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高考数学二轮复习考点解析7:数列的综合考查

高考数学二轮复习考点解析7:数列的综合考查
高考数学二轮复习考点解析7:数列的综合考查

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析7:数列的综合考

数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。(文科考查以基础为主,有可能是压轴题)

一、知识整合

1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;

2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力, 进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.

3.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 二、方法技巧

1.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:

(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

(2)通项公式法: ①若 =

+(n-1)d=

+(n-k )d ,则{}n a 为等差数列;

②若

,则{}n a 为等比数列。

(3)中项公式法:验证中项公式成立。

2. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当1a >0,d<0时,满足10

m m a a +≥??

≤?的项数m 使得m S 取最大值.

(2)当1a <0,d>0时,满足1

0m m a a +≤??≥?的项数m 使得

取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 三、注意事项

1.证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义,即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或

1

1-+=n n n n a a

a a 而得。 2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

3.注意n s 与n a 之间关系的转化。如:n a =1100n

n S S S -≤??-≥? 21≥=n n , n a =∑=--+n

k k k a a a 211)(.

4.数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极限的概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路. 5.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略. 四.典型考例

【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题P 49 例1 3。P 50 例2 P 56 例1 P 59 T 6. 【注1】文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题

例(四川卷)数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥(Ⅰ)求{}n a 的通

项公式;(Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又

112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分12分。

解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥,两式相减得

()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥

又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3得等比数列 ∴

13n n a -=

(Ⅱ)设{}n b 的公比为d 由315T =得,可得12315b b b ++=,可得

故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a ===

由题意可得()()()2

515953d d -+++=+ 解得122,10d d == ∵等差数列

{}

n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴

()213222n n n T n n n

-=+?=+

1.设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数,前n 项和为S n . (Ⅰ)若a 11=0,S 14=98,求数列{a n }的通项公式;

(Ⅱ)若a 1≥6,a 11>0,S 14≤77,求所有可能的数列{a n }的通项公式

2.(上海卷)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意正整数n ,4096n n a S +=。(1)求数列{}n a 的通项公式?(2)设数列2{log }n a 的前n 项和为n T ,对数列{}n T ,从第几项起

509n T <-?

.解(1) ∵a n + S n =4096, ∴a 1+ S 1=4096, a 1 =.

当n ≥2时, a n = S n -S n -1=(4096-a n )-(4096-a n -1)= a n -1-a n ∴

1-n n a a =21 a n =(2

1)n

-1

.

(2) ∵log 2a n =log 2[(

21)n -1]=12-n, ∴T n =2

1(-n 2

+23n ). 25b =

由T n <-509,解得n>2

4601

23+,而n 是正整数,于是,n ≥46. ∴从第46项起

T n <-509.

3. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列{}n a 的首项2

1

1=

a ,前n 项和为n S ,且0)12(21020103010=++-S S S 。(Ⅰ)求{}n a 的通项;(Ⅱ)求{}n nS 的前n 项和n T 。

解:(Ⅰ)由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=-

即,)(220121*********

a a a a a a +++=+++

可得.)(220121*********

10a a a a a a q +++=+++?

因为0>n a ,所以 ,1210

10=q 解得21=

q ,因而 .,2,1,2

1

11 ===-n q a a n n n (Ⅱ)因为}{n a 是首项211=

a 、公比2

1

=q 的等比数列,故 .2,2112

11)

21

1(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),2

2221()21(2n n n n T +++

-+++= ).2

212221()21(212132++-+++-+++=n n n n

n n T 前两式相减,得

122

)212121()21(212+++++-+++=n n n n

n T 122

11)

211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n

n n n T 【问题2】等差、等比数列的判定问题.P 53 T 7 例P 54 T 9

[例]P 54 T 9(上海卷)已知有穷数列{n a }共有2k 项(整数k ≥2),首项1a =2.设该数列的前n 项和为n S ,且1+n a =n S a )1(-+2(n =1,2,┅,2k -1),其中常数a >1. (1)求证:数列{n a }是等比数列;(2)若a =2

1

22

-k ,数列{n b }满足n b =

)(log 1

212n a a a n

???(n =1,2,┅,2k )

,求数列{n b }的通项公式;

(3)若(2)中的数列{n b }满足不等式|1b -23|+|2b -23|+┅+|12-k b -23|+|k b 2-2

3|≤4,求k 的值.

(1) [证明] 当n=1时,a 2=2a,则

1

2

a a =a ; 2≤n≤2k -1时, a n+1=(a -1) S n +2, a n =(a -1) S n -1+2, a n+1-a n =(a -1) a n , ∴

n

n a a 1

+=a, ∴数列{a n }是等比数列. (2) 解:由(1) 得a n =2a

1

-n , ∴a 1a 2…a n =2n a )

1(21-+++n =2n a

2

)1(-n n =2

1

2)1(--+

k n n n ,

b n =11

21

]12)1([1

+--=--+

k n k n n n n

(n=1,2,…,2k).

(3)设b n ≤23,解得n≤k+21,又n 是正整数,于是当n≤k 时, b n <2

3

当n≥k+1时, b n >2

3

.

原式=(23-b 1)+(23-b 2)+…+(23-b k )+(b k+1-23)+…+(b 2k -2

3

)

=(b k+1+…+b 2k )-(b 1+…+b k )

=]1

2)10(21[]12)12(21[k k k

k k k k k k +--+-+--+=

122-k k . 当1

22

-k k ≤4,得k 2-8k+4≤0, 4-23≤k≤4+23,又k≥2,

∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.

