傅里叶级数课程及习题讲解

傅里叶级数课程及习题讲

解

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第15章 傅里叶级数

§ 傅里叶级数

一 基本内容

一、傅里叶级数 在幂级数讨论中

1()n

n n f x a x ∞

==∑，可视为()f x 经函数系

21, , , , , n x x x

线性表出而得．不妨称2

{1,,,

,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今

用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．

1 三角函数系

函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质．

(1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．

对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为

(),()()()d b

n m n m a u x u x u x u x x

=??，

如果

0 (),() 0 n m l m n

u x u x m n ≠=?=?

≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交

系．

由于

1, sin 1sin d 1cos d 0

nx nx x nx x π

π

π

π

--=?=?=??；

sin , sin sin sin d 0 m n

mx nx mx nx x m n π

π

π-=?=?=?≠??

；

cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π

π

π-=?=?=?≠??；

sin , cos sin cos d 0

mx nx mx nx x π

π

-=?=?

；

2 1, 11d 2x ππ

π

-==?，

所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系．

利用三角函数系构成的级数

()01

cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑

称为三角级数，其中011,,,

,,,n n a a b a b 为常数

2 以2π为周期的傅里叶级数

定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积，

1

1

(),cos ()cos d k a f x kx f x kx x

π

π

π

π

-=

=

?

0,1,2,k =；

1

1

(),sin ()sin d k b f x kx f x kx x

π

π

π

π-=

=

?

1,2,k =，

称为函数()f x 的傅里叶系数，而三角级数

()01

cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑

称为()f x 的傅里叶级数，记作

()f x ～()

01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑．

这里之所以不用等号，是因为函数()f x 按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于()f x ．

二、傅里叶级数收敛定理

定理1 若以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则

()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-++=∑，

其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．

定义2 如果()[, ]f x C a b '∈，则称()f x 在[,]a b 上光滑．若

[,),(0),(0)x a b f x f x '?∈++存在；

(,],(0)x a b f x ?∈-，(0)f x '-存在，

且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()f x 在[,]a b 上按段光滑．

几何解释如图．

按段光滑函数图象是由有限条

光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点．

推论 如果()f x 是以2π[,]ππ-上按 段光滑，则x R ?∈，

有 ()

01

()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞

==++∑．

定义3 设

()f x 在(,]ππ-上有定义，函数

() (,] ?()(2) (2,2],1,2,

f x x f x f x k x k k k πππππππ∈-?=?

-∈-+=±±?

称()f x 为的周期延拓．

二 习题解答

1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数 (1) (),(i) , (ii) 02f x x x x πππ=-<<<<；

解：(i)、()f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得

01

1

()d d 0

a f x x x x π

π

π

π

π

π

--=

==?

?

．

当1n ≥时，

1

1cos d d(sin )

n a x nx x x nx n π

π

π

π

ππ

--=

=

?

?

11

sin sin d 0

|x nx nx x n n π

πππ

ππ

--=

-

=?

，

1

1sin d d(cos )n b x nx x x nx n π

π

π

π

π

π---=

=

?

?

1

11

2cos cos d (1)|n x nx nx x n n n π

πππ

ππ

+---=

+

=-?

，

所以

1

1sin ()2(1)n n nx

f x n ∞

+==-∑，(,)x ππ∈-为所求． (ii)、()f x =x ，(0,2)x π∈作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得

2200

1

1

()d d 2a f x x x x πππ

π

π

=

=

=??

．

当1n ≥时，

220

1

1cos d d(sin )

n a x nx x x nx n πππ

π

=

=

?

?

2200

11

sin sin d 0

|x nx nx x n n ππππ

=-

=?

，

220

1

1sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππ

π

π-=

=

?

?

2200

11

2cos cos d |x nx nx x n n n ππππ

--=

+

=

?

，

所以

1

sin ()2n nx

f x n π∞

==-∑

，(0,2)x π∈为所求． (2)

2

()(i) (ii) 02f x =x , -π

f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得

2

20112()d d 3a f x x x x πππππππ--===

??．

当1n ≥时，

221

1

cos d d(sin )

n a x nx x x nx n π

π

π

π

π

π

--=

=

?

?

211

sin 2sin d |x nx x nx x

n n π

πππ

ππ

--=

-

?

2

2

d(cos )

x nx n π

π

π-=?

222224

cos cos d (1)|

n

x nx nx x n n n π

π

π

π

ππ

--=-

=-?

