分发挥了学生学习的主动性，对学生掌握不等式的性质打下了基础；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集，体会化归思想和数形结合思想；通过类比等式的性质，降低了学生学习不等式性质的难度，也为学生理解不等式的性质提供条件，初 步培养类比和数形结合的思想方法。在不等式性质的探究过程中使学生经历类比、猜想、观察、归纳、比较的探究过和启发式教学方式；利用多媒体，增强了不等式的对比的视觉效果，激发了学生的学习兴趣，帮助学生形象直观的发现规律，辅助对教学重点的突出。本节课的开始并没有直接提问什么叫不等式什么叫不等式的解集，而是让学生自己说出一些简单的不等式及其解集；在不等式性质教学过程中也是通过学生自主探究归纳总结出性质，改变了以教师为中心的思想观念。在“试一试”这一环节也没有先直接给出完整的解法而是让一个学生板书后发现问题才纠正补充完整。总的来说，这节课进行的还比较顺利，但和平时比起来自己感觉差了很多。由于前后各有一部摄像机，学生没有见过这种阵势，提前也没有演练，学生都不敢举手回答问题，特别在学生探究不等式性质时，仅仅观察了给出的几个例子，而没有让学生再用其他的不等式或 教学过程 一、新课导入 初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法. 二、复习预习 1.不等式的定义. 2.不等式的基本性质. 3.不等式的基本定理及推论. 4.一元二次不等式解法. 5.分式不等式解法. 6.高次不等式解法. 7.无理不等式解法. 8.指对数不等式解法. 三、知识讲解 考点1 不等式的定义及比较大小 1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≦）、≤（≧）、≠． （2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：a >b b a ? > - b a =b a ? = - a b 考点2 不等式的基本性质 定理1如果a>b ，那么bb ．(对称性) 即：a>b ?bb 定理2如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性) 即a>b ，b>c ?a>c 定理3如果a>b ，那么a+c>b+c ． 即a>b ?a+c>b+c 推论如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． 定理4如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ； 如果a>b ，且c<0，那么ac 2．2不等式的基本性质 1．理解并掌握不等式的基本性质；(重 点) 2．能够运用不等式的基本性质解决问 题．(难点) 一、情境导入 小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁， 小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大 了”．小刚的说法对吗？为什么？ 二、合作探究 探究点一：不等式的基本性质 【类型一】根据不等式的基本性质判 断大小 已知a＜b，用不等号填空： (1)a＋3________b＋3； (2)－ a 4________－ b 4； (3)3－a________3－b. 解析：(1)两边都加3，a＋3＜b＋3，(2) 两边都除以－4，－ a 4>－ b 4，(3)两边都乘－1， －a＞－b，两边都加3，3－a＞3－b.故答案 为：＜，＞，＞. 方法总结：不等式的基本性质是不等式 变形的重要依据，关键要注意不等号的方 向．性质1和性质2类似于等式的性质，但 性质3中，当不等式两边乘或除以同一个负 数时，不等号的方向要改变． 【类型二】判断变形是否正确 已知a＞b，则下列不等式中，错 误的是() A．3a＞3b B．－ a 3<－ b 3 C．4a－3＞4b－3 D．(c－1)2a＞(c－ 1)2b 解析：A.在不等式a＞b的两边同时乘 以3，不等式仍成立，即3a＞3b，故本选项 正确；B.在不等式a＞b的两边同时除以－3， 不等号方向改变，即－ a 3<－ b 3，故本选项正 确；C.在不等式a＞b的两边同时先乘以4、 再减去3，不等式号方向不变，即4a－3＞ 4b－3，故本选项正确；D.当c－1＝0，即c ＝1时，该不等式不成立，故本选项错误； 故选D. 方法总结：“0”是很特殊的一个数，因 此，解答不等式的问题时，应密切关注“0” 存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的 基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数 (或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两 边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不 变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数， 不等号的方向改变． 探究点二：不等式性质的运用 【类型一】把不等式化成“x＞a”或 “ x＜a”的形式 把下列不等式化成“x＞a”或 “x＜a”的形式． (1)2x－2<0； (2)3x－9<6x； (3) 1 2x－2＞ 3 2x－5. 解析：根据不等式的基本性质，把含未 知数的项放到不等式的左边，常数项放到不 等式的右边，然后把系数化为1. 解：(1)根据不等式的基本性质1，两边 都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，鲁教版七年级数学下册 不等式的基本性质教案
9.2一元一次不等式教学反思[1]
不等式解法性质与证明
不等式的性质教案1
不等式的基本性质教学反思
人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
不等式性质教学反思 (2)
不等式的性质的教学设计
不等式的性质1教学反思
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精练)(原卷版)
人教初中数学七下不等式的性质教案
《2.2不等式的基本性质》教学反思
一元一次不等式的解法(教师版).doc
人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版
《不等式的性质(2)》的教学反思
苏教版七年级数学下册11.3不等式的性质公开课优质教案(2)
不等式的性质教学反思
不等式的基本性质及解法
《不等式的基本性质》教案 北师大版
相关主题
文本预览