4.[例],已知数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,并且1142(1,2,

),1n n S a n a +=+==,⑴

设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列;⑵设数列

),2,1(,2 ==

n a c n

n

n ,求证:数列{}n c 是等差数列;⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

分析:由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关,{a n }中又有S 1n +=4a n +2,可由S 2n +-S

1n +作切入点探索解题的途径.

【注2】本题立意与高考题文科20题结构相似.

解:(1)由S 1n +=4a 2n +,S 2n +=4a 1n ++2,两式相减,得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n ),即a 2n +=4a 1n +-4a n .(根据b n 的构造,如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练)

a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n ),又

b n =a 1n +-2a n ,所以b 1n +=2b n ① 已知S 2=4a 1+2,a 1=1,a 1+a 2=4a 1+2,解得a 2=5,b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得,数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列,故b n =3·21n -.

当n ≥2时,S n =4a 1n -+2=2

1

n -(3n-4)+2;当n=1时,S 1=a 1=1也适合上式.

综上可知,所求的求和公式为S n =2

1

n -(3n-4)+2.

说明:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前n 项和。解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。

2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用.

【问题3】函数与数列的综合题 P 51 例3

数列是一特殊的函数,其定义域为正整数集,且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响,分析题目特征,探寻解题切入点. P 51 例3(湖北卷)已知二次函数()y

f x 的图像经过坐标原点,其导函数为

'()

62f x x

,数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()n n S n

N 均在函数()y

f x 的图

像上。(Ⅰ)、求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)、设1

1

n n n

b a a ,n T 是数列{}n b 的前n 项和,

求使得20

n

m

T 对所有n N 都成立的最小正整数m ;

点评:本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力。

解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x -2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x 2-2x.

又因为点(,)()n n S n N *

∈均在函数()y f x =的图像上,所以n S =3n 2-2n.

当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3n 2-2n )-[

]

)1(2)132

---n n (

=6n -5. 当n =1时,a 1=S 1=3×12-2=6×1-5,所以,a n =6n -5 (n N *∈)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知13+=

n n n a a b =[]5)1(6)56(3---n n =)1

61

561(21+--n n ,

故T n =

∑=n

i i b 1

2

1??

????+--++-+-)161561(...)13171()711(n n =21(1-161+n ). 因此,要使

21(1-161+n )<20m (n N *∈)成立的m,必须且仅须满足21≤20

m ,即m ≥10,所以满足要求的最小正整数m 为10.

5.设x

x f +=12

)(1,定义2)0(1)0()],([)(11+-==+n n n

n n f f a x f f x f ,其中n ∈N*. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若,23223212n n na a a a T ++++= , 解:(1))0(1f =2,4

1

22121=+-=

a ,)0(12)]0([)0(11n n n f f f f +=

=+, ∴n n n n n n n n n n a f f f f f f f f a 2

12)0(1)0(21)0(24)0(12

)

0(121

)0(12

2)0(1)0(111

-=+-?-=+-=++-+=+-=+++

211-=+n n a a ,∴数列{a n }上首项为41,公比为2

1

-的等比数列,1)21(41--=n n a (2),23223212n n na a a a T ++++=

,2)2

1

(3)21(2)21()21(2123212n n na a a a T -++-+-+-=- 两式相减得:,)21(412

11]

)21(1[41231222--?++-=n n n n T )2131(9122n n n T +-=

6.(湖北卷)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()n n S n N *

∈均在函数y =3x -2的图像

上。

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设1

3

+=

n n n a a b ,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求使得

20

n m

T <

对所有n N *∈都成立的最小正整数m 。 本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题能力和推理能力。 解:(I )依题意得,

32,n

n n

S

=-即232n n n S =-。

当n ≥2时,a ()2

2

1(32)312(1)65n n n n n n n n a s s -??=-=-----=-??

; 当n=1时,11

3a s =-×2

1-2×1-1-6×1-5 所以

5()6

n

n

n N a =-∈。

(II )由(I )得[]131111(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +??

=

==- ?-+--+??

, 故

11

11

1111

1...

27

7

13

65

61n

n

b

n n T

=111261n ??- ?+??

。 因此,使得

111261n ??- ?

+??﹤()20m n N ∈成立的m 必须满足12≤20

m ,即m ≥10,故满足要求的最小整数m 为10。 【问题4】数列与解析几何

数列与解析几何综合题,是今后高考命题的重点内容之一,求解时要充分利用数列、解

析几何的概念、性质,并结合图形求解.

例3.在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,对一切正整数n ,点n P 位于函数4133+=x y 的图象上,且n P 的横坐标构成以2

5

-为首项,1-为公差的等差数列{}n x .

