三角函数的图像及平移
适用学科数学适用年级高一年级适用区域全国课时时长（分钟）120 知识点 1 正、余弦和正切的图像
2 辅助角公式
3 三角函数图像平移
学习目标1 熟记三角恒等公式，并能狗利用三角恒等公式熟练的应用在三角函数中。利用三角恒等公式解三角形，建立三角函数的思想。
2 三角恒等公式在其他知识上的应用,来培养学生应用数学分析、解决实际
问题的能力.
3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质
学习重点三角函数的图像以及平移。
学习难点三角函数的图像，解决实际问题
学习过程
一、复习预习
1终边相同的角：具有共同始边与终边的角：},20,2{Z k k ∈<≤+=πααπββ。
2 任意三角函数：x
y x y ===αααtan ,cos ,sin 。 3 同角三角函数关系：α
ααααcos sin tan ,1cos sin 2
2==+。
4 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 5和和差公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=；
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
。 6 二倍角公式
sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.2
2tan tan 21tan α
αα
=
-. 7降幂公式
22cos 1sin 2x x -=
，2
2cos 1cos 2
x x += 8 辅助角公式 sin cos a b αα+=22sin()a b α?++(tan b
a
?=
). 9 三种三角函数的图像与性质
性质
x y sin = x y cos =y ＝cos x
x y tan =
一周期简图
最小正周期 2π 2π π 奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间 Z ∈+-
k k k ],2
π
π2,2ππ2[ [2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z Z ∈+k k k ],2π
π,2π－π[ 上是增函数 减区间 Z ∈+
-k k k ),2
3π
π2,2ππ2( [2k π，2k π＋π]，k ∈Z 对称性
对称轴 Z ∈+=k k x ,2
π
π x ＝k π，k ∈Z
对称中心Z ∈k k ),0,2π( 对称 中心 (k π，0)，k ∈Z
Z ∈+k k ),0,2
ππ(
二、知识讲解
主要知识：
1 三角函数的周期公式
函数sin()y x ω?=+，R x ∈；
函数cos()y x ω?=+，R x ∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π
ω
=；
函数tan()y x ω?=+，,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω
=
. 2 由x y sin =的图象变换出)sin(??+=x y 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将x y sin =的图象向左(?＞0)或向右(0
ω
1
倍（0>?），便得)sin(??+=x y 的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将x y sin =的图象上各点的横坐标变为原来的
ω
1
倍(0>?)，再沿x 轴向左(?＞0)或向右(0
移
ω
?|
|个单位，便得)sin(??+=x y 的图象。
3．由)sin(??+=x A y 的图象求其函数式：
给出图象确定解析式)sin(??+=x A y 的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点)0,(?
?
-作为突破口，要从图象的升降情况标准第一个零点的位置。
三、例题精析
考点一 求函数的最小正周期
【例题1】：求x x x y 2cos 2sin 212cos 22+-=的最小正周期 【答案】：
2
π
【解析】：根据题意)4
4s i n (24s i n 4c o s 2c o s 2s i n 212c o s
22π
+=+=+-=x x x x x x y ，242ππ==T ，即最小正周期为2
π
【例题2】： 求)23cos()23πsin(x x y -+-=π
的最小正周期
【答案】：π
【解析】：由题意)12
72cos(2)23cos()23πsin(π
π-=-+-=x x x y ，ππ==22T ，即最小正周期为π。
【例题3】： 已知函数sin 3cos y x x =+，且,6x ππ??
∈????，则函数的值域是_________.
【答案】：3,2??-??
【解析】：根据题意)3sin(2cos 3sin π
+=+=x x x y ，又3432πππ≤+≤x ，∴ )3sin(π+x ∈3,12??-????