，

22

1

1sin d d(cos )n b x nx x x nx n π

ππ

π

π

π---=

=

?

?

212cos cos d |x nx x nx x

n n π

πππ

ππ---=

+?

22d(sin )x nx n π

π

π-=? 2222sin sin d 0

|x nx nx x n n π

πππ

ππ--=-=?，

所以

2

21

sin ()4(1)3

n

n nx

f x n π∞

==

+-∑，(,)x ππ∈-为所求．

解：(ii)

()2

f x =x (0,2)x π∈

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得

2

222000118()d d 3a f x x x x πππππ===

??．

当1n ≥时，

22220

1

1cos d d(sin )

n a x nx x x nx n ππππ

=

=

?

?

22200

11sin 2sin d |x nx x nx x

n n ππππ=

-?

220

2d(cos )x nx n π

π=?

22222

00224

cos cos d |x nx nx x n n n ππππ=-=?，

2222

0011sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==??

22200

12cos cos d |x nx x nx x

n n π

πππ-=+?

220

42d(sin )

x nx n n πππ=-+?

2222004224sin sin d |x nx nx x n n n n ππππ

ππ=-+-=-

?， 所以

22214cos sin ()43n nx nx f x n n ππ∞

=??=+- ?

??∑，(0,2)x π∈为所求． (3) 0

()(,0,0)

0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤?=≠≠≠?<

解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．

由系数公式得

000111()()d d d 2b a a f x x ax x bx x ππππππππ---==+=

???． 当1n ≥时，

020

1

1

cos d cos d n a ax nx x bx nx x

π

π

ππ-=

+

?

?

2[1(1)]n a b

n π-=--

00

1

1

sin d sin d n b ax nx x bx nx x

π

π

ππ-=

+

?

?

1

(1)n a b n ++=-

所以2

1()2()1()cos(21)4(21)n b a b a f x n x n ππ∞=--=+--∑

1

1

sin ()(1)n n nx

a b n ∞

+=++-∑，(,)x ππ∈-为所求．

2 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有

2 1

1

()cos d ()cos d ,0,1,2,

c n c a f x nx x f x nx x n π

π

πππ+-=

=

=??， 2 11()sin d ()sin d ,1,2,

c n c b f x nx x f x nx x n ππ

πππ+-===??．

证：因为()f x ，sin nx ，cos nx 都是以2π为周期的可积函数，所以令2t x π=+有

211()cos d (2)cos (2)d(2)

c

c f x nx x f t n t t ππ

πππππ

π-+=---??

c+2 c+2 11()cos d ()cos d f t nt t f x nx x ππππππ==-??．

从而

2 1

()cos d c n c

a f x nx x

π

π+=

?

2 1

1

()cos d ()cos d c n c

c

a f x nx x f x nx x

π

ππ

π

+-=

=

?

?

c+2

1

1

()cos d ()cos d f x nx x f x nx x

π

ππ

π

π

π

-++

?

?

1

()cos d f x nx x

π

π

π-=

?．

同理可得

2 1

1

()sin d ()sin d c n c

b f x nx x f x nx x

π

π

π

π

π+-=

=

?

?．

3 把函数04

()04x f x x ππππ?--<≤??=?

?≤

11114357π=-+-+；

(2) 111111357111317π=+--+-+

；

11111157111317=-+-+-+

．

解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

由系数公式得

00

1

1

1()d d d 0

44

a f x x x x π

π

π

πππ

πππ---=

=

+

=?

??

．

当1n ≥时，

00

11cos d cos d 0

44

n a nx x nx x π

πππ

ππ

--=+

=??．

1

1

sin d sin d 44

n b nx x nx x

π

πππ

ππ--=

+

??

1

1

211[1(1)]20

2n n k n

n n k

+?=+?

=--=??

=?，

故

11

()sin(21),(,0)

(0,)

21

n f x n x x n ππ∞

==-∈--∑

为所求．

(1) 取2x π=

，则11114357π

=-+-+

； (2) 由11114357π=-+-+

得

111112391521

π=-+-+，

于是1111113

4

1257111317

π

π

π

=

+

=+--+-+；

(3) 取

3x π

=

，则1111114

57111317

π

?

=

-+-+-+???，

11111157111317=-+-+-+

．

4 设函数()f x 满足条件()()f x f x π+=-，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级

数具有什么特性．

解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=-，

所以(2)()()f x f x f x ππ+=-+=，即()f x 是以2π为周期的函数． 于是由系数公式得

000

1

1

1

()d ()d ()d a f x x f x x f x x

π

π

π

π

π

π

π

--=

=

+

?