⑴求点n P 的坐标;子⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,

第n 条抛物线n c 的顶点为n P ,且过点)1,0(2

+n D n ,记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜

率为n k ,求:

n

n k k k k k k 13221111-+++ . 解:(1)2

3)1()1(25--=-?-+-

=n n x n 1353533,(,3)4424

n n n y x n P n n ∴=?+

=--∴---- (2)n c 的对称轴垂直于x 轴,且顶点为n P .∴设n c 的方程为:

,4

5

12)232(2+-++

=n n x a y 把)1,0(2

+n D n 代入上式,得1=a ,n c ∴的方程为:1)32(2

2

++++=n x n x y 。

32|0'+===n y k x n ,)3

21

121(21)32)(12(111+-+=++=

-n n n n k k n

n

n n k k k k k k 13221111-+++∴

)]3

21121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =

6

41

101)32151(21+-

=+-n n 点评:本例为数列与解析几何的综合题,难度较大。(1)、(2)两问运用几何知识算出n k . 7.已知抛物线2

4x y =,过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点1P ,又过点1

P 作斜率为

12的直线交抛物线于点2P ,再过2P 作斜率为1

4

的直线交抛物线于点3P ,,如此继续,一般地,过点n P 作斜率为1

2

n 的直线交抛物线于点1n P +,设点(,)n n n P x y .

(Ⅰ)令2121n n n b x x +-=-,求证:数列{}n b 是等比数列.并求数列{}n b 的前n 项和为n S 解:(1)因为(,)n n n P x y 、111(,)n n n P x y +++在抛物线上,故2

4,n n x y =①2

114n n x y ++=②,

又因为直线1n n P P +的斜率为

1

2

n

,即1112n n n n y y x x ++-=-,①②代入可得22112

1111

422

n n n n n n n n x x x x x x ++-+-=?+=-2121212221()()n n n n n n n b x x x x x x +-+-∴=-=+-+22

23

22

111222n n n ---=

-

=-

, 故

11{}4n n n b b b +=?是以1

4

为公比的等比数列;4131

(1)13444

n n n n S S =--?+=, 【问题5】数列与算法

8. 数列n a 的前n 项和为n S =n 2

+2n-1,试用程序框图

表示数列通项n a 的过程,并写出数列的前5项和通项公式n a . 9.根据流程图,(1)求3a ;(2)若1

4015

n a =,求n. 【问题6】数列创新题

10.(安徽卷)数列n a 的前n 项和为n S ,已知21

1,1,1,2,

2

n n

a S n a n n n

(Ⅰ)写出n S 与1n S 的递推关系式2n ,并求n S 关于n 的表达式;

(Ⅱ)设1

/,n n n n n S f x x b f p p R n

,求数列n b 的前n 项和n T 。 解:由21n

n S n a n n 2n 得:21()1n n n S n S S n n ,即

221

(1)1n

n

n S n S n n ,所以

1

1

11

n n

n n S S n

n ,对2n 成立。

1

1

11

n n

n n S S n n ,1

2

1

112

n

n

n n S S n n ,

…,213212

1

S S 相加得:

1

1

21n n S S n n

,又1

1

1

2

S a ,所以2

1

n n S n ,当1n 时,也成立。

(Ⅱ)由1

11

n

n n n S n f x x x n

n ,得/n n

n b f p

np 。

而23

1

23(1)n n n

T p p p n p np ,

234123(1)n n n

pT p p p n p np ,

2

3

1

1

1(1)(1)1n n n

n n n

p p P T p p

p

p

p

np

np p

11.(福建卷)已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+n a 1

我们知道当a 取不同的值时,得到不同的数

列,如当a =1时,得到无穷数列:.0,1,2

1

:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a

(Ⅰ)求当a 为何值时a 4=0;(Ⅱ)设数列{b n }满足b 1=-1, b n+1=)(1

1

+∈-N n b n ,求证

a 取数列{

b n }中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{a n }; (I )解法一:,11,11n

n a a a a +==+

2

34

41

2

3

111

121

132

21

1

,1

1

.0.1

213

a a a a a a a a a a a

a a a a 故当时

4

3

3

2243

2

11

1

2132121

1

11

1

12

2:0,1

0, 1.1

,.1

,.0.

2

33

1():1,, 1.{}.

11111,11

.1

1

.

111

1

n n

n n n n

n n n n n n

n a a a a a a a a a a a b II b b b a b a b b b a b a b a b a b a b a a b 解法二故当时解法一取数列中的任一个数不妨设1

1

2

1.

0.

n

b a 故a 取数列{b n }中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{a n }

12. (全国卷III) 在等差数列}{n a 中,公差412,0a a a d 与是≠的等比中项.

已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列,求数列}{n k 的通项.n k 解:由题意得:412

2a a a =……………1分

即)3()(112

1d a a d a +=+…………3分 又0,d ≠d a =∴1…………4分 又 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列, ∴该数列的公比为3313===

d

d a a q ,………6分 所以1

13

+?=n k a a n ………8分

又11)1(a k d k a a n n k n =-+=……………………………………10分

13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k ……………………………12分

课后训练:

一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 1.如果-1,a , b,c ,-9成等比数列,那么

A .b =3,a c =9

B.b =-3,a c =9

C.b =3,a c =-9

D.b =-3,a c =-9

2.在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于 A.40 B.42 C.43 D.45

3.(06广东卷)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为

A.5

B.4

C. 3

D. 2

4.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列,,,c a b 成等比数列,且310a b c ++=,则a =

A .4

B .2

C .-2

D .-4

5.(06江西卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若1O a B =200OA a OC +,且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O ),则S 200=( )

A .100 B. 101 C.200 D.201

6.(文科做)在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于

A.1

2

2n +- B. 3n C. 2n D.31n -

7.已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+,则2007a =

( )

A .0

B .3-

C .3

D .