，
∴
]2,3[-∈y
【例题4】： 当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时,x =_______________. 【答案】：6
5π
=
x 【解析】：已知将函数化解为)3sin(2π-=x y ，3233,20ππππ<-≤-<≤x x ，当65π
=x ，y 最大。
【例题5】：下列函数中，周期为π，且在[,]42
ππ
上为减函数的是
（A ）sin(2)2y x π=+ （B ）cos(2)2y x π=+（C ）sin()2y x π=+ （D ）cos()2y x π
=+
【答案】： A
【解析】： C 、D 中函数周期为π2，所以错误，当]2,4[ππ∈x 时，]23,[22πππ∈+x ，函数sin(2)
2
y x π
=+为减函数，而函数cos(2)2y x π
=+为增函数，所以选A
【例题6】：求下列函数的x x y 2sin 32cos -=单调区间 【答案】：递增区间为))(6,32[Z k k k ∈--
ππππ，递减区间为)](3
84,324[Z k k k ∈++π
πππ。 【解析】：根据题意知：)3
2cos(22sin 32cos π
+=-=x x x y ，当ππππk x k 2322<+≤-，函数单
调递增，递增区间为))(6,32[Z k k k ∈--
ππππ；πππ
π+≤+≤k x k 23
22，函数单调递减，递减区间为)](3
84,324[Z k k k ∈++
π
πππ。
【例题7】： 已知函数)0)(sin(2>+=???x y 在区间]2,0[π的图像如下：那么=?（ ）
A. 1
B. 2
C. 1/2
D. 1/3
【答案】：B 【解析】：由图象知函数的周期T π=，所以2ω=
【例题8】：下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )
（A ）
sin()6y x π=+ （B ）cos(2)6y x π=-
（C ）cos(4)3y x π
=- （D ）sin(2)6
y x π=-
【答案】：B
【解析】：根据题意，2,2,44====?π?
ππT T ，当正弦函数时，3,2122π?π?π==+?，当余弦函数
时，6
,0122π
??π-==+?，即选B
【例题9】：将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π
++=x y D.22sin y x =
【答案】：B
【解析】：将函数s i n 2y x
=的图象向左平移4π个单位,得到函数s i n 2()4
y x π
=+，
即sin(2)cos 22
y x x π
=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=,
故选B.
【例题10】：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π
=-
（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π
=- 【答案】：C
【解析】：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －
10π
) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210
y x π=-.
【例题11】：已知函数x x x x x x f cos sin sin 3)3
sin(cos 2)(2+-+=π
(1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求)(x f 的最小值及取得最小值时相应的x 的值；
【答案】：（1）π=T （2）-2
【解析】：(1)x x x x x x f cos sin sin 3)3sin(cos 2)(2+-+=π
=)3
2sin(22cos 3cos sin 2π
+=+x x x x ∴)(x f 的最小正周期π=T
(2)当2232πππ-=+k x ，即)(12
5Z k k x ∈-
=π
π时，)(x f 取得最小值－2. 【例题12】：已知函数()sin(),f x x ω?=+其中0ω>，||2
π
?<
（I ）若0sin 4
3sin
cos 4cos =-?π
?π，求?的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
3
π
，求函数()f x 的解析
式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。
【答案】：（I ）4
π
?=
（Ⅱ）12
m π
=
【解析】：（I ）由3cos
cos sin
sin 04
4π
π??-=得cos cos sin sin 044ππ
??-=，
即cos(
)04
π
?+=又||,2
4
π
π
??<
∴=
（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4f x x π
ω=+
，
依题意，
23T π=，又2,T π
ω
=故函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π?
?
=++
???
?，
()g x 是偶函数当且仅当3()
4
2
m k k Z π
π
π+
=+
∈，
即()312k m k Z ππ
=
+∈，
从而，最小正实数12m π=。
四、课堂练习
【基础型】
1 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??
???
，0中心对称，那么||?的最小值为（ ） A .
6π B.4π C.3π D. 2
π
答案：C 解析:
函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??
???
，0中心对称，423k πφπ∴?+= 42()3
k k Z π
φπ∴=-?
∈由此易得min ||3πφ=.故选C
2.函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正已知周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2
π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数 答案：D
解析：222
211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224
x f x x x x x x -=+==
=,选D. 3 已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是
A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈
B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈
C.[,],36k k k Z ππππ-+∈
D.2[,],63k k k Z ππππ++∈
答案 ：C
解析：()2sin()6
f x x π
ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
得，,3
6
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈，故选C
【巩固型】
1若将函数()tan 04y x πωω??