?

?

1

1

()d ()d f t t f x x

π

π

ππ

π

=

-+

?

?

1

1

(2)d ()d f t t f x x

π

π

πππ

π

=-++??

1

1

()d ()d 0

f t t f x x π

π

πππ

=

++

=?

?

．

当1n ≥时，

()cos d ()cos d n a f x nx x f x nx x

π

π

π

-=

+

?

?

1

1

()cos()d ()cos d f t nx n x f x nx x

π

π

πππ

π

=

+++

?

?

1

1(1)()cos d n f x nx x

ππ

++-=

?

02()cos d 2102f x nx x n k n k

π

π?=-?

=??=?

?．

00

1

1

()sin d ()sin d n b f x nx x f x nx x

π

π

ππ-=

+

?

?

02()sin d 2102f x nx x n k n k

π

π?=-?=??=?

?，

故当()()f x f x π+=-时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是20k a =，20k b =．

5 设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．

解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=， 所以(2)()()f x f x f x ππ+=+=，即()f x 是以2π为周期的函数．于是由系数公式得

000

1

1

1

()d ()d ()d a f x x f x x f x x

π

π

π

π

π

π

π

--=

=

+

?

?

?

1

1

()d ()d f t t f x x

π

π

ππ

π

=

-+

?

?

1

1

(2)d ()d f t t f x x

π

π

πππ

π

=-++??

1

1

2

()d ()d ()d f t t f x x f x x

π

π

π

ππ

π

π

=

++

=

??

?

．

当1n ≥时，

00

1

1

()cos d ()cos d n a f x nx x f x nx x

π

π

π

π

-=

+

?

?

1

1

()cos()d ()cos d f t nx n x f x nx x

π

π

ππ

π

=

++

?

?

1(1)()cos d n

f x nx x

ππ

+-=

?

02()cos d 2021f x nx x n k n k π

π?=?=??=-?

?．

()sin d ()sin d n b f x nx x f x nx x

π

π

π

-=

+

?

?

02()sin d 2021f x nx x n k n k π

π?=?

=??=-?

?，

故当()()f x f x π+=时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是210k a -=，210k b -=．

6 试证函数系cos , 0,1,2,nx n =和sin , 1,2,nx n =都是[0, ]π上的正交函数系，但他们合起来的却不是[0, ]π上的正交函数系．

证：就函数系{1,cos ,cos2,,cos ,

}x x nx ，

因为n ?，

1,1d x π

π

==?，

20

01cos ,cos cos d (cos21)d 22nx nx nx x nx x π

ππ

==

+=??，

又

1,cos cos d 0

nx nx x π

==?；

,m n ?，m n ≠时，

cos ,cos cos cos d mx nx mx nx x

π

=?

0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ

=++-=??．

所以{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系．

就函数系{sin ,sin 2,,sin ,

}x x nx ，

因为n ?，

2

01sin ,sin sin d (1cos2)d 22nx nx nx x nx x π

ππ

==-=

?

?，

又,m n ?，m n ≠时，

sin ,sin sin sin d mx nx mx nx x

π

=?

0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ

=-++-=??．

所以{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系．

但{1,sin ,cos ,sin 2,cos2,

,sin ,cos ,

}x x x x nx nx 不是 [0, ]π上的正交系．

实因：0

1,sin sin d 10

x x x π

==≠?．

7 求下列函数的傅里叶级数展开式

(1) (),022x f x x ππ

-=<<；

(),02x f x x ππ

-=<<

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得

2200011()d d 0

2x a f x x x πππππ-===??． 当1n ≥时， 220011cos d d(sin )22n x x a nx x nx n ππππππ--==??

2200

1

sin sin d 0

22|x nx nx x n n πππππ-=+=?，

22001

1sin d d(cos )

22n x

x

b nx x nx n π

πππππ---=

=

??

220011

cos cos d 22|x nx nx x n n n πππππ-=--=

?， 所以

1

sin ()n nx

f x n ∞

==∑

，(0,2)x π∈为所求．

(2) ()f x x ππ=-≤≤；

解：()f x x ππ=-≤≤作周期延拓的图象如下．

其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．

因为02

()02x x f x x x ππ-≤<==?

?

≤≤??，

所以由系数公式得

01

()d a f x x

π

π

π

-=

?