2

3

8.(06全国II )设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 3S 6=13,则S 6

S 12

A .3

10 B .13 C .18 D .19

9.已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于( )

A.18

B.27

C.36

D.45

10.(06天津卷)已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列,其首项分别为1a 、1b ,且511=+b a ,*

11,N b a ∈.设n b n a c =(*N n ∈),则数列}{n c 的前10项和等于( )

A .55

B .70

C .85

D .100 二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分)

11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,4S =14,S 10-7S =30,则S 9= . 12.在数列{a n }中,若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_________.

13. 已知a ,b ,a +b 成等差数列,a ,b ,ab 成等比数列,且0

14. 等差数列{a n }共有2n +1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为_________

15.设等比数列}{n a 的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值

为 .

三、解答题(共4小题,每小题4分,共24分)

16 已知正项数列{}n a ,其前n 项和n S 满足2

1056,n n n S a a =++且1215,,a a a 成等比数列,

求数列{}n a 的通项.n a

17.(文科做)(06福建)已知数列{}n a 满足*

12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈

(I )证明:数列{}1n n a a +-是等比数列; (II )求数列{}n a 的通项公式;

(II )若数列{}n b 满足12111

*44

...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数

18.(山东卷)已知数列{n a }中,111

22

n n a n a a +=

-、点(、)

在直线y=x 上,其中n=1,2,3…. (Ⅰ)令{}是等比数列;求证数列n n n n b a a b ,31--=- (Ⅱ)求数列{}的通项;n a

(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}

、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ,使得数列n n S T n λ+??

??

??

为等差数列?若存在,试求出λ.若不存在,则说明理由。

答案与点拨:

1 B 解:由等比数列的性质可得ac =(-1)×(-9)=9,b ×b =9且b 与奇数项的符号

相同,故b =-3,选B

2 B 解:在等差数列{}n a 中,已知1232,13,a a a =+=∴ d=3,a 5=14,456a a a ++=3a 5=42,选B.

3 D 解:33025515

2051

1=???

?=+=+d d a d a ,故选C. 4 D 解:由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a =b -d ,c =b +d ,由310a b c ++=可得b =2,所以a =2-d ,c =2+d ,又,,c a b 成等比数列可得d =6,所以a =-4,选D 5 A 解:依题意,a 1+a 200=1,故选A

6 (文)C 解:因数列{}n a 为等比,则1

2n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列,

22121122212

(1)(1)(1)22(12)01

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=

即2n a =,所以2n S n =,故选择答案C 。 7 .A 提示:由a 1=0,).(1

331++∈+-=

N n a a a n n n 得a 2=-??????==,0,3,343a a

由此可知:数列{a n }是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a 2=-.3故选A 8 A 解:由等差数列的求和公式可得

31161331,26153

S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以

6112161527312669010

S a d d S a d d +===+,故选A 点评:本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般

9 C 解:在等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,∴ 198a a +=,则该数列前9项和S 9=199()

2

a a +=36,选C

10 C 解:数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列,其首项分别为1a 、1b ,且511=+b a ,*11,N b a ∈.设n b n a c =(*N n ∈),则数列}{n c 的前10项和等于1210b b b a a a +++=

11119b b b a a a ++++

+,111(1)4b a a b =+-=,∴ 11119b b b a a a +++++

=4561385+++

+=,选C.

11.(文)解:设等差数列{}n a 的首项为a 1,公差为d ,由题意得,142

)

14(441=-+

d a 30]2)17(77[]2)110(1010[11=-+--+d a d a ,联立解得a 1=2,d=1,所以S 9=5412

)

19(929=?-+?

12. 123n +- 解:在数列

{}

n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,∴

132(3)(1)n n a a n ++=+≥,即{3n a +}是以134a +=为首项,2为公比的等比数列,113422n n n a -++=?=,所以该数列的通项n a =123n +-.

13 (-∞,8) 提示 解出a 、b ,解对数不等式即可 答案 (-∞,8)

14 a 11=29 提示 利用S 奇/S 偶=

n

n 1

+得解 答案 第11项a 11=29 15.-2 提示:由题意可知q ≠1,∴可得2(1-q n )=(1-q n+1)+(1-q n+2),即q 2+q-2=0,解得q=-2

或q=1(不合题意,舍去),∴q=-2.

16 解:13 解 ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3.

又10S n -1=a n -12+5a n -1+6(n ≥2),②

由①-②得 10a n =(a n 2-a n -12)+6(a n -a n -1),即(a n +a n -1)(a n -a n -1-5)=0 ∵a n +a n -1>0 , ∴a n -a n -1=5 (n ≥2).

当a 1=3时,a 3=13,a 15=73. a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时, a 3=12, a 15=72, 有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n -3. 17.

I

2132,

n n n a a a ++=-*21

2111212(),1,3,2().n n n n n n n n

a a a a a a a a n N a a ++++++-∴-=-==∴

=∈-

{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项,2为公比的等比数列。

(II )解:由(I )得*

12(),

n n n a a n N +-=∈112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+

12*22...2121().n n n n N --=++++=-∈

(III )证明:

1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+12(...)42,n n b b b nb +++∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②

②-①,得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20.n n n b nb +--+= ③ 21(1)20.n n nb n b ++-++= ④

④-③,得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+=

*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列。

18.(山东卷)已知数列{n a }中,111

22

n n a n a a +=

-、点(、)

在直线y=x 上,其中n=1,2,3…. (Ⅰ)令{}是等比数列;求证数列n n n n b a a b ,31--=-(Ⅱ)求数列{}的通项;n a

(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}

、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ,使得数列n n S T n λ+??

