(2012)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PC=23，PD=CD=2.
（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；
（II ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；
（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。
(2011)（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为 平行四边形，0
45ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，
PO ⊥平面ABCD ，2PO =，
M 为PD 中点． （Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．D
C
A
B
P
M
O
（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，
考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。
（Ⅰ）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O
为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO 。因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB//平面ACM 。
（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=?，且AD=AC=1，所以90DAC ∠=?，即AD AC ⊥，
又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥?=而，所以
AD ⊥平面PAC 。
（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN//PO ，且
1
1,2
MN PO PO =
=⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt DAO ?中，11,2AD AO ==
，所以52
DO =，从而15
24
AN DO =
=，
在145
,tan 55
4
MN Rt ANM MAN AN ?∠=
==
中，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为
45
.5
（2010）. （19）（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD=1，AD=22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°. （Ⅰ）求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值；
（Ⅱ）证明CD ⊥平面ABF ；
（Ⅲ）求二面角B-EF-A 的正切值。
（2010）. 【命题意图】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.
【解析】(I)解：因为四边形ADEF 是正方形，所以FA//ED.故CED ∠为异面直线CE 与AF 所成的角.
因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD.故ED ⊥CD.
在Rt △CDE 中，CD=1，ED=22，CE=22CD ED +=3,故cos CED ∠=
ED CE =22
3
. 所以异面直线CE 和AF 所成角的余弦值为
22
3
. (Ⅱ)证明：过点B 作BG//CD,交AD 于点G ，则45BGA CDA ∠=∠=.由45BAD ∠=,可得BG ⊥AB,从而CD ⊥AB,又CD ⊥FA,FA ?AB=A,所以CD ⊥平面ABF.
(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=2，即G 为AD 的中点.取EF 的中点N ，连接GN ，
则GN ⊥EF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于点M ，则G N M ∠为二面角B-EF-A 的平面角。
连接GM ，可得AD ⊥平面GNM,故AD ⊥GM.从而BC ⊥GM.由已知，可得GM=22
.由NG//FA,FA ⊥GM,得NG ⊥GM. 在Rt △NGM 中，tan GM 1NG 4
GNM ∠=
=,所以二面角B-EF-A 的正切值为1
4.
本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，
考查运算能力及分类讨论的思想方法.
（2009）. .如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PD 平面⊥，CD AD ⊥，且DB 平分
ADC
∠，E 为PC 的中点，
1
==CD AD ,
22=DB
（Ⅰ）证明BDE PA 平面//
w.w.w..s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）证明PBD AC 平面⊥
（Ⅲ）求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值 （2009）. 【答案】（1）略（2）略（3）
3
1
【解析】 证明：设H BD AC =?，连结EH ，在ADC ?中，因为AD=CD ，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又有题设，E 为PC 的中点，故PA EH //,又
BDE PA BDE HE 平面平面??,,所以BDE PA 平面//
（2）证明：因为ABCD PD 平面⊥，ABCD AC 平面?，所以AC PD ⊥ 由（1）知，AC BD ⊥,,D BD PD =?故PBD AC 平面⊥
(3)解：由PBD AC 平面⊥可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以CBH ∠为直线与平面PBD 所成的角。
由CD AD ⊥,2
2
3,22,22,1=
=====BH CH DH DB CD AD 可得 在BHC Rt ?中，3
1
tan ==∠BH CH CBH ,所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为
3
1。 【考点定位】本小题主要考察直线与平面平行。直线和平面垂直。直线和平面所成的角等基础知识，考察空间想象能力、运算能力和推理能力。
