湖南省衡阳市八中2014年上期五科联赛试卷
高一数学
命题人 ：吕建设 审题人：方岭生
考生注意:本试卷共21道小题,满分100分,时量120分钟,请将答案写在答题卡上.
一.选择题:本大题共10小题，每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.
1、数列2，5，8，11，…，则23是这个数列的 A ．第5项
B ．第6项
C ．第7项
D ．第8项
2、已知ABC ?
中4,30a b A ===，则B 等于
A 、60°
B ．60°或120°
C ．30°
D ．30°或150° 3、在ABC ?中，若sin :sin :sin 3:4:5A B C =，则A cos 的值为
A 、
35 B 、4
5
C 、0
D 、1 4、已知数列{}n a 中，21=a ，*11
()2
n n a a n N +=+
∈，则101a 的值为 A ．50 B ．51 C ．52 D ．53
5、若互不等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =
A. 4-
B. 2-
C. 2
D. 4 6、等差数列{}n a 的通项公式21n a n =-，设数列1
1
{
}n n a a +，其前n 项和为n S ，则n S 等于
A.
221n n + B. 21n n + C. 21
n
n - D ．以上都不对
7、在ABC ?中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60B ∠=,,a b c 且成等比数列，则ABC ?的形状为
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 不确定
8、等比数列{}n a 的前m 项和为4,前2m 项和为12,则它的前3m 项和是 A.28 B.48 C.36 D.52 9、在Rt ABC ?中，D 为BC 的中点，且AB 6AC 8==，，则AD BC 的值为 A 、28- B 、28 C 、14- D 、14
10、 设等差数列{}n a 满足公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数
列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，求该数列首项1a 的取值范围 A 74(
,)63ππ B 74,63ππ??
????
C 43(,)32ππ
D 43,32ππ?????? 二. 填空题:共5小题,每小题3分,共15分,把答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知向量(4,)a x =，(2,4)b =，若a b ⊥，则x ＝ ； 12. 已知等比数列{}n a 的公比为正数，且3963a a a ＝，则6a ＝ ； 13. 若数列{n a }的前n 项和23n S n n =+，则
456
123
a a a a a a ++++ 的值为 ；
14．数列{}n a 中，12a =，*132()n n a a n N +=+∈，则{}n a 的通项公式为 ；
15．在ABC ?中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，重心为G ，若2330aGA bGB cGC ++=；则
cos B = ；
三、解答题(本大题共6小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分8分)
在等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式.
（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的前n 项和n S .
17. (本小题满分8分)
设向量(3sin ,sin ),(cos ,sin ),0,2a x x b x x x π??
==∈????
（1）若||||a b =，求x 的值
（2）设函数()f x a b =，求()f x 的取值范围
18. (本小题满分8分)
已知ABC ?三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 且sin cos c C c A =+， (1)求角A
(2)若a
=ABC ?
求ABC ?的周长.
19. (本小题满分9分)
在火车站A 北偏东30方向的C 处有一电视塔，火车站正东方向的B 处有一小汽车，测得BC 距离31km ，该小汽车从B 处以60公里每小时的速度前往火车站，20分钟后到达D 处，测得离电视塔21km,问小汽车到火车站还需要多长时间
20. (本小题
满分9
分)
设数列为等差数列，且，，数列的前项和为21()n n S n N *=-∈， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和．
21．(本小题满分13分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈，点 ?
????n S n n ,
都在函数x
a
x x f n 2)(+=的图象上 （1）求,,,321a a a 归纳数列{}n a 的通项公式（不必证明）；
北
A D B
{}n a 145=a 720a ={}n b n {}{},n n a b ,1,2,3,n n n c a b n =?={}n c n n T
（2）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），(),32a a ，(),,654a a a ， (),,,10987a a a a ；()11a ，()1312,a a ，(),,161514a a a ，(),,,20191817a a a a ；()21a ，…..， 分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ， 求1005b b +的值； （3）设n A 为数列?
????