??

??

为等差数列?若存在,试求出λ.若不存在,则说明理由。 解:(I )由已知得 111

,2,2

n n a a a n +=

=+ 2213313,11,4424

a a a =--=--=-

又11,n n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--

11112111(1)1

11222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++---

--∴====------ {}n b ∴是以34-

为首项,以1

2

为公比的等比数列. (II )由(I )知,13131

(),4222n n n b -=-?=-?

1311,22n n n a a +∴--=-?2131

1,22a a ∴--=-?

322311,22a a --=-???????1131

1,22n n n a a --∴--=-?

将以上各式相加得:

1213111

(1)(),2222n n a a n -∴---=-++???+

11111(1)31313221(1)(1) 2.

12222212

n n n n a a n n n ---∴=+--?=+---=+--

3

2.2n n

a n ∴=

+- (III )解法一:

存在2λ=,使数列{

}n n

S T n

λ+是等差数列. 1212111

3()(12)2222

n n n S a a a n n =++???+=++???++++???+-

11(1)(1)22321212

n n n n -+=?+--22

13333(1) 3.2222n n n n n n --=-+

=-++ 12131(1)

313342(1).1222212

n n n n n T b b b +--=++???+==--=-+- 数列{}n n S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n n

S T An B A n

λ+=+、B 是常数)

即2

,n n S T An Bn λ+=+

又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+

++-+231

3(1)(1)222n n n λ-=+-- ∴当且仅当102

λ

-

=,即2λ=时,数列{

}n n

S T n

λ+为等差数列. 解法二:

存在2λ=,使数列{

}n n

S T n

λ+是等差数列. 由(I )、(II )知,22n n a b n +=-(1)

222

n n n S T n +∴+=

- (1)

222n n

n n n n n T T S T n n

λλ+--++=

322n n T n λ--=+ 又12131(1)

313342(1)1222212

n n n n n T b b b +--=++???+==--=-+- 13233

()222

n n n S T n n n λλ++--=+-+ ∴当且仅当2λ=时,数列{}n n

S T n

λ+是等差数列.

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、(2016年上海高考)无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 2、(2015年上海高考)记方程①:x 2+a 1x+1=0,方程②:x 2+a 2x+2=0,方程③:x 2+a 3x+4=0,其中a 1,a 2,a 3是正实数.当a 1,a 2,a 3成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( ) A .方程①有实根,且②有实根 B . 方程①有实根,且②无实根 C .方程①无实根,且②有实根 D . 方程①无实根,且②无实根 3、(2014年上海高考)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若()134lim n n a a a a →∞ =++ +,则q = . 4、(虹口区2016届高三三模)若等比数列{}n a 的公比1q q <满足,且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、(浦东新区2016届高三三模)已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 533S S =,则53 a a = 6、(杨浦区2016届高三三模)若两整数a 、 b 除以同一个整数m ,所得余数相同,即 a b k m -=()k Z ∈,则称a 、b 对模m 同余,用符号(mod )a b m ≡表示,若10(mod 6)a ≡(10)a >,满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????,则数列{}n a 的前16项和为 7、(黄浦区2016届高三二模) 已知数列{}n a 中,若10a =,2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=,则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、(静安区2016届高三二模)已知数列{}n a 满足181a =,1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?,则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、(闵行区2016届高三二模)设数列{}n a 的前n 项和为n S , 2 2|2016|n S n a n (0a >),则使得1 n n a a +≤(n ∈* N )恒成立的a 的最大值为 . 10、(浦东新区2016届高三二模)已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+,* n N ∈,则这个数列的前 n 项和n S =___________. 11、(徐汇、金山、松江区2016届高三二模)在等差数列{}n a 中,首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

历年高考数学真题(全国卷整理版)43964

参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A =,B ={1,m} ,A B =A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1=为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 (6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若 a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则 (A) (B ) (C) (D)

(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ =,则cos2α= (A) (B ) (C) (D) (8)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2= (A)1 4(B) 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 (9)已知x=lnπ,y=log52, 1 2 z=e,则 (A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x (10) 已知函数y=x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c= (A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1 (11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 (A)12种(B)18种(C)24种(D)36种 (12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为 (A)16(B)14(C)12(D)10 二。填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效) (13)若x,y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 (14)当函数取得最大值时,x=___________。 (15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为_________。 (16)三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题: (17)(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求c。

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121

高考数学等差数列习题及答案 百度文库

一、等差数列选择题 1.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=,则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为( ) A . 89 B . 910 C .10 11 D . 1112 2.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161 B .155 C .141 D .139 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 2=8,38522a a a +=+,则a 1等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200 B .100 C .90 D .80 5.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤 B .6斤 C .9斤 D .12斤 6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足 122527 n n a a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( ) A .6- B .2- C .1- D .0 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且62 10S S ,则34a a +=( ) A .2 B .3 C .4 D .5 8.定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ,又2n n a b =,则1223 910 111 b b b b b b +++ =( ) A . 8 17 B . 1021 C . 1123 D . 9 19 9.题目文件丢失! 10.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.