0sin d sin d 22x x x x ππ-=

+=．

当1n ≥时，

0sin cos d sin cos d 22n x x

a nx x nx x ππ-=

+

sin cos d 2x nx x π=

=．

0sin sin d sin sin d 022n x x b nx x nx x ππ-=

+=．

所以

2

1

1

()cos 41

n f x nx

n

π

π

∞

==

-

-，(,)x ππ∈-．

而x π=±

时，(0)(0)

()

2f f f πππ±-+±+==±，

故

2

1

1()cos 41

n f x nx

n

∞

==

-，[,]x ππ∈-为所求．

(3)

2

(), (i) 02, (ii) f x ax bx c x x πππ=++<<-<<； 解：(i)由系数公式得

200

1

()d a f x x

ππ=

?

222

1

8()d 223a

ax bx c x b c

ππππ

=

++=++?

．

当1n ≥时，

220

1

()cos d n a ax bx c nx x

ππ=

++?

22200

11

()sin (2)sin d |ax bx c nx ax b nx x

n n ππππ

=

+++

+?

2

4a n =，

220

1

()sin d n b ax bx c nx x

ππ=

++?

22200

11

()cos (2)cos d |ax bx c nx ax b nx x

n n ππππ

=-

++-

+?

42a n n ππ=--

，

故22

4()3a f x ax bx c b c

ππ=++=++

21442cos sin ,(0,2)

n a a b nx nx x n n ππ∞

=++-∈∑为所求．

(ii)由系数公式得

01()d a f x x ππ

π-=?22

12()d 23a ax bx c x c

π

πππ-=

++=+?．

当1n ≥时，

21

()cos d n a ax bx c nx x

π

π

π

-=

++?

211

()sin (2)sin d |ax bx c nx ax b nx x

n n π

πππ

ππ

--=

+++

+?

24(1)n a n =-，

21

()sin d n b ax bx c nx x

π

π

π

-=

++?

211

()cos (2)cos d |ax bx c nx ax b nx x

n n π

πππ

ππ

--=-

++-

+?

1

2(1)n b

n -=-，

故22

2()3a

f x ax bx c c

π=++=+

2142(1)cos (1)sin ,(,)n

n n a b

nx nx x n n ππ∞

=+---∈-∑为所求．

(4) ()ch , f x x x ππ=-<<；

解：由系数公式得

01

()d a f x x π

π

π

-=

?

1

2

ch d sh x x π

π

π

π

π

-=

=

?

．

当1n ≥时，

1

ch cos d n a x nx x

π

π

π-=

?

11ch sin sh sin d |x nx x nx x n n π

πππππ--=

-? 21sh d(cos )x nx n π

π

π-=? 2211sh cos ch cos d |x nx x nx x

n n π

πππ

ππ--=-?

222sh 1

(1)n n

a n n ππ=--，

所以

22sh (1)(1)n

n a n π

π=-+．

1

1ch sin d ch d(cos )

n b x nx x x nx π

π

π

π

π

π

---=

=?

?

11ch cos sh cos d |x nx x nx x

n n π

πππ

ππ--=-+?

21sh d(sin )x nx n π

π

π-=? 2211sh sin ch sin d |x nx x nx x

n n π

πππ

ππ--=-+?

2211sh sin ch sin d |x nx x nx x n n ππππππ--=-+?21

n

b n =，

所以0n b =，

故

212

11()ch sh (1)cos 21n n f x x nx n ππ∞=??

==+-??

+??∑， (,)x ππ∈-为所求．

(5) ()sh ,f x x x ππ=-<<．

解：由系数公式得

01

()d a f x x π

π

π

-=

?

1

sh d 0

x x π

π

π

-==?

． 当1n ≥时，

1

sh cos d 0n a x nx x π

π

π-=

=?

．

1

1

sh sin d sh d(cos )

n b x nx x x nx π

π

π

π

π

π

---=

=

?

?

11sh cos ch cos d |x nx x nx x

n n π

πππ

ππ--=-

+?

121(1)sh ch d(sin )

n x nx n n π

π

πππ+-=-+? 122211(1)sh ch sin sh sin d |n x nx x nx x

n n n π

πππ

ππππ+--=-+-?

