2014-2015学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（只有一个正确选项，每题5分，满分40分）
1．（5分）已知函数，则f[f（﹣2）]的值为（）
A．1B．2C．4D．5
2．（5分）下列五个写法：①{0}∈{0，1，2}②??{0}③{0，1，2}?{1，2，0}④0∈?⑤0∩?=?其中错误写法的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
3．（5分）设函数f （x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，又若a∈R，则（）
A．f（a）＞f （2a）B．f（a2）＜f （a） C．f（a2+a）＜f （a）D． f （a2+1）＜f （a）
4．（5分）已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m则f（5）+f（﹣5）的值为（）A．4B．0C．2m D．﹣m+4
5．（5分）已知m＞2，点（m﹣1，y1），（m．y2），（m+1，y3）都在二次函数y=x2﹣2x的图象上，则（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3
6．（5分）下列各式错误的是（）
A．30.8＞30.7B．l og0.50.4＞log0..50.6
C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．l g1.6＞lg1.4
7．（5分）函数y=a|logax|（a＞1）的图象是（）
A．B．
C．D．
8．（5分）已知函数f（x），g（x），F（x）的定义域都为R，且在定义域内f（x）为增函数，g（x）为减函数，F（x）=mf（x）+ng（x）（m，n为常数，F（x）不是常函数），在下列哪种情况下，F（x）在定义域内一定是单调函数（）
A．m+n＞0 B．m+n＜0 C．m n＞0 D．mn＜0
二、填空题（每题5分，满分30分）
9．（5分）若A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+b}，且A∩B={（2，5）}，则a+b=．10．（5分）集合，若x∈M那么x2与集合M的关系是x2M．11．（5分）已知log23?log3a＜1，则a取值范围是．
12．（5分）已知函数y=f（x+1）的定义域为[﹣1，1]，则y=f（x）的定义域．
13．（5分）若函数f（x）=2ax+1﹣2a在区间[0，1]无零点，则a取值范围是．
14．（5分）已知函数，则f（x）在x∈（0，+∞）是（增函数，减函数）若f （x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]，则a=．
三、解答题：（15，16题满分80分，17，18，19，20题满分80分共80分）
15．（12分）已知A={y|y=2x，x∈[0，1]}，B=（﹣∞，a+1]
（1）若A∪B=B，求a的取值范围；
（2）若A∩B≠?，求a的取值范围．
16．（12分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1）满足f[f（a2）]+f（3）=a f（1）
（1）求a；
（2）计算f2（2）+f（2）f（3）+f（3）
17．（14分）已知函数f（x）=x2+2x﹣3
（1）求函数y=f（|x|）的值域并写出单调区间；
（2）讨论函数y=|f（x）|与y=m+1交点的个数．
18．（14分）已知f（x）=x2﹣2ax+2
（1）若f（x）在区间[2a﹣1，2a+1]为单调函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在[2，4]上的最小值．
19．（14分）已知函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，且f（x）在（0，1]是指数函数，在[1，3]上是二次函数，当1≤x≤3时f（x）≤f（2）=，f（3）=，求f（x）的解析式．
20．（14分）设f（log a x）=（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）及f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）若f（m）+f（1）＞0，求m的取值范围．
2014-2015学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（只有一个正确选项，每题5分，满分40分）
1．（5分）已知函数，则f[f（﹣2）]的值为（）
A．1B．2C．4D．5
考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
专题：计算题．
分析：﹣2在x＜0这段上代入这段的解析式，将4代入x≥0段的解析式，求出函数值．
解答：解：f（﹣2）=4
f[f（﹣2）]=f（4）=4+1=5
故选D
点评：本题考查求分段函数的函数值：据自变量所属范围，分段代入求．
2．（5分）下列五个写法：①{0}∈{0，1，2}②??{0}③{0，1，2}?{1，2，0}④0∈?⑤0∩?=?其中错误写法的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
考点：集合的包含关系判断及应用；命题的真假判断与应用．
专题：计算题．
分析：据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①⑤错，?是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对．
解答：解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错，