春季高考数学数列历年真题

精品文档第五章:数列历年高考题 一、单项选择题 1、(2003)已知数列{a n }是等差数列,如果a 1 =2,a 4 =-6则前4项的和S 4 是() A -8 B -12 C -2 D 4 2、(2004年)在?ABC中,若∠A、∠B、∠C成等差数列,且BC=2,BA=1,则AC 等于() A 33 2 B 1 C 3 D 7 3、(2004)在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服,如果每次能洗去污垢的 3 2,则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅,该洗衣机至少要清洗的次数是()A 2 B 3 C 4 D 5 4、(2005年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 12 =10,则a 2 +a 3 + a 10 +a 11 等于() A 10 B 20 C 30 D 40 5、(2005年)在等比数列{a n }中,a 2 =2,a 5 =54,则公比q=() A 2 B 3 C 9 D 27 6、(2006年)若数列的前n项和S n =3n n - 2,则这个数列的第二项a 2 等于() A 4 B 6 C 8 D 10 7、(2007)为了治理沙漠,某农场要在沙漠上栽种植被,计划第一年栽种15公顷,以后每一年比上一年多栽种4公顷,那么10年后该农场栽种植被的公顷数是()A 510 B 330 C 186 D 51 8、(2007年)如果a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点 个数是() A 0 B 1 C 2 D 1或2 9、(2007年)小王同学利用在职业学校学习的知识,设计了一个用计算机进行数字变换的游戏,只要游戏者输入任意三个数a 1 ,a 2 ,a 3 ,计算机就会按照规则:a 1 + 2a 2 - a 3 ,a 2 + 3a 3 ,5a 3 进行处理并输出相应的三个数,若游戏者输入三个数后,计算机输出了29,50,55三个数,则输入的三个数依次是() A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,11 10、(2008年)在等差数列{a n }中,若a 2 +a 5 =19,则a 7 =20,则该数列的前9项和是() A 26 B 100 C 126 D 155 11、(2009年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 8 =15,则S 8 等于() A 40 B 60 C 80 D 240 12、(2009年)甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a(亿元)和4a(亿元),甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国,假设乙国的年平均增长率为,那么甲国的年平均增长率最少应为() A 9.6℅ B 9.2℅ C 8.8℅ D 8.4℅ 13、(2009年)如果三个实数a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是() 14、(2010年)已知2,m,8构成等差数列,则实数m的值是() A 4 B 4或-4 C 10 D 5 x

最新高考数学数列题型专题汇总

1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中,使得()*∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

2. 4、如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N , 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 22 23 A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 24 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36

2022年高考数学总复习:等差数列及其前n项和

第 1 页 共 13 页 2022年高考数学总复习:等差数列及其前n 项和 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d . 3.等差中项 由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *). (2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列. (5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (6)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…构成等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2 或S n =na 1+n (n -1)2 d . 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n =d 2 n 2+????a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). 7.等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值. 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法:a n +1-a n =d (d 是常数)?{a n }是等差数列. (2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N *)?{a n }是等差数列. (3)通项公式:a n =pn +q (p ,q 为常数)?{a n }是等差数列. (4)前n 项和公式:S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)?{a n }是等差数列.

【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)

第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列:S n =na 1+ n (n -1)2 d (d 为公差)或S n =n (a 1+a n ) 2 . (2)等比数列:S n =???? ?na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q ,q ≠1其中(q 为公比). 4类特殊数列的前n 项和 (1)1+2+3+…+n =1 2n (n +1). (2)1+3+5+…+(2n -1)=n 2 . (3)12+22+32+…+n 2 =16n (n +1)(2n +1). (4)13+23+33+…+n 3=14 n 2(n +1)2 . 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n 2a n +3 ,n ∈N * .

(1)求证:数列???? ?? 1a n 为等差数列; (2)设T 2n = 1 a 1a 2- 1 a 2a 3+ 1 a 3a 4- 1 a 4a 5 +…+ 1 a 2n -1a 2n - 1 a 2n a 2n +1 ,求T 2n . 【解】 (1)证明:由a n +1=3a n 2a n +3,得1a n +1=2a n +33a n =1a n +2 3 , 所以 1 a n +1-1a n =23. 又a 1=1,则1a 1=1,所以数列???? ??1a n 是首项为1,公差为2 3的等差数列. (2)设b n = 1 a 2n -1a 2n - 1 a 2n a 2n +1 =? ??? ?1a 2n -1-1a 2n +11a 2n , 由(1)得,数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列, 所以 1 a 2n -1 - 1 a 2n +1=-43,即 b n =? ????1a 2n -1-1a 2n +11a 2n =-43×1a 2n , 所以b n +1-b n =-43? ????1a 2n +2-1a 2n =-43×43=-16 9. 又b 1=-43×1a 2=-43×? ????1a 1+23=-20 9 , 所以数列{b n }是首项为-209,公差为-16 9的等差数列, 所以T 2n =b 1+b 2+…+b n =- 209n +n (n -1)2×? ?? ??-169=-49(2n 2 +3n ). 求解此类题需过“三关”:第一关,定义关,即会利用等差数列或等比数列的定义,判断所给的数列是等差数列还是等比数列;第二关,应用关,即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解,需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式:S n = n (a 1+a n ) 2 或S n =na 1+ n (n -1) 2d ;等比数列{a n }的前n 项和公式:S n =?????na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1;第三关,运算关,认真运算,此类题将迎刃而解. 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等),然后分别求和.也可先根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和,再分组求和,即把一个通项拆成几个通项求和的形式,方便求和. 已知等差数列{a n }的首项为a ,公差为d ,n ∈N * ,且不等式ax 2 -3x +2<0的解集为(1,