=+
> ??
?
的图像向右平移
6
π
个单位长度后，与函数tan 6y x πω??
=+
??
?
的图像重合，则ω的最小值为
A ．
16
B.
1
4
C.
13
D.
12
答案： D
解析：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π
ππππωωω???
?=+??????→=-=+ ?
+? ????向右平移个单位
1
64
()6
62
k k k Z π
π
ωπωπ
+=
∴=+∈∴
-
，又min 102ωω>∴=.故选D
2函数()?ω+=x A y s i n 的一个周期内的图象如下图， 求函数的解析式。（其中
π?πω<<->>,0,0A ）
答案：??
? ?
?
+
=4
32sin 2πx y 解析：根据题意，2,2===
?π?
π
T ，由最值得2=A ，当
43,2)8(2,8π?π?ππ
==+-?-
=x ，即??
? ??+=432sin 2πx y 。 3已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是
A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈
B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈
C.[,],36k k k Z ππππ-+∈
D.2[,],63k k k Z ππππ++∈
答案：C
解析：()2sin()6
f x x π
ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
得，,3
6
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈，故选C
【提高型】
1 右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=??在区间]6
5,6[π
π-
上的图像，为了得到
这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点 (A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变
(B) 向左平移3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
(D) 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
答案：A
解析：由图像可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin(2x+?).代入（-6
π
，0）可得?的一个值为
3π，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+3π)，即y=sin2(x+ 6
π
)，所以只需将y sin x x R =∈（）的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，
纵坐标不变。
2已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，
，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点π132M ??
???
，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ??∈ ??
?，，，且3()5f α=，12()13
f β=，求()f αβ-的值． 答案：
65
56
解析：（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ?
=+，将点1
(,)32
M π代入得1
sin()32?π+=，而0?<<π，
536
?π∴+=π，2?π
∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=.
（2）依题意有312cos ,cos 513
αβ==，而,(0,)2αβπ
∈，135sin ,54sin ==∴βα，
3124556
()cos()cos cos sin sin 51351365
f αβαβαβαβ-=-=+=?+?=.
五、课程小结
本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往以基础的形式考查，难度中等，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握考查的对象以及与其他知识之间的综合，三角函数的图像与性质的重点是在其他知识上的应用。
（1）三角函数恒等公式的应用。
（2）正、余弦，正切的图像与性质。
（3）三角函数的综合应用。
（4）三角函数图像的平移。
六、课后作业
【基础型】
1 函数)2
sin(
sin 3)(x x x f ++=π
的最大值是
答案：2
解析：由max ()3sin cos 2sin()()26
f x x x x f x π
=+=+
?=.
2 已知函数)cos(
)(??+=x A x f 的图象如图所示，2
()23
f π
=-，则(0)f =( )
A.23-
B. 23
C.－ 12
D. 1
2
答案：B
解析：由图象可得最小正周期为
32π，于是)32()0(πf f =,注意到32π与2π关于12
7π
对称，所以3
2
)2()32(
=-=ππf f 。 3 若函数()(13tan )cos f x x x =+，02
x π
≤<
，则()f x 的最大值为
A ．1
B ．2
C ．31+
D ．32+ 答案：B
解析：因为()(13tan )cos f x x x =+=cos 3sin x x +=2cos()
3x π
-
，
当3
x π=
是，函数取得最大值
为2. 故选B
4将函数x y sin =的图象向左平移?)20(π?<≤的单位后，得到函数)6
sin(π
-=x y 的图象，则?等于
A ．
6π B ．56π C. 76π D.116
π 答案 D
解析 由函数sin y x =向左平移?的单位得到sin()y x ?=+的图象，由条件知函数sin()y x ?=+可化为函数sin()6
y x π
=-，易知比较各答案，只有11sin()6y x π=+
sin()6
x π
=-，所以选D 项
【巩固型】
5已知函数f(x)=3sin(x-
)(>0)6
π
ωω和g(x)=2cos(2x+)+1?的图象的对称轴完全相同。若x [0,
]2
π
∈，则
f(x)的取值范围是 。
答案：3
[-,3]2
解析：由题意知，2ω=，因为x [0,
]2
π
∈，所以52x-
[-
,]6
66
π
ππ
∈，由三角函数图象知：
f(x)的最小值为33sin (-)=-62π
，最大值为3sin =32π，所以f(x)的取值范围是3
[-,3]2
。 6 函数2()sin(2)22sin 4
f x x x π
=--的最小正周期是__________________ .