1221

(1)sh n n

b n n ππ+=--，

所以

1

22sh (1)(1)n n n x

b n π+=-+， 故1212sh ()sh (1)sin (1)n n n f x x nx

n π

π∞

+===-+∑，

(,)x ππ∈-为所求．

8 求函数

221

()(362)12f x x x ππ=

-+的傅里叶级数展开式并应用它推出

2

2

1

16n n

π∞

==

∑．

解：由22

4()3a

f x ax bx c b c

ππ=++=++

2

1442cos sin ,(0,2)n a a b

nx nx x n n ππ∞

=++-∈∑

得

22

1()(362)12f x x x ππ=-+222326πππ=-+2

11cos n nx n ∞

=+∑

211

cos n nx n ∞

==∑，(0,2)x π∈．

而

2

(00)(20)6f f ππ+=-=

，

故由收敛定理得

2

2211(00)(20)11cos062n n f f n n ππ∞∞

==++-===∑∑．

9 设()f x 为[],ππ-上光滑函数，()()f f ππ-=．且,n n a b 为()f x 的傅里叶系数，,n n a b ''为()f x 的导函数()f x '的傅里叶系数．证明

00,,(1,2,)n n n n a a nb b na n '''===-= ．

证：因为()f x 为[],ππ-上光滑函数，所以()f x '为[],ππ-上的连续函数，故

可积．

由系数公式得

1

()d a f x x π

π

π

-''=?

()1

()()0

f f πππ

=--=．

当1n ≥时，

1

()cos d n

a f x nx x

π

π

π-''=?

1

()cos ()sin d |

n

n

f x nx f x nx x nb π

π

π

π

π

π--'=

+

=?

．

1

()sin d n b f x nx x

π

π

π

-'=

?

1

()sin ()cos d |

n

n

f x nx f x nx x na π

π

π

π

π

π

--'=-

=-?

故结论成立．

10 证明：若三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑中的系数,n n a b 满足关系{}

33sup ,n n n

n a n b M

≤，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续

的导函数．

证：设

0()2a u x =

，()cos sin n n n u x a nx b nx =+，1,2,n =．

则0n ?≥，()n u x 在R 上连续，且

0()0u x '=，()sin cos n

n n u x na nx nb nx '=-+亦在R 上连续． 又x R ?∈，()sin cos n n n u x n a nx n b nx

'≤+

n n n a n b ≤+

2

2M n ≤．

而

22M

n ∑收敛， 所以()()cos sin n

n n u x nb nx na nx '=-∑

∑在R 上一致收敛．

故设01

()(cos sin )

2n n n a s x a nx b nx ∞

==++∑，则

1

1

()(cos sin )()n n n

n n s x na nx nb nx u x ∞∞

==''=-+=∑∑

且1

()(cos sin )

n n n s x na nx nb nx ∞

='=-+∑在R 上连续．

§15. 2 以2l 为周期的函数的展开

一 基本内容

一、以2l 为周期的函数的傅里叶级数 设()f x 是以2l 为周期的函数，作替换

lt

x π=

，则

()lt F t f π??

= ?

??是以2π为周期的函数，且

()f x 在(, )l l -上可积()F t ?在(,)ππ-上可积．

于是

()01

()

cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞

=++∑，

其中

1

()cos d ,n a F t nt t π

π

π-=

?

1

()sin d n b F t nt t

π

π

π-=

?

．

令

x t l π=

得 ()()lt F t f f x π??

== ???，sin sin ,cos cos n x n x

nt nt l l ππ==， 从而

01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=??++ ?

??∑． 其中 1()cos ,

l n l n x a f x dx l l π-=?

1()sin l n l n x b f x dx

l l π-=?．

上式就是以2l 为周期的函数()f x 的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有

01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x n x n x a b l l ππ∞=++-??

=++ ?

??∑．

其只含余弦项，故称为余弦级数． 同理，设()f x 是以2l 为周期的奇函数，则

()cos f x nx 奇，()sin f x nx 偶．

于是 1()cos d 0l n l n x a f x x l l π-=

=?， 012()sin d ()sin d l l n l n x n x b f x x f x x

l l l l ππ-==??．

从而

01()

2n n a f x a ∞=+∑由此可知，函数

(),(0,)f x x l ∈

偶延拓

() (0,)

()() (,0)f x x l f x f x x l ∈?=?

-∈-?函数(),(0,)f x x l ∈要展

奇延拓

() (0,) ()() (,0)f x x l f x f x x l ∈?=?

--∈-?．

二 习题解答

1 求下列周期函数的傅里叶级数展开式 (1) ()cos f x x =(周期π)；

解：()cos f x x =,22x ππ??∈-??

由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．

因2l π=

，所以由系数公式得

2200

2

2

4

4

cos d cos d a x x x x π

π

ππ

π

π-

=

=

=

??

．

当1n ≥时，

22

2

cos cos 2d n a x nx x πππ

-

=

?