对于②，?是任意集合的子集，故②对，
对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对，
对于④，因为?是不含任何元素的集合故④错，
对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错．
故选C．
点评：此题是基础题．考查对元素与集合关系的判断，以及列举法表示集合，特别注意对空集的理解．
3．（5分）设函数f （x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，又若a∈R，则（）
A．f（a）＞f （2a）B．f（a2）＜f （a） C．f（a2+a）＜f （a）D． f （a2+1）＜f （a）
考点：函数单调性的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：先确定变量的大小关系，利用函数的单调性，即可得到函数值的大小关系．
解答：解：∵a2+1﹣a=（a﹣）2+＞0
∴a2+1＞a
∵函数f （x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，
∴f （a2+1）＜f （a）
故选D．
点评：本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．（5分）已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m则f（5）+f（﹣5）的值为（）A．4B．0C．2m D．﹣m+4
考点：函数奇偶性的性质．
专题：计算题．
分析：由题意设g（x）=ax7﹣bx5+cx3，则得到g（﹣x）=﹣g（x），即g（5）+g（﹣5）=0，求出f（5）+f（﹣5）的值．
解答：解：设g（x）=ax7﹣bx5+cx3，则g（﹣x）=﹣ax7+bx5﹣cx3=﹣g（x），
∴g（5）=﹣g（﹣5），即g（5）+g（﹣5）=0
∴f（5）+f（﹣5）=g（5）+g（﹣5）+4=4，
故选A．
点评：本题考查了利用函数的奇偶性求值，根据函数解析式构造函数，再由函数的奇偶性对应的关系式求值．
5．（5分）已知m＞2，点（m﹣1，y1），（m．y2），（m+1，y3）都在二次函数y=x2﹣2x的图象上，则（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3
考点：二次函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据二次函数的解析式，可判断出二次函数y=x2﹣2x的图象形状，进而判断出函数的单调性，结合m＞2可得1＜m﹣1＜m＜m+1，结合函数的单调性可判断出y1，y2，y3的大小．
解答：解：∵二次函数y=x2﹣2x的图象是开口朝上且以直线x=1为对称轴的抛物线
故二次函数y=x2﹣2x在区间[1，+∞）上为增函数
又∵m＞2
∴1＜m﹣1＜m＜m+1
∴y1＜y2＜y3
故选A
点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据函数的解析式分析出函数的单调性是解答的关键．
6．（5分）下列各式错误的是（）
A．30.8＞30.7B．l og0.50.4＞log0..50.6
C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．l g1.6＞lg1.4
考点：不等式比较大小．
专题：计算题．
分析：利用对数函数和指数函数的增减性进行选择．
解答：解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；
B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确；
C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；
D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；
故选C．
点评：此题考查对数函数和指数函数的性质及其应用，是一道基础题．
7．（5分）函数y=a|logax|（a＞1）的图象是（）
A．B．
C．D．
考点：函数的图象．
专题：压轴题；图表型．
分析：先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数所表示的图象即可选出答案．
解答：解：∵函数y=a|logax|（a＞1）=，
此函数的定义域为：（0，+∞）
在x≥1时，其图象是一条射线；
在0＜x＜1时，其图象是一段反比例函数图象；
对照选项，选B．
故选B．
点评：本题考查了绝对值、对数恒等式、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x），g（x），F（x）的定义域都为R，且在定义域内f（x）为增函数，g（x）为减函数，F（x）=mf（x）+ng（x）（m，n为常数，F（x）不是常函数），在下列哪种情况下，F（x）在定义域内一定是单调函数（）
A．m+n＞0 B．m+n＜0 C．m n＞0 D．mn＜0
考点：函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意可得故当m＞0、n＜0时，F（x）是增函数，当m＜0、n＞0时，F（x）是减函数，从而得出结论．
解答：解：根据在定义域内f（x）为增函数，g（x）为减函数，F（x）=mf（x）+ng（x）（m，n为常数，F（x）不是常函数），
故当m＞0、n＜0时，F（x）是增函数，当m＜0、n＞0时，F（x）是减函数，
故当mn＜0时，F（x）一定是单调函数，
故选：D．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
二、填空题（每题5分，满分30分）