答案：π 解析：()242sin 22-???
?
?+=
πx x f 故最小正周期为π 。 7 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712
f π
??
=
???
。 答案：0
解析：由图象知最小正周期T ＝32（4
45ππ-）＝32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4π
时，f （x ）＝0，即
2φπ
+?4
3sin(）＝0，可得4
π
φ=
，所以，712f π
??
=
???
2)41273sin(ππ+?＝0
【提高型】
8设ω>0,函数2)3
sin(++=π
?x y 的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是
（A ）23 (B)43 (C)3
2
(D)3
答案：C
解析：将2)3sin(++
=π
?x y 的图像向右平移
34π个单位后为4sin[()]233y x ππ
ω=-
++
4sin()233
x πωπ
ω=+-+，所以有43ωπ=2k π,即32k ω=，又因为0ω>，所以k ≥1,故32k ω=≥32，
所以选C
9已知函数()sin(),(9,0,||,)2
f x A ax A x R π
?ω?=+>><∈的图象的一部分如下图所示。
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）当2
[6,]3
x ∈--时，求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值。
答案：（1）()2sin(
)44
f x x ππ
∴=+（2）22-
解析：（1）由图像知 2.A = 8T =,28T π
ω
=
= ,4
π
ω∴=
,又图象经过点（-1，0）
2s i n ()04
π
?
∴+= ||,2
4π
π
??<
∴=
()2s i n ()
44
f x x ππ
∴=+ （2）()(2)2sin()2sin()2cos()4442444
x y f x f x x x πππππππ
=++=++++++ 22s i n ()
22c o s 4
2
4x x ππ
π
=+
=
2[6,]3x ∈-， 3246
x πππ
∴≤≤
∴当
,4
6
x π
π
=
即23x =
时，()(2)y f x f x =++的最大值为6，当4
x π
π=，
即4x =时， 最小值为22-
10已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02
A π
ω?>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻
两个交点之间的距离为
2π，且图象上一个最低点为2(
,2)3
M π
-. (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[,]122x ππ
∈，求()f x 的值域.
答案：(Ⅰ))6
2sin(2)(π
+=x x f （Ⅱ）]2,1[-
解析：（1）由最低点为2(,2)3
M π
-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π，即T π=，
222T ππωπ=
==，
由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππ
???+=-+=-即sin( 故
42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126k π?π∴=- ，又(0,),,()2sin(2)266
f x x πππ??∈∴==+故
（2）7[,],2[,]122636
x x πππππ
∈∴+∈
当26
x π
+
=
2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=，
即2
x π
=
时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为]2,1[-
一次函数图象的平移及解析式的变化规律 我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律: （1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . （2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: （1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. （2）上面的规律如下页图（51）所示.