?-n n a a 1的前n 项积，若不等式a a a f a A n n
n 23
)(1+-<+对一切 *N n ∈都成立，其中0>a ，求a 的取值范围
衡阳市八中2014年上期五科联赛考试高一数学
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
B
B
C
A
B
C
A
C
C
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 2 12. 3 13. 2 14. 31n
- 15.
112
三、解答题：本大题共5小题，共52分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.解：（1）3
411=8;2,222
n n n
n a a q a q a -=∴===为等比数列且
（2）35335553132n 2;2,b 224;12
216;
(1)
16126222
n a b a b b b d d a a d n n S n n n ====∴-==∴==-=--=-+
=-又因为为等差数列所以
17：
2
222
(1)||||,
(3s i n )(s i n )c o s s i
n ,0,
21s i n ,26
a b x x x x x x ππ??=∴+=+∈????∴=
故x=
（2）f x a b x x x x x x x x f x π
ππππ=+=
-+??
??=-
+∈
-∈-??
??????
??
∈??
??
211()=3sin cos sin 2cos 2221
5sin(2),0,;2,;
62
26663()0,2因为又故 18 解sin cos sin sin sin cos ,sin 0172sin()=,,=
626663
c C c A C A C C A C A A A πππππ
=+=+≠∴+<+<由及正弦定理得
又因为故
（2）
2221
=bcsin bc 4
2
2cos ;b+c 44S A b c bc A ===+-=∴+三角形面积公式为故由余弦定理：a 得周长为
19.由条件A ∠=60,设,ACD CDB αβ∠=∠=,
在BCD ?中,由余弦定理得2221
cos 27CD BD BC CD BD β+-=
=-?
∴sin β=.∴sin sin(60)sin cos60cos sin60αβββ=-=-
=14.在
ADC ?中,由正弦定理,得sin 15sin CD AD A α?=
=( km )∴15
601560
?=(分钟)
20.解：
7551111126,d 3(5)14(5)33121q 2
222n n n
n n n n
n a a a d a a n d n n S b S b b q ---===∴=+-=+-=-=-==∴===为等差数列则故又
满足等比数列求和的性质且=2,
（2）
n 1234234511234n 1
2
1
1
131,2(31)2225282112(31)22225282112(31)2=22+32+2+2+2)(31)22(12
43(
)(31)212
(34)28n n n n n
n n n n n n n n a n b C n T n T n T n n n ++-++=-==-∴=+++++-=
++++
+----=+---=-+则将上式相减得-（
21.解：（1）因为点(,
)n S n n 在函数()2n a
f x x x
=+的图象上， 故2n n S a n n n =+，所以2
12
n n S n a =+．
令1n =，得111
12
a a =+，所以12a =；
令2n =，得1221
42
a a a +=+，所以24a =；
令3n =，得12331
92
a a a a ++=+，所以36a =．
由此猜想：2n a n
=
（2）因为2n a n =（*
N n ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，
6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以 1006824801988b =+?=．又5b =22，所以5100b b +=2010.………………8分
（3）因为
111n n n a a a -=-，故12111
(1)(1)(1)n n
A
a a a =--??
-， 所以12111
(1)(1)(1)n
A a a a =--??-．
又333
()2222n n
n a a a f a a a a a a a
++-=+-=-， 故3()2n a A f a a
+-对一切*
N n ∈都成立，就是
121113(1)(1)(1)2n a a a a a
-
-??--
对一切*
N n ∈都成立．……………9分 设12111
()(1)(1)(1)n
g n a a a =--??-
max 3[()]2g n a a <-即可．
由于1(1)121(1)()22n g n n g n a
n +++=-=+1=
<，
所以(1)()g n g n +<，故()g n
是单调递减，于是max [()](1)g n g ==
3
a <-，………………………………………………………………………12分 即
0>，解得0
a <<，或a >
综上所述，使得所给不等式对一切*
N n ∈都成立的实数a 的取值范围是((3,)2
-+∞．