9．（5分）若A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+b}，且A∩B={（2，5）}，则a+b=5．
考点：集合关系中的参数取值问题．
专题：计算题．
分析：根据两个集合的交集的定义可得5=2a+1，且5=2+b，解得a 和b的值，即可得到a+b 的值．
解答：解：∵A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+b}，且A∩B={（2，5）}，
∴5=2a+1，且5=2+b，解得a=2，b=3．
∴a+b=2+3=5，
故答案为5．
点评：本题主要考查集合中参数的取值问题，两个集合的交集的定义，属于基础题．10．（5分）集合，若x∈M那么x2与集合M的关系是x2∈M．
考点：元素与集合关系的判断．
专题：集合．
分析：根据元素和集合之间关系，判断即可
解答：解：∵，x∈M，
∴x2=（a+b）2=a2+2b2+2ab，
∴x∈M；
故答案为：∈
点评：本题考查元素与集合关系的判断，本题解题的关键是整理数字成集合中元素所对应的形式，属于基础题．
11．（5分）已知log23?log3a＜1，则a取值范围是（0，2）．
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用对数的换底公式将不定式的左边化为log2a，又log22=1，得到a与2的关系
解答：解：由log23?log3a＜1，得，所以即log2a＜1=log22，
所以0＜a＜2；
故答案为：（0，2）；
点评：本题考查了对数的换底公式的运用以及对数单调性的运用解对数不定式，属于基础题．
12．（5分）已知函数y=f（x+1）的定义域为[﹣1，1]，则y=f（x）的定义域[0，2]．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：由函数y=f（x+1）的定义域为[﹣1，1]得到x的范围是[﹣1，1]，由此求得x+1的范围得答案．
解答：解：∵y=f（x+1）的定义域为[﹣1，1]，即﹣1≤x≤1，
得0≤x+1≤2．
∴y=f（x）的定义域是[0，2]．
故答案为：[0，2]．
点评：本题考查了函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的解决方法，是基础题．13．（5分）若函数f（x）=2ax+1﹣2a在区间[0，1]无零点，则a取值范围是．
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意可知函数f（x）=2ax+1﹣2a在区间[0，1]单调连续，从而求解．
解答：解：∵函数f（x）=2ax+1﹣2a在区间[0，1]单调连续，
又∵函数f（x）=2ax+1﹣2a在区间[0，1]无零点，
∴f（0）f（1）＞0，
即（1﹣2a）（2a+1﹣2a）＞0，
解得，；
故答案为：．
点评：本题考查了函数的零点判定与函数的单调性的应用，属于基础题．
14．（5分）已知函数，则f（x）在x∈（0，+∞）是增函数（增函数，减函数）若f（x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]，则a=2．
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：①根据函数y=的单调性，得出函数y=﹣的单调性，即可得出函数f（x）=5﹣的
单调性；
②由函数f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性，得出f（x）在[a，b]上的单调性，列出方程组，求出a的值．
解答：解：①∵函数，
当x∈（0，+∞）时，y=是减函数，
∴y=﹣在x∈（0，+∞）上是增函数，
∴函数f（x）=5﹣在x∈（0，+∞）上是增函数；
②∵函数f（x）=5﹣在x∈（0，+∞）上是增函数，
且f（x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]；
∴，
即，
解得a=2，b=3；
∴a的值是2．
故答案为：增函数；2．
点评：本题考查了复合函数的单调性的判断问题，也考查了函数值域的应用问题，是综合性题目．
三、解答题：（15，16题满分80分，17，18，19，20题满分80分共80分）
15．（12分）已知A={y|y=2x，x∈[0，1]}，B=（﹣∞，a+1]
（1）若A∪B=B，求a的取值范围；
（2）若A∩B≠?，求a的取值范围．
考点：交集及其运算；并集及其运算．
专题：集合．
分析：根据指数函数的单调性求出集合A，
（1）由题意和并集的运算得A?B，列出关于a的不等式，求出a的取值范围；
（2）由题意和交集的运算，列出关于a的不等式，求出a的取值范围．
解答：解：∵x∈[0，1]，且y=2x为增函数，∴A=[1，2]，
（1）∵A∪B=B，∴A?B，
∵B=（﹣∞，a+1]，∴a+1≥2，解得a≥1，
则a的取值范围是[1，+∞）；
（2）∵A∩B≠?，∴a+1≥1，解得a≥0，
则a的取值范围是[0，+∞）．
点评：本题考查交、并集及其运算，利用集合之间的关系求参数的范围，以及指数函数的单调性，属于基础题．
16．（12分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1）满足f[f（a2）]+f（3）=a f（1）
（1）求a；
（2）计算f2（2）+f（2）f（3）+f（3）
考点：对数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据对数的运算性质化简计算即可
解答：解：（1）f[f（a2）]+f（3）=a f（1）∴f（2）+f（3）=1即log a6=1，∴a=6，
（2）f2（2）+f（2）f（3）+f（3）
=f（2）（f（2）+f（3））+f（3）
=log62（log62+log63）+log63
=log62+log63=1