三角函数图象的平移和 伸缩 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由 ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换 称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0)平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >
先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01) A A A ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >
三角函数的图像与性质教案 考纲要求 1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在(－π 2，π 2)上的性质. 要点识记 1个必会思想——整体思想的运用 研究y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、值域、对称轴(中心)时，首先把“ωx＋φ”视为一个整体，再结合基本初等函数y＝sin x的图象和性质求解． 2个重要性质——三角函数的周期性与单调性 (1)周期性：函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最 小正周期为π |ω|. (2)单调性：三角函数的单调性应在定义域内考虑，注意以下两个三角函数单调区间的不同： ①y＝sin(π 4－x)，②y＝sin(x－ π 4)． 教材回归 判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“×”)． (1)y＝cos x在第一、二象限上是减函数．(×) (2)y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1 . (×) (3)y＝cos(x＋π 3)在[0，π]的值域是[－1， 1 2]．(√) (4)y＝sin(2x＋5 2π)是非奇非偶函数．(×) 考向一三角函数的定义域、值域 例1(1)[2014·天津高考]函数f(x)＝sin(2x－π 4)在区间[0， π 2]上的最小值为() A. －1 B. － 2 2 C. 2 2 D. 0 (2)函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x的定义域是________．
[解析] (1)∵x ∈[0，π2]，∴2x －π4∈[－π4，34π]， ∴y ∈[－22，1]，选B 项． (2)由题意，得????? 2sin x －1>0，1－2cos x ≥0， 即????? sin x >12，cos x ≤12， [2k π＋π3，2k π＋56π)(k ∈Z ) 变式练习 1.已知f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域为__[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z ) ______． 2.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为 __2__． 3.函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为____[－9,1]____． [易错点拨] 求解三角函数的最值和值域时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚，不然极易出现错误． 三角函数定义域、值域的求解策略 (1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 考向二 三角函数的单调性 例2 (1)[2014·唐山模考]已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个
函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换 在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数 y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。 大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到 10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的 图像向右(左)平移 10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10 y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12 )，可得到1sin 2 y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反
三角函数图像题 ---图像求解析式及平移变换 一．根据图像求解析式 1.图 1 是函数π2sin()2y x ω??? ?=+< ???的图象上的一段，则（ ） A.10π116ω?= =， B.10π116ω?==-， C.π 26ω?==， D.π 26 ω?==-， 2．已知函数()sin()f x A x ω?=+，x ∈R （其中2 2 ,0,0π π ω< <->>x A ），其部 分图像如图5所示．求函数()f x 的解析式； 3.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( ) A.sin()6y x π=+ B.cos(2)6y x π=- C.cos(4)3y x π=- D.sin(2)6y x π=- 4.已知函数()?? ? ? ? <>+=2,0sin π?ω?ωx y 的部分图象如右图所示，则（ ） A. 6 ,1π ?ω= = B. 6 ,1π ?ω- == C. 6 ,2π ?ω= = D. 6 ,2π ?ω- == 5.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 A.sin 6y x π?? =+ ?? ? B.sin 26y x π?? =- ?? ? C.cos 43y x π?? =- ?? ? D.cos 26y x π?? =- ?? ? 6.函数()?ω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。（其中 π?πω<<->>,0,0A ） 7.已知函数)sin(?ω+=x A y （0>A ， 0ω>，π?<||）的一段图象如图所示，求函数的解析式； 二．图像平移变换问题 1.为了得到函数sin(2)3y x π=- 的图像，只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像（ ） A.向左平移4π B.向右平移4π C.向左平移2π D.向右平移2 π 图5 y x 2 -1-0 1 -1 1 2345 6
高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草
图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式
（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象()ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >
【百度参赛】《三角函数的图像及性质复习教案》 教学设计方案 设计者：郝春菊 设计者单位：通榆县实验高中 一、教学内容概括 1、《三角函数的图像及性质》是人教版必修4第一章1.4节的内容.所用时间为一课时. 2、近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 二、教学目标分析 1、知识与技能：（ 1）．能画出y =sin x , y =c os x 的图像，了解三角函数的周期性； （2）．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x 轴交点及奇偶性等）； （3）．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 图像性质及常见问题的处理方 法 2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。 3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。 教 学 重 点：使学生掌握三角函数图像及性质，并能应用解决问题 教学难点、关键：正弦函数，余弦函数的图像及性质应用方法和技巧 教 学 方 法：启发、引导、研讨相结合 教 学 手 段：结合学生复习情况，使用多媒体课件，提高教学的效率 教 学 课 时：一课时 三 导言：预测2011年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）； 2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y =A sin （w x +φ）的图象及其变换； 一、复习提问： 1、什么叫做正弦函数，余弦函数？定义域，值域各是什么？ https://www.doczj.com/doc/867524510.html,/view/536305.htm https://www.doczj.com/doc/867524510.html,/view/536314.htm 2、正弦函数，余弦函数都有那些性质？正弦函数，余弦函数图像如何？ https://www.doczj.com/doc/867524510.html,/upfiles/ztjj/jyrjdjs/11/gzkj/015.ppt#321,3,幻灯片 3