20

4

cos cos 2d x nx x

π

π=

?

20

2

[cos(21)cos(21)]d n x n x x

π

π=

++-?

22

0011sin(21)sin(21)(21)(21)||n x n x n n π

π

ππ=++-+-

1(1)2(1)2

(21)(21)n n n n ππ+-?-?=+

+-124(1)(41)n n π+=--．

2222

22

2

cos sin d 0

n b x nx x πππ-

=

=?

．

故

1

21

2

4

1()cos (1)cos241

n n f x x nx

n π

π

∞

+===

+

--∑，

(,)x ∈-∞+∞为所求．

(2) ()[]f x x x =-(周期1)；

解：函数()[]f x x x =-，11,22x ??∈-??

??延拓后的函数如下图．

由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数．

因

1

2l =

，所以由系数公式得

()()111

2100

2

2[]d 2[]d 2d 1

a x x x x x x x x -=-=-==?

?

?．

当1n ≥时，

()()11210

2

2[]cos 2d 2[]cos 2d n a x x n x x x x n x x

ππ-=-=-?

?

1

1

0012cos2d d(sin 2)

x n x x x n x n πππ==??

1

10011sin 2sin 2d 0

|x n x n x x n n ππππ=-=?．

()1

1

210

2

2[]sin 2d 2sin 2d n b x x n x x x n x x

ππ-=-=?

?

1

01d(cos2)x n x n ππ-=

?

110011cos2cos2d |x n x n x x n n ππππ-=+?1

n π-=

． 故1111

()[]sin 22n f x x x n x

n ππ∞==-=-∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． (3)

4

()sin f x x =(周期π)； 解：函数4()sin f x x =，

,22x ππ??

∈-????延拓后的函数如下图．

2

2

2

2

由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．

因2l π=

，所以由系数公式得

4

4

2200

2

2

4

sin d sin d a x x x x π

π

ππ

π

-

=

=

?

?

2

20

4

1cos 2d 2x x

π

π

-??=

????

2

4

311cos 2cos 4d 828x x x π

π

??

=

-+

????

34=．

当1n ≥时，

2

4

311cos2cos4cos2d 828n a x x nx x

π

π??

=

-+ ????

11201,212

8n n n n ?-=??=≠≠???=?． 22

2

cos sin d 0

n b x nx x πππ-

=

=?

．

故4311

()sin cos2cos4828f x x x x

==-+，(,)x ∈-∞+∞为所求．

(4) ()sgn(cos )f x x = (周期2π)．

解：函数()sgn(cos )f x x =，(,)x ππ∈-延拓后的函数如下图．

由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．

因l π=，所以由系数公式得

00

1

2

sgn(cos )d sgn(cos )d 0

a x x x x π

π

π

π

π

-

=

==??

．

当1n ≥时，

2

sgn(cos )cos d n a x nx x

π

π

=

?

20

2

2

2

4cos d cos d sin 2n nx x nx x n π

π

π

π

π

π

π=-

=

?

? 4sin 2n n ππ=024(1)21

(21)k

n k

n k k π=??=?-=-?+?

．

2

sgn(cos )sin d 0n b x nx x π

ππ

-

=

=?．

故1

4

cos(21)()sgn(cos )(1)21n

n n x

f x x n π

∞

=+==

-+∑，(,)x ∈-∞+∞．

2 求函数 01() 1 12

3 23x x f x x x x ≤≤??

=<

解：函数()f x ，(0,3)x ∈延拓后的函数如下图．

由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．

因3

2l =，所以由系数公式得

31230001222224()d d d (3)d 33333a f x x x x x x x ==++-=

????． 当1n ≥时， 12012222cos d cos d 3333n n x n x

a x x x ππ=

+??

3222(3)cos d 33n x x x π+-?

2

1011212d sin sin 33n x n x x n n ππππ??=+ ???? 3

2

12(3)d sin 3n x x n ππ

??

+- ??

?? 10121214sin sin d sin 333n n x n x n n n ππππππ=-+?

3

32

2

121212sin (3)sin sin

d 33

3n n x n x

x x n n n ππππππ

-+-+

?

1

2201432sin cos 323n n x

n n ππππ=+

3

2221432sin cos 323n n x

n n ππππ--

2222323

cos 232n n n πππ=

-2222334cos2cos 223n n n n ππππ-+

2222323cos 3n n n πππ=-． 2

()sin d 0n b f x nx x π

ππ

-

=

=?．