点评：本题考查了对数函数的运算性质，属于基础题
17．（14分）已知函数f（x）=x2+2x﹣3
（1）求函数y=f（|x|）的值域并写出单调区间；
（2）讨论函数y=|f（x）|与y=m+1交点的个数．
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）结合一元二次函数的图象和性质即可求函数y=f（|x|）的值域并写出单调区间；（2）作出两个函数的图象即可讨论函数y=|f（x）|与y=m+1交点的个数．
解答：解：（1）当x≥0时，f（|x|）=f（x）=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4
函数的对称轴方程为x=﹣1，故函数在[0，+∞）上为增函数（2分），
∴f（|x|）≥f（0）=﹣3，
∵f（|﹣x|）=f（|x|），
∴y=f（|x|）为偶函数
函数f（|x|）的值域为[﹣3，+∞）（4分）
函数f（|x|）在（﹣∞，0]单调递减，在[0，+∞）上为增函数如图（1）（6分）
（2）分别画出函数y=f（|x|），y=m+1图象，由图象观察可得图（2）
当m＜﹣1时，它们无交点，故交点个数为0个；（8分）
当m=﹣1或m＞3时，它们有两个交点，故交点个数为2个；（10分）
当﹣1＜m＜3时，它们有四个交点，故交点个数为4个（12分）
当m=3时它们有三个交点，故交点个数为3 （14分）
点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．
18．（14分）已知f（x）=x2﹣2ax+2
（1）若f（x）在区间[2a﹣1，2a+1]为单调函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在[2，4]上的最小值．
考点：二次函数的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）配方法化简f（x）=（x﹣a）2+2﹣a2，从而得到对称轴方程为x=a；从而求a；（2）因为f（x）的对称轴方程为x=a，可按对称轴与区间的关系分三种情况讨论即可．
解答：解：（1）f（x）=（x﹣a）2+2﹣a2，对称轴方程为x=a；
f（x）在区间[2a﹣1，2a+1]为单调函数，
∴a≤2a﹣1或a≥2a+1，
∴a≥1或a≤﹣1；
（2）因为f（x）的对称轴方程为x=a，可分以下三种情况：
①当a＜2时，f（x）在[2，4]上为增函数，
所以f（x）min=f（2）=6﹣4a；
②当2≤a＜4时，f（a）为最小值，
；
③当a≥4时，f（x）在[2，4]上为减函数，
所以f（x）min=f（4）=18﹣8a，
综上所述：f（x）min=．
点评：本题考查了二次函数的性质应用，属于基础题．
19．（14分）已知函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，且f（x）在（0，1]是指数函数，在[1，3]上是二次函数，当1≤x≤3时f（x）≤f（2）=，f（3）=，求f（x）的解析式．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意，根据题意分段求出各段的解析式，再由奇偶性求对称区间上的解析式，从而解得．
解答：解：（1）当1≤x≤3时，
，，
∴设，
∵，
∴，
（2）当0＜x≤1时，
设f（x）=a x且，
∴，
f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，
（3）当﹣1≤x＜0时，则0＜﹣x≤1，
f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2x，
（4）当﹣3≤x≤﹣1时，则1≤﹣x≤3，
，
∴f（x）=．
点评：本题考查了函数解析式的求法，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于中档题．20．（14分）设f（log a x）=（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）及f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）若f（m）+f（1）＞0，求m的取值范围．
考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．
专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：（1）运用换元法，结合指数和对数的互化，化简整理，即可得到解析式和定义域；（2）运用奇偶性的定义，先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；
（3）方法一、通过计算f（m）+f（1），得到不等式，再讨论a＞1，0＜a＜1结合指数函数的单调性，解得即可；
方法二、运用单调性的定义证明f（x）递增，再由奇偶性，即可得到m＞﹣1．
解答：解：（1）设，
将x=a t代入中，
得，
∴，
由于t的取值范围为R∴f（x）的定义域为R；
（2）f（x）的定义域为R
又∵，
故f（x）为奇函数；
（3）解法一：
=
，
∵，f（m）+f（1）＞0∴，
当0＜a＜1时，a2﹣1＜0∴a m+1﹣1＜0∴m＞﹣1
当a＞1时，a2﹣1＞0∴a m+1﹣1＞0∴m＞﹣1
综上m＞﹣1；
解法2：先证明f（x）为单调递增函数．
设x1＜x2，则
=
∵，
当0＜a＜1时，，f（x）为单调递
增函数
当a＞1时，，f（x）为单调递增函
数
综上f（x）为单调递增函数
∵f（m）+f（1）＞0∴f（m）＞﹣f（1）=f（﹣1）
∴m＞﹣1．
点评：本题考查函数的解析式和定义域的求法，考查函数的奇偶性和单调性的判断及运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．