（2008）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，
2PA =，22PD =，60PAB =∠．
（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A --的大小． （2008）. 本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在PAD △中，由题设2PA =，2AD =，22PD =，可得222
PA AD PD +=，
于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又P A A B A =，所以AD ⊥平面PAB ．
（Ⅱ）解：由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的
角．
在PAB △中，由余弦定理得
222cos 7PB PA AB PA AB PAB =+-=．
A B C
D p
A B
C
D
P H E
由（Ⅰ）知AD ⊥平面PAB ，PB ?平面PAB ，
所以AD PB ⊥，因而BC PB ⊥，于是PBC △是直角三角形， 故7
tan 2
PB PCB BC =
=
． 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为7
arctan
2
． （Ⅲ）解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ．
因为AD ⊥平面PAB ，PH ?平面PAB ，所以AD PH ⊥．又A D A B A =，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从
而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角． 由题设可得，
sin603PH PA ==，cos601AH PA ==，
2BH AB AH =-=，2213BD AB AD =+=，
4
13
AD HE BH BD =
=． 于是在Rt PHE △中，39
tan 4
PH PEH HE =
=
． 所以二面角P BD A --的大小为39
arctan
4
．
（2007）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，，
60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．
（2007）. 本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，AB ?平面ABCD ，故P A A B ⊥．
又AB AD ⊥，PA AD A =，从而AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，
从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角． 在Rt PAB △中，AB PA =，故45APB =∠． 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45．A （Ⅱ）证明：在四棱锥P ABCD -中，
A B
C
D P
E
B
C
D
P
E
M
因PA ⊥底面ABCD ，CD ?平面ABCD ，故CD PA ⊥． 由条件CD PC ⊥，PA AC A =，CD ∴⊥面PAC ． 又AE ?面PAC ，AE CD ∴⊥．
由PA AB BC =，60ABC =∠，可得AC PA =．
E 是PC 的中点，AE PC ∴⊥，
PC CD C ∴=．综上得AE ⊥平面PCD ．
（Ⅲ）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结AM ．由（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角．
由已知，可得30CAD =∠．设AC a =，可得
PA a =，233AD a =
，213PD a =，2
2AE a =． 在Rt ADP △中，
AM PD ⊥，AM PD PA AD ∴=，则
23
2737213
a
a PA AD AM a PD
a =
=． 在Rt AEM △中，14
sin 4
AE AME AM =
=
． 所以二面角A PD C --的大小14
arcsin
4
． （2006）. 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱12
EF BC ∥. （I ）证明FO ∥平面;CDE
（II ）设3,BC CD =证明EO ⊥平面.CDF
（2006）. ）本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。满分12分。 （I ）证明：取CD 中点M ，连结OM 。 在矩形ABCD 中， 1,2OM BC ∥又1
,2
EF BC ∥
则.EF OM ∥连结EM ，于是
D
C
A B E
O
F
D
C
A
B
E O
F M
四边形EFOM 为平行四边形。 FO ∴∥EM.
又FO ?平面CDE ，且EM ?平面CDE ，FO ∴∥平面CDE 。
（II ）证明：连结FM 。由（I ）和已知条件，在等边CDE ?中，,CM DM =
EM CD ⊥且31
.22
EM CD BC EF =
== 因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO FM ⊥。
,,CD OM CD EM CD ⊥⊥∴⊥平面EOM ，从而.CD EO ⊥
而,FM
CD M =所以EO ⊥平面.CDF
（
2005）. 如图，在斜三棱柱
1
11C B A ABC -中，
a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为
120，E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点
（Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角 （Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1
（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积
（2005）. 解：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ，垂足为H ．
连结AH ，并延长交BC 于G ，于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角．