春季高考数学数列历年真题

第五章:数列历年高考题一、单项选择题 1、(2003)已知数列{a n }是等差数列,如果a 1 =2,a 4 =-6则前4项的和S 4 是() A -8 B -12 C -2 D 4 2、(2004年)在?ABC中,若∠A、∠B、∠C成等差数列,且BC=2,BA=1,则AC 等于() A 33 2 B 1 C 3 D 7 3、(2004)在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服,如果每次能洗去污垢的 3 2,则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅,该洗衣机至少要清洗的次数是()A 2 B 3 C 4 D 5 4、(2005年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 12 =10,则a 2 +a 3 + a 10 +a 11 等于() A 10 B 20 C 30 D 40 5、(2005年)在等比数列{a n }中,a 2 =2,a 5 =54,则公比q=() A 2 B 3 C 9 D 27 6、(2006年)若数列的前n项和S n =3n n - 2,则这个数列的第二项a 2 等于() A 4 B 6 C 8 D 10 7、(2007)为了治理沙漠,某农场要在沙漠上栽种植被,计划第一年栽种15公顷,以后每一年比上一年多栽种4公顷,那么10年后该农场栽种植被的公顷数是()A 510 B 330 C 186 D 51 8、(2007年)如果a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点 个数是() A 0 B 1 C 2 D 1或2 9、(2007年)小王同学利用在职业学校学习的知识,设计了一个用计算机进行数字变换的游戏,只要游戏者输入任意三个数a 1 ,a 2 ,a 3 ,计算机就会按照规则:a 1 + 2a 2 - a 3 ,a 2 + 3a 3 ,5a 3 进行处理并输出相应的三个数,若游戏者输入三个数后,计算机输出了29,50,55三个数,则输入的三个数依次是() A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,11 10、(2008年)在等差数列{a n }中,若a 2 +a 5 =19,则a 7 =20,则该数列的前9项和是() A 26 B 100 C 126 D 155 11、(2009年)在等差数列{a n }中,若a 1 +a 8 =15,则S 8 等于() A 40 B 60 C 80 D 240 12、(2009年)甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a(亿元)和4a(亿元),甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国,假设乙国的年平均增长率为,那么甲国的年平均增长率最少应为() A 9.6℅ B 9.2℅ C 8.8℅ D 8.4℅ 13、(2009年)如果三个实数a,b,c成等比数列,那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是() 14、(2010年)已知2,m,8构成等差数列,则实数m的值是() A 4 B 4或-4 C 10 D 5 15、(2010年)已知数列的前n项和S n =n n + 2,则第二项a 2 的值是() A 2 B 4 C 6 D 8 16、(2011年)如果三个正数a,b,c成等比数列,那么lga,lgb,lgc() x

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式: 如果事件A 、B 互斥, 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立, 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ={1.3. m }, B ={1, m} ,A U B =A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点, 焦距为 4 一条准线为x=-4 , 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 , AB=2, CC 1=22 E 为CC 1的中点, 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n , a 5=5, S 5=15, 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 (6)△ABC 中, AB 边的高为CD , 若 a·b=0, |a|=1, |b|=2, 则 (A) (B ) (C) (D)

高考数学等差数列专题复习(专题训练) 百度文库

一、等差数列选择题 1.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( ) A . 1 2 尺布 B . 5 18 尺布 C . 16 31 尺布 D . 16 29 尺布 2.定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ,又2n n a b =,则 1223910 111 b b b b b b +++ =( ) A . 8 17 B . 1021 C . 1123 D . 919 3.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n - B .n C .21n - D .2n 4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列 D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列 5.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160 B .180 C .200 D .220 6.已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-,则13525a a a a +++ +=( ) A .350 B .351 C .674 D .675 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921 a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21 B .20 C .19 D .19或20 8.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+,*n N ∈,则 存在数列{}n b 和{}n c 使得( ) A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 C .· n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .· n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 9.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,

(完整版)历年数列高考题及答案

1. (福建卷)已知等差数列 }{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( ) A .15 B .30 C .31 D .64 2. (湖南卷)已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+,则 20a = ( ) A .0 B .3- C .3 D .23 3. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3 ,前三项和为21,则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列,则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. (山东卷) {}n a 是首项1a =1,公差为d =3的等差数列,如果n a =2005,则序号n 等于( ) (A )667 (B )668 (C )669 (D )670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。 8. (湖北卷)设等比数列 }{n a 的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______ 10. (上海)12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列,每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21Λ,记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=,!,,3,2,1n i Λ=。例如:用1,2,3可得数阵 如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ,那么,在 用1,2,3,4,5形成的数阵中, 12021b b b +++Λ=_______。 11. (天津卷)在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ,

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷:(本题满分18分) 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈,数列{}n b 满足()sin n n b a =,集合 {}*|,n S x x b n N ==∈. (1)若120,3 a d π ==,求集合S ; (2)若12 a π = ,求d 使得集合S 恰好有两个元素; (3)若集合S 恰好有三个元素:n T n b b +=,T 是不超过7的正整数,求T 的所有可能的 值. 二、2019年高考数学浙江卷:(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注: 2.71828e =为自然对数的底数.