∵AC A AB A 11∠=∠，∴AG 为BAC ∠的平分线． 又∵AC AB =，∴BC AG ⊥，且G 为BC 的中点． 因此，由三垂线定理BC A A ⊥1．
∵B B A A 11//，且B B EG 1//，∴BC EG ⊥． 于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角， 即
120=∠AGE ．
由于四边形AGE A 1为平行四边形，得
601=∠AG A ．
C 1
B 1
A 1A
B
C
F
E P
C 1
B 1
A 1A
B C
F E
G H
O
（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ，则点P 为EG 的中点．连结PF ． 在平行四边形1AGEA 中，因F 为A A 1的中点，故FP E A //1． 而?FP 平面FC B 1，?E A 1平面FC B 1，所以//1E A 平面FC B 1．
（Ⅲ）连结C A 1．在AC A 1?和AB A 1?中，由于AB AC =，AC A AB A 11∠=∠，
A A A A 11=，则
AC A 1?≌AB A 1?，故B A C A 11=．由已知得a C A B A A A ===111．
又∵⊥H A 1平面ABC ，∴H 为ABC ?的外心．
设所求球的球心为O ，则H A O 1∈，且球心O 与A A 1中点的连线A A OF 1⊥．
在FO A Rt 1?中，3330cos 21
cos 111a a
H AA F A O A === ．故所求球的半径a R 3
3=，球的体积3
327
3434a R V ππ==．
（2004）. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点
（1）证明//PA 平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值
O
A
B
C D
P E F
2004）. 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分
方法一：
（1）证明：连结AC 、AC 交BD 于O 连结EO
∵ 底面ABCD 是正方形 ∴ 点O 是AC 的中点
在PAC ?中，EO 是中位线 ∴ //PA EO 而EO ?平面EDB 且/PA ?平面EDB ，所以，//PA 平面EDB （2）解：作EF DC ⊥交CD 于F 连结BF ，设正方形ABCD 的边长为a
∵ PD ⊥底面ABCD ∴ PD DC ⊥ ∴ //EF PD F 为DC 的中点
∴ EF ⊥底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故EBF ∠为直线EB
与底面ABCD 所成的角
在Rt BCF ?中，22225
()22
a BF BC CF a a =
+=+=
∵ 122a EF PD == ∴ 在Rt EFB ?中 5
2tan 55
2
a
EF EBF BF a ===
所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为
55
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点设DC a =
（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于G 连结EG 依题意得(,0,0)A a ，(0,0,)P a ，
(0,
,)22
a a
E ∵ 底面ABCD 是正方形
∴ G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为(,,0)22
a a
∴ (,0,)PA a α=- (
,0,)22
a a EG =- ∴ 2PA EG = 这表明//PA EG
而EG ?平面EDB 且/PA ?平面EDB ∴ //PA 平面EDB （2）解：依题意得(,,0)B a a ，(0,,0)C a
取DC 的中点(0,
,0)2a
F 连结EF ，BF ∵ (0,0,)2a FE =，(,,0)2
a
FB a =，(0,,0)DC a =
∴ 0FE FB ?=，0FE DC ?= ∴ FE FB ⊥，FE DC ⊥
∴ EF ⊥底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故EBF ∠为直线EB
与底面ABCD 所成的角
在Rt EFB ?中，2a FE =
，2
25()22
a FB a a =+=
∴ 5
2tan 552
a
FE EBF FB
a ===
所以，EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为
55
（2003）. 已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1.AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点P 为BD 1
中点.
（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离.
（2003）. 本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，
满分12分。
（1）证法一：取BD 中点M.连结MC ，FM .
∵F 为BD 1中点
， ∴FM ∥D 1D 且FM=2
1
D 1D .
又EC
2
1
CC 1且EC ⊥MC ，∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1. 又CM ⊥面DBD 1 .∴EF ⊥面DBD 1 .
∵BD 1?面DBD 1 . ∴EF ⊥BD 1 . 故EF 为BD 1 与CC 1的公垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得
B （0，1，0），D 1（1，0，2），F （
21，2
1
，1），C 1（0，0，2），E （0，0，1）. ,
0,0).
2,1,1().2,0,0(),0,21
,21(1111=?=?∴-=∴==∴EF BD CC EF BD CC EF 即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1 . 故EF 是为BD 1 与CC 1的公垂线.
（Ⅱ）解：连结ED 1，有V E －DBD 1=V D 1－DBE .
由（Ⅰ）知EF ⊥面DBD 1 ，设点D 1到面BDE 的距离为d.
.3322
3
22223)2(2321.2222
1
,22,2.1,2.2111=?
=∴?=??==??=∴=
===∴==?=?????d S S EF ED BE BD AB AA EF S d S DBE
DBD DBD DBE 则 故点D 1到平面DBE 的距离为3
3
2.