设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. (1)求n 的值; (2)设(1n a =+*,a b ∈N ,求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷:(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ,若无穷数列{}n b 满足:对任意*n N ∈,都有1n n b a -≤,则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1,公比为1 2 的等比数列,11n n b a +=+,*n N ∈,判断数列{}n b 是否与{}n a 接近,并说明理由; (2)设数列{}n a 的前四项为:12341,248a a a a ====,,,{}n b 是一个与{}n a 接近的数列,记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===,求M 中元素的个数m ; (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列,若存在数列{}n b 满足:{}n b 与{}n a 接近,且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数,求d 的取值范围.

高考文科数学真题汇编:数列高考题老师版

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学科教师辅导教案 学员姓名 年 级 高三 辅导科目 数 学 授课老师 课时数 2h 第 次课 授课日期及时段 2018年 月 日 : — : 1.(2013安徽文)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =( ) (A )6- (B )4- (C )2- (D )2 【答案】A 2.(2012福建理)等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】B 3.(2014福建理)等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若132,12a S ==,则6a =( ) .8A .10B .12C .14D 【答案】C 4.(2017·全国Ⅰ理)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .4 D .8 【解析】设{a n }的公差为d ,由????? a 4+a 5=24, S 6=48,得? ? ??? (a 1+3d )+(a 1+4d )=24, 6a 1+6×5 2 d =48,解得d =4.故选C. 5.(2012辽宁文)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B 6.(2014新标2文) 等差数列{}n a 的公差是2,若248,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( ) A. (1)n n + B. (1)n n - C. (1)2n n + D. (1) 2 n n - 【答案】A 7.(2012安徽文)公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数,且 3a 11a =16,则5a =( ) ()A 1 ()B 2 ()C 4 ()D 8 【答案】A 历年高考试题集锦——数列

高考数学真题汇编数列理(解析版)

2012高考真题分类汇编:数列 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中,12=a ,54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ,54=a ,所以64251=+=+a a a a ,所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和,则下列命题错误的是 A.若d <0,则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项,则d <0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列,则对任意*N n ∈,均有0>n S D. 若对任意*N n ∈,均有0>n S ,则数列﹛S n ﹜是递增数列 【答案】C 【解析】选项C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,….满足数列{S n }是递增数列,但是S n >0不成立.故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( ) ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列,所以87465-==a a a a ,又274=+a a ,所以2474-==a a ,或4274=-=a a ,.若2474-==a a ,,解得18101=-=a a ,,7101-=+a a ;若4274=-=a a ,,解得18110=-=a a ,,仍有7101-=+a a ,综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =,n n a a a S +++= 21,在

高考数学等差数列习题及答案 百度文库

一、等差数列选择题 1.在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,则11S 的值是( ) A .60 B .11 C .50 D .55 2.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200 B .100 C .90 D .80 3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10- B .8 C .12 D .14 4.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16 C .4 D .-4 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45 B .50 C .60 D .80 6.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231 n n a n b n =+,则2121S T 的值为( ) A . 13 15 B . 2335 C . 1117 D . 49 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921 a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21 B .20 C .19 D .19或20 8.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24 B .36 C .48 D .64 9.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且 77b a =,则3810b b b =( ) A .1 B .8 C .4 D .2 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11 2 a = ,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ?? ???? 的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( ) A .21 4 a =- B . 648 211S S S =+ C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为 712 D .1121 n n n n n T T T n n +-= ++ 11.已知等差数列{}n a ,且()()35710133248a a a a a ++++=,则数列{}n a 的前13项之

浙江专版2018年高考数学第1部分重点强化专题专题2数列突破点5数列求和及其综合应用教学案

突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项,S n 为其前n 项和,则有a n =??? ? ? S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2. 在使用这个关系 式时,一定要注意区分n =1,n ≥2两种情况,求出结果后,判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法:①形如a n +1=a n +c (c 为常数),直接利用定义判断其为等差数列.②形如 a n +1=ka n (k 为非零常数)且首项不为零,直接利用定义判断其为等比数列. (2)叠加法:形如a n +1=a n +f (n ),利用a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1),求其通项公式. (3)叠乘法:形如 a n +1a n =f (n )≠0,利用a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1 ,求其通项公式. (4)待定系数法:形如a n +1=pa n +q (其中p ,q 均为常数,pq (p -1)≠0),先用待定系数法把原递推公式转化为a n +1-t =p (a n -t ),其中t =q 1-p ,再转化为等比数列求解. (5)构造法:形如a n +1=pa n +q n (其中p ,q 均为常数,pq (p -1)≠0),先在原递推公式两边同除以q n +1 ,得 a n +1q n +1=p q ·a n q n +1q ,构造新数列{ b n }? ? ???其中b n =a n q n ,得b n +1=p q ·b n +1q ,接下来用待定系数法求解. (6)取对数法:形如a n +1=pa m n (p >0,a n >0),先在原递推公式两边同时取对数,再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项,数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等,而裂项相消法,错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种: (1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或者是借助数列对应函数的单调性比较大小. (2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,此类问题可转化为函数的最值问题.

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